二阶电路的零输入响应
二阶电路经典篇
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u + u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc = E + A e 1
uc = E + A e 1
p1t
−δ t
+ A2e
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
2
U0 di = dt t =0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP + 1 = 0
R R 2 1 − R ± R2 − 4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
uc
U0
设|P2|>|P1|
15第十五讲 二阶电路的零输入响应
R
uC = U S + (U 0 − U S )e
uC = U S (1 − e
零状态响应
τ
t≥0
( t ≥ 0)
−
t
τ
) + U 0e
−
t
τ
零输入响应
５、三要素法
（１）、三要素： ）、三要素： 三要素
f (∞ ) 三要素 f (0 + ) τ 稳态值 起始值 时间常数
t −τ
（２）、直流电源激励的全响应： ）、直流电源激励的全响应： 直流电源激励的全响应
f (t) = f (∞) +[ f (0+ ) − f (∞)]e
（３）、正弦电源激励的全响应： ）、正弦电源激励的全响应： 正弦电源激励的全响应
初始值f(0 、稳态值f(∞ 、时间常数τ 初始值 +)、稳态值 ∞)、时间常数
− τt
f (t ) = f (t ) + [ f (0 + ) − f (0 + )]e
1 1×10-6
= 2 KΩ
+ uR _ + uL
R R 2 1 p1 = − + ( ) − = −268 2L 2L LC
R R 2 1 p2 = − − ( ) − = −3732 2L 2L LC
uC = (10.77e
−268t
− 0.773e
强制分量(稳态分量 强制分量 稳态分量) 稳态分量
τ
自由分量(暂态分量 自由分量 暂态分量) 暂态分量
４、RC电路的全响应 电路的全响应
uC (0-)=U0 τ=RC
强制分量(稳态解 强制分量 稳态解) 稳态解 自由分量(暂态解 自由分量 暂态解) 暂态解
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
A1 U 0，A2 U 0
uC U 0 (1 t )e
t
i
uc
duC U 0 t i C te dt L diL uL L U 0e t (1 t ) dt
o tm
uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
L 过阻尼， 非振荡放电 小结 R 2 C
场和磁场之间往返转移，这
U0 i(t) Im I m
o
种周而复始的过程称为“振
t
荡”。 若元件为理想的，称等幅 振荡；若电路中存在电阻， 幅度逐渐衰减为零，称衰减 振荡，也称阻尼振荡。
i + uC L
C
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼 情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应 (t=0) R L + uL C i 已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0， 求uC(t), i(t), uL(t), t 0
2L
1 0 — 谐振角频率 LC
ω0
δ
ω
2 0
2
— 固有振荡角频率
关系： 0 sin
0 cos
j
p1 j 0 cos j0 sin 0e
p2 j 0 cos j0 sin 0e j
激励的频率决定各响应的频率 自由振荡：电路自身决定 0 1 二阶以上电路存在
LC
谐 振： s 0
Hale Waihona Puke 13L L 临界电阻 3） R 2 两个相等负实根 R 2 C C R p1 p2 uC ( A1 A2t )e t 2L
电路理论第11章二阶电路
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
二阶电路
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
电感电压在随时间变化的过程中有一个极小值，令 duL 0 dt
求出极小值出现的时刻
t
2
ln( p2 p1
/ p1 ) p2
2t m
在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。 t tm 时电感吸收能量，建立磁场；t tm 时电感释放能量，磁 场逐渐减弱。电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变 成热能。
L
di dt
U 0et
(1 t)
在整个过渡过程中，uc ,i,uL是单调衰减的函数，电路的放
电过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之
