小学奥数之几何蝴蝶定理问题

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小学奥数几何篇五大模型——蝴蝶定理(附答案)

五大模型——蝴蝶模型例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD1，且AO=2，DO=3，那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积3度是DO的长度的倍例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求：（1）△OCF 的面积；（2）求△GCE的面积例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=3EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。

例4. 如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD 中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积例5. 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2，2，求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的3三角形BOC的面积之比。

例7. 如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积。

例8. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米例9. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米例10. 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？蝴蝶模型习题1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？答案【例1】因为AO : OC =S∆ABD : S∆BDC= 1: 3 ，所以OC = 2⨯3 = 6 ，所以OC : OD = 6: 3 = 2:1．解法二：作AH ⊥BD于H ，CG ⊥BD 于G ．因为S所以S ∆ABD=1S3=1S∆BCD，所以AH =1 CG ，3，∆AOD 3 ∆DOCAO =1CO ，3OC = 2⨯3 = 6 ，OC : OD = 6: 3 = 2:1．C【例2】⑴⑴BCD 的面积为2 + 4 + 4 + 6 =16 ，⑴BCO 和∆CDO 的面积都是16 ÷ 2 = 8 ，所以⑴OCF 的面积为8 - 4 = 4 ；⑴由于⑴BCO 的面积为8，⑴BOE 的面积为6，所以⑴OCE 的面积为8 - 6 = 2 ，根据蝴蝶定理，EG : FG =S∆COE : S∆COF= 2 : 4 = 1: 2所以S∆GCE : S∆GCF=EG : FG = 1: 2 ，S∆GCE =11+ 2S∆CEF=1⨯ 2 =2 ．33【例3】A DFB EC 连接EF ．因为BE = 2EC ，CF =FD ，所以S∆DEF = (1⨯1⨯1)S2 3 2ABCD=1S12ABCD．因为S∆AED =1S2ABCD，由蝴蝶定理，AG : GF =1 : 12 12= 6 :1 ，所以S∆AGD = 6S∆GDF=6S7∆ADF=6⨯1S74ABCD=3S14ABCD．所以S∆AGE =S∆AED-S∆AGD=1S2ABCD-3 S14ABCD=2S7ABCD=2，7【例4】A E DB C设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理EO : OC =S BED : S BCD ，而SBED =1S4ABCD，SBCD=1S2ABCD，所以EO : OC =SBED : SBCD= 1: 2 ，故EO =1EC ．3F 为CE 中点，所以EF =1 EC ，2故EO: EF = 2: 3，FO : EO =1: 2 ．由蝴蝶定理SBFD : SBED=FO : EO = 1: 2 ，所以SBFD =1S2BED=1S8ABCD，SBGD =1S2BFD=1S16ABCD=1⨯10⨯10 = 6.2516AOB BOC AOB DOC 梯形蝴蝶定理B① S 1 : S 3 C= a 2 : b 2② S : S : S : S = a 2 : b 2 : ab : ab ； 1 3 2 4 ③ S 的对应份数为(a + b )2【例 5】由梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 : ab = 25 : 35 ，可得 a : b = 5: 7 ，再根据梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 :b 2 = 52 : 72 = 25 : 49 ，所以S DOC = 49梯形 ABCD 的面积为25 + 35 + 35 + 49 =144【例 6】由蝴蝶定理， S AOB : S BOC = ab : b 2 = 2 : 3得a : b = 2: 3，S AOD : S BOC = a 2 : b 2 = 22 : 32 = 4 : 9O∆OCD ∆OCD【例 7】AF BDE C如图，连结 EF ，显然 ADEF 和 BCEF 都是梯形，于是 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积所以四边形 EGFH 的面积是11+ 23 = 34．【例 8】A DB C连接 AE ．由于 AD 与 BC 平行，所以 AECD 也是梯形，那么S ∆OCD = S ∆OAE ．据蝴蝶定理， S ∆OCD ⨯ S ∆OAE = S ∆OCE ⨯ S ∆OAD = 2 ⨯ 8 = 16 故 S 2 = 16 ，所以S = 4另解：在平行四边形 ABED 中， S ∆ADE =1 S2 ABED = 1 ⨯(16 + 8) = 12 2 所以S ∆AOE = S ∆ADE - S ∆AOD = 12 - 8 = 4根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯ 2 ÷ 4 = 4【例 9】A EBD连接 DE 、CF ． EDCF 为梯形，所以S ∆EOD = S FOC ，又根据蝴蝶定理， S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD 所以S ∆EOD = 4 ， S ∆ECD = 4 + 8 = 12ABCD 面积为12⨯2 = 24S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD = 2 ⨯ 8 = 16 ，四边形OFBC 的面积为24 - 5 - 2 -8 = 9 (平方厘米)．【例 10】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为 18 份阴影部分占了其中 8 份，所以阴影部分的面积 8 ⨯ 6 = 8 ．183∆ AOD ∆ AOD ∆BOC123作业题答案1.AD FBEC连接 AE ， FE ．因为 BE : EC = 2: 3 ， DF : FC =1: 2 ，所以S = (3 ⨯ 1 ⨯ 1)S = 1S． DEF 5 3 2长方形ABCD10 长方形ABCD 因为S= 1 S ， A G : GF = 1 : 1= 5 :1，所以S = 5S = 10 平方厘米，所AED2 长方形ABCD 2 10AGD GDF 以 S = 12 平方厘米．因为S = 1S ，所以长方形 ABCD 的面积是72 平方 AFD厘米．2.AFDA D6 长方形ABCDBC根据梯形蝴蝶定理， a : b =1:1.5 = 2: 3 ， S : S = a 2:b 2 = 22 : 32 = 4 : 9 ，所以S = 4(cm 2 ) ．3.O 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，所以 1 的面积就是36 ⨯44 + 5= 16 ，3 的面积就是 36 ⨯54 + 5= 20 ．4.ADBEC因为连接 ED 知道⑴ABO 和⑴EDO 的面积相等即为54 ，又因为OD ⑴OB =16⑴9 ,所以 ⑴AOD 的面积为54 ÷ 9⨯16 = 96 ，根据四边形的对角线性质知道：⑴BEO 的面积为：54⨯54 ÷ 96 = 30.375 ，所以四边形OECD 的面积为： 54 + 96 - 30.375 =119.625 (平方厘米).5.BM C由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，∆BDK 和∆ACK 的面积是相等的．而 AK : KB =1: 3 ，所以∆ACK 的面积是∆ABC 面积的 1 = 1 ，那么∆BDK 的面积也是∆ABC 面积的 1．1+ 3 4 4由于∆ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且 AM = DE ，可见∆ABM 和∆ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以∆ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等，为 48．那么∆BDK 的面积为48⨯ 1= 12 ．4。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

