正方形的判定PPT课件
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的四边形一Baidu Nhomakorabea是：（A ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
2
1
∠1+∠2=90°
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
例2、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
又∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定方法3
有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.
求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.
证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900,
∴四边形ABCD是矩形. A
D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
B
C
正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.
求证:四边形ABCD是正方形.
A
D
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
B
C
正方形的判定方法4
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
（ 正方形 ）
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F
而∠ACB=90°
B
D
A
∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形 )
∵ CD平分∠ACB DE⊥AC， DF⊥BC
∴ DE=DF(角平分线的定理 )
∴四边形ABCD是正方形（ 有一组邻边相等的矩形是正方形)
一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME （对顶角） ∴∠1＝∠2 又∵AD＝CD，∠ADF＝∠MDC=90°
∴Rt△ADF≌Rt△CDM (ASA) ∴DM=DF ∴∠MFD＝45°
4、对角线互相垂直的矩形是正方形.
5、对角线相等的菱形是正方形.
判断题:
× ×
×
(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ）
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （√ ）
(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形 EFGH是正方形吗?为什么?
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
3
2
1
例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分 别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH, 试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明: ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
O
B
C
归纳：正方形的5种判定方法
1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形
2、有一个组邻边相等的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形的判定
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、 平行四边形 一组邻边相等
一内角是直角
正方形
2、 菱形
一内角是直角
对角线相等
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC
又∵ AE=BF=CG=DH
∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∴ EH=EF=GF=HG
∵ ∠1=∠3．
3
又 ∠3+∠2=90°
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形
练习 3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
练习4 ．四个内角都相等，四条边也都相等
是正方形（ √ ）
(5)四个角都相等的四边形是正方形 (
)
(6)四条边都相等的四边形是正方形 (
)
1、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
练习2．四个内角都相等的四边形一定C是（
正方形
3、 矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
正方形的判定方法1：
定义:一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形是正方形
已知:四边形ABCD是平行四边形,∠A=900.AB=BC
求证:四边形ABCD是正方形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形A.
D
∵AC⊥BD,
O
∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900.
B
C
∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定方法5
对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形.
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
2
1
∠1+∠2=90°
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
例2、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上
又∵AB=BC,∴AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定方法3
有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.
求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.
证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=900,
∴四边形ABCD是矩形. A
D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
B
C
正方形的判定方法2：
有一个组邻边相等的矩形是正方形
已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.
求证:四边形ABCD是正方形.
A
D
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD.
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
B
C
正方形的判定方法4
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
（ 正方形 ）
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° F
而∠ACB=90°
B
D
A
∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形 )
∵ CD平分∠ACB DE⊥AC， DF⊥BC
∴ DE=DF(角平分线的定理 )
∴四边形ABCD是正方形（ 有一组邻边相等的矩形是正方形)
一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形 ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME （对顶角） ∴∠1＝∠2 又∵AD＝CD，∠ADF＝∠MDC=90°
∴Rt△ADF≌Rt△CDM (ASA) ∴DM=DF ∴∠MFD＝45°
4、对角线互相垂直的矩形是正方形.
5、对角线相等的菱形是正方形.
判断题:
× ×
×
(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ √ ）
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （√ ）
(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形 EFGH是正方形吗?为什么?
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
3
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1
例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分 别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH, 试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明: ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
A
D
O
B
C
归纳：正方形的5种判定方法
1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形
2、有一个组邻边相等的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形的判定
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
1、 平行四边形 一组邻边相等
一内角是直角
正方形
2、 菱形
一内角是直角
对角线相等
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC
又∵ AE=BF=CG=DH
∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∴ EH=EF=GF=HG
∵ ∠1=∠3．
3
又 ∠3+∠2=90°
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形
练习 3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点 能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
练习4 ．四个内角都相等，四条边也都相等
是正方形（ √ ）
(5)四个角都相等的四边形是正方形 (
)
(6)四条边都相等的四边形是正方形 (
)
1、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
练习2．四个内角都相等的四边形一定C是（
正方形
3、 矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
正方形的判定方法1：
定义:一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形是正方形
已知:四边形ABCD是平行四边形,∠A=900.AB=BC
求证:四边形ABCD是正方形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形A.
D
∵AC⊥BD,
O
∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900.
B
C
∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定方法5
对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形.