间，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过
阻尼情况相似。
动画演示：三种阻尼情况
华中科技大学出版社
11
湖北工业大学
例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。 求t≥0换路后电容的电压uc和i。已知：
dt
华中科技大学出版社
14
9.2 零状态响应
湖北工业大学
在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感
的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t≥0时的 uc ,i,uL 。由于电路的初始状态为零，所以此时的响应称为二阶 电路的零状态响应。
回路的KVL方程为 uc uL uR uS
iL (0 ) C
0
A1
p2
p2 p1
,
A2
p1 p1 p2
二阶电路的零状态响应
二阶电路的零状态响应
电路的响应指的是电路在不同输入下的输出情况，分为零状态响
应和零输入响应。
所谓零状态响应，指的是电路从某一时刻开始，经过一段时间后
的输出情况，而这段时间内电路的电容和电感等元件是没有存储能量的。
这种响应与电路的初始状态有关，在输入信号改变前电路中的电
势和电流已经存在了一些初值，这些初值会对电路的响应产生影响。
对于二阶电路而言，其响应可以用二阶微分方程来表示。
二阶微
分方程的通解形式为：
y(t) = C1 e^(αt) + C2 e^(βt)
其中，C1和C2为待定常数，α和β分别为根号下b^2-4ac得到
的两个实数或者共轭复数。
根据初值条件和输入信号，可以解得C1和
C2的值，然后带入通解中即可得到响应的具体表达式。
二阶电路的响应除了受到初值的影响外，还受到电路的频率特性
的影响。
根据电路的传输函数，可以得到电路的幅频特性和相频特性。
在实际应用中，需要调节电路的参数以满足特定的频率响应要求。
总之，二阶电路的零状态响应是电路在一定的初值状态下对输入
信号的响应，需要通过求解微分方程和考虑频率特性，来得到电路的
具体响应情况。
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应引言在电路中，当我们施加输入信号后，电路会做出相应的响应。
这种响应可以分为零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路的输出响应。
本文将讨论二阶电路的零输入响应，并对其进行详细探究。
二阶电路简介二阶电路是指由两个存储元件（电感或电容）和两个能量转换元件（电压源或电流源）组成的电路。
它具有两个自由电荷或自由电压变量。
二阶电路常用于滤波器、振荡器等各种实际电路中。
二阶电路可以分为两种类型：二阶低通电路和二阶高通电路。
二阶低通电路是指具有低通特性的二阶滤波电路，可以通过滤除高频信号来实现信号的平滑传输。
而二阶高通电路则是指具有高通特性的二阶滤波电路，可以滤除低频信号，只传递高频信号。
零输入响应的定义零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路的输出响应。
在二阶电路中，输入信号可以分为零输入和零状态两部分。
零输入指输入信号为零时的响应，而零状态指将输入信号移除后电路中的存储能量仍然存在时的响应。
零输入响应的计算方法二阶电路的零输入响应可以通过以下步骤计算得到：1.确定电路的初始条件：初始条件是指在没有外部输入信号时，电路中存储能量的初始值，包括电感中的电流和电容中的电压。
2.将输入信号设为零：将所有输入信号设为零，包括电压源和电流源的归零。
3.解析电路方程：使用电路分析方法，如基尔霍夫定律或节点法，得到电路的微分方程。
4.解微分方程：使用适当的方法，如常系数线性非齐次微分方程的解法，求解出电路的响应函数。
5.利用初始条件求解常数：将初始条件代入响应函数，得到电路的特定解。
6.计算零输入响应：将特定解与自由解相加，得到电路的零输入响应。
零输入响应的性质二阶电路的零输入响应具有以下几个重要的性质：1.具有指数衰减特性：二阶电路的零输入响应通常呈现出指数衰减的特性，即在初始时刻响应较大，随着时间的推移逐渐趋于零。
2.零输入响应是自由响应的一部分：零输入响应是在没有外部输入信号的情况下，电路中存储能量释放的结果，因此它是自由响应的一部分。
二阶电路的零输入响应
2
二阶电路的零输入响应
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
•提出问题
列微分方程
令
def def
•解决问题
•结果分析 解微分方程
R α 2L
ω0
1 LC
结果
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
d 0 cos
0 sin
L ), C
d arccos 0
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
I0 u( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 s1 A1 s2 A2 C A1 A2 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
