有限差分法基础
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n *n *n Ti*n1 ST* ( 1 2 S ) T ST i 1 i i 1
in1 S ni 1 (1 2S ) ni S ni 1
上式称为误差传播方程。
4.Lax等价定理
对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容 的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最 基本的定律。 适用条件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；
100
100 100 100 100 100
50 50 62.5 62.5 68.8
12.5 12.5 21.9
68.8
45.3
21.9
14.1
6.25
14.1
21.9
45.3
68.8
100
热传导方程的求解
如仍取 102 , x 0.1, 而为缩短计算时间，时间 步长 取 t 1.0 ，则最终的差分方程：
分析例题
Ti
n 1
t t n n n Ti (Ti 1 2Ti Ti 1 ), S 2 x x 2
n
n n n Ti n1 ST ( 1 2 S ) T ST i 1 i i 1
n *n 上式中 Ti 为差分方程的精确解,如果令 T i 为差分方程的近似数值 解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x 和 t ，然后在坐标平面用平行于坐标轴 的两族直线划分网格： xi x0 ix, i 0, 1, 2, ...,
tn nt n 0, 1, 2, ...,
2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 ( xi , tn )点为
稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，
因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其
他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未得到
证明。 重要的实际意义：一般情况下，证明有限差分方程的解收 敛于它所近似的偏微分方程的解比较困难。而证明有限差分方程 的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据该定理只要证明有限 差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。
0.3 0.4
0 0 0 0 6.25 6.25
0.5
0 0 0 0 0 6.25
0.6
0 0 0 0 6.25 6.25
0.7
0 0 0 12.5 12.5 21.9
0.8
0 0 25 25 37.5 37.5 0
0.9 1.0
100 100 100 100 100 100
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
得到差分格式
ui 1 2ui ui 1 ui f i 2 h u0 u M 0
得到的线性方程组
Au F
其中
2 1 1 1 2 A 2 h 0 0 1 1 2 M 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M 1
2.收敛性
收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问
t 题。如果在求解区域中的任一离散点 ( x, t ) 上，当网格步长 x、
趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。
T (i, n)
x 0 , t 0
lim
Ti t
3.稳定性
热传导方程：
2 t x 2
Poisson方程：
f 2 2 x y
2 2
Laplace方程：
2 0 2 x y
2 2
时间一维空间一维的例子
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0 t x ( x ,0 ) ( x )
n 1 n
上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得
T 2T ET 2 t x t 2T ET 2t 2 x 2 4T 12x 4 i
n
2 4 O ( t , x ) i
第一个例子的求解结果
求微分方程：
u x u x e x sin x 2 cos x ,0 x u 0 u 0
的数值解。
第一个例子的求解结果
精确解：
ux e sinx
x
热传导方程的求解
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）： y f ( x x) f ( x) 向前差分 向后差分
y f ( x) f ( x x) y f ( x x) f ( x x)
中心差分
与其对应的差商的三种形式（一阶）： y f ( x x ) f ( x ) 向前差商 x x y f ( x ) f ( x x ) 向后差商 x x y f ( x x) f ( x x) 中心差商 x 2x
2
x T 12x 4 i
2 4
n
2 2 O ( t , x ) i
nBiblioteka Baidu
上式中的 ET 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误 差。显然 ET与 x 、 t 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有 限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应 的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 x 、 t 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解 就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义!
