音乐中的数学之美

音乐中的数学之美

摘 要：本文分别从音乐的乐理、乐曲结构、和声、乐器等方面阐述了数学与音乐的联系，以及数学在音乐领域发挥的巨大作用。提出音乐与数学并非偶然地融合，而是以感性和理性的不同方式共同描述世界。

关键词：律制；黄金分割；频率

1 引言

音乐是表现心灵和情感的艺术，数学是抽象思维的结晶。有史以来，音乐和数学一直被联系在一起，相互促进，相辅相成。在中世纪，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中，曾一度认为音乐是数学的一部分。时至今日，飞速发展的计算机和信息技术正在使数学与音乐之间的联系更加紧密。

2 音乐与数学结合的起源

最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有机结合起来。他们发现乐声的协调与所联系的整数之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度；他们还发现协和音由长度与原弦长的比为整数比的弦给出。其实被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，由不同的整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。例如从一根产生音C 的弦开始，接着C 的长度的16/15给出B ，C 的长度的6/5给出A ，C 的4/3给出G ，C 的3/2给出F ，C 的8/5给出E ，C 的16/9给出D ，C 的2/1给出低音C 。

五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律。它根据第一、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音。纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁代丘明传谱的《碣石调幽兰》中已有体现，其中古琴的七弦十三徽上均已使用泛音技法。纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的几个大三和弦确定诸音高。直至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率由等比数列通项公式1n 1n -=q a a 确定，公比q =1.05946，是2开12次方的算术根。

3 乐理中的数学规律

在音乐的乐理方面，音程转位遵循了数学规律。对单音程而言，原音程及其转位音程的度数之和为9；在音符方面，小于全音符的诸音符由除法确定，如二分音符为全音符的1/2，四分音符为全音符的1/4。拍子是拍的分组，如3/4拍子是以全音符的1/4为1拍，每小节有3拍，即3⨯1/4=3/4，而6/8拍子可认为以全音符的1/8为一拍，每小节有6拍，即6⨯1/8=6/8，也可理解为以全音符的1/8为一拍的1/3，每小节2拍，则有2⨯1/8⨯3=6/8，即复二拍子。3/4和6/8在作为分数来看时，数值是相等的，这说明它们每小节所包含全音

符的数量相同，都为0.75，但它们写法不同，则说明彼此强弱律动仍有差别。

4 乐曲结构与黄金分割

如今在音乐的作曲方面，人们最推崇的莫过于对称和黄金分割之美。对称的实质是一种平衡，反映在数学上就是1:1。由上下句构成的乐段，由起承转合四部分构成的作品，由四个乐章构成的交响曲，都体现了造型的对称美。而黄金分割则是另一种美妙的比例关系，它反映在几何学上，是把线段L 分成两段，使其中较长段x 为全段与较短段（L-x ）的比例中项，即满足等式L:x=x:（L-x ）。解此方程，得到x=0.618034……倍L 。由于这一比例无比美妙，古希腊人就用“黄金”为之命名。人体的双眼、双耳、双手、双足体现出对称美，而肚脐在身高的0.618处，上肢长度约为下肢长度的2/3等，均体现了黄金分割之美。而这一黄金比值频频用于音乐创作之中，则是二十世纪后的事情了。巴托克的顶峰之作《弦乐、打击乐与钢片琴的音乐》可以说是这类作品的典范。这部作品的第三乐章，总长为89小节并分为A 、B 、A 三个部分。其中A 部分与其后面的长度分别为34小节与55小节；A 部分的第一主题与第二主题长度分别为21小节与13小节；B 部分的高潮两段长度为13小节与21小节；B 部分与再现部的长度分别为34小节与21小节；再现部第一、二主题的长度又分别为13小节与8小节等等。这些各有机部分之间的小节数比分别为34:55、13:21、21:34、8:13等，均符合黄金分割的比例，而8、13、21、34、55、89等小节数数字本身，则均含于黄金分割的另一种形式——斐波那契数列（即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且从第三项起每项均为前两项之和）。这个数列前两项之比1:1反映对称关系，而自第三项起，每相邻两项之比如2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黄金分割的比例关系，且愈往后精确度愈高。由此可认为，上述乐曲的结构明显受斐波那契数列的制约。巴托克的另一首作品《对比》第三乐章之中的piu Mosso 一段，其中结束段落长为21小节，拍号称记为8+5/8，以八分音符为基本单位拍，每小节13拍而又以八个与五个单位拍各为一组，两个主要节奏型的音符数非5（3+2）即8（5+3）。从5、8、13、21等数可明显看出，其结构及节奏型均受制于斐波那契数列，由此可知其与斐波那契数列的密切关系。

5 和声的傅立叶分析

19世纪，数学家傅立叶的研究将人们对音乐的物理本质的认知推向了顶峰。我们在物理学中知道，一个音叉所发出的声音，其图像就是一个正弦函数，如()πt .t x 400sin 0010=。任何乐声的图像都是周期性的图像，它有固定的音高和频率。而傅立叶定理指出，任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形式，如任何一个周期函数()t f 都可表示为= ()()。，即n n n nx t f nx b nx a a t f ϕ+=++=∑∑∞=∞=sin A )(sin cos 2)(1

n n 1n 0其中频率最低的一项为基本音，其余的为泛音。由公式知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波。傅立叶证明了所有的乐声——不论管乐还是声乐，都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦函数的和。

根据傅立叶定理，每个乐音都可以分解成一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。假设do 的频率是f ，那么它可以分解成频率为f ，f 2，f 3，f 4，……的谐波的叠加，即⋯⋯++⋯⋯++=nx x x t f sin 2sin sin )(1；同理，高音do 的频率是f 2，同样可以分解为频率为f 2，f 4，f 6，f 8，……的谐波的叠加，即