二阶电路的零输入响应
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2. ，振荡充电过程
电路响应表示为
其中 ，此情况下的充电过程也为非振荡充电。
5.7.2RLC并联电路的零状态响应
二阶RLC并联电路如图5-49所示， ， 。 时，开关S断开。根据KCL有
图5-49RLC并联电路的零状态响应
如果以 为待求变量，则有
（5-65）
方程以（5-65）是二阶线性非齐次常微分方程，与（5-63）式的求解过程相同，其通解由特解 和对应齐次微分方程通解 两部分组成。如果 为直流激励或正弦激励，则取稳态解 为特解而通解 与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。
根据初始条件可得
所以，很容易得到
（5-50）
（ห้องสมุดไป่ตู้-51）
（5-52）
显然， 、 、 不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将 的过程称为临界非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。
§5.7二阶电路的零状态响应
如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。
图5-40 欠阻尼情况下 、 、 的波形
表5-2
电容
释放
释放
吸收
电感
吸收
释放
释放
电阻
消耗
消耗
消耗
从欠阻尼情况下 、 、 的表达式还能得到以下结论：
（1） ， 为电流 的过零点，即 的极值点。
（2） ， 为电感电压 的过零点，即电流 的极值点。
（3） ， 为电容电压 的过零点。
在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况， ,此时 、 为一对共轭虚数，
例电路如图5-51所示，已知 ， ， 时开关S闭合，求开关闭合后电感中的电流 。
图5-51例5-12图
解：开关S闭合前，电感中的电流 ，具有初始储能；开关S闭合后，直流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。
（1）列出开关闭合后的电路微分方程，列结点① KVL方程有
即
将参数代入得
设电路全响应为
（2）根据强制分量计算出特解为
（5-37）
首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即 且 。有
（5-38）
将 、 的表达式代入（5-36）式即可得到RLC串联电路的零输入响应，但特征根 、 与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知 、 只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论
1. ，过阻尼情况
在此情况下， 、 为两个不相等的实数，电容电压可表示为
§5.8二阶电路的全响应
在前两节中所讨论的二阶电路中，要么只有初始储能，要么只有外施激励。分别得到二阶微分方程求解的方法非常相似。如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用，一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。
求解上式，得到特征根为
（5-35）
因此，电容电压 用两特征根表示如下：
（5-36）
从式（5-35）可以看出，特征根 、 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。 、 又称为固有频率，单位为奈培每秒 ，它与电路的自然响应函数有关。
根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为 ， ，又因为 ，所以有 。将初始条件和式（5-36）联立可得
§5.6二阶电路的零输入响应
5.6.1二阶电路的初始条件
初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。
第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压 的极性和流过电感电流 的方向；
第二，电容上的电压总是连续的，即
（5-31）
流过电感的电流也总是连续的，即
（5-32）
称之为振荡电路的衰减角频率。
称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。
显然有 ，令 ，则有 ， ，如图5-39所示。
图5-39 之间的关系
根据欧拉公式
（5-43）
可得
，
所以有
=
=
= （5—44）
根据式（5-40），（5-41）可知
（5-45）
（5-46）
从上述情况分析可以看出， 、 、 的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。 、 、 的波形如图5-40所示。
5.7.1R L C串联电路的零状态响应
电路如图5-47所示，开关S闭合前，电容和电感电流均为零。 时，开关S闭合。
图5-47RLC串联电路的零状态响应
以 为电路的变量，根据VCR和KVL，有
（5-63）
方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解 ，另一部分为对应齐次方程的通解 ，即 。
（5-39）
根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为
（5-40）
（5-41）
其中利用了 的关系。
由于 ，因此 时， ，且 。所以 时 一直为正。从（5-40）可以看出，当 时， 也一直为正，但是进一步分析可知，当 时， ，当 时， ，这表明 将出现极值，可以求一阶导数得到，即
故
其中 为电流达到最大的时刻。 、 、 的波形如图5-38所示。
图5-37RLC串联电路的零输入响应
由图5-37所示参考方向，据KVL可得
且有 ， ， 。将其代入上式得
式（5-33）是RLC串联电路放电过程以 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流 作为变量，则RLC串联电路的微分方程为
（5-34）
在此，仅以 为变量进行分析，令 ，并代入（5-33），得到其对应的特征方程
确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。
5.6.2R L C串联电路的零输入响应
如图5-37所示为RLC串联电路。开关S闭合前，电容已经充电，且电容的电压 ，电感中储存有电场能，且初始电流为 当 时，开关S闭合，电容将通过 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。
图5-38过阻尼放电过程中 、 、 的波形
从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。当 时电感吸收能量，建立磁场； 时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。当 时，电感电压过零点。
2. ，欠阻尼情况
当 时，特征根 、 是一对共轭复数，即
（5-42）
其中： 称之为振荡电路的衰减系数；
代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得
（5-47）
（5-48）
（5-49）
由此可见， 、 、 各量都是正弦函数，随时推移其振幅并不衰减。其波形如图5-41所示
图5-41LC零输入电路无阻尼时 、 、 波形
3. ，临界阻尼情况
在此条件下，特征方程具有重根，即
全微分方程（5-33）的通解为
方程（5-63）对应的齐次微分方程
（5-64）
方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。将结论分别表示如下
1. ，非振荡充电过程
电路响应表示为
其中 、 为特征根，表达式与（5-35）式相同。 、 和 的波形如图5-48所示，
图5-48 、 和 的波形图
其中 ，是电感电压过零点，也是电流 达到最大值的时刻。
（3）为确定通解，首先列出特征方程为
特征根为：
特征根 ， 是一对共轭复根，所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质，即