AB C DOH GA BC D O【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

小学奥数蝴蝶定理(1) 知识点+例题+练习 (分类全面)

C
B O
A
D
6
3、如图，BD，CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，红色三角形面积是 4 平方厘米，黄色三角形面积是 6 平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？
A
F 红
D
绿E
黄
B
C
4、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米，求阴影部分的面积。
F
E
G A
Aห้องสมุดไป่ตู้
B
G
F
D
E
C
例 6、正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 厘米和 4 厘米，三角形 ACG 的面积是多少平方厘米？
A
B
G F
D
E
C
4
如图，小正方形的边长 6 厘米，阴影部分面积多少平方厘米？
例 7、已知三角形 ABC 的面积是 64 平方厘米，是平方四边形 DEFC 面积的 2 倍，求阴影部分的面积。
C
2、
即 S =S △ADO △BCO
在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 分成了四个三角形（如图），
这四个三角形的面积分别记为：S1 、S2 、S3 、S4。
B
A
S1
S3 O
S2
S4
D
C
则它们的关系是：
S1×S4 =S2×S3 即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
1
例 1、如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是 3 平方厘米，△ DOC 的面积是 9 平方厘米，梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？
B甲C
乙
D
5、正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 8 厘米，则图中阴影（三角形 BDF）部分的面积为多少平方厘米？

