线性代数1-3答案
上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题3
习 题 三 （一）1.求下列矩阵的特征值与特征向量.（1）133353331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为2,1321-===λλλ(二重)对应的特征向量. 1111c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,23231110,,01c c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数.（2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭答案特征值为1231λλλ===-(三重)对应的特征向量. 11,1k k -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为任意非零常数. (3) 563101121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为1232λλλ===(三重)对应的特征向量. 12122110,,01c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数. (4) 222214241A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭答案特征值为1236,3λλλ=-==(二重).对应的特征向量分别为:112,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭232210,01k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(5) 322010423A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭答案特征值为1231,1λλλ===-(二重) 。
对应的特征向量分别为. 110,1k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭231120,02k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(6) 0100100000010010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭答案特征值为121λλ==-(二重) 341λλ==(二重) 。
对应的特征向量分别为. 120101,1010k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭340101,1010k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,k k 为不同时为零的任意常数,34,k k 为不同时为零的任意常数。
[宝典]简明线性代数课后答案1-3
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习 题 1.31．已知100210101⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭A ,112012001-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭B ,求1|()|-BA .解: 1|()|-BA 11||(||||)1--==⋅=BA B A .2．已知A 是三阶方阵,且||2=A ,求1|3|-A ,*||A 和1*1|(3)|2--A A .解: 1|3|-A 112727||27||2--===A A ,*||A 2||4==A ,1*1|(3)|2--A A 1*11||32-=-A A **11||62=-A A*1||3=-A *14||2727=-=-A .3．求线性变换11232123312322,35,323x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩的逆变换.解: 线性变换的系数矩阵221315323⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,其伴随矩阵为*749637324-⎛⎫⎪=-- ⎪--⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||272(6)1(3)1=⨯+⨯-+⨯-=-A ,因此A 可逆,且有1*7491637||324---⎛⎫ ⎪==- ⎪-⎝⎭A A A .所求逆变换为1123212331232,64,53.x y y y x y y y x y y y =-++⎧⎪=-++⎨⎪=--⎩4．利用逆矩阵求以下方程的解:（1）110200212020321002-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭X;解: 记矩阵110212321-⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭A ,其伴随矩阵*312412111-⎛⎫⎪=- ⎪--⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||13(1)40(1)1=⨯+-⨯+⨯-=-A ,因此A 可逆,且有1*3121412||111---⎛⎫⎪==-- ⎪-⎝⎭A A A .所求解为312200624412020824111002222----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭X .（2）211113210432111-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭X .解: 记矩阵211210111-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭A ,其伴随矩阵*101232330⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭A .将||A 按第1行展开,得||211(2)(1)(3)3=⨯+⨯-+-⨯-=A ,因此A 可逆,且有1*10111232||3330-⎛⎫ ⎪==--⎪-⎝⎭A A A .所求解为1012211131232824325333033-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅--= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭-⎝⎭⎝⎭X .5．设101020001⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,求12(3)(9)-+-A I A I .解: 121(3)(9)(3)(3)(3)--+-=++-A I A I A I A I A I(3)=-A I 201010002-⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭.6．已知101020101⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭A ,且2+=+AB I A B ,求B .解: 由2+=+AB I A B ,得 2-=-AB B A I ,()()()-=-+A I B A I A I .因001||0101100-==-A I ,所以1()--A I 存在,于是=+B A I 201030102⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭.7．设1111121113-⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解: *11*521()()220101----⎛⎫⎪==- ⎪-⎝⎭A A .8．设=AP PB ,其中1411--⎛⎫= ⎪⎝⎭P ,1002-⎛⎫= ⎪⎝⎭B ,求11A .解: 容易求得1114113-⎛⎫= ⎪--⎝⎭P .于是由=AP PB 得1-=A PBP ,21121()---==A PBP PBP PB P ,…,11111-=A PB P 1111410141102113---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1110114141111023---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭13111121411123⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 131311111124212423⎛⎫++= ⎪----⎝⎭27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭.9．设301110014⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A ,且2=+AB A B ,求B .解: 由2=+AB A B ,得(2)-=A I B A .1012110012⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭A I ,*211(2)221111-⎛⎫⎪-=- ⎪--⎝⎭A I ,|2|1(2)0(2)111-=⨯-+⨯-+⨯=-A I ,因此2-A I 可逆,且有1*1(2)(2)|2|--=--A I A I A I 211221111--⎛⎫⎪=-- ⎪-⎝⎭.由(2)-=A I B A ,得1(2)-=-B A I A 211221111--⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭301110014⎛⎫⎪⎪⎝⎭522432223--⎛⎫ ⎪=-- ⎪-⎝⎭.10．设n =A O ,证明121()n ---=++++I A I A A A .证明: 由n=A O ,得21()()n n --++++=-= I A I A A A I A I ,因此121()n ---=++++I A I A A A .11．设方阵A 满足方程224--=A A I O ,证明3-A I 可逆,并求其逆矩阵.证明: 由224--=A A I O ,得2(3)()23-+=--=A I A I A A I I , 因此3-A I 可逆,且有1(3)--=+A I A I .12．设B 为可逆矩阵,A 与B 同阶,且满足22++=A AB B O ,证明A和+A B 均为可逆矩阵.证明: 因B 为可逆矩阵,所以||0≠B .由22++=A AB B O ,得2()+=-A A B B ,两边取行列式,得22||||||(1)||0n ⋅+=-=-≠A A B B B ,(n 为A 与B 的阶数).于是||0≠A ,||0+≠A B ,所以A 和+A B 均为可逆矩阵.。
