化学教学测量与评价

第二部分 推断统计
——主要用于检验假设是否正确
﹡假设检验的基本步骤
1) 建立检验假设，确定检验水准
H0(无效假设)：假设两组或多组资料的总体均数
相等。μ= μ0 或μ1= μ2 = μ3 H1(备择假设)：μ μ0 （双侧检验） μ> μ0 或μ< μ0 （单侧检验） (检验水准) ：通常取 =0.05
化学教学中的定量分析手段
总论
定量分析
定量分析指研究者借助数学手段，对搜集到的数
据资料进行统计分析，揭示事物数量特征的过程。
定量分析在教育研究中的应用主要包括三个方面：
数据描述、数据推断、数据的综合分析。
A 描述统计
数据资料的描述是对原始数据资料的分布形态和
数据特征进行刻画的过程。它包括了统计图表的 编制，集中量数和差异量数的分析，地位量数的 转换以及对相关关系的描述。
数据综合分析的方法主要包括方差分析、 回归分析、聚类分析等。
基本概念
总体和参数：所要研究对象的全体叫总体。
样本：由总体抽取出的一部分个体叫样本。
样本大小与总体有关，总体越大，样
本越多。经验地，N<30为小样本， N>=30 为大样本。稍微严格一点， N应>=50。
抽样
一般随机抽样：抽签或随机数目 等距抽样：确定起始值和间距，抽取符合 的数值。 分层抽样：先讲总体按一定标准划分为若 干部分，然后根据样本与总体的比例，从 各部分内进行随机抽样或等距抽样。 整群抽样：抽取整个群体（如学校、班级） 为样本。
-4
T分数
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
10
CEEB分数
20 200 55
30 300 70
40 400 85
50 500 100
60 600 115
70 700 130
80 800 145
90
100
离差IQ (SD=15)
900
图6-5 几种标准分数关系图
（3）标准分应用
比较各个学生成绩在班级中地位。
平均分高，标准差低 平均分高，标准差高 平均分低，标准差高 平均分低，标准差低
最好 较好 较差 很差
3.差异系数（变异系数）
两个群体测量单位不同，或虽测量单 位相同，平均数相差很大时，不能用标准 差比较他们离散程度，可利用差异系数。
CV 100 % X
当X< Md< M0时，数据呈负偏态分布
当X> Md>M0时，数据呈正偏态分布
二、差异量数
用以描述数据离中趋势（离散程度）的统 计量，叫做差异量数。
1. 全距（R） 一组数据中最大值和最小值之差表示，又称极 差。 极距的优点是算法简单，缺点是受极值影响较 大，不够科学，且不具有可加性。
80 10
120
75 15
110
70 10
490
试问：①A生哪一科成绩较好？ ②A生和B生才总成绩谁较好？
解：由Z=（Xi-X平均）/S计算得出标准分如下：
语文 数学 英语
学生A的标准分：1 2 1
wk.baidu.com
化学
1.3
物理
2.5
合计
7.8
学生B的标准分：-4
4
-2
3
4
5
所以：① A生的物理成绩较好； ② A的总成绩较好。
87.2 82.4 rpb 0.67 0.33 7.597 0.297
即该试卷第二题的区分度为0.297。
相关系数与相关程度表一览表
| r | 相关 程度
0 零 相 关
≤0.3 微相 关
0.3<|r| ≤0.5 切实相关
0.5< |r| ≤0.8
>0.8
1.0
高度相 完全相 密切相关 关 关
比较某个学生两科或多科测验中所得分的
优劣，精确地计算学生的总成绩。
确定等级评定的人数（分数线）。
例：
下面是某校某次期终考试两位学生的成绩： 语文 数学 英语 学生A：100 95 90 化学 物理 总分 95 95 475
学生B： 75
校平均分X：95 校标准差S： 5
125
65 15
60
数学与物理、物理与英语相关性比较
1 2 3 4 5 6 7 r
数学 70 60 82 44 52 90 80 0.91
物理 75 63 75 60 55 97 89