联立求解得
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
S1
(t<0)
(original state)
二阶电路的零输入响应
Us +
－
i(t) S1
(t>0)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
开关在t=0时换路， S1断开、S2 闭合。t>0, RLC串联形成一个 回路，电压u、电流i即为零输 入响应(zero-input response)。
R
L C
S2 + u(t)
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
二阶电路的零输入响应基础知识讲解
uc E Ae t sin(t ) (P1、2 j )
uc E
由初值
uc (0 ) duc (0 ) dt
确定二个常数
t
例
k 2A
0.5 u1
+
u-1
2W 2W
i1
1/6F
1H
2-i
2W
i
求所示电路 i 的
零状态响应。
(1) R 2 L C
uc A1e p1t A2e p2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
i(0 ) C duc (0 ) dt
P1 A1 P2 A2 0
uc
U0 P2 P1
( P2e P1t
P1e P2t )
A1
P2
P2
P1
U
0
A2
P1 P2 P1
U0
uc
解
第一步列写微分方程
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2
由KVL：
2(2
i
)
2i1
6
i1dt
di dt
2i
整理得：
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
二阶非齐次常微分方程
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
解答形式为： i i' i"
第二步求通解i ‘
t
0 < t <
+
R
-C
L
< t < -
+
R
-C
L
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应
20
iR 1 A 1e t0 s0i1 nt0 ( 0 )
1Asin1
0
10A0cos10A0sin200
A
2
二阶电路含二个独立储能元件，是 用二阶常微分方程所描述的电路。
二阶电路的性质取决于特征根，特
征根取决于电路结构和参数，与激
p
励2和初值无2关。 0
0 过阻尼 非， 振荡u放 CA1电 ep1t A2ep2t
uCA1ep1t A2ep2t
代入初值：uC(0＋) = U0， du C
，0 得到：
dt t0
A1 A2 U0 p1A1 p2A2 0
联立解得：
A1
p2U0 p2 p1
A2
p1U0 p2 p1
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
(t=0) R L i + uL - +
uCp2U 0p1(p2ep1t p1ep2t)
2
一．求通解
1 10 A A sc0io n s 2 10 As0i ni0 L(0 )uL(0)
○ 特征根为： p= -100 j100
○特 征方45程为：
A
2
iL 1 2 e 1t0 s01 in 0 t ( 4 0 )5
(5)求iR
50
100F
+ R iR iL
50 V
iR
iL
uL
uLLd d ti U 00e ts i n t ()
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C
-
L- C
L- C
L
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
二阶电路零输入响应发生非振荡暂态过程
二阶电路零输入响应发生非振荡暂态过程嘿，咱今儿来聊聊二阶电路零输入响应发生非振荡暂态过程这档子事儿。
你说这二阶电路啊，就好像是一个有点小脾气的家伙。
它的零输入响应一旦开启了非振荡暂态过程，那可真是有一番特别的景象呢！想象一下，就如同一场独特的表演在电路的舞台上悄然拉开帷幕。
咱先说说这个零输入响应，它就像是电路自己的一种本能反应。
没有外界的输入，它自己就开始折腾起来了。
而非振荡暂态过程呢，就像是这个折腾过程中的一个特别阶段。
在这个过程中，电路里的电流啊、电压啊什么的，它们的变化可不是那种平平淡淡的哦。
它们会以一种独特的方式来展现自己，就好像是在跳着一支特别的舞蹈。
你看啊，有时候它们会迅速地变化，就像一阵风忽地刮过；有时候又会慢慢地演变，就如同蜗牛在慢慢地爬。
这其中的奇妙之处，真的是需要我们仔细去品味和琢磨呢。
咱再打个比方，这二阶电路零输入响应发生非振荡暂态过程，就像是一个人在经历一段特别的旅程。
一路上会有各种各样的风景和挑战，而电路中的这些参数变化就是旅途中的点点滴滴。
这过程中，也许会有那么一瞬间，你会觉得很神奇，怎么就会变成这样了呢？但这就是它的魅力所在呀！我们在研究这个的时候，不就像是探险家在探索一个未知的领域吗？每一个新的发现都能让我们兴奋不已。
