2018湖南怀化市中考数学试卷及答案解析

2018年湖南省怀化市初中毕业、升学考试
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018湖南省怀化市，1，4分） -2018的绝对值是( )
A ．2018
B ．-2018
C ．
2018
1
D ．2018± 【答案】A
2 .（2018湖南省怀化市，2，4分）如图，直线a//b ，1∠＝︒60，则2∠＝( )
A ．︒30
B ．︒60
C ．︒45
D ．︒120
【答案】B
3．（2018湖南省怀化市，3，4分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列。

行程
最长，途径城市和国家最多的一趟专列全程长13000km ，将13000用科学记数法表示为( ) A ．13×310 B ．1.3×310 C ．13×410 D ．1.3×410
【答案】D
4．（2018湖南省怀化市，4，4分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
【答案】D
5．（2018湖南省怀化市，5，4分）下列说法正确的是（ ）
A ．调查舞水河的水质问题，采用抽样调查的方式
B ．数据2，0，-2，1，3的中位数是-2
C ．可能性是99％的事件在一次实验中一定会发生
D ．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生 【答案】A
6．（2018湖南省怀化市，6，4分）使3-x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≤3 B ．x <3 C ．x ≥3 D ．x >3 【答案】C
7．（2018湖南省怀化市，7，4分）二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+22
y x y x 的解是（ ）
A ．⎩⎨⎧-==20y x
B ．⎩⎨⎧==20y x
C ．⎩⎨⎧==02y x
D ．⎩
⎨⎧=-=02
y x
【答案】B
8．（2018湖南省怀化市，8，4分）下列命题是真命题的是（ ）
A ．两直线平行，同位角相等
B ．相似三角形的面积比等于相似比
C ．菱形的对角线相等
D ．相等的两个角是对顶角 【答案】A 9．（2018湖南省怀化市，9，4分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h ，它以最大航速沿江顺流航行100km
所用时间，与以最大航速逆流航行80km 所用时间相等，设江水的流速为v km/h ，则可列方程为（ ）
A ．
30100+v ＝3080-v B ．v v +=-308030100 C ．v v -=+308030100 D ．30
80
30100+=-v v 【答案】C 10．（2018湖南省怀化市，10，4分）函数3-=kx y 与x
k
y =
（0≠k ）在同一坐标系内的图像可能是（ ）
【答案】B
【解析】因为当0>k 时，3-=kx y 过一、三、四象限，反比例函数x
k
y =过一、三象限， 当0<k 时，3-=kx y 过二、三、四象限，反比例函数x
k
y =
过二、四象限． 所以B 正确，故选B ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 11．（2018湖南省怀化市，11，4分） 因式分解：=+ac ab _________． 【答案】)(c b a +
12．（2018湖南省怀化市，12，4分）计算：a 2∙=a 3________． 【答案】5a
13．（2018湖南省怀化市，13，4分） 在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，
3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为奇数的概率是________． 【答案】
5
3 14．（2018湖南省怀化市，14，4分）关于x 的一元二次方程022=++m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是________． 【答案】1
15．（2018湖南省怀化市，15，4分）一个多边形的每一个外角都是︒36，则这个多边形的边数为________． 【答案】这个多边形的边数是：1036360=︒÷︒．故答案为10． 16．（2018湖南省怀化市，16，4分）根据下列材料，解答问题． 等比数列求和：
概念：对于一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…（n 为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的
比为一定值，即q a a k k =-1
（常数），那么这一列数a 1，a
2，a 3，…，a n ，…这一列数成等比数列，这一
常数q 叫做该数列的公比。