小学奥数几何模型之蝴蝶模型+沙漏模型非常完整版讲义例题+作业带答案

小学几何模型之蝴蝶模型准备练习梯形中的蝴蝶模型梯形的两个翅膀相等。

左=右例题1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形AOD 与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。

△AOB的面积为24cm2△BOC的面积：24×24÷16=36（cm2）梯形ABCD的面积：16＋24＋24＋36=100（cm2）练习1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形DOC 与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。

△AOB的面积为35平方厘米△AOD的面积：35×35÷49=25（cm2）例题2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。

连接EF四边形EGFH的面积：7＋9=16（cm2）练习2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。

连接EF四边形EGFH的面积：24＋17=41（cm2）风筝模型例题3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。

已知其中三个小三角形的面积，求三角形CDG的面积。

△CDG的面积：3×8÷4=6（cm2）练习3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。

已知其中三个小三角形的面积，求三角形ABG的面积。

△ABG的面积：8×6÷12=4（cm2）例题4如图：四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米，求三角形BOC的面积。

OC:OA=50:30=5:3△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:3△BOC的面积为:48÷（5＋3）×5=30（cm2）练习4如图：一个园林形状如四边形ABCD，现测得三角形BCD的面积是25公顷，三角形ABC 的面积是24公顷，三角形ABD的面积是15公顷。

奥数经典蝴蝶模型,小学毕业考试拉分题

奥数经典蝴蝶模型,小学毕业考试拉分题在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①；②；③S ABCD的对应份数为(a＋b)2。

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果。

已知正六边形ABCDEF的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？如图，梯形ABCD中，△AOB、△COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积。

梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是12cm2，问三角形AOD 的面积是多少？如下图平行四边形被分成4块，其中两块面积为7和4，那么阴影部分面积为_____。

如图，ABCD是平行四边形，BC＝2CE，DF是FC的几倍？(第七届中环杯五年级决赛)如图，ABCD是梯形，AB∥CD，对角线AC、BD 相交于O点，OE∥AB，交腰BC于E点。

如果三角形OBC的面积是115cm2，那么三角形ADE的面积是( )cm2。

测试题1．梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比。

2．如图，在长方形中，，，，求阴影部分的面积。

3．(年第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级决赛)如图，长方形中，厘米，厘米，对角线和交于，四边形的面积是平方厘米，则阴影部分面积的和为平方厘米。

4．如图，和是两个正方形，和相交与，已知等于的三分之一，三角形的面积等于平方厘米，求五边形的面积。

小学几何之蝴蝶定理

小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。

它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们解开许多几何谜题。

蝴蝶定理的名字听起来是不是很有趣？就好像一只美丽的蝴蝶在几何图形中翩翩起舞。

那到底什么是蝴蝶定理呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。

想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。

在这个四边形中，相对的两个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。

比如说，我们有一个四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。

那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积之积。

可能你会觉得有点抽象，那我们通过一个具体的例子来感受一下。

假设四边形 ABCD 是一个平行四边形，AB 平行于 CD，AD 平行于BC。

AC 和 BD 相交于点 O。

因为平行四边形的对边相等且平行，所以三角形 ABC 和三角形 ADC 的面积相等。

又因为三角形 AOB 和三角形BOC 分别以 AO 和 OC 为底边时，它们的高相同，所以三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之比就等于 AO 与 OC 的长度之比。

