二重积分计算习题
二重积分习题
a:=0..1;
b:=x-1..-x+1;
f:二exp(x+y);
int(f,y=b);
in t(i nt(f,y二b),x二a);
simpliW)；
3、如果二重积分f (x,y)d的被积函数f (x, v)是两个函数f'x)及f2(v)的乘积，即
D
f (x, V) f1(x)f2(v),积分区域D {( x, v) |a x b,c y d},证明这个二重积分等于两个单 积分的乘积，即
bd
f (x, v)df1(x)dxf2(v)dv.
ac
D
精心整理
bdb
f)(x)f2(y)dy dxf1(x)dx
ln2 2
0dyeyf (x,y)dx.
所围成的闭区域
2 2
ay
0f(x, y)dx.
y 3
图形
于是
D
(II)由于D {( x, y) | x2
y.R
D
2x2
y2d
2
y
0
R2}关于x轴对称，且f(x,y) y_R2x2y2为y的奇函数，于是
(III)
{(x,y)|x2y2
R2}关于x轴对称,且f(x,y)
3
y
1x y
3
y cosx
d1 x2y2
3
,
精心整理
(1)Il(x y)2d与I2(X y)3d，其中D是由x轴、y轴与直线x y 1所围成；
2
I1ln(x y)d [lnΒιβλιοθήκη x y)] d I2.DD
4
(1)I xy(x y 1)d,
D
其中D {(x,y)|0 x 1,0 y 2}；
计算下列二重积分
习题9-21. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; (2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:(1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域; (2)⎰⎰-+D d x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域. 3. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;(2)由直线y =x , x =2及双曲线xy 1=(x >0)所围成的闭区域; (3)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.4. 改换下列二次积分的积分次序:(1)⎰⎰ydx y x f dy 010),(; (2)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy; (3)⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ; (4)⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(;5. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量.6. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.7. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.8. 画出积分区域, 把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是:(1){(x , y )|x 2+y 2≤2x };(2){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.9. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1)⎰⎰1010),(dy y x f dx ; (2)⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx ; 10. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax a dy y x dx ; (2)⎰⎰-+xx dy y xdx 212210)(; 11. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+D y x d eσ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域; (2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;12. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)dxdy yx D 22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域. (2)⎰⎰++--Dd y x y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域; 13. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.14. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.。
二重积分的计算习题课
y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗 型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等 充分利用对称性， 充分利用对称性 几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其 中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1： 型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二 数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)
二重积分练习题(二)
O3
直角坐标系下的练习题
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}xy^{2}dxdy$
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}(x + y)dxdy$
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{2}(x - y)dxdy$
极坐标系下的练习题
计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}int_{0}^{1}r^{2}costheta dtheta dr$
确定积分区域
拆分积分
逐个积分
极坐标系下的计算方法
将直角坐标转换为极坐标，即$x = rho cos theta, y = rho sin theta$。
将二重积分拆分为两个定积分，即$int int f(rho,theta) dA = int drho int f(rho,theta) dtheta$。
二重积分的几何意义
二重积分表示二维平面上的曲顶柱体的体积。 当f(x,y) > 0时，二重积分表示曲顶柱体的体积，其中f(x,y)是曲顶的函数。 当f(x,y) < 0时，二重积分表示曲顶柱体的体积的负值，即该体积的负值。 当f(x,y) = 0时，二重积分表示曲顶柱体的边界形状的面积。
二重积分的计算方法
二重积分的综合应用
O4
1
2
3
利用二重积分可以计算由平面曲线围成的平面区域的面积。
计算面积
利用二重积分可以计算由曲面围成的三维空间的体积。
计算体积
通过二重积分可以求出平面薄片的重心坐标。
计算平面薄片的重心
在几何中的应用
在物理中的应用
利用二重积分可以计算分布不均匀的物体的质量。 计算质量 通过二重积分可以求出两个质点之间的引力。 计算引力 利用二重积分可以计算空间中电荷分布产生的电场强度。 计算电场强度
二重积分计算习题
x D关于x、y轴对称 y
2I D / 2 I D 4I D / 4 2I D / 2 ( I D 0)
例1
求以xOy面上的圆域 D {( x, y) | x2 y 2 1} 为底， 圆柱面
2 2 抛物面 z 2 x y x2 y 2 1 为侧面 ，
为顶的曲顶柱体的体积。 并在极坐标系下求其二重积分值
z
2
解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为
V (2 x y )d
2 2 D
其中积分区域D可表示为
O
x
y D {( x, y ) | 1 x 2 y 1 x 2 , 1 x 1}
由D的对称性及被积函数
f ( x, y) 2 x y
2
2
关于x，y均为偶函数可知 V 4
D a
b
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy
II、 y 型区域（先x后y）
V f ( x, y )dxdy dy
