6信号与系统的时域和频域特性

t0
e
j H 2 ( j )
波形改变
x (t )
④
t
y3 (t )
t
x (t )
非线性部分
e
LTI H 3 ( j )
j[ H 2 ( j ) t0 ]
线性部 分
6.2.2 群时延
群时延 对线性相位系统，系统的相位特性表明了信号的各个频率分量在 通过系统时，系统对它所产生的附加相移。相位特性的斜率就是 该频率分量在时域产生的时延。
A. 信号的合成
频率组成（复指数形式）
1 x(t ) X ( j )e jt d lim | X ( j ) | e j[t X ( j )] 2 0 2
相位
| X ( j ) | e j X ( j )
幅度

j[1t X ( j1 )] | X ( j1 ) | e 2 j[ t X ( j2 )] | X ( j 2 ) | e 2 2
单位奈特（Np）
单位分贝（dB）decibel
对离散时间系统，由于其频率有效范围只有 ，而且即使在对 数坐标下也不会存在直线型的渐近线。因而不采用对数坐标，只 采用对数模。
采用对数模（或Bode图）表示频率特性，对于幅频特性有零点或 在某些频段上为零的系统，是不适用的。
6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性 一、 滤波 通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去 除某些频率分量的过程称为滤波。 二、 理想频率选择性滤波器的频率特性
F 1
j t0
x(t t0 )
F 1
实函数
F 1 time 时间反 X ( j ) x(t ) X ( j ) x(t ) reversal 转 F 1
| X ( j ) | e j X ( j ) 奇对称 d X ( j ) 偶对称 Delay : 时延 d
通过前面几章的学习，我们知道对任何一个LTI系统，在时域，系 统的特性可由 或 或 完全描述，而在频域，系统的特性是由
描述。系统设计时，往往需要对系统的特性从时域
角度或频域角度提出某些要求。 在LTI 系统分析中，由于时域中的微分（差分）方程和卷积运算在 频域都变成了代数运算，所以利用频域分析往往特别方便。 系统的时域特性与频域特性是相互制约的。在进行系统的分析 与设计时，要权衡考虑系统的时域与频域特性。 本章的基本内容是对系统进行时域和频域特性的综合分析。
为阻带边
称为通带边缘， 为过渡带。
实际滤波器的频域特性
实际滤波器的时域特性
s(t )
过冲 over shoot
ringing frequency 2 r
振铃
容差
1 1
2 tolerance

例
y1 (t )
y2 (t )
t0
x (t )
j H1 ( j )
t
x (t )
t
LTI H1 ( j )
jt
y1 (t )
LTI H 2 ( j )
y1 (t )
e
inear
e 0 Linear of 的线性函数
波形延迟
①
②
③
of
y3 (t ) y2 (t t0 )
1 2 3 0
1 4, 2 8, 3 12
1 4, 2 8, 3 12
1 6, 2 2 .7, 3 0.93
1 1.2, 2 4.1, 3 7.2
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面：
t 0

t0
B. 线性相位的效应 : 时延
x (t )
F
LTI H ( j )
x(t t0 )
F 1
X ( j)

e
jt0

X ( j )e
jt0
C. 非线性相位
H ( j ) t0
H ( j )
的非线性函数
D. 非线性相位的影响 : 改变信号的相对位置
第六章 信号与系统的时域和频域特性
6.1 傅里叶变换的模和相位表示
| X ( j ) | 幅度响应 e jX ( j ) 相位响应
上式说明一个信号所包含的全部信息分别包含在它的频谱的模 和相位中。
在实际应用中，不同的场合，对幅度失真和相位失真有不同的敏感 程度。例如：在对语音信号进行处理时，声音的幅值变化会严重影 响语音的质量，因此对幅度失真的要求比较高；而在图象处理中， 相位失真会严重影响图象的质量，因此对相位失真的要求比较高。
1.09
1 2
1
L ?不可实现
t
0
t

c c
h (t )
(t )
L
t

t

s (t )
t
?不可实现
0

1.09
1 2
c
u (t )

c c
t
L
1
0
?不可实现
t
理想低通滤波器的阶跃响应：
1、理想低通滤波器是不可实现的；
(1) 连续时间
1, | | c H ( j ) 0, | | c
d linear phase 线性相位 ( d (t0 ) t0 )
增加时延
| X ( j ) | e
j X ( j )
| X ( j ) | e
时移特性 time
j[ X ( j )t0 ]
X ( j ) x(t ) X ( j )e shifting
1、改变输入信号各频率分量的幅度；
2、改变输入信号各频率分量的相对相位。 LTI系统频率响应的模和相位表示：
h(t ) F H ( j )
Y ( j ) H ( j ) X ( j )
H ( j ) | H ( j ) | e jH ( j )
| H ( j ) | 幅度响应 e jH ( j ) 相位响应
如果相位特性的斜率不是整数，由于离散时间信号的时移量只能 是整数，需要采用其他手段实现，其含义也不再是原始信号的简 单时移。 A. 线性相位 : 线性函数
H ( j )
H ( j) | H ( j) | e j H ( j )
Linear Phase : H ( j) t0
2、尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。 但它们的时域特性并不是最佳的。
或 都有起伏、旁瓣、主瓣，表明时域特性与频域 特性不兼容。
理想低通滤波器与线性相位
(t )
h (t )
| H ( j ) |
L
c
0
t
c