同样的道理，三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之比也等于 AO 与OC 的长度之比。

这就意味着三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之积，这正是蝴蝶定理的体现。

蝴蝶定理在解决一些几何问题时非常有用。

比如，当我们已知四边形中某些部分的面积，要求其他部分的面积时，就可以运用蝴蝶定理来找到答案。

再比如，如果我们知道了两个三角形的面积关系，以及对角线的交点位置，也可以通过蝴蝶定理求出整个四边形的面积。

那小朋友们在学习蝴蝶定理的时候，可能会遇到一些困难。

这是很正常的，因为几何需要我们有一定的空间想象力和逻辑思维能力。

不过别担心，我们可以通过多做一些练习题，多画一些图形来帮助自己理解。

小学奥数之蝴蝶定理

小学奥数---蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CBEFDA1）Hh C c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

小学蝴蝶定理试题及答案

小学蝴蝶定理试题及答案本文提供一系列小学蝴蝶定理试题及其答案，帮助小学生们更好地理解和应用这一定理。

蝴蝶定理是数学中的一个重要概念，它通过图形的平移和旋转变换，将抽象的数学概念与具体的图像进行了有机结合，为小学生们的数学学习提供了更直观的认知方式。

以下是一些相关的试题和详细的答案解析讲解。

题目一：请根据给定的图形判断蝴蝶定理中所学的几何变换类型。

A. 平移变换B. 旋转变换C. 缩放变换D. 对称变换答案一：B. 旋转变换解析一：根据题目中的图形，我们可以很明显地看到图形发生了旋转变换。

蝴蝶定理中的旋转变换是指将图形围绕一个中心点旋转一定角度，使得图形保持形状不变。

因此，选项B是正确答案。

题目二：将下列图形中的一个蝴蝶图形进行平移变换，使得其与另一个蝴蝶图形重合。

A. (图形A)B. (图形B)C. (图形C)D. (图形D)答案二：C. (图形C)解析二：根据题目要求，我们需要找到一个图形进行平移变换，使得其与另一个图形重合。

通过观察，我们可以发现图形C和图形B是相同的，只是位置不同。

因此，我们可以将图形C进行平移变换，使其与图形B重合。

因此，选项C是正确答案。

题目三：根据给定的图形，选择下列四个图形中提示的变换类型。

A. 平移变换B. 旋转变换C. 缩放变换D. 对称变换答案三：A. 平移变换解析三：根据题目中的图形，我们可以看到图形发生了整体性的水平平移。

蝴蝶定理中的平移变换是指将图形沿着平行于坐标轴的方向上进行移动，图形的形状和大小不发生改变。

因此，选项A是正确答案。

题目四：根据给定的图形，选择下列四个图形中提示的变换类型。

A. 平移变换B. 旋转变换C. 缩放变换D. 对称变换答案四：D. 对称变换解析四：根据题目中的图形，我们可以看到图形发生了关于直线对称的变换。

蝴蝶定理中的对称变换是指通过一个直线将图形分为两部分，分别关于该直线对称。

因此，选项D是正确答案。

结语：通过以上试题和答案解析，我们希望帮助小学生们更好地理解和应用蝴蝶定理。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。

蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。

设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。

那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。

这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。

我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。

下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。

例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。

如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。

又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。

因此，三角形ADC的面积也是24cm²。

例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。

如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。

又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。

因此，三角形ADC的面积是25cm²。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。

蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。

二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。

解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。

2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。

解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。

3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。

解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。

小学奥数几何模型之蝴蝶模型例题+作业带答案

小学奥数几何模型之蝴蝶模型例题+作业带答案小学几何模型之蝴蝶模型在这一节中，我们将介绍蝴蝶模型的几何形状，并通过例题和练来帮助大家更好地理解和掌握这一模型。

梯形中的蝴蝶模型蝴蝶模型通常出现在梯形中，其中梯形的两个翅膀相等，即左边等于右边。

例题1下面是一道关于梯形的例题：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形AOD与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。