n n n Ti n1 Ti T T 1 i i 1
t T 0.0 0.0 100
x
0.1
0 100 0 200
0.2
0 0 100 -100 0 0 0
0.3
0.4
0 0 0 0
0.5
0 0 0 0
0.6
0 0 0 0
0.7
0 0 0 100
0.8
0 0 100 -100 0
0.9
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于 复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程： 对流方程： 0 t x
2 2 对流－扩散方程： t x x
有限差分法基础
数值离散概述
有限差分法求解微分方程（如流体控制方程）的基 本过程是： ①将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替 连续的求解域，将待求解的变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上 ②将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而 将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有 离散点上的有限个未知变量的差分方程组。 ③求解该差分方程组，也就得到了网格点上变量的数 值解。
n
上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。
T 2T ET 2 t x t T ET 2t 2
1.0
100 100 100 100
0.5
100 100 100
100 0 200
1.0
1.5
100
差分法的基本理论
1.相容性
t n n n Ti Ti ( T 2 T T i 1 i i 1 ) 2 x 上例中，令 T (i, n) 表示差分方程的精确解．利用Taylor级数将
热传导方程的求解
时间导数用一阶向前差商近似代替：
Ti n1 Ti n T t t i
n
空间导数用二阶中心差商近似代替：
T x 2
2 n n n Ti 2 T T 1 i i 1 x 2 i n
Ti
n 1
t n n n Ti ( T 2 T T i 1 i i 1 ) 2 x
有限差分法求解示例
求微分方程：
u x u x e x sin x 2 cos x ,0 x u 0 u 0
的数值解。
离散网格点
x0
x1
x2
x3
xn-1
xn
差商代替微商
令
h
M
, xi ih
t n 1 n n (in i i 1 i 1 ) 2x 0 i ( xi )
观察上述差分格式可看出：若知道第 n 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 1 层的 ，故称这类格式 为显式格式。
显式有限差分模板：
时间推进：
n in i 1 1 2x x i n
则对流方程在 ( xi , tn ) 点对应的差分方程为
in 1 in
t
n in 1 i 1
2x
0
差分方程的建立过程
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
n
取 102 , x 0.1, t 0.5 ，则最终的差分方程：
Ti
n 1
1 n n (Ti 1 Ti 1) 2
热传导方程的求解
显式有限差分模板：
热传导方程的求解
x
t T 0.0 0.0 100
0.1
0 50 50 62.5 62.5 68.8
0.2
0 0 25 25 37.5 37.5 0 0 0
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差（二阶导数）
二阶中心差分：
差分和逼近误差（二阶导数）
二阶中心差分：
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
例 考虑长度为1的均匀 直杆，其表面是绝热的， 而且杆截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看成是相同的。x 轴取为沿 x 0, x 1 对应杆的端点，则杆内温度分布 杆轴方向， T ( x, t ) 随时间变化由下面的扩散方程来描述：
T 2T t x 2 T ( x,0) 0 T (0, t ) 100 T (1, t ) 100
差分和逼近误差
差分概念： 设有 x 的解析函数 y f ( x)，函数 y 对 x 的导数
为：
dy y f ( x x) f ( x) lim lim x 0 dx x x 0 x dy dy、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数对 自变量的导数，又称微商。上式中的y、x 分别称为 y 为函数对自变量的差商。 函数及其自变量的差分， x
0 t i x i
n n
t
x
t n 1 tn t n 1
t
x o
xi 1 xi xi 1
差分方程的建立过程
时间导数用一阶向前差商近似代替：
in1 in t t i
n
空间导数用一阶中心差商近似代替：
in1 S ni 1 (1 2S ) ni S ni 1
上式称为误差传播方程。
4.Lax等价定理
对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容 的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最 基本的定律。 适用条件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；
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100 100 100 100 100
50 50 62.5 62.5 68.8
12.5 12.5 21.9
68.8
45.3
21.9
14.1
6.25
14.1
21.9
45.3
68.8
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热传导方程的求解
如仍取 102 , x 0.1, 而为缩短计算时间，时间 步长 取 t 1.0 ，则最终的差分方程：
分析例题
Ti
n 1
t t n n n Ti (Ti 1 2Ti Ti 1 ), S 2 x x 2
n
n n n Ti n1 ST ( 1 2 S ) T ST i 1 i i 1
n *n 上式中 Ti 为差分方程的精确解,如果令 T i 为差分方程的近似数值 解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x 和 t ，然后在坐标平面用平行于坐标轴 的两族直线划分网格： xi x0 ix, i 0, 1, 2, ...,
tn nt n 0, 1, 2, ...,
2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 ( xi , tn )点为
稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，
因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其
他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未得到
证明。 重要的实际意义：一般情况下，证明有限差分方程的解收 敛于它所近似的偏微分方程的解比较困难。而证明有限差分方程 的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据该定理只要证明有限 差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。
0.3 0.4
0 0 0 0 6.25 6.25
0.5
0 0 0 0 0 6.25
0.6
0 0 0 0 6.25 6.25
0.7
0 0 0 12.5 12.5 21.9
0.8
0 0 25 25 37.5 37.5 0
0.9 1.0
100 100 100 100 100 100
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
得到差分格式
ui 1 2ui ui 1 ui f i 2 h u0 u M 0
得到的线性方程组
Au F
其中
2 1 1 1 2 A 2 h 0 0 1 1 2 M 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M 1
2.收敛性
收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问
t 题。如果在求解区域中的任一离散点 ( x, t ) 上，当网格步长 x、
趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。
T (i, n)
x 0 , t 0
lim
Ti t
3.稳定性
热传导方程：
2 t x 2
Poisson方程：
f 2 2 x y
2 2
Laplace方程：
2 0 2 x y
2 2
时间一维空间一维的例子
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0 t x ( x ,0 ) ( x )
n 1 n
上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得
T 2T ET 2 t x t 2T ET 2t 2 x 2 4T 12x 4 i
n
2 4 O ( t , x ) i
第一个例子的求解结果
求微分方程：
u x u x e x sin x 2 cos x ,0 x u 0 u 0
的数值解。
第一个例子的求解结果
精确解：
ux e sinx
x
热传导方程的求解
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）： y f ( x x) f ( x) 向前差分 向后差分
y f ( x) f ( x x) y f ( x x) f ( x x)
中心差分
与其对应的差商的三种形式（一阶）： y f ( x x ) f ( x ) 向前差商 x x y f ( x ) f ( x x ) 向后差商 x x y f ( x x) f ( x x) 中心差商 x 2x
2
x T 12x 4 i
2 4
n
2 2 O ( t , x ) i
nBiblioteka Baidu
上式中的 ET 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误 差。显然 ET与 x 、 t 成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有 限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应 的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 x 、 t 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解 就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义!
