数值分析习题含答案

第一章 绪论

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习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1若误差限为5

105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*

103400.0-⨯=x ，325*

102

1

1021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。 2

14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*

π具有4位有效数字，必需

41*1021

-⨯≤-ππ，3*3102

11021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π

即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）

解：3*

1021-⨯≤

-a

a ，2*102

1

-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102

1

10211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a

故b a +至少具有2位有效数字。

2

123*****102

1

0065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知

δ=-*

*x

x x ，则误差为 δ=-=

-*

**ln ln x

x x x x

则相对误差为

*

*

**

*

*

ln ln 1ln ln ln x

x

x x x

x

x x δ

=

-=

-

5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*

=，已知

cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v

2π=的绝对误差限与相对误差

限。（误差限的计算） 解：

*

2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ

绝对误差限为

π

ππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v

相对误差限为

%420

120525)

5,20()

5,20(),(2

==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求n

x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：

%*

*a x x x =-，

)%(*

****

*na x

x x n

x

x x y

y y n

n

n =-≤-=

-

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为334)(r r v ⋅⋅=

π，3**3

4

)(r r v ⋅⋅=π 欲使

%13

3

4

4)

()()(*

*3**

2***=-=⋅⋅-⋅⋅=

-r r r r r r r r v r v r v ππ，必须

%3

1

*

*=-r r r 。 8设⎰-=1

1

dx e x e

I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计

算方法的比较选择）

解：11

11

10

110

11

1

11][-------=-=-==⎰⎰⎰n x n x

n x n

x n n nI dx e x ne

dx e x

n e

x e de x e

I 1

11

1

01)1(----=-==⎰e e e dx e e

I x 如果初始误差为*

000I I -=ε，若是向前递推，有

02

21*11*!)1()1()1()1()1(εεεεn n n n nI nI I I n

n n n n n n n -==--=-=---=-=---- 可见，初始误差0ε的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推n n I n

n I 1

11-=

-，其误差为 n n n I I εεεε!

)1(211)1(11)1111()1111(221*110-==⋅-=-=---= 可见，初始误差n ε的绝对值被逐步减少了。

第二章 插值法

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