广州市高中数学知识应用竞赛决赛试题[整理]
高二数学竞赛试题及答案广东
高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。
令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。
在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。
2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。
试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。
2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。
答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。
当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。
广东省高中竞赛试题及答案
广东省高中竞赛试题及答案广东省高中数学竞赛试题及答案试题一：题目：已知函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求该函数的极值点。
解答：首先，我们需要找到函数的导数 \( f'(x) \)。
对 \( f(x) \) 求导，得到：\[ f'(x) = 6x - 2 \]令 \( f'(x) = 0 \)，解得：\[ 6x - 2 = 0 \]\[ x = \frac{1}{3} \]接下来，我们需要确定这个点是极大值点还是极小值点。
由于\( f'(x) \) 在 \( x < \frac{1}{3} \) 时为负，在 \( x >\frac{1}{3} \) 时为正，所以 \( x = \frac{1}{3} \) 是函数的极小值点。
将 \( x = \frac{1}{3} \) 代入原函数，得到极小值：\[ f\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 -2\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = \frac{1}{3} \]试题二：题目：解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
解答：这是一个二次方程，我们可以使用因式分解的方法来解它。
方程可以分解为：\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]这意味着 \( x - 2 = 0 \) 或 \( x - 3 = 0 \)，所以解为：\[ x = 2 \quad \text{或} \quad x = 3 \]试题三：题目：在直角坐标系中，点 \( A(1, 2) \) 和点 \( B(4, 6) \)，求直线 \( AB \) 的方程。
解答：首先，我们需要找到直线 \( AB \) 的斜率 \( m \)。
斜率公式为：\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]\[ m = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} \]接下来，我们使用点斜式方程 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，将点\( A(1, 2) \) 代入：\[ y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1) \]将方程整理为一般形式：\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} + 2 \]\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} \]结束语：以上是广东省高中数学竞赛的三道试题及其解答。
广东高二高中数学竞赛测试带答案解析
广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.A．B．C．D．2.若A．1B．1或C．D．1或3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．174.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．三、填空题1.已知 ;2.不等式的解集为3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F,求直线BC的方程.5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.A．B．C．D．【答案】 D【解析】略2.若A．1B．1或C．D．1或【答案】B【解析】略3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．17【答案】C【解析】略4.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．【答案】 D【解析】略6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负【答案】A【解析】略二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．【答案】C【解析】略三、填空题1.已知 ;【答案】【解析】略2.不等式的解集为【答案】（0,2）【解析】略3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)【答案】12【解析】略4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为【答案】【解析】略5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填【答案】【解析】略6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是【答案】②③④【解析】略四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.【答案】 y=2cos2x，的单调递增区间为【解析】∴又…………………………………………………7分(或由恒成立) ∴…………………………………………8分(2)由(1)得…………………………………10分令得的单调递增区间为…………………………………12分2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?【答案】0.024，，0.4，【解析】(1)由题意知,成绩分布在间的频率为0.9,3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.【答案】①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 "【解析】(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 " ………………………5分⑵由(1)知PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PADCD面PCD∴面PAD⊥面PCD ……………………9分⑶取PD中点F,连结EF;则EF在,PA=AD,PA AD∴AF⊥PD且又由(2)知面PAD⊥面PCD∴AF⊥面PCD∴∠AEF为AE与面PCD所成的角…………………………………12分在△AEF中, ∠AFE=900,,EF=1∴即AE与面PCD所成角的余弦值为…………………………………14分(3)由E为PC中点∴E由(2)知面PCD的一个法向量为设AE与面PCD所成角为即AE与面PCD所成角的余弦值为4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F, 求直线BC的方程.【答案】，2x+2y+5=0【解析】18、解:(1)设又由…………………………2分由①②消去t得点P的轨迹方程为:……………………………7分5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】见详解答案【解析】当,在上为增函数,此时, …………9分当,在上为减函数,在上为增函数;此时, …………11分当,在上为减函数,此时, ……13分综上,存在满足题意. …………………14分6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.【答案】，，4【解析】20、解:⑴由题意有:又由…………………………………4分⑶由(2)知故使原不等式成立的最小正整数为4. …………………………………14分。
广东省广州市天河中学2024-2025学年高三上学期11月测试数学试题
C．不等式 -4 < f (2x -1) < 0 的解集为{x |1 < x < 2}
( ) D．当 0 < x <
π 2
时，
f
(sinx) >
f
sin2 x
11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 1，2，3，4 的四个外观相同的空箱子中随机选择 一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖 人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并 问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了 1 号箱，在箱子打开之