D c d
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y )dx
III、方法与步骤
① 绘出区域D的图形： ② 确定积分限： ③ 计算积分： ④ 利用奇偶性简化运算。
例3 计算二重积分
其中
e
D
x y
d
y
D {( x, y) || x | | y | 1}
1
解： 如图 D D1 D2
x y x y x y e d e d e 因此 d D D1 D2
e dx
x 1 0
0
x 1
与直线 2 x
二重积分(习题)
第九章 二重积分习题9-11、设⎰⎰+=13221)(D d y x I σ,其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;又⎰⎰+=23222)(D d y x I σ,其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=⎰⎰Dd y x f σ;(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Dd y x f d y x f σσ,其中1D 为D 在0≥x 的部分.并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222R y x y x D ≤+=.(I)⎰⎰D d xy σ4;(II)⎰⎰--D d y x R y σ222;(III)⎰⎰++Dd y x xy σ2231cos . 解：令⎰⎰=Dd y x f I σ),(,⎰⎰=1),(1D d y x f I σ,其中1D 为D 在0≥x 的部分,(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积为1I -,于是0=I ;(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积也为1I ,于是12I I =.(I)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4),(xy y x f =为x 的奇函数,于是04=⎰⎰Dd xy σ;(II)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰Dd y x R y σ;(III)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2231cos ),(y x x y y x f ++=为y 的奇函数,于是01cos 223=++⎰⎰Dd y x xy σ. 3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:(1)⎰⎰+=Dd y x I σ21)(与⎰⎰+=Dd y x I σ32)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成;解：由于在D 内,10<+<y x ,有23)()(0y x y x +<+<,所以1232)()(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.(2)⎰⎰+=Dd y x I σ)ln(1与⎰⎰+=Dd y x I σ22)][ln(,其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D . 解：由于在D 内,63<+<<y x e ,有1)ln(>+y x ,2)][ln()ln(y x y x +<+,所以221)][ln()ln(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值： (1)⎰⎰++=Dd y x xy I σ)1(,其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ；解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++<y x xy ,那么1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x xy σ.(2)⎰⎰++=Dd y x I σ)94(22,其中}4|),{(22≤+=y x y x D ；解：由于D 的面积为π4,且在D 内,25313949222≤+≤++≤y y x ,那么ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x .(3)⎰⎰++=Dy x d I 22cos cos 100σ, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ；解：由于D 的面积为200,且在D 内, 1001cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100200cos cos 1001022005110022=<++<⎰⎰D y x d σ＝. 习题9-21、计算下列二重积分：(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是矩形区域:1||,1||≤≤y x ；解：38)31(2)()(11211112222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x Dσ. (2)⎰⎰+Dy xd xye σ22,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=；解：⎰⎰⎰⎰⎰-==++b a x c d badcy xDdx xe e e dy xye dx d y x 22222)(21)()(22σ.))((412222c d a b e e e e --=. (3)⎰⎰+Dd y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域；解：320)224()23()23(22220=-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx d y x xDσ.(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形闭区域.解：πσππ23)sin 2(sin )cos()cos(000-=-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dx x x x dy y x x dx d y x x x D.2、画出积分区域,并计算下列二重积分：(1)⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域；解：556)(321044712=+==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx d y x xx Dσ.(2)⎰⎰Dd xyσ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；解：492321212===⎰⎰⎰⎰⎰xdx dy x y dx d x y x x Dσ. (3)⎰⎰+Dd y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域；解：619)112()2()2(2122211=--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx y x dy d y x y y Dσ.(4)⎰⎰+Dy x d e σ,其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域.解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+-+--+++=10110111x x y x x x y x Dy x dy e dx dy e dx d e σe e e e e e dx e e dx e e x x 1212232)()(101201112-=++-=-+-=⎰⎰---+. a:=0..1;b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a); simplify(");3、如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(的被积函数),(y x f 是两个函数)(1x f 及)(2y f 的乘积,即)()(),(21y f x f y x f =,积分区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即12(,)()()b d a c Df x y d f x dx f y dy σ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 证明：1212()()()()b d b da c a c f x f y dy dx f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.4、化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D 是：(1)由曲线x y ln =、直线2=x 及x 轴所围成的闭区域；>plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰==2ln 0221ln 0),(),(y ex dx y x f dy dy y x f dx I .