英语 76 60 65 56 70 85 48 0.26
地理 75 63 75 60 55 97 89
其他相关
除了积差相关以外，还有等级相关、点 二列相关等。 等级相关条件：两列变量，且都属于等 级变量（如排名，5分制等）。
甲 项目 语文 数学 英语 合计
个人 成绩
生
标准差
乙 Z 1.8 0.7 0.6
个人 成绩 所在班级 平均成绩
生
标准差
所在班级 平均成绩
Z 1.2 0.8 0.9
73 79 75 227
48.3 66.9 67.2
13.9 18.5 14
62 85 80 227
48.3 66.9 67.2
13.9 18.5 14
B 推断统计
数据推断是利用概率及其分布的理论和方
法，由样本特性推断出总体特征并估计出
误差范围，从而得出科学的结论。
常用的推断统计最常用的是假设检验。包 括Z检验、t检验等。
C 综合分析
数据的综合分析是指利用系列数据相互之
间的数量关系，并预测和解释变量之间的
关系或从众多变量中提取出共同的因素。
n为偶数时
正中间的那个数
为中间两数字的平均值
特点：不受极端值的影响。
它适合于以下情况
（1）当一组数据有特大或特小数据存在时
（2）一组数据中个别数据不确切、不清楚时
3、众数M0（mode）： 所有变值中，出现次数最多的那个变值，或在分 组资料中次数最多的一组的组中值。 不受极端值影响。 众数的主要应用：判断频数分布的形态 当X= Md= M0时，数据呈正态分布
rpb
X p Xq
x
pq
式中：p为二分变量中某一项所占比例；q为
二分变量中另一项所占比例，p+q=1;
X
p
为二分变
X q为 量中比例为p部分所对应的连续变量的平均数；
二分变量中比例为q部分所对应的连续变量的平均 数.σ x为连续变量的标准差。
例6 随机抽取某区初二数学期末考试卷15份，
标准分可比性根据在于标准正态分布。
T分数：T=10Z+50 (一般20≤T≤80） 平均分为 50，标准差为10 C分数： C = 100Z+500 如雅思
正态分布图
0.13%
2.14%
13.59%
34.13%
34.13%
13.59%
2.14%
0.13%
24
Z分数
36
48
平均分60
72
84
96
三、地位量数
地位量数：描述单个数据在样本或总体中位 置的统计量，常见的地位量数是标准分
甲同学： z（语文）=（73-48.3）/ 3.9=1.8 z（数学）=（79-66.9) / 18.5=0.7
Z
X X
（2）标准分的特点
标准分是以标准差为单位的，故称为标准分。
标准分有正负之分，一般在[-3，3]中（几率为 99.74%) ，平均值为零。
四、相关系数
相关：是指两个或两个以上变量之间存在
相互依存关系。如化学课成绩与化学竞赛
成绩、数学与物理成绩等。
正相关
负相关
零相关
相关系数：用来描述两个变量相关程
度的量称为相关系数。最常用的是积差 相关系数。
( rxy
X X
x
)(
Y Y
y
)
N ZxZ y N
方法二：根据原始数据计算
30 2 50 2 86 2 90 2 94 2 30 50 86 90 94 2 ( ) 25.42 5 5
方差、标准差的特点
1、方差具有可加性
2、灵敏
3、当样本小于30时，用以下公式修正
—1
利用平均分和标准差对学习成绩 （教学质量）进行解释
问题3：设某考区已录取高中学生化学平 均分为69分，标准差为12.5分，而未录 取高中的学生化学平均分为40分，标准 差为12.5分。比较他们化学成绩的离散 程度。 CV1=12.5/69 *100%=18.12%； CV2=12.5/40 *100%=31.25%。 未录取学生的离散程度大。
问题2：某校期末考试语文平均成绩为 69.3分，标准差为11.2分；英语平均成 绩为94.8，标准差为13.8分。问哪一学 科离散程度大？
11.2 CV (语文) 100 % 16.2% 69.3
13.8 CV (英语) 100 % 14.6% 94.8