$y
=
2x
+3
6
，若 å
xi
=
30
，则
i =1
6
å yi = 63
i =1
D．对于独立性检验，随机变量 c 2 的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越 小
10．设函数 f ( x) = (x -1)2 ( x - 4) ，则（ ）
A． x = 1 是 f ( x) 的极小值点
B． f (2 + x) + f (2 - x) = -4
作 CD
^
(1)求证：数列{bn} 为等比数列；
(2)若 1 a1
+
1 a2
+
1 a3
+L+
1 an
>
n 2024 ，求满足条件的最小正整数 ．
16．在V ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 c = 2b ， 2sin A = 3sin 2C ．
(1)求 a 的值； b
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2014年广州市数学竞赛高二真题试题(含参考答案)
2014年广州市数学竞赛高二试题2014. 5. 10 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数=z ，z 是z 的共轭复数，则⋅z z 的值是 A ．14 B ．12C ．2D ．4 2．已知向量a 2,3x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与向量b ()3,2x =-的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是 A ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()1,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,00,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()0,2 3. 已知函数()2sin2cos2=+f x x x x ，则下列不等式中恒成立的是 A ．()3124π⎛⎫⎛⎫<<-⎪⎪⎝⎭⎝⎭f f f B ．()3142π⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f C ．()3142π⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f D ．()3142π⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f 4. 若实数,x y 满足()99233+=+x y x y ，则33=+x yt 的取值范围是A ．02<≤tB ．24<≤tC ．04<≤tD ．4≥t二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分． 5. 已知n ∈N *，()35721n a n =+++++ ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S = . 6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上 的点数是5”为事件B ，则事件A 、B 中至多有一件发生的概率是 . 7. 函数()23f x x =+的最大值是 .DC 1B 1A 1BA 8. 设不等式组1,230,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线240x y --=对称，对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等 于 .9. 已知,,A B C 是表面积为64π的球面上三点，2,30AB ACB ︒=∠=，O 为球心，则直 线OA 与平面ABC 所成角的余弦值是 .10．若将函数()4=f x x 表示为()()()()()234012341111=+-+-+-+-f x a a x a x a x a x 其中01234,,,,a a a a a 为实数，则3a 的值为 .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）已知函数()2sin2cos f x x a x =+(a ∈R ，a 为常数)，且6π是函数()=y f x 的零点. （1）求a 的值； （2）若,122ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，求()f x 的最大值和最小值. 12．（本小题满分15分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是正三角形，D 是AC 的中点. （1）证明：1AB ∥平面1BC D ；（2）若2BC =，11AB BC ⊥，求三棱锥1D BC C -的体积.13. （本小题满分20分）已知椭圆:P ()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为()1,0-F c 、()2,0F c ，点M 、 N 是直线2=a x c上的两个动点，且12⊥F M F N .（1）设圆C 是以线段MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系； （2）若椭圆P 的离心率为12，MN的最小值为P 的方程.14. （本小题满分20分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为i 、j ，O 为坐标原点. 坐标平面上点n A 、(n B n ∈N *)分别满足下列两个条件：①12OA = j ，且1n n A A +=i +j ；②13OB =i ， 且1233nn n B B +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ i .（1）求向量n OA 及n OB的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求n a 的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *，都有n a M <成立？若存在，求M 的值；若不存在，说明理由.15．（本小题满分20分）已知函数1()(1)(0)xf x x x=+>，e 为自然对数的底数.（１）证明：()e f x <；（２）若n ∈N *，且a n >，证明：11e e 1a nnk a k n =++⎛⎫<⎪-⎝⎭∑.2014年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分.1．A 2．C 3．A 4．B二、填空题：每小题6分，满分36分.5.()()3234212n n n +-++ 6. 1112 7. 8. 9. 12 10. 4- 三、解答题：满分90分． 11．（本小题满分15分）（1）解：∵6π是函数()=y f x 的零点， ∴2sin cos 036ππ+=a . …………2分解得3=-a . …………4分（2）解：由（1）得()2sin 2=f x x x1cos 2sin 232+=-xx …………6分sin 2233=--x x …………8分26π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x . …………10分 ∵,122ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ， ∴52,636πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x . …………11分∴当262ππ-=x ，即3π=x 时，()f x 取得最大值，其值为3； …………13分当263ππ-=-x ，即12π=-x 时，()f x 取得最小值，其值为13--.……15分OG FDC 1B 1A 1CBA 12．（本小题满分15分）（1）证明：连接1B C ，1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD ， ∵四边形11BCC B 是矩形， ∴点O 是1B C 的中点. ∵D 是AC 的中点， ∴OD ∥1AB . …………2分 ∵1AB ⊄平面1BC D ，OD ⊂平面1BC D ， ∴1AB ∥平面1BC D . …………4分 （2）解：取BC 的中点F ，连接1,AF B F ，∵△ABC 是正三角形，∴AF BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面11B BCC ，且平面ABC 平面11B BCC BC =，∴AF ⊥平面11B BCC . …………6分 ∵1BC ⊂平面11B BCC ，∴AF ⊥1BC . ∵11AB BC ⊥，1AB AF A = ，1AB ⊂平面1AB F ，AF ⊂平面1AB F ， ∴1BC ⊥平面1AB F . …………8分 ∵1B F ⊂平面1AB F ，∴1BC ⊥1B F . ∵1B B BC ⊥， ∴11FB B C BC ∠=∠. ∵1190B BF BCC ︒∠=∠=，∴△1B BF ～△1CBC . …………10分 ∴111B B BF BFBC CC B B==. ∴212B B BF BC == .∴1B B = …………12分 取CF 的中点G ，连接DG ，则DG ∥AF，且12DG AF == 由于AF ⊥平面11B BCC ，则DG ⊥平面11B BCC . ∴三棱锥1D BC C -的体积为1111233226BCC V S DG ∆==⨯⨯=.