(2)由y 轴及右半圆22y a x -=所围成的闭区域；>plot([(1-x^2)^(1/2),-1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-----==aay a ax a x a dx y x f dy dy y x f dx I 22222200),(),(.(3)由抛物线2x y =与直线32=+y x 所围成的闭区域.>plot([x^2,3-2*x],x=-3..1,color=1); 解：319201(,)(,)y y yyI dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰.5、改换下列二次积分的积分顺序： (1)⎰⎰10),(y y dx y x f dy ；解：⎰⎰=12),(x xdy y x f dx I .(2)⎰⎰10),(eey dx y x f dy ；解：⎰⎰=e xdy y x f dx I 1ln 0),(.(3)⎰⎰-+-11122),(y ydx y x f dy ；解：⎰⎰--=21222),(x x xdy y x f dx I .(4)⎰⎰⎰⎰-+21201),(),(2xx dy y x f dx dy y x f dx ；解：⎰⎰-=102),(y ydx y x f dy I .(5)⎰⎰-π0sin 2sin),(xx dy y x f dx ；>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰---+=1arcsin arcsin 01arcsin 2),(),(yyydx y x f dy dx y x f dy I ππ.(6)⎰⎰⎰⎰--+21202022),(),(2xa ax x ax dy y x f dx dy y x f dx .>plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+--+=aay a a ay a a ay dx y x f dy dx y x f dy I 020222222),(),(⎰⎰+a aaay dx y x f dy 2222),(.6、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成,它的面密度22),(y x y x +=ρ,求该改薄片的质量.>plot([2-x,x],x=0..2,y=0..1,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+==10222)(),(x yDdx y x dy d y x m σρ34)384438(1032=-+-=⎰dy y y y . 7、求由平面1,1,0,0=+===y x z y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.>with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y =0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20],axes=BOXED, scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR);解：⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=-++=-102101031)1(21)(]1)1[(dx x dy y x dx d y x V x Dσ.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m 500,宽m 20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x 轴(200≤≤x ),往公路延伸方向为y 轴(5000≤≤y ),且山坡高度为x y z 20sin 500sin 10ππ+=,试计算所需挖掉的土方量.>plot3d(10*sin(Pi*y/500)+sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解：)(70028)20sin 500sin10(32005000m dy x y dx zd V D =+==⎰⎰⎰⎰ππσ. 9、画出积分区域,把积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：(1))0( }0,|),{(222>≥≤+=a x a y x y x D ；>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：⎰⎰-=22)sin ,cos (ππθθθardr r r f d I .(2)}2|),{(22y y x y x D ≤+=；>plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1); 解：y y x 222=+⇔θsin 22r r =⇔θsin 2=r ,于是⎰⎰=πθθθθ0sin 20)sin ,cos (rdr r r f d I .(3)}|),{(2222b y x a y x D ≤+≤=,其中b a <<0；>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1); 解：⎰⎰=πθθθ20)sin ,cos (bardr r r f d I .(4)}0,10|),{(2x y x y x D ≤≤≤≤=.>plot([x^2,[[1,0],[1,1]]],x=0..1,color=1);解：2x y =⇔θθ22cos sin r r =⇔θθtan sec =r ,1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθθθθrdr r r f d I .10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1)⎰⎰11),(dy y x f dx ；>plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,1=y ⇔1sin =θr ⇔θcsc =r ,于是⎰⎰⎰⎰+=24csc 040sec 0)sin ,cos ()sin ,cos (ππθπθθθθθθθrdrr r f d rdr r r f d I . (2)⎰⎰--+1011222)(x xdy y x f dx ；>plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1); 解：x y -=1⇔θθcos 1sin r r -=⇔θθcos sin 1+=r ,于是⎰⎰+=201cos sin 1)(πθθθrdr r f d I .11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值： (1)⎰⎰-+ax ax dy y x dx 2020222)(；>plot((2*x-x^2)^(1/2),x=0..2,color=1);解：22x ax y -=⇔θθθ22cos cos 2sin r ar r -=⇔θcos 2a r =,于是4204420cos 20343cos 4a adr r d I a πθθππθ===⎰⎰⎰.(2)⎰⎰+103221xxdy yx dx ；>plot([3^(1/2)*x,x],x=0..1,color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是2132lnsec 3434sec 0++===⎰⎰⎰ππππθθθθd dr d I . (3)⎰⎰⎰⎰-+++a a x a a x dy y x dx dy y x dx 23022233302222.>plot([3^(1/2)*x/3,(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是36036002183a d a dr r d I a πθθππ===⎰⎰⎰.12、利用极坐标计算下列各题：(1)⎰⎰--Dd y x R σ222,其中D 为圆域Rx y x ≤+22(0>R )；>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：Rx y x =+22⇔θcos 2Rr r =⇔θcos R r =,于是)34(31322cos 022-=-=⎰⎰-πθππθR rdr r R d I R .