二重积分计算习题

[2 3
x3
2 3
x]
1 1
8 3
习题解答 习题8-2 P288 1题(4)
(2) x cos( x y)d ,其中D是顶点分别为(0,0),( ,0)
D
和( , )的三角形闭区域.
y
解 积分区域下图所示
x cos( x y)d
D
x
D
0 dx0 x cos( x y)dy
o
x
0
x[sin( x
4 改换下列二次积分的积分次序
（1）
1
dy
y
f ( x, y)dx
00
解
二重积分的积分区域为D
00
y x
1 y
,
如下图所示：
y
故
1
y
dy f ( x, y)dx
00
D
1
1
0 dxx f ( x, y)dy
o
x
习题解答 习题8-2 P289 4题(2)-----作业题
2
2y
(2) dy f ( x, y)dx
解 积分区域如下图所示
y
( x2 y2 x)d
D
D
2
dy
y
y(
x
2
y2
x)dx
0
2
o
x
2 x3 [ 03
y2x
x2 ]
2
y y
dy
2 19 (
y3
3
y 2 )dy
0 24 8
2
[19 24
1 4
y4
1 8
y3]
2 0
13 6
习题解答 习题8-2 P289 3题(1)-----作业题
1
2 x
解 积分区域为 D : 1 x 2,2 x y 2x x2
或2
y
0y x 1
1
1
y
2
如图所示
y
故
2
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
1
2 x
1
1 1 y2
dy
f ( x, y)dx.
0 2 y
(1,1) D
2x
习题解答 习题8-2 P289 4题(5)
e
ln x
谢 谢！
让我们共同进步
谢谢观看！ 2020
(4) 1 dx0 f ( x, y)dy
解 积分区域为 D : 1 x e,0 y ln x.
如右图所示：
y
e
ln x
1 dx0 f ( x, y)dy
1e
dy f ( x, y)dx
0
ey
(e ,1)
D
o
1
x
先将本题与P287 例6进行比较,有何不同?
6 利用极坐标计 ln(1 x2 y2 )d ,其中D是由圆周
0
y2
解 积分区域应为
D
:
0 y
y2 2 x2
y
或
0 x
2
x y
4
x
如图所示
y
(4,2)
故Leabharlann Baidu
2
2y
dy f ( x, y)dx
0
y2
D
4
x
0 dxx f ( x, y)dy
o
x
2
习题解答 习 题8-2 P289 4题(4)-----作业题
2
2 x x2
(3) dx
f ( x, y)dy
x4 4
]
2 1
9 4
习题解答 习题8-2 P290 11题(4)
（2） x2 y2d ,其中D是圆环形闭区域
D
{(x, y) a2 x2 y2 b2 }
解 D如下图所示：
y
则 x2 y2d
D
2
b
0 d a r rdr
2
1r3 3
b a
2 (b3 a3 )
3
oa
b x
放映结束 感谢各位观看！
4
1x
习题解答 习题8-2 P290 11题(1) 7 计算下列各题
（1）
D
x y
2 2
d
.其中D是由直线x
2, y
x及曲线xy
1
所围成的闭区域；
解 区域D如下图所示:
y
故
D
x y
2 2
d
2
dx
1
x x2
1 x
y 2 dy
2 1
x
2[
1] y
x 1
dx
x
2
( x
x3
)dx
1
D
o
2x
[
x2 2
D
x2 y2 1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.
解 D如下图所示
y
ln( x2 y2 1)d
D
2 d 1ln(1 r 2 )rdr
0
0
1
D r
1 1ln(1 r 2 )d(1 r 2 ) 22 0
[(1
4
r2
) ln( 1
r
2)
1 0
1
2rdr ]
0
(2ln 2 1)
习题解答 习题8-2 P288 1题(1)
1 计算下列二重积分：
(1) ( x2 y2 )d ,其中D {(x, y) x 1, y 1}
D
解 积分区域下图所示
y
( x2 y2 )d
D
1
dx
1 (x2
y2 )dy
1 1
D
x
1 [x2
1
y
1 3
y2
]
11dx
1 (2x2
1
2)dx 3
D
y x2所围成的区域
解 积分区域下图所示
x yd
D
D
1
x
dx ydy
0
x2
x
[2 3
y
3 2
]
x x2
dx
12 (
7
x4
2x4 )dx
03
3
6
55
习题解答 习题8-2 P289 2题(4)
(2) ( x2 y2 x)d ,其中D是由直线y 2, y x
D
及y 2x所围成的闭区域..
4
习题解答 习题8-2 P289 3题(3) (2) 由直线y x, x 2及双曲线y 1 ( x 0)所围成的 x
区域
y
解 积分区域如下图所示
故
2
x
I
dx
1
1 f ( x, y)dy
x
D
o
x
或
I
12
2
2
1 dy
1
f ( x, y)dx
dy
1
f ( x, y)dx
y
2
y
习题解答 习题8-2 P289 4题(1)
y
)]
0
dx
x(sin 2x sin x)dx
0
1
xd( cos 2x cos x) 02
x(1 cos
32.
2x
cos
x)
0
(1 cos 2x cos x)dx 02
2
习题解答 习题8-2 P288 2题(1)-----作业题 2 画出积分区域，并计算下列二重积分
(1) x yd ,其中D是由两条抛物线y x,
3 化二重积分I f ( x, y)d为二次积分（分别列
D
出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）,其中
积分区域是：
(1) 由直线y x及抛物线y2 4x所围成的闭区域
解 积分区域如下图所示：
y
故 I f ( x, y)d
D
4
2x
0 dxx f ( x, y)dy
D
o
x
4
y
或 I dy y2 f ( x, y)dx 0