…15分 13. （本小题满分20分）解：（1）设2212,,,⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a M y N y c c ，则221122,,,,⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a F M c y F N c y c c2212,,,⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a OM y ON y c c .∵12⊥F M F N ， ∴120⋅=FM F N .∴22120a a c c y y c c ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22212⎛⎫+= ⎪⎝⎭a y y c c . …………4分 ∵222120⎛⎫⋅=+=> ⎪⎝⎭a OM ON y y c c ， ∴∠MON 为锐角.∴原点O 在圆C 外. …………8分（2）∵椭圆P 的离心率为12，∴2=a c . …………9分∴()()124,,4,M c y N c y ，且22221215⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭a y y c c c . …………10分()222222212121212230=-=+-=++MNy y y y y y y y c 221223060≥+=y y c c ，当且仅当12=-=y y或21=-=y y 时取等号. …………14分∴MN的最小值为. …………16分依题意得，=1=c，从而2,=a b . …………19分∴椭圆P 的方程为22143+=x y . …………20分 14. （本小题满分20分）（1）解：112231n n nOA OA A A A A A A -=++++2=j ()1n +-()+i j =()1-n i ()1++n j ()()()1,1=-+n n ， …………4分 112231-=++++n n n OB OB B B B B B B3=i 1233⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭i 223⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭3i 1233-⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭n i2133213⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯-n i299,03⎛⎫⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n. …………8分（2）解：由（1）知，直线1+n n A A 交x 轴于点Q ()2,0-，11++∆∆=-n n n nn QA B QA B a S S ()()11212119211912323+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+--⨯⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n nn n()1112123n n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭. …………12分（3）解：()1111211212323n nn n a a n n -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⨯-+⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()112212133333n n n n n --⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--=-⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭. …………14分 当2n ≤时，10+-<n n a a ；当3n =时，10+-=n n a a ；当3n >时，10+->n n a a . 故12233445560,0,0,0,0,a a a a a a a a a a -<-<-=->->等等.即在数列{}n a 中，34118762918a a ==+=是数列的最大项， …………18分 所以存在最小的自然数7=M ，对一切n ∈N *，都有n a M <成立. …………20分15．（本小题满分20分）（１）证明：要证e 11xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，只要证明1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ ，由于0x >，等价于证明11ln 1x x⎛⎫+< ⎪⎝⎭，设11t x+= ，则1t > ，等价于证明ln 1t t <-. …………3分令()ln 1=-+g t t t ，则()11'=-g t t.当1>t 时，()110'=-<g t t，故函数()g t 在[)1,+∞上单调递减.∴当1>t 时，()()10<=g t g .∴当1t > ，ln 1t t <-成立.故()e f x <成立. …………8分（２）证明：∵())1e (1na k n a k nnna k n a k n a k n n n n a k n ⋅+-+-+-⎛⎫⎪+++-⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+-⎝⎭，…………14分∴12(1)1ee e e nna na n a n n a n n k a k n +-+-+--+-=+⎛⎫<++++ ⎪⎝⎭∑…………16分 1(1)e e e a a a n ---=+++11e 1e 1e na ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- …………18分1e e 1a<-11e a e +=-. …………20分。
广东高二高中数学竞赛测试带答案解析
广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -46.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．48.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19二、填空题1.的定义域--__________2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.3.在中，,且,则的面积是_____4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值2.（本题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.3.（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.（1）求证：面；（2）求证：；4.（本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：万元，）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？5.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．6.（本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】,所以b=2,a=1,a+b=3.3.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条【答案】A【解析】若a>1,b>2,则a+b>3且ab>2.反之不成立.所以“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的充分而不必要条件.4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】,所以f(x)是周期为的偶函数.5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -4【答案】D【解析】因为,所以.6.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为,所以,当直线经过直线和直线的交点A（1,1）时，z取得最大值，最大值为3.8.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为成等比数列,所以.9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知抛物线的开口方向向左，并且p=2,所以应选A.10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】最短距离应为,长度为4+2+4+7=17.二、填空题1.的定义域--__________【答案】【解析】由,所以定义域为.2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.【答案】3700【解析】由题意知高三抽取了185-75-60=50.所以高中部共有学生.3.在中，,且,则的面积是_____【答案】6【解析】因为,所以,又因为，所以.4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.【答案】【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _【答案】【解析】曲线消参后得到普通方程为,由圆心（0，1）到直线3x+4y-7=0的距离,所以弦长.三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为. （Ⅱ）。