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
修订版-线性代数习题三答案
第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。
2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。
3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。
求向量γ，使βγα=+32。
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=-T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。
解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4400000000101102130124220101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。
二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数卢刚1_3章答案
习题一（A ）1.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+321111B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-705313B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-19112837153663342620432B A .2.由X B A X -=-2得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=22224444210220422421)2(21B A X . 3.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=314256551830724152758A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=518288072030905132563B .（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+8325314512386016292852121B A ，为1997年和1998年各种油品的产量之和.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-24315220181225A B ，为1998年和1997年各种油品的产量之差.（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4165.265.7261930815.414265.60)(21B A ，为1997年和1998年各种油品的平均产量. 4.（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1764；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0050；（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000；（4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963642321；（5）14；（6）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2234518730；（7）15.5.（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0000111111AV W ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2202111122AV W ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0.422111133AV W ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2220111144AV W ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1101111155AV W ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1312111166AV W ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1321111177AV W ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1110111188AV W . 由81,,W W Λ构成的图形如下：（2）当3πθ=时，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21232321A .仿（1）得由81,,U U Λ构成的图形如下：（由正方形4321V V V V 逆时针旋转3π弧度得到） 当2πθ-=时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110A .仿（1）得由81,,U U ''Λ构成的图形如下： （由正方形4321V V V V 顺时针旋转2π弧度得到）6. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5001300120080010002000A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5.012.005.0011.035.02.0B .（1）北美 欧洲 非洲⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3467708408.337682335655820BA价值重量体积（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111C .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19568.1911810BC总价值 总重量 总体积7.（1）正确.B A B A B A T T T +=+=+)(Θ. （2）正确.kA kA kA T T ==)(Θ.（3）未必正确.AB BA A B AB T T T ≠==)(Θ.8.（1）设与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d b c a B ，则由BA AB =得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10011001d b c a d b c a .即⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++d db c a d c b a c a. 于是，⎩⎨⎧=++=+d d c d b b a .解之得⎩⎨⎧==0c a d .故与A 可交换的所有矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0，其中b a ,为任意常数.（2）设与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321x x x x x x x x x B ，则由BA AB =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011100110011987654321987654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++988776554432211987968574635241x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .于是⎪⎩⎪⎨⎧======621958740xx x x x x x x 故与A 可交换的所有矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12132100x x x x x x ，其中321,,x x x 为任意常数. 注：待定系数法是解决此类问题的有效方法之一.9.证 （1）A B B A B A B AB AB B B A )()(21212121+=+=+=+Θ，A ∴与21B B +可交换. （2）A B B A B B AB B B A B B AB B B A )()()()()()(212121212121=====Θ，A ∴与21B B 可交换. （3）2122122111211))((B A B O A B A B AB A B A B A -=-+=-+-=-+.10.（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000.（2）令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1031A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1061103122A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1091103133A . 猜测有如下结论：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1031n A n .下面用数学归纳法证明：当1=n 时，结论显然成立；假设当k n =时结论成立，则当1+=k n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=+10)1(31103110311n n A A A n n ，结论成立. 