而且啊，理解这个过程对于我们掌握电路的特性那可是至关重要的。
就好像你要了解一个人的性格，才能更好地和他相处一样。
你说，这二阶电路零输入响应发生非振荡暂态过程是不是很有意思呢？它虽然有点复杂，但只要我们用心去钻研，就一定能发现其中的奥秘。
别小瞧了它哦，这可是电路世界里的一个精彩篇章呢！总之，二阶电路零输入响应发生非振荡暂态过程，就像是隐藏在电路世界里的一个神秘宝藏，等待着我们去挖掘和探索。
让我们带着好奇和热情，去揭开它那神秘的面纱吧！。
二阶电路的零输入响应
经常写为： uC Ae t sin(t )
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uucC A0eU0et sitns(in(t t))
由初始条件uddCut(C0(0))
U
0 0
Asin A( )
U0
sin
A cos
0
A U0 ， arctan( )
sin
sin
0
A
0
U0
ω0
ω
δ
ω，ω０，δ的 关系
e p2t )
t=0+ iC=0 , t= iC=0
iC>0 t = tm 时iC 最大
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③电感电压
U0
uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
+
iC
O
tm
2tm uL
C
L
-R
t
uL
L
di dt
U0 ( p2 p1)
( p1e p1t
p2e p2t )
t 0, uL U0 t ∞, uL 0
uC
0
特征方程： LCp2 RCp 1 0
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特征根： p R R2 4L / C R ( R )2 1
2L
2L 2L LC
2. 零状态响应的三种情况
R 2 L 二个不等负实根 过阻尼 C
R 2 L 二个相等负实根 临界阻尼 C
R 2 L 二个共轭复根 欠阻尼 C
dt
dt
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以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0
duC dt
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应指的是在没有外部输入信号作用下，由初始条件所引起的电路响应。
具体而言，二阶电路的零输入响应可以通过求解该电路的自由响应来得到。
考虑一个二阶电路的常微分方程描述形式为：
L * d²i(t)/dt² + R * di(t)/dt + (1/C) * i(t) = 0
其中，L是电感，R是电阻，C是电容，i(t)是电路中的电流。
通过对上述方程进行求解，可以得到二阶电路的零输入响应的一般形式，具体形式取决于初始条件和电路的参数。
一般而言，二阶电路的零输入响应可以表示为：
i(t) = A * e^(-αt) * cos(ωt + φ)
其中，A是振幅，α是阻尼系数，ω是共振角频率，φ是相位角。
阻尼系数α可以分为三种情况：
α > ω：过阻尼，电路的响应是衰减的振荡，振荡的幅度随时间减小。
α = ω：临界阻尼，电路的响应衰减最快，但没有振荡。
α < ω：欠阻尼，电路的响应是振荡的，振荡的幅度随时间减小。
需要注意的是，以上是对于简单的二阶电路的一般形式描述，具体的零输入响应形式还需要根据电路的具体参数和初始条件进行求解。
此外，对于特定类型的二阶电路（如RLC电路），还可以使用其他的方法（如拉普拉斯变换）来求解零输入响应。
因此，针对具体的二阶电路，需要根据其参数和初始条件进行分析和求解，才能得到准确的零输入响应形式。
典型rlc二阶电路公式大全
典型rlc二阶电路公式大全
RLC二阶电路的公式包括阻抗公式、复数阻抗公式、零输入响应公式、零状态响应公式等。
阻抗公式为Z=R+j(ωL−1/ωC)，其中R表示电阻，j表示虚数单位，ω表示角频率，L表示电感，C表示电容。
复数阻抗公式为Z=R+j(Xr+Xl)，其中R表示电阻，Xr表示串联谐振阻抗，Xl表示并联谐振阻抗。
零输入响应公式包括过阻尼情况、临界阻尼情况和欠阻尼情况。
过阻尼情况为Z1=R+j(ωL−1/ωC)，欠阻尼情况为Z2=R+j√(ω0^2−ω^2)，临界阻尼情况为Z3=R。
零状态响应公式包括全响应情况、非全响应情况和强迫响应情况。
全响应情况为fai(t)=e−αt[fai(0)+fai'(0)t]，非全响应情况为fai(t)=e −αt[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]，强迫响应情况为fai(t)=e−
s1t[fai(0)+fai'(0)t+βt^2]+e−s2t[fai'(0)t+βt^2]，其中fai表示全响应，α表示自然衰减系数，β表示强迫衰减系数，s1和s2分别表示实部和虚部等于零的频率点。
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应一、 RLC 串联电路的零输入响应电路如图 6.1-1 所示，时，开关 S 处于位置 1 ，且电路已处于稳态，设，。