广州市数学竞赛高二试题
广州市数学竞赛高二试题广州市数学竞赛高二试题涵盖了高中数学的多个领域，包括但不限于代数、几何、概率统计和微积分。
以下是一套模拟试题，供参赛者练习。
一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 5 = 0 \)的根，那么\( a^2 + 4a \)的值等于：A. -5B. 5C. 0D. 不确定2. 在直角坐标系中，点\( P(x, y) \)关于直线\( y = x \)的对称点的坐标是：A. \( (y, x) \)B. \( (-x, -y) \)C. \( (-y, -x) \)D. \( (x, -y) \)3. 若函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)的导数是\( f'(x) \)，那么\( f'(1) \)的值等于：A. 3B. 2C. -3D. -24. 已知正方体的体积为8，那么其表面积为：A. 16B. 24C. 32D. 645. 抛物线\( y^2 = 4x \)的焦点坐标是：A. \( (1, 0) \)B. \( (0, 1) \)C. \( (2, 0) \)D. \( (0, 2) \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为______。
7. 一个等差数列的首项为2，公差为3，第10项的值为______。
8. 已知函数\( y = \ln(x) \)的定义域为______。
9. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 + c^2 =1 \)，则\( ab + bc + ca \)的最大值为______。
10. 一个圆的半径为5，圆心到直线\( x - y + 5 = 0 \)的距离为4，则直线与圆的位置关系是______。
2013年广东省广州市高二数学竞赛试题及解答以及一等奖获奖名单
2013年广东省广州市高二数学竞赛试题2013．5．11考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在下列函数中，既是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是 A ．x y 2cos = B ．x y 2sin = C ．cos y x = D ．|sin |x y =2．已知向量(,)x y =a ，其中{1,2,4,5}x ∈，{2,4,6,8}y ∈，则满足条件的不共线的向量共有 A ．9个B ．12个C ．13个D ．16个3．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是A ．1-1πB ．1-2πC ．1πD ．2π4．已知函数2()3f x x x =--，则函数()(())g x f f x x =-所有零点的和为 A ．2- B ．0 C ．2 D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．若直线2m y =+与圆228x y +=相切，则m = * 。
526．已知集{}3,1122-+-=a a A ，，{}113+--=a a a B ，，，且{}2A B =-，则实数a 的值等于 * ．1-7．已知不等式1-x ax <1的解集是{x | x <1或x >2}，那么实数a = * ．218．已知,,a b c 为三条不同的直线, 且,,a M b N M N c ⊂⊂=平面平面，给出如下命题：①若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交； ②若a //b , 则必有a //c ；③若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； ④若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥.其中正确的命题的是 （请填上正确命题的序号）。
广东省高中数学竞赛试题及详解答案x
广东省高中数学竞赛试题及详解答案x广东省高中数学竞赛试题及详解答案一、选择题1. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3 ，则 f(-1) =（）。
A. 0B. 3C. 4D. 6解析：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 2(-1)^2 - 5(-1) + 3 = 2 + 5 + 3 = 10，选项 D 正确。
2. 若函数 f(x) = 3^x + 3^(x+1)，则 f(2x) =（）。
A. 6^(2x)B. 6^(4x)C. 6^(x+1)D. 6^(x+2)解析：将 x 替换为 2x，得到 f(2x) = 3^(2x) + 3^(2x+1) = 9^x + 27^x =（3^2）^x + （3^3）^x = 6^x + 27^x，选项 C 正确。
3. 设函数 f(x) 的解析式为 f(x) = ax^2 + 3bx + c ，且 f(1) = 4 ，f(-1) =2 ，则 f(3) =（）。
A. 22B. 26C. 38D. 58解析：根据题意可写出方程组：a + 3b +c = 4 （1）a - 3b +c = 2 （2）将（1）+（2）得到 2a + 2c = 6，即 a + c = 3。
再将（1）-（2）得到 6b = 2，即 b = 1/3。
将 a = 3 - c 和 b = 1/3 代入函数 f(x) 中，得 f(3) = a(3^2) + 3b(3) + c = (3 - c)(9) + 1 + c = 27 - 8c，代入 a + c = 3 得到 a = 3 - c。
将 a = 3 - c 代入 f(3) 中，得到 f(3) = 27 - 8c = 27 - 8(3 - a) = 27 - 24+ 8a = 8a + 3，代入 a + c = 3 得到 a = 3 - c。
由 a + c = 3 可得到 a = 2 ，代入 f(3) = 8a + 3 中得到 f(3) = 16 + 3 = 19，选项与解析结果不符，因此该题无解。
2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题与参考答案
2014年广州市高中数学教师解题比赛决 赛 试 题（2014年4月13日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上． 1．设集合{},,M a b c =，{}0,1N =，映射f ：M N →满足()()()f a f b f c +=，则映射f ：M N→的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．直角梯形ABCD 中，AB DC ，2AB CD =，45A ∠=，2AD =.以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体的体积为A ．π328 B ．π34 C ．π3210 D ．π243．已知()f x 是奇函数，定义域为{},0x x x ∈≠R ，又()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且()10f -=，则满足()f x 0>的x 的取值范围是 A ．()1,+∞B ．()()1,01,-+∞C ．()0,1D ．()(),11,-∞-+∞4．已知虚数z =()2i x y -+，其中x 、y 均为实数，当1z =时，yx的取值范围是 A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦ C．⎡⎣ D．)(⎡⎣5．设()2f x x ax b =++，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则点(),a b 在aOb （O 为坐标原点）平面上的区域的面积是 A ．12 B ．1 C ．2 D ．926．已知向量OP ()2,1=，OA ()1,7=，OB ()5,1=，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ⋅的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．47．等比数列{}n a 的公比为q ，则“10a >，且1q >”是“∀*n ∈N ，都有1n n a a +>”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件8．若不论k 为何值，直线2y kx b k =+-与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是A．(B．⎡⎣C ．()2,2-D ．[]2,2-9．