综上知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1031n A n.注：先根据n A 的前若干项猜测其形式，再用数学归纳法加以证明是求矩阵的幂的常用方法之一.（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn nc b a c b a 注：务必牢记这个重要的结果！（4）（直接计算即可）令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001000010A ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000100001002A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000000010003A ，)4(0000000000000000≥⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A n .（5）（直接计算即可）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10003100631010631（6）令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=1111111111111111A ，则由直接计算知，E A 2224000040000400004=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，A A 13324444444444444444-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=，E A 44216000016000016000016=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=. 猜测有如下结论：⎩⎨⎧=-为奇数为偶数n A n E A n n n,2,21下面可利用数学归纳法加以证明，此处从略. 11.2A 的第k 行第l 列的元素为()∑==+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nj jl kj nl kn l k l k nl l l kn k k a a a a a a a a a a a a a a 122112121,,,ΛM Λ.T AA 的第k 行第l 列的元素为()()∑==+++=nj lj kj kn l k l k Tl l kn k k a a a a a a a a a a a a a a 1ln 2211ln 2121,,,,,,ΛΛΛ.A A T 的第k 行第l 列的元素为 ∑==+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni il ik nl nk l k l k nl l l Tnk k k a a a a a a a a a a a a a a 122112121ΛM M .12.（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=00001001333125331235)(22E A A A f .（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=012328317100010001011213112011213112)(22E A A A f . 注：)(A f 在矩阵论上称为矩阵多项式.矩阵A 与其矩阵多项式)(A f 之间关系密切，将在后续章节陆续介绍.13.（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111110101110101010111010A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42222231312131323131213132A .（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100010100010100010100010A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10100020101020101020001012A .注：邻接矩阵（adjacent matrix ）的概念在运筹学（Operations Research ）的一个重要分支－代数图论（Algebraic Graph Theory ）上有着重要的应用..)(2)2()(21)2(41)(21)](21[.14222222I B I B I B B I B I BI B I B I B A A =⇔+=++⇔+=++⇔+=+⇔= 15.（1）)()()()(111B tr A tr b a b a B A tr ni ii n i ii n i ii ii +=+=+=+∑∑∑===.（2）)()()(11A tr k a k ka kA tr ni ii n i ii ===∑∑==.（3）)()(1A tr a A tr ni ii T==∑=.（4）)()()()(1111BA tr a b b a AB tr n j ni ij ji ni n j ji ij ===∑∑∑∑====.注：矩阵的“迹”（trace ）的概念，特别是矩阵的行列式，迹和特征值的关系：n A λλλΛ21||=，n A tr λλλ+++=Λ21)(（见第四章）是历年考研的热门考点.16.（1）（直接计算）1. （2）（按任一行或列展开）12. （3）612300061231000128092134215100010002809210003421512=⨯===列列减去第第原.（4）8370111315237022231513)98(2==-Λ行展开按第行倍加到第行的第＝－＝－原.（5）利用P22例6的结论.原512)15](1)14(5[3=-⨯-+=..160111222311101110222031104321032110214101431043210)6(114321432==---===Λ－－－－－－－－－原列展开按第行行都减去第，，第行行都加到第，，第（7）利用P24例8 Van der monde 行列式的结论.原12)34()24()23()14()13()12(=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=. 注：务必牢记Van der monde 行列式的重要结论！（8）原1922484000300028400003000020432811)1(432-=⨯-=-=-=-列展开按第列倍都加到第列的，，第.问：如此行列式扩展到n 阶，结果又如何呢？17.（1）左2)1(55111510110111--=--=--=x x x x x . 解1)1(52=--x 得3=x 或1-.（2）直接按第一行展开.左022=+--=x x .解1)1(52=--x 得1=x 或2-. 注：解行列式方程的问题可先计算相应的行列式，再解方程..8822243232324)1(.18333231232221131211333231232221131211231333132312321222113111211-=-=---=------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 列倍加到第列的第原.88822243232324)2(333231232221131211333231131211232221333132131112232122132333131321311111223212122==-==---=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 列倍加到第列的第原).(2)22(0001)22(001)22(111)22(222222)1.(1933132y x xy x yx y x xy x y xy x xyx y x y x y y x yxx yx y x y y x yxyx x y x y x y x y yx +-=---+=---+=---++=+++=+++++=列列加到第，第原06221622162216221694421694421694421694421)2(222222221432=----=------------=dd c c b b a a dd dd c cc c b b b b a a a a 列列都减去第，，第原.223344114,244332211420000000000000000)3(a b b a a b b a a b b a a b b a 行交换列，交换原=-=))(()1(323241412233)21()21(4411b b a a b b a a a b b a a b b a Laplace --=-⋅=+++定理.注：牢记结论：||||n n m m nn m n nm mm B A B O C A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅=！ (4)原554461000000000)1(000000000b a b b a a ba b a b a b b ab a b a b a a+=⋅+⋅=-+=列展开按第.问：如此行列式扩展到n 阶，结果又如何呢？.)1()1(000000000)1(000000000)1()5(554410652424b a b b a a a b a b a b bb a a b a b ab a C C +=-⋅+-⋅=-+-=行展开按第原. 问：如此行列式扩展到n 阶，结果又如何呢？注：牢记结论：n C na a a a a a n21212)1(-=N ..2221112221112221112221112221112222111122221111222221111122222111112)1.(20c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a a c b a c b a c b c b a c b a c b a a c c b a c c b ac c b c c b a c c b a c c b a a c c b b a c c b b a c c b b a c c b a a c c b a a c c b a=+=+=+++++++=+++++++++++++=左 （2）仿（1）的做法..2x zyy x z z y x zyxx z y y x z yx zz y x x z y zy y xx z z y y x x z yyx zz z y x x x z y z y y x xx z z y y y x x z z z y y x z x z z y xy x x z y =+=+++++++=+++++++++++++=左bb a a ba a ab b b b a a ba nn n ---+++=---=ΛM O M M ΛΛΛΛM O M M ΛΛ000000)1.