高级微观经济学

高级微观经济学 I
第三次作业
交作业截止时间：7月31日下课前
1）假设消费者对产品1与产品2的偏好可以用效用函数U(X1, X2) =u(X1)+v(X2)表出。

函数u和v连续，且具有连续的一阶和二阶导数，函数u和v严格递增、严格凹。

产品1与产品2的价格分别为p1和p2，消费者的货币收入为M。

消费者对1和2之外的产品无偏好。

a)运用拉格朗日乘子法，写出效用最大化所需要的一阶条件和二阶条件。

证明二阶条件已被满足。

对问题的一阶条件进行静态比较分析，证明下述论断：
i)对产品1与产品2的需求都是M的增函数。

ii)对产品1的需求是p1的减函数，对产品2的需求是p2的减函数。

b)我们回到第二次作业 1) 中的第(e)问。

产品1与产品2分别是第一年与第二年的甜薯。

假设i s = i b = i。

在第二次作业中的第(e)问的标注里，哪些参数分别相当于p1，p2，M？哪些决策变量相当于X1和X2？为简化问题的分析过程，我们进一步假设v(X2) = δu(X2)，δ∈ (0,1)。

通常δ被称作折扣因子。

运用拉格朗日乘子法，写出效用最大化所需要的一阶条件。

当m1，m2，π和i分别发生变动时，对产品1与产品2的需求将会发生怎样的变动？运用静态比较分析的方法论证你的推断。

2）我们考虑如下效用函数：U(x1, x2) = (x1ρ + x2ρ) 1/ ρ。

这种效用函数也被称作常替代弹性效用函数。

（即CES效用函数。

有关概念见Jehle&Reny第121至123页。

）考虑下面三种特殊的CES效用函数：
ρ =1，此时有U(x1, x2) = x1 + x2，即线性效用函数。

x1 和x2 被称作完全替代品。

在这种情况下，替代弹性σ为无穷大。

lim(ρ→ 0)，此时有U(x1, x2) = ln(x1) + ln(x2)，该效用函数是柯布-道格拉斯效用函数的单调变换。

x1 和x2 具有一定的替代弹性。

在这种情况下，替代弹性σ = 1。

lim(ρ→ – ∞)，此时有U(x1, x2) = min(x1, x2)，即列昂惕夫效用函数。

x1 与x2 完全不可替代。

在这种情况下，替代弹性σ = 0。

a)令x1 与x2 的价格分别为p1 和p2，消费者的货币收入为M。

针对上述每一种特殊的CES效用函数，求出马歇尔需求，希克斯需求，间接效用函数和支出函数。

（提示：在有些情况下，你会发现从一阶条件中你得不到内部解，有时甚至会有无穷多解。

目前我们还没有讲到库恩-塔克定理，但这并不影响你回答本题：你完全可以运用图形和经济直觉帮助你求解。

）
b)假设在市场的初期，（p1，p2）=（1，1），M = 2。

我们进一步假设消费者的收入M 和p2 维持不变，但是第一种产品的价格p1 在市场的末期从1元涨到了θ元，θ> 1。

针对上述三种效用函数，分别进行以下工作:
i）计算CV（Compensating Variation），即消费者最少需要多少额外收入，才能使她在p1 =θ 时的满意程度不低于p1 = 1 时的满意程度？由高到低对三个效用函数的CV排序，从直觉上推断替代弹性与CV的关系。

ii）计算EV（Equivalent Variation），即消费者最多愿意从收入中支付多少，以使第一种产品的价格p1 从θ元回落到 1 元？由高到低对三个效用函数的EV排序，从直觉上推断替代弹性与EV的关系。

iii)验证CV≥EV≥0。

iv) 计算Laspeyres Indices和Paasche Indices。