已知集合A 、B 、C ，{}直线=A ，{}平面=B ，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，给出四个命题: ①c a bc b a //⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//；③c a bc b a //////⇒⎩⎨⎧；④c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//，则正确命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A ．22 B ．23 C ．24 D ．25 CD BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷的相应位置上． 11．已知x 是三角形的一个内角，满足231cos sin -=+x x ，则x = * ． 12．已知正三棱锥S ABC -的高为3，底面边长为4，在正三棱锥内任取一点P ，使得P ABC V -12S ABC V -<的概率是 * ．13．对于正整数n 和m ，其中n m <，定义!()(2)(3)()m n n m n m n m n km =----…，其中k 是满足km n >的最大整数，则=!20!1864 * ． 14．有两个向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12+e e ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为1232+e e ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = * 秒．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15．（本小题满分12分）若函数21()sin sin cos (0)2f x ax ax ax a =-->的图象与直线y m =相切，若函数()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为4π．（1）求m 的值；（2）若点()0,0A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标．16．（本小题满分12分） 一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n ∈*N ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（2）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大？如图所示，正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26. （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC . 试确定F 点的位置，并加以证明.18．（本小题满分14分）这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值1x =，1y =，0z =，0n =； （2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）； （3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）； （4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）； （5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； （7）打印n ，z ； （8）程序终止.由语句（7）打印出的数值为 ， . 以下写出计算过程： PD E A C B如图，已知过点D (2,0)-的直线l 与椭圆2212x y +=交于不同的两点A 、B ，点M 是 弦AB 的中点．（1）若OP OA OB =+，求点P 的轨迹方程； （2）求||||MD MA 的取值范围． 20．（本小题满分14分）已知函数()e x f x x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的最小值；（2）设不等式()f ax x >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围；（3）设n *∈N ，证明：1e e 1nnk k n =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑．2014年广州市高中数学教师解题比赛 决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.56π 12.7813.21514. 2三、解答题，本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分12分） 解：（1）2()sin sin cos f x ax ax ax =-12-1cos21sin 222ax ax -=-12-24ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由题意知，m 为()f x 的最大值或最小值，所以m =或m =. （2）由题设知，函数()f x 的周期为2π， 所以2a =． 所以()sin 44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得44x k ππ+=()k ∈Z ，即416k x ππ=-()k ∈Z ．因为04162k πππ≤-≤()k ∈Z ，得1k =或2k =，因此点A 的坐标为3,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,016π⎛⎫⎪⎝⎭.16．（本小题满分12分）解：（1）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，所以一次摸奖中奖的概率1152510(5)(4)n n C C np C n n +==++．（2）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （3）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<， 因为2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，所以在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为增函数，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值． 所以101(5)(4)3n p n n ==++，解得20n =．故当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．17．（本小题满分14分）（1）解：连结AC ，BD 交于O ，连结PO .因为P —ABCD 为正四棱锥，所以PO ⊥底面ABCD .作PM ⊥AD 于M ，连结OM ， 所以OM ⊥AD .所以∠PMO 为侧面P AD 与底面ABCD 所成二面角的平 面角.因为PO ⊥底面ABCD ，所以∠P AO 为P A 与底面ABCD 所成的角.所以tan PAO ∠=． 设AB a =，所以,.2a AO MO ==所以.PO =所以tan POPMO MO∠==60PMO ∠=︒．所以侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为60°.（2）解：连结EO ，因为E 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以EO ∥PD .所以∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成的角．在Rt ,,PAO AO PO ∆==中，所以PA =，12EO PD ==．由AO ⊥截面PDB ，可知AO ⊥EO . 在Rt △AOE 中，tan AO AEO EO ∠==即异面直线AE 与PD 所成角的正切值是1052．（3）证明：延长MO 交BC 于N ，连结PN ，取PN 中点G ，连结EG ，MG .因为P —ABCD 为正四棱锥且M 为AD 的中点，所以N 为BC 中点. 所以BC ⊥NM ，BC ⊥PN .因为NM PN N = ，所以BC ⊥平面PMN .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PMN ⊥平面PBC .因为PM =PN ，∠PMN =60°，所以△PMN 为正三角形. 所以MG ⊥PN . 所以MG ⊥平面PBC .取AM 中点为F ，连结FE ，则由EG ∥MF 且GE =MF ，得到MFEG 为平行四边形， 所以FE ∥MG .所以FE ⊥平面PBC .分 18．（本小题满分14分）依题意，01x =，12n n x x -=+， 所以{}n x 是等差数列，且21n x n =+. 因为011,2.n n y y y -==所以{}n y 是等比数列，且n n y 2=． 因为n n n n y x z z z +==-10,0， 所以1122n n n z x y x y x y =++⋅⋅⋅+即n z 23325272(21)2n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅． ① 所以23412325272(21)2(21)2n n n z n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅． ② ①—②得，1322)12(22222223+⋅++⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅-⋅-=n n n n z ()12122n n +=-+．