(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；>plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解：)12ln 2(4)1ln(20102-=+=⎰⎰πθπrdr r d I .(3)⎰⎰Dd x yσarctan ,其中D 为圆周122=+y x ,422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的闭区域.>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1); 解：240402164323πθθθθππ===⎰⎰⎰d rdr d I .13、选择适当的坐标计算下列各题：(1)⎰⎰D d y x σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域；>plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解：49)(21321122=-==⎰⎰⎰dx x x dy y x dx I x x .(2)⎰⎰+Dd y x σ22sin ,其中D 是圆环形区域22224ππ≤+≤y x ；>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1); 解：22026sin πθπππ-==⎰⎰rdr r d I .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是由直线a y a y a x y x y 3,,,==+==(0>a )所围成的闭区域；>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);解：4332232214)32()(a dx a y a ay dx y x dy I a a a a y a y =+-=+=⎰⎰⎰-.(4)⎰⎰--Dd y x σ|1|22,其中D 为圆域422≤+y x .>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1);解：πππθθππ5292)1()1(2021220102=+=-+-=⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d I . 14、计算以xOy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底,而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：ax y x =+22⇔θcos 2ar r =⇔θcos a r =,于是4224422cos 0322323cos 4)(a d a dr r d d y x V a Dπθθθσππππθ===+=⎰⎰⎰⎰⎰--. 15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r 处的水深为215r +米,试求该水池的蓄水量. >plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：29.16)13ln 2(ln 51520502=+=+=⎰⎰πθπrdr r d V (米3). 16、讨论并计算下列广义二重积分： (1)⎰⎰Dq p y x d σ,其中}1,1|),{(≥≥=x xy y x D ； 解：))(1(11111011111p q q dx x q dy yx dx I q p q p q x q p --===-====>-+∞+->+∞+∞⎰⎰⎰. 即当1>>q p 时,广义二重积分收敛,且))(1(1q p q I --=. (2)⎰⎰+Dp y x d )(22σ,其中}1|),{(22≥+=y x y x D ； 解：1111220112-=====>-+∞-⎰⎰p dr r d I p p πθπ. 即当1>p 时,广义二重积分收敛,且1-=p I π.。
二重积分部分练习题
题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=（A ）0； （B ）323 （C ）643（D ）256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数，则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( ) (3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序是 (A)I 1＜I 2＜I 3; (B)I 3＜I 2＜I 1; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰，则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为(A)I 3＜I 2＜I 1; (B)I 1＜I 2＜I 3; (C)I 1＜I 3＜I 2; (D)I 3＜I 1＜I 2.答 ( ) (3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称，且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数，则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e －1;(C) 0; (D)π.答 ( ) (4分)[16]设D ：x 2+y 2≤a 2(a ＞0),当a =___________时，222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( ) 二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界，把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在，则称此极限值为______________的二重积分。
二重积分练习题(二)
化为先x 后y 的二次积分为
5.将二次积分 2 dx 2xx2 1 2x
f
(x,
y)dy
改换积分次序,
应为
6.将二次积分 1 dy 2
1 2
2
f (x, y)dx dy
f (x, y)dx
e2
ln y
1
( y1)2
改换积分次序应为
二重积分 6
7.设D是由直2. 1 1x
0
1 y
1 1 y
f (x, y)d dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
0
x1
1 0
00
D
3. 4
2x
4
y
f (x, y)d dx
0
x
f (x, y)dy
的闭区域，则 d
D
8.设D是由圆环
所确定的闭区
域，则 d
D
9.设D是由
所确定
的闭区域，若 d 4, 则
D
10.设D:
则(x y)d
D
二重积分 7
三、将二重积分 f (x, y)d 化为两种不同顺序
D
的二次积分，其中积分区域D是 1.由y 0, y x 和 x 1 围成. 2.由x y 1, x y 1 和 x 0围成. 3.由 y x 和 y2 4x 围成. 4.由y x2 和y 1 x2 围成.
5.
1
2y
dy f (x, y)dx
0
0
二重积分 10
答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D A C B
二重积分习题及答案
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
二重积分习题课
，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。
1 1x
【例1】 设
f(x,y)dxdydx f(x,y)d ，y则改变其 00
D
积分次序后为
。
1x
1
(a) dy f(x,y)dx
0
0
1 1x
(b) dy f(x,y)dx 00
11
(c) dy f(x,y)dx 00
1 1y
(d) dy f(x,y)dx 00
[解] （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变 量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者 后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因 是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。
二 极坐标系中积分限的确定
积，又因 f(,)0.