问题：下表中是某班甲乙两同学的期末考试成 绩，问：（1）甲同学的语文和数学哪科相对 较好？ （2）甲同学和乙同学相比，哪一个学 业成绩较好？
2) 选定检验方法和计算检验统计量
根据资料类型及统计推断的目的选用合适 的检验方法计算出统计量( t值、u值、2值等 )。
rR 1
6 D
2
2
N ( N 1)
计算步骤：
（1）计算两变量等级之差D；
（2）计算D2；
（3）计算∑ D2；
（4）代入公式（5.4）,求得rR 例3 求10名学生的语文成绩与阅读能力成绩 之间的等级相关系数。
表5-3 10名学生的化学理论成绩与元素化合物成绩相关 计算表 序号 1 2 3 4 X（语文等级） 8 6 5 3 Y（阅读等级） 8 7 4 2 D 0 -1 1 1 D2 0 1 1 1
其它类推。若出现相同的等级分数时，可用它
们所占等级位置的平均数作为它们的等级。
点二列相关
（一）概念及适用条件
1、概念
两列变量一列是正态连续变量，另一列是二分
变量，描述这两个变量之间的相关，称为点二列
相关。
2、适用条件
一列是正态连续变量，另一列是二分变量（如
男与女，对与错等）。
（二）计算方法 点二列相关系数以表示rpb，公式为
第一部分 描述统计
一、集中量数
用来描述数据集中趋势的统计量叫集中量数。一 般的集中量数有算数平均数（简称平均数），中 数和众数。
1、平均数的作用： 是数据的代表值，表示资料中观察值的中心位置，

表示资料的集中性和一般水平。 便于与另一组资料相比较，借以明确两者之间相 差的情况。
2、平均数的种类 主要有算术平均数 、中数、众数、和几何平均数等。
5
6 7
2
4 7
1
5 6
1
-1 1
1
1 1
8
9 10 ∑
9
1 10
10
3 9
-1
-2 1
1
4 1 12
解：将有关数据代入公式（5.4）得
rR 1
6 D 2
N ( N 2 1) 6 12 1 0.927 10100 1
如果求相关的是连续变量，计算时先把两 组数据分别按大小排成等级，最大值取为1等，
试计算第二题的得分与总分相一致的程度（即试题
的区分度，它是衡量试题鉴别能力的指标值）。数 据见表5-6。
表5-6 数据表
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
第二题得 分
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
总分
69
71
79
86
87
87
81
89
81
92
91
93
92
93
93
解：（1）求答对第二题的比率p和答错 的比率q： p=10/15=0.67 q=1-p=0.33 (2)求 X 和 X q ，分别为答对和答错第 二题学生成绩的平均数：
p
X
p
87.2分
X q 82 .4分
(3) 求σ x,所有考生的总分的标准差： σ x=7.597(分) 将上述数据代入公式（5.7）,可得
以算术平均数最为常用。
1、算术平均数
∑X （ arithmetic mean ） : X= X n
算数平均数有以下几个特点
1、易受极端数据影响
2、当一组数据中某个数据缺失时就无法计算其算数
平均数
2、中数Md(median)： 将n数据从小到大排列，中间位置的数。
n为奇数时
2、方差与标准差
计算公式
问题11某班甲乙两组在一次测验中 的成绩分别为65，68，71，72，74 （均分为70分）和 30，50，86， 90，94（均分为70分）。如何评价 两组的学习情况？
方法一：根据定义式计算

(65 70) 2 (68 70) 2 (71 70) 2 (74 70) 2 / 5 3.16
相关系数用r表示，数值为-1≤ r ≤1。完全正相关
r=1；完全负相关，r=-1；完全无相关r=0，前两
种现象在教育中很少见。
注意：r与样本量有极大关系，N小偶然机会多，
就会有假象出现。另外，计算积差相关系数时必
须注意两个变量的数据必须成对，而且是连续变
量，其分布属于正态分布,且N>30。