n n n Ti n1 Ti T T 1 i i 1
t T 0.0 0.0 100
x
0.1
0 100 0 200
0.2
0 0 100 -100 0 0 0
0.3
0.4
0 0 0 0
0.5
0 0 0 0
0.6
0 0 0 0
0.7
0 0 0 100
0.8
0 0 100 -100 0
0.9
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于 复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程： 对流方程： 0 t x
2 2 对流－扩散方程： t x x
有限差分法基础
数值离散概述
有限差分法求解微分方程（如流体控制方程）的基 本过程是： ①将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替 连续的求解域，将待求解的变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上 ②将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而 将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有 离散点上的有限个未知变量的差分方程组。 ③求解该差分方程组，也就得到了网格点上变量的数 值解。
n
上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。
T 2T ET 2 t x t T ET 2t 2
1.0
100 100 100 100
0.5
100 100 100
100 0 200
1.0
1.5
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差分法的基本理论
1.相容性
t n n n Ti Ti ( T 2 T T i 1 i i 1 ) 2 x 上例中，令 T (i, n) 表示差分方程的精确解．利用Taylor级数将
热传导方程的求解
时间导数用一阶向前差商近似代替：
Ti n1 Ti n T t t i
n
空间导数用二阶中心差商近似代替：
T x 2
2 n n n Ti 2 T T 1 i i 1 x 2 i n
Ti
n 1
t n n n Ti ( T 2 T T i 1 i i 1 ) 2 x
有限差分法求解示例
求微分方程：
u x u x e x sin x 2 cos x ,0 x u 0 u 0
的数值解。
离散网格点
x0
x1
x2
x3
xn-1
xn
差商代替微商
令
h
M
, xi ih
t n 1 n n (in i i 1 i 1 ) 2x 0 i ( xi )
观察上述差分格式可看出：若知道第 n 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 1 层的 ，故称这类格式 为显式格式。
显式有限差分模板：
时间推进：
n in i 1 1 2x x i n
则对流方程在 ( xi , tn ) 点对应的差分方程为
in 1 in
t
n in 1 i 1
2x
0
差分方程的建立过程
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
n
取 102 , x 0.1, t 0.5 ，则最终的差分方程：
Ti
n 1
1 n n (Ti 1 Ti 1) 2
热传导方程的求解
显式有限差分模板：
热传导方程的求解
x
t T 0.0 0.0 100
0.1
0 50 50 62.5 62.5 68.8
0.2
0 0 25 25 37.5 37.5 0 0 0
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差（二阶导数）
二阶中心差分：
差分和逼近误差（二阶导数）
二阶中心差分：
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
例 考虑长度为1的均匀 直杆，其表面是绝热的， 而且杆截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看成是相同的。x 轴取为沿 x 0, x 1 对应杆的端点，则杆内温度分布 杆轴方向， T ( x, t ) 随时间变化由下面的扩散方程来描述：
T 2T t x 2 T ( x,0) 0 T (0, t ) 100 T (1, t ) 100
差分和逼近误差
差分概念： 设有 x 的解析函数 y f ( x)，函数 y 对 x 的导数
为：
dy y f ( x x) f ( x) lim lim x 0 dx x x 0 x dy dy、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数对 自变量的导数，又称微商。上式中的y、x 分别称为 y 为函数对自变量的差商。 函数及其自变量的差分， x
0 t i x i
n n
t
x
t n 1 tn t n 1
t
x o
xi 1 xi xi 1
差分方程的建立过程
时间导数用一阶向前差商近似代替：
in1 in t t i
n
空间导数用一阶中心差商近似代替：