故 f(x,y)d0 (P0,)
与假设矛盾，即知在D内有f(x,y) 0. 2. 累次积分型的命题的证明 证题思路：累次积 化 分 为 重积 分 化 为 另一次序的累次 证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的 无关性。
再 以 过 x z y 向 ( (x (y X 过 , z y [O [面 a ) , ， b Y (]投 D 作 )x x y ]D )zy 作 影 z/作 )作 r Y /Z X /轴 / 轴 轴 Y /Z X 用 轴 轴 射 轴 极 的 的 的 D 的 的 线 的 坐 r的 得 直 直 直 标 D D 直 直 x y 穿 直 y x , y z ,变 z 得 入 得 得 线 r 得 线 得 线 1(线 线 越 线 )[和 化 入 点 入 入 y 穿 ,入 z x 穿 y 入 穿 1 z 1 1 x 1 (1 (1 (x (z ]穿 (z y 穿 x 穿 x ))y ,和 出 ,和 ,z r 范 点 y 点 2 点 z)越 点 越 点 )越 (和 ) 和 和 )越 越 越 出 点 出 y 围 x z2 2 出 ((出 y 出 z x zzy x 2 )2 )2 ()((x 点 点 xy ,,z ,y 点 z )点 点 )) 再(r过 ,) (D r)作 /Z /轴的直 得 线 入 z1(穿 r,点 )和 越出 z2(r,点 )
二重积分的习题答案
二重积分的习题答案二重积分的习题答案二重积分是高等数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
在学习二重积分的过程中，我们经常会遇到各种各样的习题。
本文将针对一些常见的二重积分习题，给出详细的解答。
1. 计算二重积分∬D(x^2 + y^2)dxdy，其中D为单位圆盘。
解答：首先，我们需要确定积分的区域D。
单位圆盘可以表示为D={(x,y)|x^2+y^2≤1}。
接下来，我们将积分区域D分解为极坐标系下的积分区域。
在极坐标系下，我们可以将x和y表示为x=r*cosθ，y=r*sinθ。
根据极坐标系下的面积元素dA=rdrdθ，我们可以将原积分转化为极坐标下的二重积分。
∬D(x^2 + y^2)dxdy = ∫∫D(r^2)rdrdθ对于极坐标下的积分区域D，r的取值范围为0到1，θ的取值范围为0到2π。
因此，我们可以得到：∫∫D(r^2)rdrdθ = ∫0^1∫0^2π(r^3)drdθ计算这个二重积分，我们可以得到：∫0^1(r^3)dr * ∫0^2πdθ = (1/4) * 2π = π/2因此，二重积分∬D(x^2 + y^2)dxdy的结果为π/2。
2. 计算二重积分∬Dxydxdy，其中D为由y=x^2和y=2x的曲线所围成的区域。
解答：我们可以通过绘制图像来确定积分区域D。
根据题目给出的曲线方程y=x^2和y=2x，我们可以发现它们的交点为(0,0)和(2,4)。
通过计算两条曲线的交点，我们可以确定积分区域D的边界。
在x轴上，积分区域D的边界为x=0和x=2。
在y轴上，积分区域D的边界为y=0和y=4。
因此，积分区域D可以表示为D={(x,y)|0≤x≤2, x^2≤y≤2x}。
接下来，我们可以计算二重积分∬Dxydxdy。
首先，我们需要确定积分的次序。
由于积分区域D可以表示为0≤x≤2和x^2≤y≤2x，因此我们可以选择先对y进行积分，再对x进行积分。
∬Dxydxdy = ∫0^2∫x^2^2xxydydx对于y的积分，我们可以得到：∫x^2^2xxydy = [1/2xy^2]x^2^2x = [1/2x(2x)^2]x^2^2x = 2x^5 - 1/2x^3接下来，我们对x进行积分，得到：∫0^2(2x^5 - 1/2x^3)dx = [1/3x^6 - 1/4x^4]0^2 = (1/3(2)^6 - 1/4(2)^4) -(1/3(0)^6 - 1/4(0)^4)计算这个二重积分，我们可以得到：(1/3(2)^6 - 1/4(2)^4) - (1/3(0)^6 - 1/4(0)^4) = 128/3 - 4/3 = 124/3因此，二重积分∬Dxydxdy的结果为124/3。
二重积分练习题
二重积分练习题一、选择题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是圆x^2+y^2=1的内部区域。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π2. 以下哪个选项是计算二重积分∬D(x^2-y^2)dA的正确方法？A. ∫∫(x^2-y^2)dxdyB. ∫∫(x^2-y^2)dAC. ∫∫(x^2+y^2)dxdyD. ∫∫(x^2+y^2)dA3. 如果D是正方形区域，其顶点为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)，计算∬D(x-y)dA的结果是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是单位圆盘，结果为________。
2. 计算二重积分∬D(x+y)dA，其中D是区域x^2+y^2≤4，结果为________。
3. 如果D是区域0≤x≤1，0≤y≤x^2，计算∬D(2x+y)dA的结果为________。
三、解答题1. 计算二重积分∬D(3x^2-2y^2)dA，其中D是由曲线y=x^2和直线y=x围成的区域。
2. 计算二重积分∬D(1/(x^2+y^2))dA，其中D是单位圆盘x^2+y^2≤1。
3. 计算二重积分∬D(xy)dA，其中D是区域由直线y=x，y=2x和x轴围成。