t=0 时开关拨到位置 2 ，现讨论时响应的变化规律。
时，，。
电路换路后，由 KVL 得这是二阶齐次线性微分方程，其特征方程为特征根为微分方程的解有如下形式：其中， A1 、 A2 是待定的常数，可由电路的初始状态确定，得，所以， RLC 串联电路的零输入响应为结论RLC 串联电路的零输入响应的变化规律取决于两个特征根，特征根只与电路的结构和参数有关，而与外加激励和电路的初始状态无关，特征根是决定动态电路响应变化规律的重要参数，也称为电路的固有频率（ natural frequency ）。
称为 RLC 串联电路的衰减系数（ attenuation factor ），称为 RLC 串联电路的谐振角频率（ resonant angular frequency ）。
1 、过阻尼情况（ over-damped case ）2 、欠阻尼情况（ under-damped case ）3 、无阻尼情况（ undamped case ）无阻尼（等幅振荡）当，电路中只有电容和电感时，称为无损耗电路。
衰减系数，，，特征根为一对共轭虚数。
正弦波的振幅不会衰减，作等幅振荡（ unattenuated oscillation ）。
4 、临界阻尼情况（ critically damped case ）临界阻尼（非振荡放电）当，即时，，为两个相等的负实数。
RLC 串联电路的零输入响应对于 RLC 串联电路，求出衰减系数和谐振角频率，判断电路零输入响应的性质：过阻尼、临界阻尼………非振荡放电欠阻尼………衰减振荡放电无阻尼………等幅振荡例 6.1-1 图 6.1-2 所示电路中，，，，时开关 S 处于位置 1 ，且电路已处于稳态，电感的储能为 0 。
时开关拨到位置 2 。
（ 1 ）求时的和；（ 2 ）若、不变，欲使电路在过阻尼情况下放电，问电阻应为多少？解：（ 1 ）在时刻，电路已处于稳态，所以电容相当于开路，则又电感的储能为 0 ，则因为，所以，欠阻尼，零输入响应为衰减振荡放电。
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图5-51例5-12图
解：开关S闭合前，电感中的电流 ，具有初始储能；开关S闭合后，直流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。
（1）列出开关闭合后的电路微分方程，列结点① KVL方程有
即
将参数代入得
设电路全响应为
（2）根据强制分量计算出特解为
代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得
（5-47）
（5-48）
（5-49）
由此可见， 、 、 各量都是正弦函数，随时推移其振幅并不衰减。其波形如图5-41所示
图5-41LC零输入电路无阻尼时 、 、 波形
3. ，临界阻尼情况
在此条件下，特征方程具有重根，即
全微分方程（5-33）的通解为
确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。
5.6.2R L C串联电路的零输入响应
如图5-37所示为RLC串联电路。开关S闭合前，电容已经充电，且电容的电压 ，电感中储存有电场能，且初始电流为 当 时，开关S闭合，电容将通过 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。
5.7.1R L C串联电路的零状态响应
电路如图5-47所示，开关S闭合前，电容和电感电流均为零。 时，开关S闭合。
图5-47RLC串联电路的零状态响应
以 为电路的变量，根据VCR和KVL，有
（5-63）
方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解 ，另一部分为对应齐次方程的通解 ，即 。
方程（5-63）对应的齐次微分方程
（5-64）
方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。将结论分别表示如下
1. ，非振荡充电过程
电路响应表示为
其中 、 为特征根，表达式与（5-35）式相同。 、 和 的波形如图5-48所示，
图5-48 、 和 的波形图
其中 ，是电感电压过零点，也是电流 达到最大值的时刻。
§5.6二阶电路的零输入响应
5.6.1二阶电路的初始条件
初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。
第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压 的极性和流过电感电流 的方向；
第二，电容上的电压总是连续的，即
（5-31）
流过电感的电流也总是连续的，即
（5-32）
图5-40 欠阻尼情况下 、 、 的波形
表5-2
电容
电阻
消耗
消耗
消耗
从欠阻尼情况下 、 、 的表达式还能得到以下结论：
（1） ， 为电流 的过零点，即 的极值点。
（2） ， 为电感电压 的过零点，即电流 的极值点。
（3） ， 为电容电压 的过零点。
在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况， ,此时 、 为一对共轭虚数，