依题意，程序终止时：7000n z >，17000n z -≤，即()()121227000,23227000.n nn n +⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩ 解得8n =，进而7682z =．19．（本小题满分14分） 解法1：（1）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)．②设直线():2l y k x =+，并设点,,,A B M P 的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ， 由()222,22y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去x ，得 ()2222(21)82410k y k x k +++-=， （*）由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得()()222288(21)410k k k ∆=-+->，所以212k <． 由OP OA OB =+ 及方程（*），得2122821k x x x k =+=-+，()()1212242221ky y y k x k x k =+=+++=+，即2228,214.21k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去k ，并整理得，22240x y x ++=（20)x -<<．综上所述，点P 的轨迹方程为22240x y x ++=（20)x -<≤． （2）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M 在原点O 处，所以，||2,||MD MA =||MD =②由方程（*），得212022,2x x kx+==-所以，|||DMD x x=-=01|||MA x x=-==所以||||MDMA=因为212k<()0,1，所以)||||MDMA∈+∞．综上所述，)||||MDMA∈+∞．解法2：（1）①若直线l∥x轴，则点P为(0,0)．②设直线:2l x my=-，并设点,,,A B M P的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x yB x y M x y P x y，由222,22x myx y=-⎧⎨+=⎩消去x，得22(2)420m y my+-+=，（*）由直线l与椭圆有两个不同的交点，可得22(4)8(2)0m m∆=--+>，即28(2)0m->，所以22m>．由OP OA OB=+及方程（*），得12242my y ym=+=+，121228(2)(2)2x x x my mym=+=-+-=-+，即228,24.2xmmym⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由于0m≠（否则，直线l与椭圆无公共点），消去m，并整理得，22240x y x++=（20)x-<<．综上所述，点P的轨迹方程为22240x y x++=（20)x-<≤．（2）①当l∥x轴时，,A B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，所以，||2,||MD MA=||||MDMA=②由方程（*），得12022,22y y mym+==+所以，|||DMD y y=-=01|||MA y y=-==，所以||||MDMA==因为22m >(0,1)，所以)||||MD MA ∈+∞．综上所述，)||||MD MA ∈+∞． 20．（本小题满分14分）（1）解：因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-．令()0f x '=，得0x =．所以当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．所以函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． 所以当0x =时，()f x 有最小值1．（2）解：因为不等式()f x ax >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，所以对任意[]0,2x ∈，不等式()f x ax >恒成立． 由()f x ax >，得()1e x a x +<，当0x =时，上述不等式显然成了，所以只需考虑(]0,2x ∈的情况．将()1e xa x +<变形为e 1xa x<-． 令()e 1xg x x =-，则()()21e x x -g x x '=． 当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增． 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值e 1-． 故实数a 的取值范围为(),e 1-∞-．（3）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令k x n =-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n-<-≤，所以1(1,2,,1)nnk kn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即(1,2,,1)nkn k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭． 所以(1)(2)211211nnnnn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为(1)(2)2111111111n n n e e e e e e e e e ----------+++++=<=--- ，所以 1211nnnnn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。
2021年广州市高二数学竞赛赛试卷
2021年广州市高二数学竞赛赛试卷2021年广州市高二数学竞赛试卷题号得分评卷员一二（11）（12）三（13）（14）（15）合计学生特别注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔答题；⒉不许采用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分后，共24分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1?x7,x?0,1．设立函数f(x)2?，若f(a?1)?1，则实数a的值域范围就是（）．x0.x,a．?-?,-4?b．??4,0?c．?0,d．,?40,x2y2??1的焦点为f1和f2，2．椭圆点p在椭圆上，如果线段pf1的中点在y轴上，那么pf1就是pf2123的（）．a．7倍b．5倍c．4倍d．3倍3．已知集合mx,y?lg?x212?．y??lgx?lgy?，则集合m中元素的个数为（）4??a．0个b．1个c．2个d．无数个4．设m是?abc内一点，且ab?ac?23,?bac?30，定义f(m)?(m,n,p)，其中m,n,p分别就是?mbc,?mca,?mab的面积，若f(p)??,x,y?，则a．91214的最小值是（）．xy?3?1b．18c．16d．9二、填空题：本大题共6小题，每小题6分后，共36分后．把答案填上在题中横线上．25．已知复数z满足：z?z?1?0，则1?z?z?zz22232021?__________．6．在区间??2,2?就任挑两实数a，b，则二次方程x?ax?b?0存有实数求解的概率为．7．未知函数f(x)满足用户：f(m?n)?f(m)f(n),f(1)?4，则f2(1)?f(2)f2(2)?f(4)f2(3)?f(6)f2(251)?f(502)．f(1)f(3)f(5)f(501)28．奇函数f?x?在r上为减函数，若对任意的x??0,1?，不等式f?kx??f?x?x?2?0恒成立，则实数k的值域范围为．9．四面体abcd中，ab＝cd＝6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等同于．10．未知x,y满足用户123x?4?y?16?x2，则函数z?x?y?10的最大值与最小值之和为．44三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分后）n，其中m?(sin?x?cos?x,3cos已知函数f(x)?m?，n?(cos?x?sin?x,2sin?x)?x)（??0），若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于（ⅰ）求?的取值范围；（ⅱ）在?abc中，a,b,c分别就是角a,b,c的对边，a?3,b?c?3，当?最小时，f(a)?1，求?abc的面积．．212．（本小题满分20分后）各项都为正数的数列{an}的前n项和为sn，已知2?sn?1??an2?an．（ⅰ）求数列{an}的通项公式；an（ⅱ）若数列{bn}满足用户b1?2，bn?1?2bn，数列{cn}满足用户cnbn(n为奇数)(n为偶数)，数列{cn}的前n项和为tn，当n为偶数时，求tn；（ⅲ）同学甲利用第（ⅱ）反问中的tn设计了一个程序例如图，但同学乙指出这个程序如果被继续执行可以就是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．n：?0n：?n?2n2?24npn：?4notn?pn：?2021？yes列印n完结13．（本小题满分20分后）多面体abcd?a1bc11d1的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示．dc11a1b1a2dca2abaa2a2直观图主视图俯视图（ⅰ）求a1a与平面abcd所成角的正切值；（ⅱ）求面aa1d1与面abcd所成二面角的余弦值；（ⅲ）求此多面体的体积．aa左视图14．（本小题满分20分）ab例如图，未知抛物线c:x?2py?p?0?与圆o:x?y?8平行于、两点，且oa?ob?0（o222为坐标原点），直线l与圆o相切，切点在劣弧?ab（含a、b两点）上，且与抛物线c相交于m、n两点，d就是m、n两点至抛物线c的焦点的距离之和．(ⅰ)求p的值；(ⅱ)谋d的最大值，ZR19d获得最大值时直线l的方程．ylnmafooxb。