四、证明题1. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(x^2+y^2)dA，其中D是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内部区域，其结果为πab。
2. 证明对于任意的正数a和b，二重积分∬D(1/√(x^2+y^2))dA，其中D是圆x^2+y^2≤a^2和x^2+y^2≤b^2的交集区域，其结果为1/2π*ln(b/a)。
五、应用题1. 一块矩形金属板的厚度为t，其面积为A，密度为ρ。
如果金属板的重心位于板的几何中心，求金属板的质量。
2. 一个圆环的内半径为a，外半径为b，圆环的密度为ρ。
如果圆环的重心位于圆环的几何中心，求圆环的质量。
二重积分的计算习题
变量替换法简化计算过程
变量替换法的基本思想：通过变量替换，将复杂的被积函数或积分区域转化为简单的形式，从而简化 计算过程；
常用的变量替换法有极坐标替换、广义极坐标替换等；
极坐标替换法适用于被积函数中含有x^2+y^2或积分区域为圆、圆环、扇形等情况。通过极坐标替换， 可将二重积分化为极坐标系下的累次积分进行计算。
பைடு நூலகம்
02 直角坐标系下二重积分计 算方法
累次积分法求解步骤与实例分析
01
步骤一
02
确定积分区域D，并画出其图形；
步骤二
根据被积函数和积分区域的特 点，选择适当的积分次序；
03
步骤三
04
将二重积分化为累次积分，并计 算之。
实例分析
计算二重积分∫∫D xydσ，其中D 是由直线y=x，x=1及x轴所围成 的闭区域。首先，确定积分区域D， 并画出其图形；其次，选择先对y 积分再对x积分的次序；最后，将 二重积分化为累次积分 ∫(0,1)dx∫(0,x) xydy，并计算得到 结果为1/4。
二重积分的计算习
目录
• 二重积分基本概念与性质 • 直角坐标系下二重积分计算方法 • 极坐标系下二重积分计算方法 • 二重积分在几何和物理中应用 • 数值方法求解二重积分简介 • 总结回顾与拓展延伸
01 二重积分基本概念与性质
二重积分定义及物理意义
二重积分定义及物理意义
$lim_{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i) Delta sigma_i = J$
精度与步长
数值求积公式的精度取决于步长 （即小矩形的边长）的大小。步 长越小，精度越高，但计算量也 越大。
任意区域上数值求积公式应用
高等数学 重积分 (9.2.2)--二重积分的计算
习题 9.21. 将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化为两种不同次序的二次积分, 其中D 是：(1) 由曲线ln y x =，直线2x =及x 轴所围成的闭区域；(2) 由抛物线2y x =与直线23x y +=所围成的闭区域；(3) 由曲线sin y x =(0πx ≤≤)与x 轴所围成的闭区域；(4) 由曲线3y x =与直线1x =-及1y =所围成的闭区域.2. 计算下列二重积分.(1) 22()d d D x y x y +⎰⎰，其中(){},||1,||1D x y x y =≤≤；(2) 22(e )d d x y Dxy x y ++⎰⎰，其中(){},|11,01D x y x y =-≤≤≤≤；(3) 2e d d xy Dxy x y ⎰⎰，其中(){},|01,01D x y x y =≤≤≤≤； (4) 22sin()d d D x y xy x y ⎰⎰，其中()π,0,022D x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭； (5) 22d d D x x y y ⎰⎰，D 是由曲线2x =，y x =，1xy =所围成的闭区域； (6) cos()d d Dx x y x y +⎰⎰，D 是顶点为(0,0)，(π,0)，(π,π)的三角形闭区域；(7) d d Dxy x y ⎰⎰，D 是由抛物线2y x =与直线2y x =-所围成的闭区域；(8) sin d D x xdy y ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰，D 是由直线y x =，2y =与曲线3x y =所围成的闭区域； 3. 设[,][,]D a b c d =⨯，证明：()()()()d d ()d ()d b d a c D f x g y x y f x x g y y =⎰⎰⎰⎰. 4. 交换下列二次积分的次序(假定(,)f x y 为连续函数).(1)1 0 d (,)d yy f x y x ⎰⎰; (2) 2 1 2 2 0 0 1 0d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰; (3) 21 22 d (,)d y y y f x y x --⎰⎰; (4)2 0d (,)d x f x y y ⎰.5. 通过交换积分次序计算下列二次积分.(1)1/3 1 10 d y y x ⎰⎰;(2) π π 0 sin d d xy x y y ⎰⎰; (3) 2 1 3 0 3d e d x y y x ⎰⎰;(4) 2 22 0 d 2sin()d x x y xy y ⎰⎰;(5)π 1 2 0 arcsin d cos y y x ⎰⎰; (6)π0d x y ⎰⎰. 6. 利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性, 计算下列二重积分.