（4）全响应为
=
又因为初始条件为
所以有
求解得
所以电流 的全响应为
（ ）
电路响应表示为
其中 ，此情况下的充电过程也为非振荡充电。
5.7.2RLC并联电路的零状态响应
二阶RLC并联电路如图5-49所示， ， 。 时，开关S断开。根据KCL有
图5-49RLC并联电路的零状态响应
如果以 为待求变量，则有
（5-65）
方程以（5-65）是二阶线性非齐次常微分方程，与（5-63）式的求解过程相同，其通解由特解 和对应齐次微分方程通解 两部分组成。如果 为直流激励或正弦激励，则取稳态解 为特解而通解 与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。
根据初始条件可得
所以，很容易得到
（5-50）
（ห้องสมุดไป่ตู้-51）
（5-52）
显然， 、 、 不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将 的过程称为临界非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。
§5.7二阶电路的零状态响应
如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。
图5-40 欠阻尼情况下 、 、 的波形
表5-2
电容
释放
释放
吸收
电感
吸收
释放
释放
电阻
消耗
消耗
消耗
从欠阻尼情况下 、 、 的表达式还能得到以下结论：
（1） ， 为电流 的过零点，即 的极值点。
（2） ， 为电感电压 的过零点，即电流 的极值点。
（3） ， 为电容电压 的过零点。
在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况， ,此时 、 为一对共轭虚数，
例电路如图5-51所示，已知 ， ， 时开关S闭合，求开关闭合后电感中的电流 。
图5-51例5-12图
解：开关S闭合前，电感中的电流 ，具有初始储能；开关S闭合后，直流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。
（1）列出开关闭合后的电路微分方程，列结点① KVL方程有
即
将参数代入得
设电路全响应为
（2）根据强制分量计算出特解为
（5-37）
首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即 且 。有
（5-38）
将 、 的表达式代入（5-36）式即可得到RLC串联电路的零输入响应，但特征根 、 与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知 、 只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论
1. ，过阻尼情况
在此情况下， 、 为两个不相等的实数，电容电压可表示为
§5.8二阶电路的全响应
在前两节中所讨论的二阶电路中，要么只有初始储能，要么只有外施激励。分别得到二阶微分方程求解的方法非常相似。如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用，一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。
求解上式，得到特征根为
（5-35）
因此，电容电压 用两特征根表示如下：
（5-36）
从式（5-35）可以看出，特征根 、 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。 、 又称为固有频率，单位为奈培每秒 ，它与电路的自然响应函数有关。
根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为 ， ，又因为 ，所以有 。将初始条件和式（5-36）联立可得
§5.6二阶电路的零输入响应
5.6.1二阶电路的初始条件
初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。
第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压 的极性和流过电感电流 的方向；
第二，电容上的电压总是连续的，即
（5-31）
流过电感的电流也总是连续的，即
（5-32）
称之为振荡电路的衰减角频率。
称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。
显然有 ，令 ，则有 ， ，如图5-39所示。
图5-39 之间的关系
根据欧拉公式
（5-43）
可得
，
所以有
=
=
= （5—44）
根据式（5-40），（5-41）可知
（5-45）
（5-46）
从上述情况分析可以看出， 、 、 的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。 、 、 的波形如图5-40所示。
5.7.1R L C串联电路的零状态响应
电路如图5-47所示，开关S闭合前，电容和电感电流均为零。 时，开关S闭合。
图5-47RLC串联电路的零状态响应
以 为电路的变量，根据VCR和KVL，有
（5-63）
方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解 ，另一部分为对应齐次方程的通解 ，即 。
（5-39）
根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为
（5-40）
（5-41）
其中利用了 的关系。
由于 ，因此 时， ，且 。所以 时 一直为正。从（5-40）可以看出，当 时， 也一直为正，但是进一步分析可知，当 时， ，当 时， ，这表明 将出现极值，可以求一阶导数得到，即
故
其中 为电流达到最大的时刻。 、 、 的波形如图5-38所示。
图5-37RLC串联电路的零输入响应
由图5-37所示参考方向，据KVL可得
且有 ， ， 。将其代入上式得
式（5-33）是RLC串联电路放电过程以 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流 作为变量，则RLC串联电路的微分方程为
（5-34）
在此，仅以 为变量进行分析，令 ，并代入（5-33），得到其对应的特征方程
确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。
5.6.2R L C串联电路的零输入响应
如图5-37所示为RLC串联电路。开关S闭合前，电容已经充电，且电容的电压 ，电感中储存有电场能，且初始电流为 当 时，开关S闭合，电容将通过 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。
图5-38过阻尼放电过程中 、 、 的波形
从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。当 时电感吸收能量，建立磁场； 时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。当 时，电感电压过零点。
2. ，欠阻尼情况
当 时，特征根 、 是一对共轭复数，即
（5-42）
其中： 称之为振荡电路的衰减系数；
代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得
（5-47）
（5-48）
（5-49）
由此可见， 、 、 各量都是正弦函数，随时推移其振幅并不衰减。其波形如图5-41所示
图5-41LC零输入电路无阻尼时 、 、 波形
3. ，临界阻尼情况
在此条件下，特征方程具有重根，即
全微分方程（5-33）的通解为
方程（5-63）对应的齐次微分方程
（5-64）
方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。将结论分别表示如下
1. ，非振荡充电过程
电路响应表示为
其中 、 为特征根，表达式与（5-35）式相同。 、 和 的波形如图5-48所示，
图5-48 、 和 的波形图
其中 ，是电感电压过零点，也是电流 达到最大值的时刻。
（3）为确定通解，首先列出特征方程为
特征根为：
特征根 ， 是一对共轭复根，所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质，即
（4）全响应为
=
又因为初始条件为
所以有
求解得
所以电流 的全响应为
（ ）