数系的扩充和复数的概念 精讲优练课型PPT课件

2.i可以与任何实数作任何运算吗? 提示:不可以.i既然与实数之间建立了四则运算关系, 运算与实数一致,由于在实数运算中0不能作除数,故i 不可以除以任何实数.
【归纳总结】 1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.
2.虚数单位i性质的两个关注点
(1)i2=-1的理解:并没有规定i=± 还是i= 或
5
2.3i2+7i的实部为________,虚部为________. 【解析】因为3i2+7i=-3+7i,所以实部为-3,虚部为7. 答案:-3 7
3.如果复数z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,则a的值等于
________.
【解析】由题意知 a2 1 0, 解得a=-1.
答案:-1
a
【解析】1.选B.对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成 立,如z=i,z2=-1<0,所以①为假命题; 对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②为假命 题; 对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③为真命题.
2.由题意得:a2=2,-(2-b)=3,
所以a=± ;b=5. 2
【归纳总结】 1.复数分类的依据 复数分类的依据是虚数单位i,若含有i则为虚数,不含 有i则为实数;对于虚数,若实部为零,则又称其为纯虚 数.
2.两个复数相等的充要条件 (1)在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是 a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d. 若忽略前提条件,则结论不能成立.
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
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【自主预习】
1.复数的有关概念
(1)复数
①定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做
_________,满足i2= ___,a叫做复数的_____,b叫做复
数虚的数_单__位__.
-1
实部
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到 “化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题 来求解.
易错警示:两个复数不一定能比较大小,当两个复数都 是实数时,可以比较大小;两个虚数、或一个虚数与一 个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实数外,没 有大小关系.
类型一 复数的概念
【典例】1.给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0;
探究点2 复数的分类 1.a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的什么条件? 提示:当a=0,b=0时z=0∈R;a=0,b≠0时,z为纯虚数,所 以a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.
2.若z1,z2∈R, z12+ z22=0,则z1=z2=0,此命题对z1,z2∈C 还成立吗? 提示:不一定成立.比如z1=1,z2=i满足z12+ z22=0,但 z1≠0,z2≠0.
答案:± ,5 2
3.(1)由于x,y都是复数,故x+yi不一定是代数形式,因此 不符合两个复数相等的充要条件,故(1)是假命题. (2)当a=0时,ai=0为实数,故(2)为假命题. (3)由复数集的分类知,(3)正确,是真命题.
【方法技巧】判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即 可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般, 先否定,后肯定”的方法进行解答.
【解题探究】1.典例1中虚数的平方是否大于等于0?复 数中的虚部是否一定为实数? 提示:虚数的平方不一定大于等于0,复数中的虚部一定 为实数. 2.典例2中复数z=a2-(2-b)i的实部与虚部分别是什么? 提示:实部为a2,虚部为-(2-b).
3.典例3(1)中数x,y是否一定为实数? 提示:(1)中数x,y不一定为实数,也可能是虚数.
(2)化代数形式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把 复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才 能确定复数的实、虚部. 特别提醒:解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢 记i的性质.
1
0，
4.若x,y为实数且满足(2x-y)i+(x-y)=3+2i,则
x=________,y=________.
【解析】由题意知 2x y 2,
解得
x y 3.
x 1,
答案:-1y -44.
【知识探究】 探究点1 复数的有关概念 1.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:不一定,只有当a,b∈R时,a才是实部,b才是虚部.
i=- .
1
1
1
(2)i与实数之间可以进行四则运算:这条性质是数系扩 充的原则之一,这里只提到加、乘运算,没提到减、除 运算,并不是对减法与除法不成立,而是为了与后面讲 复数的四则运算时,只对加法、乘法法则作出规定,而 把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致.
特别提醒:数系扩充后在复数的代数形式a+bi的表示中 注意a,b∈R这一条件.
虚部
②表示方法:复数通常用_字__母__z_表示,即_z_=_a_+_b_i_(_a_,_b_ _____,这一表示形式叫做复数的代数形式. ∈R)
(2)复数集
①定义:_________所成的集合叫做复数集. 全体复数
②表示:通常用大写字母C表示.
2.复数的分类 (1)对于复数z=a+bi(a,b∈R)而言, ①z为实数⇔b=0, ②z为虚数⇔b≠0, ③z为纯虚数⇔
a 0, b 0.
(2)集合表示:
3.复数相等的充要条件 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔_________.
a=c且b=d
【即时小测】
1. i-1的实部和虚部分别是 ( )
5
A. ,-1
B.-1,
C.15,
D. ,15
【解析5】选B. i-1=-1+ i=5a+bi,
所以实部a=-1,5虚部b= 5.
②2i-1虚部是2i;③2i的实部是0.其中真命题的个数
为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.(2016·启东高二检测)已知复数z=a2-(2-b)i的实部 和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是________. 3.判断下列命题的真假. (1)若x,y∈C,则x+yi=1+2i的充要条件是x=1,y=2. (2)若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应. (3)实数集的补集是虚数集.