(1) ||d d D xy x y ⎰⎰，其中{}222(,)D x y x y R =+≤；(2) 23(tan 4)d d D x x y x y ++⎰⎰，其中{}22(,)4D x y x y =+≤；(3) 2(1)arcsind d D y x x x y R ++⎰⎰，其中{}222(,)()D x y x R y R =-+≤; (4) (||||)d d Dx y x y +⎰⎰，其中{}(,)||||1D x y x y =+≤.7. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标形式下的二次积分，其中积分区域D 为:(1) 22x y ax +≤ (0a >)；(2) 2214x y ≤+≤；(3) 01x ≤≤，01y x ≤≤-；(4) 222()x y x y +≤+；(5) 2224x x y ≤+≤.8. 利用极坐标计算下列二重积分.(1)d Dx y ，其中22{(,)}D x y x y Rx =+≤；(2) arctan d d Dy x y x ⎰⎰，其中22{(,)|14D x y x y =≤+≤, 0,}y y x ≥≤； (3) 22()d d D x y x y +⎰⎰，其中{}222222(,)()()D x y x y a x y =+≤-；(4)d D x y ，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥； (5) d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 是第一象限中由圆周221x y +=与222x y x +=所围成的闭区域；(6) 22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是第一象限中由圆周222x y y +=，224x y y +=及直线x，y 所围成的闭区域.9. 设,r θ为极坐标，交换下列二次积分的次序： (1)π2cos 2π 02d (,)d a f r r θθθ-⎰⎰(0a >);(2)π20 0d (,)d f r r θθ⎰⎰(0a >)； (3)00d (,)d a f r r θθθ⎰⎰(02πa <<).10. 将下列二次积分化为极坐标形式的二次积分, 并计算积分值.(1)22 1 0 0d d x y x y +⎰⎰; (2)2 0 d d y y y x x⎰⎰; (3)222 0d d y y x ⎰⎰; (4)2 0d x y ⎰⎰; (5)1 22 1 0 0d d d d x x y x xy y x y ++⎰⎰⎰; (6)2210d d xyx y y x +⎰.11. 作适当的变量变换，计算下列二重积分.(1) 22sin(94)d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限内的部分；(2) 22d d Dx y x y ⎰⎰, 其中D 是由双曲线1xy =,2xy =与直线x y =,4x y =所围成的位于第一象限的闭区域；(3) 2222d d D x y x y ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中D 是椭圆形闭区域22221y x a b +≤； (4) e d d x y Dx y +⎰⎰，其中D 是闭区域||||1x y +≤.(5) 32()cos ()d d Dx y x y x y +-⎰⎰，其中D 是以(π,0),(3π,2π),(2π,3π),(0,π)为顶点的平行四边形闭区域.12. 利用两种给定的变换(1) ,u x y v x y =+=-; (2) 22,u x y v xy =+=,计算二重积分222()()e d d x y D x y x y +-⎰⎰,其中(,)D x y y x y ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎪⎩⎭.。
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0
y2
解 积分区域应为
D
:
0 y
y2 2 x2
y
或
0 x
2
x y
4
x
如图所示
y
(4,2)
故
2
2y
dy f ( x, y)dx
0
y2
D
4
x
0 dxx f ( x, y)dy
o
x
2
习题解答 习 题8-2 P289 4题(4)-----作业题
2
2 x x2
(3) dx
f ( x, y)dy
3 化二重积分I f ( x, y)d为二次积分（分别列
D
出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）,其中
积分区域是：
(1) 由直线y x及抛物线y2 4x所围成的闭区域
解 积分区域如下图所示：
y
故 I f ( x, y)d
D
4
2x
0 dxx f ( x, y)dy
D
o
x
4
y
或 I dy y2 f ( x, y)dx 0
习题解答 习题8-2 P288 1题(1)
1 计算下列二重积分：
(1) ( x2 y2 )d ,其中D {(x, y) x 1, y 1}
D
解 积分区域下图所示
y
( x2 y2 )d
D
1
dx
1 (x2
y2 )dy
1 1
D
x
1 [x2
1
y
1 3
y2
]
11dx
1 (2x2
1
2)dx 3
D
x2 y2 1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.