广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷(样卷)
广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷（样卷）（考试时间：120分钟 全卷满分：100分）一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）小丁储备2008年赴京观看奥运会的费用，他从2001年起到2007年，每年元旦到银行存入a 元一年定期储蓄，若年利率r 保持不变，且每年存款到期自动转存新的一年定期. 到2008年元旦将所有的存款和利息悉数取出，可提取 ( ) 元.(A) a (1+r )8 (B) ar [(1+r )7－(1+r )](C) ar[(1+r )8－1](D) ar[(1+r )8－(1+r )]（2）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 公里，远地点B 距地面为n 公里．若地球的半径为R 公里，则飞船运行轨道的短轴长为(A) mn (B) 2))((R n R m ++ (C) 2nm (D)))((R n R m ++（3） 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是25cm ，宽是20cm ．设0＜a ≤8，水箱里盛有深为a cm 的水，若往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，则水深为(A) 2 cm (B) 10 cm (C) (a +2) cm (D)a 45cm （4）右图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积)(2m y 与时间t （月）的关系为：t a y =.有以下判断：①这个指数函数的底数为2；②第5个月后，浮萍面积就会超过302m ；③浮萍从42m 蔓延到122m 只需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到22m ,226,3m m 所经过的时间分别为,,,321t t t 则321t t t =+．其中正确判断的个数是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 （D ） 4ACB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（5）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验，则至少有两件不合格的概率为 ．（6）如图，距离船只A 的正北方向100 n mile 处，有一船只B以每小时20 n mile 速度，沿北偏西060 角的方向行驶，船只A 以每小时15 n mile 速度，向正北方向行驶，两船同时 出发，经过 小时后，两船相距最近。
最新-2018年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷 精品
2018年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷2018.3.20上午本试卷共8页，第1-３页为选择题和填空题，第４-8页为解答题及答卷。
请将选择题和填空题的答案做在第４页的答卷上。
全卷共三大题20小题，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 P (A+B )=P (A )+(B )S ＝4πR 2如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·(B )球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么V ＝43πR 3P n (k)＝k n C P k(1-P)n-k其中R 表示球的半径第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第４页的答题卷上 1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（ ）. (A) 21 (B) 41 (C) 81 (D) 872.与411π-终边相同的角为（ ）.(A) 43π-(B) 4π- (C) 4π (D) 43π3．已知集合{}1916),(22=+=y x y x S ， {}1),(22=+=y x y x M ，则S 与M 的关系是（ ）. (A)M S ≠⊂ (B)S M ≠⊂ (C)Φ=M S (D)M M S =4.函数x x x f ln 2)(2-=的增区间为（ ）.(A) ),0[+∞ (B))21,(-∞ (C) ),21(+∞ (D) ),0(+∞5.观察下列四个电路图，结论正确的是（ ）.(A) 图①中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件； (B) 图②中开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件； (C) 图③中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分且必要条件； (D) 图④中开关A 闭合是灯泡B 亮的不充分又不必要条件.6.设j i,是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的单位向量且j i ,j i4324+=+=，则ABC ∆的面积等于（ ）.(A) 15 (B) 10 (C) 7.5 (D) 57.()x f 与()x g 是定义在R 上的可导函数.若()()x g x f '='，则()x f 与()x g 满足（ ）. (A) ()()x g x f = (B)()()x g x f -是常数函数 (C) ()()0==x g x f (D) ()()x g x f +是常数函数.8.2018年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则θθ22cos sin -的值为（ ）. (A)2512-(B) 2524 (C) 257 (D) 257- 9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设{}n a 是公比为q 、前ｎ项和为n S 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量：; ①21s s 与②32s a 与；③n a a 与1；④n a q 与中，一定能成为该数列的“基本量”的是 （ ）.(A) ①② (B) ①④ (C) ③④ (D) ①②③②①③④10.已知直线n m 、及平面α,其中n m //,那么在平面α内到两条直线n m 、距离相等的点的集合可能为① 一条直线；② 一个平面；③ 一个点；④ 空集.其中正确的是（ ）. (A) ①②③； (B) ①②④； (C) ①④； (D) ②④．第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 请将答案填在第４页的答题卷中.11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有()*n n ∈N 行，在这些数中非1的数字之和是_______.11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 ……………………12．若点距离的最小值到直线上的动点，则点为抛物线05102=++=y x P x y P 为 （3分），此时点P 的坐标为 （2分）.13.定义在R 上的函数()x f ，对任意实数x ，都有()()33+≤+x f x f 和()()22+≥+x f x f ，且()11=f ，则()2005f 的值为_________.14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边DE 将其倾斜，随着容器的倾斜程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律： .（要求：各种规律的表述要科学,准确.每答对1个给1分,本题满分5分）Ｂ Ｐ)三、解答题：15．（本题满分12分）已知23+>ax x 的解集为()b 4，，求实数b a ,的值.16.（本题满分13分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f , 且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4215πx cos x sin f 的值.17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC 中，AO ⊥OC ，AB ∥OC ，1,2====AB OA OS OC .