求解上式，得到特征根为
（5-35）
因此，电容电压 用两特征根表示如下：
（5-36）
从式（5-35）可以看出，特征根 、 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。 、 又称为固有频率，单位为奈培每秒 ，它与电路的自然响应函数有关。
根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为 ， ，又因为 ，所以有 。将初始条件和式（5-36）联立可得
§5.8二阶电路的全响应
在前两节中所讨论的二阶电路中，要么只有初始储能，要么只有外施激励。分别得到二阶微分方程求解的方法非常相似。如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用，一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。
（3）为确定通解，首先列出特征方程为
特征根为：
特征根 ， 是一对共轭复根，所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质，即
（4）全响应为
=
又因为初始条件为
所以有
求解得
所以电流 的全响应为
（ ）
根据初始条件可得
所以，很容易得到
（5-50）
（5-51）
（5-52）
显然， 、 、 不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将 的过程称为临界非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。
§5.7二阶电路的零状态响应
如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。
称之为振荡电路的衰减角频率。
称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。
显然有 ，令 ，则有 ， ，如图5-39所示。
图5-39 之间的关系
根据欧拉公式
（5-43）
可得
，
所以有
=
=
= （5—44）
根据式（5-40），（5-41）可知
（5-45）
（5-46）
从上述情况分析可以看出， 、 、 的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。 、 、 的波形如图5-40所示。
2. ，振荡充电过程
电路响应表示为
其中 ，此情况下的充电过程也为非振荡充电。
5.7.2RLC并联电路的零状态响应
二阶RLC并联电路如图5-49所示， ， 。 时，开关S断开。根据KCL有
图5-49RLC并联电路的零状态响应
如果以 为待求变量，则有
（5-65）
方程以（5-65）是二阶线性非齐次常微分方程，与（5-63）式的求解过程相同，其通解由特解 和对应齐次微分方程通解 两部分组成。如果 为直流激励或正弦激励，则取稳态解 为特解而通解 与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。
（5-39）
根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为
（5-40）
（5-41）
其中利用了 的关系。
由于 ，因此 时， ，且 。所以 时 一直为正。从（5-40）可以看出，当 时， 也一直为正，但是进一步分析可知，当 时， ，当 时， ，这表明 将出现极值，可以求一阶导数得到，即
故
其中 为电流达到最大的时刻。 、 、 的波形如图5-38所示。
（5-37）
首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即 且 。有
（5-38）
将 、 的表达式代入（5-36）式即可得到RLC串联电路的零输入响应，但特征根 、 与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知 、 只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论
1. ，过阻尼情况
在此情况下， 、 为两个不相等的实数，电容电压可表示为
图5-37RLC串联电路的零输入响应
由图5-37所示参考方向，据KVL可得
且有 ， ， 。将其代入上式得
式（5-33）是RLC串联电路放电过程以 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流 作为变量，则RLC串联电路的微分方程为
（5-34）
在此，仅以 为变量进行分析，令 ，并代入（5-33），得到其对应的特征方程
图5-38过阻尼放电过程中 、 、 的波形
从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。当 时电感吸收能量，建立磁场； 时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。当 时，电感电压过零点。
2. ，欠阻尼情况
当 时，特征根 、 是一对共轭复数，即
（5-42）
其中： 称之为振荡电路的衰减系数；