(212211211列其余各列都加到第行其余各行都减去第原).()1()()(00)(11111211b a bb b a bb b a a a ni i n n n ni i n --=-⋅-=---+++=∑∑=---=ΛM OM ΛΛ列展开按第（2）111121212121111a a a a a a a a a a a a b a b a b a n n n n ---------=ΛM O M M ΛΛ行其余各行都减去第原当1=n 时，原11b a -=；当2=n 时，原))((212112122111b b a a a a a a b a b a --=----=；当3≥n 时，原0=..2)!1()1()!1()1(2)1())1(()2)(1(2)1()1()2(21)321()1(00)2(000002000001014332321)3(1112,,1,1+-=--⋅+=----+=------++++=------+-++++++++++=---=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n i i i ΛΛΛM M OM M ΛΛΛΛΛM M O M M M ΛΛΛΛΛΛΛ列展开按第列列加到第第原（4）利用P22例6的结论.原)1()1()10](1)1(0[11--=-⋅-+=--n n n n .11110000000000)5(11221ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛna a a a a n n ----=其余各列都加到第一列原.)1(00000)1(12111122111-+--+-=---=n n n n n a a na a a a a a n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ列展开按第 注：教材提供的参考答案与此稍有 “不同”，这是因为11)1()1(-+-=-n n .)1(0002000010321)1.(221----=n x x x n ΛM O M M M ΛΛΛ行其余各行都减去第左)).1(()2)(1()1(00200011----=----=n x x x n x x x ΛΛM O M M ΛΛ列展开按第解0))1(()2)(1(=----n x x x Λ得原方程的解为1,,2,1-=n x Λ.).())()((11000100101)2(321131322132211,,2,1n nnn n n n n ni a i a x a x a x a x a x a a a x a a a a a x a a a a a a a x i ----=----------=---=ΛΛΛM M O M M M ΛΛΛΛ倍列减去末列的第左解0)())()((321=----n a x a x a x a x Λ得原方程的解为n a a a a x ,,,,321Λ=. 注：原行列式是1+n 阶的!23.（1）利用教材P22例5的结论.).111)(1()111)(1(1)1)(1()1(11111)1(11111)1(11111)1(111121321∑∑===-+-∏=-+-+--=-+-+-+-+=n i ii n i ni i n n a a a a a a a a a a ΛΛM O M M M ΛΛΛ左nnn i a i a a a a a a i ΛM O M M M ΛΛΛΛΛ00000001111111)2(21211,,3,21)1(1----=+=--列倍加到第列的第左.)11(000000000)1111(21121211n n i inn a a a a a a a a a a ΛM OM M Λ∑=-=----=列展开按第 注：原行列式是1+n 阶的!.)1()1()(1010*********00001)1()(1010000000000000000100000100000100001000000000000001000010000)3(01222211110122221110122221112123221343223142423121232211012222112,,1,11234210a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a xa xa x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a x a x a x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n i i i n n n n ++++++=-⋅-⋅++++++=-----⋅++++++=+-++-+++++++++++-+++++-++++++=+----=-----+----+-----------------------------=-----ΛΛΛΛΛΛΛΛM M OM M M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ按第一行展开行行的倍加到第第原 注：教材P22例5的做法是常用且有效的计算行列式的方法.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+453710113546101112231102)1.(24221121A B A Θ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+191121012101135110222221221B A B A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∴145937312523222212212211211211B A B A A B A B B AB . （2）9332211===B A B A B A Θ，0231332123121======B A B A B A B A B A B A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴900090009332313322212312111B A B A B A B A B A B A B A B A B A AB .25.（1）4)2(2||2|2||2|321321231=-⨯-=-=-=A A A A A A A A A ..6)2(3||30|3||32||3||32|)2(3213211211231213=-⨯-=-=+-=-+=-A A A A A A A A A A A A A A A A26.A A A A A A EA A A A A i i m m m εεεεεεε=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M M 212121，m i ,,2,1Λ=.27.（1）令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2345A ，则02||≠-=A ，故A 可逆.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==*-252321534221||1A A A . （2）令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=6231A ，则0||=A ，故A 不可逆. （3）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=213111120A ，则04||≠=A ，故A 可逆.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==*-21232141434143454126213135141||1A A A . （4）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321021001A ，则06||≠=A ，故A 可逆.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-313100212100122003300161||1A A A .注：伴随矩阵法仅在笔算求低阶矩阵的逆矩阵时较为方便.28. （1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3131010002121010001001100321010021001001ΛΘ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∴-31310021210013210210011. （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--461100351010341001100121010011001322ΛΘ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴-4613513411210113221. （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110000011010001100010110000110001111010011100010110000011000ΛΘ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∴-000100110110110011111110110010001. （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31310010003231000100005200100021000110001100010021000010001200010025ΛΘ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴-3131003231000052002111002100001200251.