解 D如下图所示
y
ln( x2 y2 1)d
D
2 d 1ln(1 r 2 )rdr
0
0
1
D r
1 1ln(1 r 2 )d(1 r 2 ) 22 0
[(1
4
r2
) ln( 1
r
2)
1 0
1
2rdr ]
0
(2ln 2 1)
解 积分区域如下图所示
y
( x2 y2 x)d
D
D
2
dy
y
y(
x
2
y2
x)dx
0
2
o
x
2 x3 [ 03
y2x
x2 ]
2
y y
dy
2 19 (
y3
3
y 2 )dy
0 24 8
2
[19 24
1 4
y4
1 8
y3]
2 0
13 6
习题解答 习题8-2 P289 3题(1)-----作业题
D
y x2所围成的区域
解 积分区域下图所示
x yd
D
D
1
x
dx ydy
0
x2
x
[2 3
y
3 2
]
x x2
dx
12 (
7
x4
2x4 )dx
03
3
6
55
习题解答 习题8-2 P289 2题(4)
(2) ( x2 y2 x)d ,其中D是由直线y 2, y x
D
及y 2x所围成的闭区域..
(4) 1 dx0 f ( x, y)dy
解 积分区域为 D : 1 x e,0 y ln x.
如右图所示：
y
e
ln x
1 dx0 f ( x, y)dy
1e
dy f ( x, y)dx
0
ey
(e ,1)
D
o
1
x
先将本题与P287 例6进行比较,有何不同?
6 利用极坐标计 ln(1 x2 y2 )d ,其中D是由圆周
y
)]
0
dx
x(sin 2x sin x)dx
0
1
xd( cos 2x cos x) 02
x(1 cos
32.
2x
cos
x)
0
(1 cos 2x cos x)dx 02
2
习题解答 习题8-2 P288 2题(1)-----作业题 2 画出积分区域，并计算下列二重积分
(1) x yd ,其中D是由两条抛物线y x,
4 改换下列二次积分的积分次序
（1）
1
dy
y
f ( x, y)dx
00
解
二重积分的积分区域为D
00
y x
1 y
,
如下图所示：
y
故
1
y
dy f ( x, y)dx
00
D
1
1
0 dxx f ( x, y)dy
o
x
习题解答 习题8-2 P289 4题(2)-----作业题
2
2y
(2) dy f ( x, y)dx
谢 谢！
让我们共同进步
谢谢观看！ 2020
1
2 x
解 积分区域为 D : 1 x 2,2 x y 2x x2
或2
y
0y x 1
1
1
y
2
如图所示
y
故
2
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
1
2 x
1
1 1 y2
dy
f ( x, y)dx.
0 2 y
(1,1) D
2x
习题解答 习题8-2 P289 4题(5)
e
ln x
x4 4
]
2 1
9 4
习题解答 习题8-2 P290 11题(4)
（2） x2 y2d ,其中D是圆环形闭区域
D
{(x, y) a2 x2 y2 b2 }
解 D如下图所示：
y
则 x2 y2d
D
2
b
0 d a r rdr
2
1r3 3
b a
2 (b3 a3 )
3
oa
b x
放映结束 感谢各位观看！
4
1x
习题解答 习题8-2 P290 11题(1) 7 计算下列各题
（1）
D
x y
2 2
d
.其中D是由直线x
2, y
x及曲线xy
1
所围成的闭区域；
解 区域D如下图所示:
y
故
D
x y
2 2
d
2
dx
1
x x2
1 xy 2 dy来自2 1x2[1] y
x 1
dx
x
2
( x
x3
)dx
1
D
o
2x
[
x2 2
[2 3
x3
2 3
x]
1 1
8 3
习题解答 习题8-2 P288 1题(4)
(2) x cos( x y)d ,其中D是顶点分别为(0,0),( ,0)
D
和( , )的三角形闭区域.
y
解 积分区域下图所示
x cos( x y)d
D
x
D
0 dx0 x cos( x y)dy
o
x
0
x[sin( x
4
习题解答 习题8-2 P289 3题(3) (2) 由直线y x, x 2及双曲线y 1 ( x 0)所围成的 x
区域
y
解 积分区域如下图所示
故
2
x
I
dx
1
1 f ( x, y)dy
x
D
o
x
或
I
12
2
2
1 dy
1
f ( x, y)dx
dy
1
f ( x, y)dx
y
2
y
习题解答 习题8-2 P289 4题(1)