?不可实现
t
u (t )

t


s (t )
c
H ( j ) Delay c c
2 (2 0) X ( j )2 相位: 信号各频率的相对 位置
C. 频度的影响:
X ( j )
| X ( j ) | x (t )

同相位


F 1
t
x (t )
变化更快
X ( j )


频率更高

F 1
t
D. 相位的影响: X ( j )
理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内， 频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。
滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（pass band）， 完全不允许信号通过的频段称为阻带（stop band）。 连续时间理想频率选择性滤波器：
连续时间特性
H (e j )
H (e j )
6.2.1 线性和非线性相位 一、线性与非线性相位 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号 波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只是信号在时间 上的平移。
若连续时间LTI系统:
则
这种失真并没有丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的 延迟，因而在工程应用中是允许的。 如果系统的相位特性是非线性的，不同频率分量受相位特性影响 产生的时移不同叠加起来一定会变成一个与原信号很不相同的信 号波形。 对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当 相位特性的斜率是整数时只引起信号的时间平移。
H (e j )
c 2
离散时间
c1
c1
c2

H (e j )
高 低
高



三、 理想滤波器的时域特性
以理想低通滤波器为例，由傅里叶变换可得：
对离散时间理想低通滤波器有：
如果理想低通滤波器具有线性相位特性：
从理想滤波器的时域特性可以看出：
1、理想滤波器是非因果系统。因而是物理不可实现的；
理想滤波器的选择性 低通 1 连续时间 H (e j )
c
c
通带
阻带 离散时间 低
2
阻带
H (e j ) 低
高 c 高 c
低
2

2
高通 连续时间
H (e j )
c
c

离散时间
H (e j ) 高

高wenku.baidu.com
3
2
低

低 2
3

3
带通滤波器 连续时间

1

2
低通滤波器
高通滤波器
H (e j )
0
3
0
带通滤波器

离散时间滤波器
H (e j )
低 低 高 高
1
低通
2

0

H (e j )
2

2
高通
2

0

H (e j )
2

3
带通
2

0

2

离散时间滤波器类型：
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。 离散时间理想滤波器的特性在 续时间滤波器特性完全相似。 区间上，与相应的连
对非线性相位系统，定义群时延为：
群时延说明了在以 为中心的一个很小的频带和很少的一组频率 上所受到的有效公共延时。
6.2.3 对数模和波特图 工程应用中，往往采用对数模特性（或称Bode图）来描述系统的 频率特性。在对数坐标下，采用对数模，可以对频率特性的表示 带来一些方便。 1、可以将相乘关系变为相加关系； 2、可以利用对数坐标的非线性，展示更宽范围的频率特性，并 使低频端展示的更详细而高频端相对粗略； 3、对连续时间系统，可以方便地建立模特性、相位特性的直线型 渐近线。 工程中应用的一般有两种对数模：
| H ( j ) |
幅度响应 : 增益/幅频特性
调整输入信号各频率分量的相对强度(幅度)关系
H ( j )
频率响应的相位响应 : 相移/相频特性
调整输入信号各频率分量的相对位置(相位)关系
H ( j )
频率特性/频率响应 调整输入信号各频率分量的相对大小(幅度)及位置(相位)关系
频率响应 :


xk e jk 2 t
1 jφ1 1 jφ2 1 jφ3 a 0 =1; a1 = e ; a 2 = e ; a 3 = e 4 2 3 1 -jφ1 1 -jφ2 1 -jφ3 a -1 = e ; a -2 = e ; a -3 = e 4 2 3
1 2 3

x(t)的不同波形
| X ( j ) | e j X ( j )
d X ( j ) Delay 时延 : d

1 2 x(t ) 1 cos(2 t 1 ) cos(4 t 2 ) cos(6 t 3 ) 2 3

x(t )
k
B. 信号的幅度和相位 ( 只考虑实部的组成) 幅度
A1
相位
A2
A1 cos(1t 0)
t
A2 cos(2t 0)
t

A
A
A
A2' cos(2t 0) A A2' t
A2'
A2' cos(2t 2 )
t
A | X ( j ) | 幅度: 信号各频率分量的相 对大小
非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。
理想滤波器特征
通带绝对平坦，衰减为零 阻带平坦，衰减为
非理想滤波器特征
通带内允许有起伏，有一定衰减范围 阻带内允许有起伏，有一定衰减范围 有一定的过渡带宽度
无过渡带
非理想低通滤波器的容限可表示为 通常将偏离单位增益的 称为通带
起伏（或波纹），
纹）， 缘，
称为阻带起伏（或波
(2) 离散时间
1, | | c H ( j ) 0, c | |
sin ct h(t ) t
F
sin c n h[n] n
F
6.4 非理想滤波器
非理想滤波器就是要确定一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性
对理想特性逼近的越精确，实现时付出的代价越高，复杂程度也越大