点集拓扑学

点集拓扑学的基本概念

参考文献:

熊金城, 点集拓扑讲义(第二版), 第二章.

1.度量空间与连续映射

首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数R R f →:被称为在点R x ∈0处是连续的，如果对于任意实数0>ε，存在实数0>δ，使得对于任何R x ∈，当δ<-0x x 时，恒有

ε<-)()(0x f x f .在这个定义中只涉及两个实数之间的距离

（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．

定义 1.1 设X 是一个集合，R X X →⨯:ρ是映射．如果对于任何X z y x ∈,,，有

(1)

正定性，0),(≥y x ρ，并且0),(=y x ρ当且仅当y x =； (2)

对称性，),(),(x y y x ρρ=； (3) 三角不等式，),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤.

则称ρ是X 上的一个度量。

若ρ是集合X 上的一个度量，则称偶对),(ρX 是一个度量空间，或称X 是一个具有度量ρ的度量空间．当度量ρ早有约定时，或者在

行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X 是一个度量空间．此外，对于任意两点X y x ∈,，实数),(y x ρ称为点x 和点y 之间的距离．

例1.2 实数空间R .

对于实数集合R ，定义R R R →⨯:ρ如下：对于任意R y x ∈,,令

y x y x -=),(ρ

容易验证ρ是R 的一个度量，因此偶对),(ρX 是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量ρ称为R 的通常度量，并且常常略而不写ρ，简称R 为实数空间． 例1.3 n 维欧式空间n R .

对于实数集合R 的n 重笛卡尔集R R R R n ⨯⨯⨯= ，定义R R R n n →⨯:ρ如下：

对于任意的n n n R y y y y x x x x ∈==),,,(),,,,(2121 ，令

∑=-=n i i i y x

y x 12)(),(ρ.

容易验证ρ是n R 的一个度量，因此偶对),(ρn R 是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n 维欧氏空间．这里定义的度量ρ称为n R 的通常度量，并且常常略而不写ρ，而称n R 为n 维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．

例1.4 Hilbert 空间

记H 为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∞<∈∈==∑∞=1221,,),,(i i i x N i R x x x x H

定义R H H →⨯:ρ如下：对任意的H y y y x x x ∈==),,(),,(21,21 ，

∑∞=-=12)(),(i i i y x

y x ρ

容易验证ρ是H 的一个度量，偶对（H ，ρ）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert 空间。这里定义的度量ρ称为H 的通常度量，并且常常略而不写ρ，而称H 为Hilbert 空间．

例1.5 离散的度量空间

设(X, ρ)是一个度量空间．称(X, ρ)是离散的，或者ρ称是X 的一个离散度量，如果对于每一个X x ∈，存在一个实数0>x δ使得对于任何)(,x y X y ≠∈，都有x y x δρ>),(.例如我们假定X 是一个集合，定义ρ

使得对于任何X y x ∈,，有：

⎩⎨⎧=≠=.

,0;,1),(y x y x y x ρ 容易验证ρ是X 的一个离散度量。因此度量空间(X, ρ)是离散的。 离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．

定义1.6 设(X, ρ)是一个度量空间，对于任意给定的实数0>ε，定义

{}ερε<∈=),(),(y x X y x B

),(εx B 称为以x 为中心，ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个ε-邻域。

定理1.7 度量空间(X, ρ)的球形邻域具有以下基本性质：

（1） 每一点x 至少有一个球形邻域U ，并且点x 属于它的每一个球

形邻域；

（2） 对于点x 的任意两个球形邻域U ，V ，存在x 的一个球形邻域W

同时包含于U 与V 中；

（3） 如果y 属于x 的某一个球形邻城U ，那么y 有一个球形邻域

U V ⊆.

证明：（1）设X x ∈，对每一个实数0>ε，),(εx B 是x 的一个球形邻域，这说明x 至少有一个球形邻域；由于ερ<=0),(x x ，故x 属于它的每一个球形邻域。

（2）设),(),(21εεx B x B 和是x 的两个球形邻域，任意选取实数0>ε，使得},m in{21εεε<，则易见),(),(),(21εεεx B x B x B ⋂⊆，即),(εx B 满足要求。

（3）设),(εx B y ∈,令),(1y x ρεε-=.显然，01>ε，若),(1εy B z ∈，则

ερερρρ=+<+=),(),(),(),(1x y x y y z x z

所以),(εx B z ∈，这就证明了),(),(11εεx B y B ⊆.

定义1.8 设A 是度量空间X 的一个子集．如果A 中的每一个点都有一个球形邻域包含于A （即对于每个A a ∈，都存在实数0>ε使得

A a

B ⊆),(ε）

，那么称A 是度量空间X 中的一个开集． 例1.9 实数空间R 中的开区间都是开集．

设b a R b a <∈且,，则开区间{}b x a R x b a <<∈=),(是R 中的一个开集。这是因为

如果),,(b a x ∈令},min{x b a x --=ε，则),(),(b a x B ⊆ε.

同样容易证明无限的开区间),(),,(),,(+∞-∞-∞+∞b a 都是R 中的开集。而闭区间}{],[b x a R x b a ≤≤∈=却不是R 中的开集。因为对于],[b a a ∈以及任何0>ε，],[),(b a a B ⊆ε都不成立。类似地，半开半闭区间),[],,(b a b a 以