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---01000000000110000|||||000000000000000010000010000001000001|||||0000000000000000)5(121121ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n n a a a a aa a a'11010001000000000100000001010100000001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→-n n a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ .11112101000000000001100000000000000000000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴---n n nn a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 注：也可以利用矩阵的初等列变换求矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 初等列变换.29.（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-515927103214315210321421531X . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--43212111163241418183111216323212)2(11X .（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121010613161210216535616002115212115016002111X . .11110213350211313103132131320350211*********)()()4(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⇒=-⇒=+--B A E X B X A E X B AX .)(,0)())((.30121121212-----++++=-∴=-=-=++++-++++=++++-k k k k k k A A A E A E E E A E A A A A A A A E A A A E A E ΛΛΛΛΘ).3(21)3(212)3(23023.31122E A A EE A A E E A A E A A E A A -=⇒=-⋅⇒=-⇒=-⇒=---注：30和31两题的做法表明：设法得到等式E AB =是证明矩阵A 可逆或求1-A 的有效途径.32.（1）在E A A A ||=*两边同时取行列式得n A A A ||||||=⋅*.A Θ可逆，0||≠A ，0||≠∴*A ，故*A 可逆，且||)(1A A A =-*. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-*21521030515100101543022001101||)(1A A A . .27162278278)32(32212312312)3(.3311311111*1-=⨯-=-=-=-=⋅-=-=---------A A A A A A A A A A注：矩阵A 的伴随矩阵*A 的有关性质是往年考研的热门考点.读者应格外注意如下重要的恒等式：E A A A AA ||==**，从它可导出*A 的许多性质. 34.111)()(---==A A A T T Θ，1-∴A 是对称矩阵.35.方法一：C A C AC C C A C C A C C A C AC C B m m m 111111))(())(()(------===Λ. 方法二：（数学归纳法）当1=m 时，显然成立.设命题对k m =时成立，则C A C AC A C AC C C A C B B B k k k k k 111111))((+----+====.36.（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2111111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2153122A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---21005300002100111221111A O O A A . （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-372252493111A ，21122=-A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=---42551113722524932112212111A A A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----210004372252525493122122*********A O A A A A A . （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1211112A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1235121A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---00120011120035001121211O A A O A . 注：务必牢记这三种分块矩阵的逆矩阵的形式，特别是（1）和（3）两个结果. 37.（1）方法一：02412=Θ，且存在一阶非零子式，∴秩为1.方法二：⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00122412，∴秩为1.（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1800510321213132321Λ，∴秩为3.（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000112336224112Λ，∴秩为1. （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--005011211132Λ，∴秩为2. （5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000700105201111134624216311230211111Λ，∴秩为3. （6）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000021200314302011181133924522011111212Λ，∴秩为3. 注：求矩阵的秩的方法很多，随着以后各章的学习，读者应注意总结.习题二1、(1)解：0det 023500ba A cb abc ca-=-=-≠()()212232202det 232550020det 035022det 02552005,,.5abaab aB bc c b a c a abc a bcbca b ab B bc b ab cc a baaba abB cbc c c abc abcc bcc a bc x a y b z c abc----=-=-==-==-----=-==-=--∴==-==-(2)解：()()()()()()()()()()()12321det 2111202001det 1111det 1111111det 1100110012a a b a bA a b a a b b ab a a a aa ba b b a a b a b b a a b a b a bB b a b a a b a aa b a bB a a b a b a a b b a a aa a a a a aB a b b a b a b a b a b a a b b a x a b==+=+--=+---==--===--==-=--=----∴=+（3）解：()()12123412341234011101110111det 161301053500200731073184234023423431112111det 28401301230143237312731109010928404440724321288443214340311det 11010A B B ---------====-------------===--------=-==-=⨯-=-------34112341244013148det 961311331073112340113det 08,130107338,3,6,0.B B x x x x x ---===-----===---∴=-===2、(1)解:齐次线性方程组仅有0解，当且仅当系数行列式为0。
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
同济大学线性代数课后答案 第三章
0 0
10⎟⎟⎠A⎜⎜⎝00
1 0
10⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝ 74
5 8
96⎟⎟⎠ ,
求 A.
解
⎜⎜⎝⎛100
1 0 0
100⎟⎟⎠⎞ 是初等矩阵 E(1, 2),
其逆矩阵就是其本身.
⎛1 0 1⎞ ⎜0 1 0⎟ 是初等矩阵 E(1, 2(1)), 其逆矩阵是 ⎜⎝0 0 1⎟⎠
⎛ 1 0 −1⎞
E(1, 2(−1))
⎜⎝0 0 0 1 4⎟⎠
⎛1 0 2 0 −2⎞
~
⎜ ⎜
0 0
1 −1 −1 00 1
−1⎟ 4⎟ (下一步: r2+r3. )
⎜ ⎝
0
0
0
0
0⎟⎠
~
⎜⎛
⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
2 −1 0 0
0 0 1 0
−32⎟⎞
4 0
⎟ ⎟⎠
.
⎛0 1 0⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛1 2 3⎞
2.
设 ⎜⎜⎝ 10
0 0 0
0 0 3
0 1⎟
0 2
00⎟⎟⎠
~
⎜⎛
⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
2 −1 0 0
70⎟⎞ 01⎟⎟⎠
,
0 7 −5 矩阵的秩为 3, 5 8 0 =70≠0 是一个最高阶非零子式.
32 0
10. 设 A、B 都是 m×n 矩阵, 证明 A~B 的充分必要条件是
R(A)=R(B). 证明 根据定理 3, 必要性是成立的.