例：求等比数列1，3，23，33，…，1003的和． 解：令1003233331+++++=ΛS 则101432333333+++++=ΛS 因此，1-3
-3101
=S S ，所以，2
1
3101-=S 即2
1
-33
3331101100
32
=+++++Λ 仿照例题，等比数列1，5，25，35，…，20185的和为________． 【答案】4
1
-52019=
S 【解析】令20183255551+++++=ΛS ○
1，则 2019432555555+++++=ΛS ○
2， 由○
2-○1得，1-542019
=S ，所以4
1
-52019=S
三、解答题（本大题共8小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2018湖南省怀化市，17，8分）计算：1)21
(13)2(30sin 2-+-+--οοπ
解：1)21
(13)2(30sin 2-+-+--οοπ
＝2×21
-1+2+2
＝2+2
18．（2018湖南省怀化市，18，8分）解不等式组⎩⎨⎧->-+≤+1
3)1(57
233x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：⎪⎩
⎪
⎨⎧->-+≤+13)1(57233x x x x 解不等式○
1：3-723≤-x x 4≤x 解不等式○
2：1355->-x x 1535->-x x 42>x 2>x 所以不等式的解集为：42≤<x
19．（2018湖南省怀化市，19，10分）已知：如图，点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB//DC ，AB ＝CD ，D B ∠=∠
（1）求证：∆ABE ≅∆CDF ；
（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG ＝5，求AB 的长．
解：（1）证明：∵AB//DC ∴CFD AEB ∠=∠，又∵D B ∠=∠，AB ＝CD ，∴在∆ABE 和∆CDF 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠,,
,CD AB D B CFD AED ∴∆ABE ≅∆CDF(AAS)
（2）∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，∴线段EG 为CDF ∆的中位线，根据三角形中位线的
性质定理，可得：CD EG 21
=，又∵∆ABE ≅∆CDF ∴AB ＝CD ∴52
1
21===AB CD EG ，
∴
52
1
=AB ，即10=AB ． 20．（2018湖南省怀化市，20，10分）某学校积极相应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A ，B
两种树苗，共21棵，已知A 种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购买A 种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．
（1）求y 与x 的函数表达式，其中210≤≤x ；
（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
解：（1）设购买A 种树苗x 棵，则购买B 树苗（21-x ）棵，由已知得，147020)21(7090+=-+=x x x y （x 为
整数且210≤≤x ）
（2）由已知得：（21-x ）<x ，解得：2
21
<
x ．∵147020+=x y 中得20>0，∴当0=x 时，y 取最小值，最小值为1470．
答：费用最省得方案为购买A 种树苗0棵，B 种树苗21棵，此时所需费用为1470元．
21．（2018湖南省怀化市，21，12分）为弘扬中华传统文化，我你市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外
兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图， 请根据图中的信息，完成下列问题；
（1）学校这次调查共抽取了_______名学生； （2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为________； （4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
解：（1）设学校共抽取了y 名学生，则有1010
=y ％，得出y ＝100，即学校共抽取了100名学生．
（2）设喜欢民乐的有x 人，则有
20100
=x
％，则x ＝20 （3）︒360×10％＝︒36
（4）2000×25％＝500（名）
22．（2018湖南省怀化市，22，12分）已知：如图，AB 是ʘ O 的直径，AB ＝4，点F ，C 是ʘ O 上两点，连接
AC ，AF ，OC ，弦AC 平分∠FAB ，BOC ∠＝︒60，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ，垂足为点D ． （1）求扇形OBC 的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD 是ʘ O 的切线．
解：（1）BOC ∠＝︒
60，直径AB ＝4，即半径等于2，∴扇形OBC 的面积＝ππ3
2
3602602=⨯
（2）证明：∵R OC OA == ∴OCA OAC ∠=∠．又因为CA 平分BAF ∠，所以FAC OAC ∠=∠，
于是OCA FAC ∠=∠，所以OC //AD ．又因为AD CD ⊥，所以OC CD ⊥，故CD 是ʘO 的切线． 23．（2018湖南省怀化市，23，12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，点E 为CD 边上一点，AE 与
BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件________，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作ʘ O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不
写做法)；
（3）在（2）的条件下，ʘ O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE ＝4，sin ∠AGF ＝
5
4
，求ʘ O 的半径．
解：（1）令AD ＝BC ，又∵AD//BC ，根据平行四边行的判定定理，∴四边形ABCD 是平行四边形．
（2）∵ʘ O 交边AD 于点F ，∴点F 为圆上一点，∴︒=∠90AFG ，因为AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线，AD//BC ，所以︒=∠+∠90EBA EAB ，即得，在AEB ∆中，︒=∠90AEB
又∵AE 为DAB ∠的角平分线，∴EAB FAG ∠=∠，所以在三角形AFG 和三角形AEB 中，有
AEB AFG ∠=∠，EAB FAG ∠=∠，∴AFG ∆∽EAB ∠，∴sin ∠AGF ＝
AB AE ＝sin ABE ∠＝5
4
，已知AE ＝4，所以可得出直径AB ＝5，即半径等于2.5．
24．（2018湖南省怀化市，24，14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y ++=22与x 轴交于A （-1，
0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；
（2）请在y 轴上找一点M ，使∆BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；
（3）试探究：在抛物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若
存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点A （-1，0）和B （3，0）代入抛物线c x ax y ++=22中，可得○1：2=+c a ，○2：69-=+c a ○
2-○1得：88-=a ，所以1-=a ．然后把1-=a 代入○1可得：3=c ． 把1-=a 和3=c 代入c x ax y ++=22，得出抛物线解析式：322++-=x x y 因为抛物线与y 轴相交，令0=x ，则3=y ，所以，点C 的坐标为（0，3），
设直线AC 的解析式为b kx y +=， 则⎩⎨⎧==+-30
b b k ，
解得⎩
⎨⎧==33
b k ．
所以，直线AC 的解析式为33+=x y ；
（2）过点D 作y DD ⊥1轴于点F ，使F D DF 1=,则1D 为点D 关于y 轴的对称点．连接1BD 交y 轴
于点M ，则点M 为所求，
过点D 作y DD ⊥1轴于点F ，F D DF 1=，D 点为抛物线的顶点，
根据抛物线顶点公式（a
b a
c a b 44,2-2
-）可得D 点的坐标（1，4），则1D 的坐标为（-1，4）
B 点的坐标为（3，0）．
设直线1BD l 的解析式为b kx y +=，把B （3，0）和1D （-1，4）两点代入解析式中可得：⎩⎨⎧=+-=+40
3b k b k
即⎩⎨⎧=-=3
1
b k ，则直线1BD l 的解析式为3+-=x y ，令0=x 可得3=y ，则点M 的坐标为（0，3）．
（3）存在．
当ACP ∆是以点为C 直角顶点时，如图，过点C 作CP 垂直于AC 于C 点，交抛物线于点P ，C
点坐标为（0，3），则可得直线CP 的解析式为33
1
+-=x y ．
直线CP 与抛物线交于P 点，联立解析式得：⎪⎩
⎪⎨⎧++-=+-=323312x x y x y ，则⎪⎩⎪
⎨⎧====920,373,01211y x y x ，P 点坐标即
P （9
20
37，）
当ACP ∆是以点A 为直角顶点时，如图，过点A 作AP 垂直于AC 于A 点，交抛物线于点P ，A 点坐标为（-1，0），则可得直线AP 的解析式为3
1
31--=x y ．
直线AP 与抛物线交于P 点，联立解析式得：⎪⎩
⎪⎨⎧++-=--=3231312x x y x y ，则⎪⎩⎪
⎨⎧-===-=311,3100
,12
211y x y x ，P 点坐标
即P （
3
11-310，）。