解题思路：首先，我们可以计算出△AOB的面积为24平方厘米。

接着，根据相似三角形的性质，我们可以得到△BOC的面积为36平方厘米。

最后，将所有三角形的面积相加，即可得到梯形ABCD的面积为100平方厘米。

练1现在是你们自己来练的时间了。

在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。

已知三角形DOC与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。

解题思路：首先，我们可以计算出△AOB的面积为35平方厘米。

接着，根据相似三角形的性质，我们可以得到△AOD的面积为25平方厘米。

例题2下面是一道关于长方形的例题：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。

解题思路：我们可以通过连接EF来得到四边形EGFH。

接着，将已知的三角形面积相加，即可得到四边形EGFH的面积为16平方厘米。

练2现在是你们自己来练的时间了。

长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。

已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。

解题思路：我们可以通过连接EF来得到四边形GEHF。

接着，将已知的三角形面积相加，即可得到四边形GEHF的面积为41平方厘米。

风筝模型除了蝴蝶模型，风筝模型也是几何学中常见的模型之一。

例题3下面是一道关于不规则四边形的例题：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。

小学奥数之几何蝴蝶定理问答

几何之蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CFEADBCBEFDA1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

五年级几何奥数专题之第一讲蝴蝶模型(含答案)

五年级几何奥数专题之第一讲蝴蝶模型（含答案）一、知识点：1、理论依据同底等高的三角形面积相等2、解题步骤找到相关的平行线锁定相关的梯形利用蝴蝶定理求解3、关系式蝴蝶两个翅膀面积相同上下两个三角形之积等于左右两个三角形之积即“头×尾＝翅膀×翅膀”二、学习目标1、我能够熟练运用等积变形，解决图形的面积问题。

2、我能够熟练运用“头×尾＝翅膀×翅膀”的关系，解决与梯形相关的面积问题。

三、课前练习：1、如图，在梯形ABCD 中，AD 平行于BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，请找出面积相等的三角形：ADB S △＝_________；ABC S △＝_________；ABO S △＝_________。

2、如图，在梯形ABCD 中，如果三角形AOB 的面积为29平方厘米，那么三角形COD 的面积是_________平方厘米。

3、如图所示，正方形ABCD 的对角线BD 长20厘米，BEFD 是长方形。

那么，五边形ABEFD 的面积是_________平方厘米。

四、典型例题例题1如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC与BD相交与点O，三角形的面积如图所示（单位：平方厘米），则阴影部分的面积是多少平方厘米？练习1（1）如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC与BD相交与点O，三角形的面积如图所示（单位：平方厘米），则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？（2）如图，在梯形ABCD中，三角形的面积如图所示（单位：平方厘米），则阴影部分的面积是多少平方厘米？例题2如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC与BD相交与点O，三角形的面积如图所示（单位：平方厘米），则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？练习2如图，直角梯形ABCD的上底与高相等，正方形DEFH的边长等于6厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题3如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，三角形DEF的面积是5平方厘米，三角形CED 的面积是10平方厘米。

六年级奥数蝴蝶模型

蝴蝶模型一、蝴蝶模型与任意四边形在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：OC AOS S BOC AOB =∆∆ OC AOS S COD AOD =∆∆ COD AODBOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴2431S S S S =即4321S S S S ⨯=⨯∴二、蝴蝶模型与梯形①②推导：① 同上② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作△BCD 的高2h BC AD //21h h =∴（两平行线之间高相等）121h BC S ABC ⨯⨯=∆221h BC S BDC ⨯⨯=∆B DC A B C S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴三、蝴蝶模型与平行四边形（一） ①②推导：① 同上② BCD ABC S S ∆∆= A C D B C D S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =即：对角平行四边形面积乘积相等（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点MEM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21EM OG S S ⨯==∴1平行四边形121S S O G E=∴∆同理可得：321S S OGF =∴∆ 221S S O F H =∆ 421S S E O H =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯432121212121S S S S ⨯=⨯∴4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形（一）①②即：对角长方形面积乘积相等五、蝴蝶模型与正方形“子母图”——两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

小升初奥数几何(蝴蝶模型)