解
⎜1 ⎜⎝ 1
−1 3
2 −4
−1⎟ 4⎟⎠
[整理版]线性代数习题三答案
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第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。
2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。
3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。
求向量γ，使βγα=+32。
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ4. 求向量组,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。
解：将51,αα 作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=44000000010110213012422101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。
二、练习提高⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
线性代数1-3
0aL MM 0 0L b(1)2n1 0 0 L MM 0cL c 0L
0 0L MM a bL cdL MM 0 0L 0 0L
00 MM 00 00 MM 0d 00
ad (1)2n12n1 D2n2 bc(1)2n1 (1)12n1 D2n2
(ad bc)D2n2
x y z x 31 r2 r3 3 0 2 y 0 1 1.
1 1 1 z 21
例5 解方程 解 方法一
11 1L 1 1 x 1 L 1 1 2x L MM M 11 1L
1 1 1 0. M n x
11 1L 1 1 x 1 L 1 1 2x L MM M 11 1L
解 将行列式按第一列展开
00 00 00
. MM 75 27
7 5L 27L Dn 7 M M 0 0L 0 0L
00 50L 00 27L M M 2 M M 75 00L 27 00L
00 00 MM 75 27
50L 00
27L 00
7Dn1 2 M M
MM
00L 75
00L 27
即
D2n (ad bc)D2(n1) .
所以
D2n (ad bc)D2(n1) (ad bc)2 D2(n2) L
(ad
bc)n1
D2
(ad
bc)n1
a c
b (ad bc)n . d
例8 计算行列式
7 5 0L 2 7 5L 0 2 7L Dn M M M 0 0 0L 0 0 0L
0 2 3 3
0 0 7 5
1 2 1 0
1 2 1 0
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
线性代数习题集(带答案)
______________________________________________________________________________________________________________第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若22351011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).______________________________________________________________________________________________________________(A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111 .12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .______________________________________________________________________________________________________________14．已知db c a cc a b b a b c a c b a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a dcbad c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;______________________________________________________________________________________________________________9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题______________________________________________________________________________________________________________1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数模拟试卷1,2,3及参考答案(有三处错误)
3 2
1
E 2 A A2 。
1
版权属于燕山大学应用数学系，如有错误，请联系 zzzlmn@
09 级线代作业参考答案 提示： A( A 2 A E ) E 。
2
线代模拟试卷
1
1 5． 设 X 满足矩阵方程 a a2
三、计算 n 阶行列式（8 分）
1 2 1 cn 1 2 1 1 2 2 1 解： c1 2 , c2 3 ,设 k n 时， ck k 1 ，由行列式可得关系式 1 2 cn 2cn 1 cn 2 于是在归纳假设下， cn 2cn 1 cn 2 2n (n 1) n 1 ，由数学归纳法 cn n 1 2 1
变换矩阵。 （7 分） 解： f ( x1 x2 x3 ) x2 4 x3 4 x2 x3 ( x1 x2 x3 ) ( x2 2 x3 )
2 2 2 2 2
y1 x1 x2 x3 , 令 y2 x2 2 x3 , ，即作变换 y x3 , 3 x1 y1 y2 y3 , y2 2 y3 , ， x2 x y3 , 3
2．若非齐次线性方程组 AX=b 无解，则系数矩阵 A 的秩与其增广矩阵 B（Ab）的秩关系为： R(B)=R(A)+1. （√） 3．设 A 是 n 阶矩阵，其秩 r<n，那么 A 的 n 个行向量中的任意 r 个行向量构成其行向量组 的一个最大线性无关组。 （×） 提示：应为 r 个线性无关的行向量。 4．若 n 阶方阵 A 相似于对角阵，则 A 必有 n 个互不相同的特征值。 （×） 提示：应为 n 个线性无关的特征向量。 5．实对称矩阵 A 的不同特征值所对应的特征向量必正交。 （√） 二．填空题（40）
线性代数1-3 n阶行列式的计算
311 131 113
1234 2341 3412 4123
例7 计算行列式 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0
D5 0 1 1 a a 0 . 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
解： 将行列式的其它行加到第一行得
a 0 0 0 1 1 1a a 0 0 D5 0 1 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
3 2 0 ... 0 0
1 3 2 ... 0 0
3Dn1 2 ... ... ... ... ... ... 3Dn1 2Dn2
0 0 0 ... 3 2 0 0 0 ... 1 3
3 2 0 ... 0 0 1 3 2 ... 0 0
即
Dn 3Dn1 2Dn2
1
0 0 0 y
1 1 1 y
第一章 行列式
1
xy 2 x 1
1
1 1 y
1
1 x 1 0 1 y 0
1 1 y
1
1 1 1
xy2
x
0
0
y 0
1 y 0 x
1 y
1
1
y
xy 2 x( y 2 xy2 ) x 2 y 2
13
第一章 行列式
Dn Dn1 2n
第一章 行列式
Dn 2n Dn1 2n (2n1 Dn2 )
0
a xa
0 0
a 0 xa 0
a 0 0 xa
( x a)n1[ x (n 1)a].
第一章 行列式
行列式的每一行的n个元素之和相等时常用此法.
线性代数试题及答案3详解
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ D ）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（ B ）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21131D120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ D ）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ D ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ C ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ A ）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ A ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>312.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ）A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ D ）A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
同济大学线性代数课后答案 第三章
=
⎜ ⎜⎝
0 0
1 0
01⎟⎟⎠ .
