实际问题中导数的意义

探究点1 导数在物理学中的应用 例1：如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W(单位：J)是时间t (单位：s) 的函数，设这个函数可以表示为
W W ( t ) t 3 6 t 2 1 6 t .
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率， 并解释它的实际意义.
(2)求 W(1),W(2)，并解释它们的实际意义.
（1）如果用小男孩在某段时间内的平均速度来描
述其运动状态，那么
在0t1这段时间内 -v1
h(1) h(0) 1 0
4.9(m / s)
在1t2这段时间内
-v2
h(2) h(1) 2 1
14.7(m / s)
（2）如果用小男孩在某时刻的瞬时速度来描述其 运动状态，那么
在t=1时的瞬时速度v1=h(1) g 1 9.8(m / s)
y(10) y(0) 10 0 1(mm / min). 10 0 10 0
它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分降雨量 为1 mm.当t从50变到60时，降雨量y从22变到24，此 时，降雨量y关于时间t的平均变化率为
y(60) y(50) 24 22 0.2(mm / min). 60 50 60 50
解： （1）当t从1 s变到3 s时，功W从 W(1)=11J 变到W(3)=21J ，此时功W关于时间t的平均变化率 为
W (3)W (1)21115(J/s) 31 31
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间，这个人平均每秒做 功5J.
（2）首先求 W (.t根) 据导数公式和求导法则可得
W (t) 3t2 12t 16
在t=2时的瞬时速度v2=h(2) g 2 19.6(m / s)
在学习过程中，有许多词语与导数有关.如物理 上的功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降 水强度、边际成本等.这节课，我们就来研究一下实 际问题中导数的含义.
1.理解导数在实际问题中的意义. （重点） 2.掌握导数的意义在实际生活中的应用.（难点）
的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
（2）求 f (100) 并解释它的实际意义。
解:（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面
积x的平均变化率为
f (120) f (100) (12
120 0.3) (10 10
100 0.3) 10
120 100
20
0.105(万元 / m2 ).
探究点2 降雨强度与导数
在气象学中，通常把在单位时间（如1时、1天 等）内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨 大小的一个重要指标.常用的单位是毫米／天、 毫米／小时.
例2 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨 量的数据：
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y/mm 0 10 14 17 20 22 24
W (3) W (1) 22－0 其平均变化率为 3 1 ＝ 3－1 ＝11 J/s
它表示从 t＝1 s 到 t＝3 s 这段时间内，这个人平均每秒做功 11 J.
(2)因为W′（t）＝3t2－2, 所以W′(1)＝3－2＝1(J/S)，W′(2)＝3×22－2＝ 10(J/S).
W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每 秒做的功为1 J 和10 J.
y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本 f (x0 ) 指的是
当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量
为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加 f (x0 ) 个
单位的成本.
例3.建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x 的函数：
yf(x)1x010x0.3.
（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x
导数来源于生活，服务于生活。实际生活中，有 许多问题与导数有关.我们先观看高空蹦极的动画：
观看 动画
4.9米 14.7米
观察小男孩蹦极时 的平均速度变化 第0秒到第1秒这段时间内
第1秒到第2秒这段时间内
重复观看请按
作蹦极时，小男孩落下的高度h(单位：m)与跳后
的时间t (单位：s)存在函数关系
h(t) 1 gt2 2
它表示建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中， 每增加1 m2的建筑面积，建筑成本平均约增加 1 050元.
（2）首先求 f (x，) 利用导数公式表和导数的运 算法则可知 f (x) 1 1 .
它表示从50 min到60 min雨过程中，刚开始的10 min 比后10 min的雨下的大.用气象学的知识解释，0～ 10 min这段时间的平均降雨强度是1 mm/min，而 50～
（620）m首in先这求段导时函间数的，平根均据降导雨数强公度式为表0可.2得mmf'/(mt)in. 5 10t
于是， W ( 1 ) 7 J /s ,W ( 2 ) 4 J /s
W(1)和W分(别2)表示t=1 s和t=2 s时，这个人
每秒做的功为7J和4J.
【举一反三】 若函数W（t）变为 t3－2t＋1 ，其他问题不变，
应如何求解？
解析： (1)当 t 从 1 s 变到 3 s 时，功 W 从 W(1)＝1－2＋1＝0 J 变到 W(3)＝33－2×3＋1＝22 J
显然，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示. (1)分别计算当t从0变到10，从50 变到60时，降雨量y 关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它 们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为
f(t)= 10t ，求 f (40) 并解释它的实际意义.
解:（1）当t从0变到10时，降雨量y从0变到10，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为
将t=40代入f'(t)可得 f'(40)2500.25(mm/m in) 它表示的是t=40 min时降雨量y关于时间t的瞬时变化 率，即降雨强度. f'(40)=0.25就是说t=40 min这个时刻的降雨强度为 0.25mm/min.
探究点3 边际成本与导数
在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数