S4
S3 B
① S2 S4 ② S1 : S3 a 2 : b2 ③ S1 : S3 : S2 : S4 a 2 : b2 : ab : ab ④ S 的对应份数为 a b ．
2
b
C
基础篇：【一】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为 1 平方千米， △BOC 面积为 2 平方千米， △COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6.92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
A 2 B C 1 G 3 D
【分析】 ⑴根据蝴蝶定理， S
BGC
1 2 3 ，那么 S
BGC
6；
⑵根据蝴蝶定理， AG : GC 1 2 : 3 6 1: 3 ．【三】图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。
C
B O A D
【分析】根据蝴蝶定理求得 S△ AOD 3 1 2 1.5 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是
1 2 3 1.5 7.5 平方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58 平方千米
【二】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求： ⑴三角形 BGC 的面积；⑵ AG : GC ？
米)， SECD 4 8 12 (平方厘米)．那么长方形 ABCD 的面积为 12 2 24 平方厘米，四边形 OFBC 的面积为 24 5 2 8 9 (平方厘米)．
【八】如图，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米， M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积． C B

五年级奥数.几何.蝴蝶模型(A级).学生版

四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：O DCBA s 4s 3s 2s 1①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO ba S 3S 2S 1S 4一、任意四边形【例 1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角例题精讲知识框架蝴蝶模型形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【巩固】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【例 2】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【巩固】一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？【例3】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC=？CB【巩固】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO=，3DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．OA DCB。

小学蝴蝶定理公式面积证明过程

小学蝴蝶定理公式面积证明过程一、蝴蝶定理是什么？说到蝴蝶定理，你是不是想到了什么五彩斑斓的蝴蝶飞舞在阳光下？哈哈，别急，这个“蝴蝶”可不是我们在花丛中看到的那种漂亮的小生物。

它其实是一个几何图形的名字，看似简单，却有点“深奥”。

蝴蝶定理指的是，如果你在一个平行四边形内画两条对角线，把它们交点连成一个“蝴蝶形”的图案，那么这个图案的面积竟然有一个固定的计算公式。

是不是有点神奇？就像你做数学题的时候总是能巧妙地发现一些小秘密，蝴蝶定理也是这么巧妙。

话说回来，这个定理不仅仅是数学家用来做高难度研究的工具，咱们小学生也能学会。

你可以把它当作一块巧克力，一点点解开它，结果发现每一步都很有意思。

哦对了，不要被它的名字吓到，蝴蝶定理可比一只飞翔的蝴蝶简单多了，今天咱们就来聊聊它的面积公式证明过程。

二、定理的证明步骤1. 咱们画一个平行四边形。

这玩意儿很简单，不用担心。

你拿出一把直尺，画出两个对边平行的线段，连起来就好了。

说白了，平行四边形其实就是四条边构成的一个“侧卧矩形”，只是它的角不一定是直角，懂了吗？画出两条对角线，它们会在平行四边形的中心相交，形成一个交点。

是不是有点像蝴蝶的翅膀？交点就像蝴蝶的身体，连接两对翅膀。

2. 咱们用一个巧妙的办法来计算蝴蝶形图案的面积。

我们要做的第一步，就是把这个平行四边形分成两个三角形。

这两个三角形的面积不是随便得来的哦，咱们要利用对角线的交点来找出它们的具体位置。

一个三角形在对角线的一边，另一个则在对角线的另一边。

然后，我们通过简单的计算得出每个三角形的面积。

想想看，面积的计算其实也没什么难度，不就是底×高÷2嘛。

3. 你可能会觉得，光是这些简单的计算怎么可能得出一个什么“大定理”呢？哈哈，这里可有玄机。

通过把两个三角形的面积加起来，咱们发现，这两个三角形的面积加在一起，正好等于那个蝴蝶形的总面积。

而且你会发现，无论你怎么改变平行四边形的形状，最后的总面积都是一样的！是不是觉得特别神奇？这就是蝴蝶定理的魅力所在啦。

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