⎛0 1 0⎞⎛1 2 3⎞⎛ 1 0 −1⎞
A = ⎜⎜⎝ 10
0 0
10⎟⎟⎠⎜⎜⎝74
5 8
96⎟⎟⎠⎜⎜⎝00
1 0
01⎟⎟⎠
⎛4 5 6⎞⎛ 1 0 −1⎞ ⎛4 5 2⎞
=⎜⎜⎝71
2 8
93⎟⎟⎠⎜⎜⎝
0 0
1 0
01⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜ ⎝
1 7
2 8
22⎟⎟⎠ .
A = ⎜⎜ ⎝
2 −3
2 1⎞
−1 3
− 43⎟⎟⎠
,
B
=
⎜⎛ ⎝
1 2
2 −3
31⎟⎠⎞
,
求 X 使 XA=B.
解 考虑 ATXT=BT. 因为
⎛0 (AT, BT ) =⎜2
2 −1
−3 3
1 2
2⎞ −3⎟
r
~
⎛ ⎜
1 0
0 1
0 0
2 −1
−4⎞ 7⎟ ,
⎜⎝ 1 3 −4 3 1⎟⎠ ⎜⎝0 0 1 −1 4⎟⎠
⎜ ⎜⎝
2 2 3 1
1 −3 −2
0
8 0 5 3
3 7 8 2
−75⎟⎞ 00⎟⎟⎠
.
⎛2 1 8 3 7⎞
解
⎜2 −3 0 7 −5⎟
⎜ ⎜ ⎝
3 1
−2 0
5 3
8 2
0⎟ (下一步: r1−2r4, r2−2r4, r3−3r4. ) 0⎟⎠
⎛0 1 2 −1 7⎞
~
⎜
⎜ ⎜ ⎝
0 0 1
解
⎜1 ⎜⎝ 1
线性代数习题参考答案
第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i= ，j= 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式(1) ()33ax by ay bzaz bx x y z D ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+ (提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。
线性代数--北京邮电大学出版社(戴斌祥--主编)习题答案(1、2、3、4、5)
线性代数习题及答案（北京邮电大学出版社 戴斌祥主编）习题一（A 类）1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)...321； (4) 13 (2)1)(2n )(2n2)…2.【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n1)=(1)2n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n2)…2)=0+1+…+(n1)+(n1)+(n2)+…+1+0=n (n1).2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。
解：D 4=1234()11223344(1)j j j j j j j j a a a a τ-由题意有：232,4.j j == 故1234141243243241j j j j j j ⎧==⎨⎩D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-即为：1122344313223441a a a a a a a a -+4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？（1）233142561465a a a a a a ； 解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a = 因为(431265)6τ=，(431265)6(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。
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《线性代数B 》同步练习题第1次 行列式（一）专业： 教学班： 学号： 姓名 ：1． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数。
（1）1 2 3 4 ； （2）4 1 3 20)1234(=τ 4103)4132(=++=τ （3）1 3 ……（2n-1） 2 4 ……(2n)2)1()1(3210))2...(246810)12...(57913(-=-++++=-n n n n n τ （4）1 3 ......（2n-1）(2n) (2n-2) (2))1(]1...)1[()]1(3210[)2)....22)(2)(12...(57913(-=++-+-++++=--n n n n n n n τ2． 确定六阶行列式111216212226616266a a a a a a D a a a =L L L L LL L中以下各乘积的符号：（1）322143145665a a a a a a ； （2）211332556446a a a a a a 解 （1) 1)1()1(11112)213465()324156(=-=-+++++ττ（2）211332556446a a a a a a 645546322113a a a a a a =1)1()1(122)312654(-=-=-++τ3. （1）在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，4x 项的系数是 ，3x 项的系数是_______（2）写出四阶行列式D 4=|a ij |的展开式中含有因子a 21a 42的项解 （1) 含4x 项只有一项 444332211)1234()1(x a a a a =-τ 系数是： 1 含3x 项 第一行不能取0,1141311===a a x a ，，只能取x a =12， 可知第三，第四行只能取,4433x a x a ==， 第二行只能取121=a符号为：1)1()1(1)2134(-=-=-τ故 3x 项的系数是: -1 （2）4234211342342113)(3142)1(a a a a a a a a -=-τ 4233211442332114)(4132)1(a a a a a a a a =-τ4. 计算行列式：（1）d 1020c 1000b 1000a （2）0001002402115132- 解 （1）d1020c 1000b 1000a abcd =（2）0010024*******2-205221)1()4321(=•••-=τ（3）201141183--- （4）00100270369101155-解 （3）201141183---48743)1(138714310031-=---•=---=+(注意： 第三列乘-2加到第一列）（4）0100270369101155-30)1(44312213)3214(-=-=a a a a τ（5）1112131421222324313241420000a a a aa a a aa aa a（6）0100000200000000000201810000LLLM M M O M MLL解（5）1112131421222324313241420000a a a aa a a aa aa a1314313212341324142331423241 23244142(1)()()a a a aa a a a a a a aa a a a+++=-•=--（6）0100000200000000000201810000LLLM M M O M MLL232018,1)(1)2018!2018τ=-=L（！《线性代数B 》同步练习题第2次 行列式（二）专业： 教学班： 学号： 姓名 ：1． 计算行列式：(1)2605232112131412- (2)71100251020214214解 (1)2605232112131412-002-2-105-03-02-2-11412==(2)7110251020214214=0(3) 4111141111411114=D (4) ba a a ab a a a a b a a a a b解 (3) 4111141111411114=D = 189300003000030111174117141711471117==(注意： 第二，第三，第四列乘1加到第一列）(4)ba a a ab a a a a b a aa ab ba a ab a a a b aa a ab b a a a b a b a a b a a b a b a a a a b 1111)3(3333+=++++=3))(3(00000001)3(a b a b ab a b a b a a a a b -+=---+=(注意： 同（3）小题 第二，第三，第四列乘1加到第一列）(5)8400730062425131 （6）1111112211441188----解 (5)解法一8400730062425131874-54301002-30001=887431--2874-430002-1-11111===++）（）（ （注意： 第一列乘以-2加到第二列， 按第一行展开， 再按第一行展开）解法二8400730062425131123483478=•= （6）1111112211441188----79-2-033003-12-01111=79-2-3303-12-1-111+=）（-1321010-33）1-（-21010-03303-12-11===+ （注意： 第一行乘以-1加到第2，3，4行， 按第一行展开， 第一行乘以-1加到第2行， 按第一行展开）（7）2222222222222222a (1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a ab b b bc c c cd d d d ++++++++++++解：（7）原式9644129644129644129644122222++++++++++++=d d d d c c c cb b b b a a a a 062126212621262122222=++++=d d c c b b a a (注意：第二列减第一列，第三列减第一列，第四列减第一列，第二列乘（-2）加到第三列，第二列乘（-3）加到第三列 )8. 523499197302132--解：原式2312300)3(200)1(500325--+-+-+=231300200500325--=231231325----+=0 9. 若111213212223313233a a a a a a a a a =1，求111213212223313233-6a -2a -10a 3a a 5a 3a a 5a 解：原式305353532333231232221131211-=-=a a a a a a a a a 2． 证明：yxzx z yz y x zy yx xz y x x z z y x z z y yx 2=+++++++++ 证明 左边=z y yx z y x y x x z zy x x z z y z y x zy y x xz y x x z zy x z z y yx ++++++++++++=+++++++++222222222 (第二列、第三列、第四列加到第一列）2x y zy z z xx y zz x x y x y z x yy z ++++=++++++++ 2xy z z x y z x x y zx yy z++=++++2x y z z yz x x z x yy+=++ 2xy zyz x zxy==右边《线性代数B 》同步练习题第3次行列式（三）专业： 教学班： 学号： 姓名 ：1． 计算行列式：（1）15243010********--0000(2)000000x a b c y d e z f g h k u l v解 （1）15243010********--25101-04251-214+=）（122145-1(1--222=••=+））（0000(2)000000x a b c y d e z f g h k u l vvuxyz ze y ba x vu u k h g z e yb a x v =-=-=++000)1(000000)1(3355 2．写出下列行列式的第一列元素的代数余子式：0123010100230112---- 解 2-1-1-320101-)1(1111+-=A 21-1-320321)1(1221--=+A211101321)1(1331-----=+A 320101321)1(1441--=+A（2）若四阶行列式D 的第3行元素分别是1,2,1,3，且第4行元素对应的余子式分别是3，a ，0，-7，求a 的值。
解：4443424124232221141312113121a a a a a a a a a a a a D =341=M a M =42 043=M 744-=M 341-=A a A =42 043=A 744-=A 04434433342324131=+++A a A a A a A a0)7(3012)3(1=-⨯+⨯+⨯+-⨯a 12=⇒a3．设 335111243152113------=DD 的),(j i 元素的余子式为j i M ，代数余子式为j i A ，求（1）34333231223A A A A +-+， （2）41312111M M M M +++解 （1） 用1 3 -2 2 代替D 的第三行34333231223A A A A +-+335122-3143152113-----==24（2）4131211141312111A A A A M M M M -+-=+++ 用1 -1 1 -1 代替D 的第一列4131211141312111A A A A M M M M -+-=+++335111143112111-------==184. 设n 阶行列式D 的值为0a ≠，且D 的每列元素之和都为b,求行列式D 第1行元素的代数余子式之和。
解nnn nna a a a a a ...a ...............a ...a D 2n12222211211=n A A A A 1131211...++++等于D 的第一行元素全部换成1而得到的行列式的值，即n A A A A 1131211...++++nnn na a a a ...a ...............a 1 (11)2n122221=而 a a a a a b a a a a bb a a a a a a nnn nnnn n nn n n n====...a ...............a1...11...a ...............a ...b...a ...............a ...a D 2n1222122n1222122n12221211211( 注意： 第二，三，...n 行乘以1加到第一行） 故 ba A A A A n =++++1131211... 5.设n 阶行列式D=123n 023n03n 000nL LL M M M OM ，求D 的所有元素对应的代数余子式之和。