⊥SO 平面OABC .以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .（Ⅰ）求异面直线SC 与OB 所成角；（Ⅱ）设()q p n ,,1= ，满足⊥n 平面SBC .求：①n的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）；③点O 到平面SBC 的距离.18.（本题满分14分）设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j )y (i x b ,j )y (i x a2 2-+=++=，且8=+b a.（Ⅰ）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设+=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.zyx19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.20（本题满分14分）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.2018年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案二、填空题答案11. n n22- 12.)5,25(,425- 13.()2005f ＝201814. ⑴ 水面是矩形；⑵ 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形； ⑶ 水面的大小是变化的，水面与平面CDEF 所成二面角越小，水面的面积越大； ⑷ 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等； ⑸ 侧面积不变； ⑹ 侧面中两组对面的面积之和相等；⑺ 形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值； ⑻ AB+CD 为定值； ⑼ 如果长方体的倾斜程度为α时，则水面与与底面所成的角为90︒-α； ⑽ 底面的面积＝水面的面积×cos （90︒-α）＝水面的面积×sin α； ⑾ 当倾斜程度增大，点A 在BD 之间时，A 与B 重合时，BD ＝2h （h 为水面原来的高度）； ⑿ 若容器的高度PD ＜２ｈ，当A 与B 重合时，水将溢出； ⒀ 点A 在BD 内部时，△ADC 的面积为定值 .Ｂ Ｐ )三、解答题15．（本题满分12分）已知23+>ax x 的解集为()b ,4，求实数b a ,的值.法一：如图,在同一直角坐标系中，作出y ＝x （x ≥0）及y ＝ax ＋32 的大致图像，设y ＝ax ＋32 与Y 轴及y ＝x 分别交于A 、B 、C 点由条件及图像可知A （0,32），B （4，2），812234==+a a 得则令C （b, b ）（b ＞０） 由BC AB k k =得 4204232--=--=b b a 3681==⇒b ,a 法二：()023232<+-⇔+>x x a ax x依题意，上式等价于()()02<--b x x a∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==+023212a b a b a∴⎪⎩⎪⎨⎧==3681b a16.（本题满分13分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f ,且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f 的值. 解：由cosx －sinx ＝523，可得cos （x+4π）＝53且sin2x ＝257 ∴⎪⎭⎫⎝⎛+4215πx cos xsin ＝７ 又∵()x f y =是关于x ＝3对称的函数，∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f ＝ f （7） ＝ f （-1）＝320…17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC 中，AO ⊥OC ，AB ∥OC ，1,2====AB OA OS OC .⊥SO 平面OABC .以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .（Ⅰ）求异面直线SC 与OB 所成角；（Ⅱ）设()q p n ,,1=，满足⊥n 平面SBC .求： ①n的坐标；②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③点O 到平面SBC 的距离.解：（Ⅰ）.如图: Ｃ（２,０,０），Ｓ（０,０,1），Ｏ（０,０,０），Ｂ（1,1,０）， ∴()()011102,,OB ,,SC =-=∴ 510=⋅=><252,COS OB SC故异面直线SC 与OB 所成的角为510arccos ．zy(Ⅱ).①∵()()011111,,CB ,,SB -=-=由⊥n 平面SBC ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥⇒n n⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒0CB n n ⇒⎩⎨⎧=+-=-+0101p q p⇒⎩⎨⎧==21q p 故 ()211,,n =② （法一）过O 作OE ⊥BC 于E ，连SE ，则SE ⊥BC ， 故BC ⊥面SOE过O 作OH ⊥SE 于H ，则OH ⊥面SBC ∵OE ＝2 ∴SE=336321=⨯=⋅=SE OE SO OH ∴点O 到平面SBC 的距离为36. （法二）（注：也可以利用法向量求解，相应给分） ③ 延长CB 与OA 交于F ，则OF ＝2 连FH ，则∠OFH 为所求角β此时66236=÷=βsin ，∴β＝66arcsin 为所求.18. （本题满分14分）设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量，若j )y (i x b ,j )y (i x a 22-+=++=，且8=+b a.（Ⅰ）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若zy不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）(解法一)由 8=+b a知点M （x,y ）到两个定点F 1（0.-2）、F 2（0,2）的距离之和为8∴轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，它的方程是1161222=+y x(解法二)：由题意得()()8222222=+++-+y x y x两次平方得()[]()222824y y x -=-+整理得：1161222=+y x（Ⅱ）∵l 过y 轴上的点（0，3），若l 是y 轴时，则A 、B 两点是椭圆的顶点由 0=+=知P 与O 重合这与四边形OAPB 是矩形矛盾， ∴直线l 是y 轴不可能 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的的方程是y ＝kx+3由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=116123kx y 22y x ()021183422=-++⇒kx x k此时()()()恒成立021*******>-++=k k ∆且23418k k x x B A +-=+,23421kx x B A +-=⋅ ∵+=，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l,使四边形OAPB 是矩形,则0=⊥OA ,OB OA 即, 有0=+B A B A y y x x∴()()09312=++++B A B A x x k x x k ∴()093418334211222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+k k k k k∴451652±=⇒=k k ∴当时，45±=k 存在直线l :345+±=y 使四边形OAPB 是矩形. 19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.解：⑴ 全部并联，可靠度1-()420.＝0.9984＞0.85⑵ 每两个串联后再并联，可靠度()228.011--＝0.8704＞0.85⑶ 每两个并联后再串联，可靠度()22201.-＝0.9216＞0.85⑷ 三个串联后再与第四个并联，可靠度1-0.2()3801.-＝0.9024＞0.85⑸ 两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度1-0.22()2801.-＝0.9856＞0.8520．（本题满分14分）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）. （Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.解：Ⅰ.求区域内部（不包括边界）的整点个数n a ,就是求不等式x ＋y ＜n 的正整数解， 当x ＝1时，y ＝1,2,…,（n-2），共n-2个值， 当x ＝2时，y ＝1,2,…,（n-3），共n-3个值， 依此类推得：n a ＝1+2+…+（n-2）＝()()212--n n .求区域（包括边界）的整点个数n b ,就是求不等式x ＋y ≤n 的非负整数解， 同上得：n b ＝（n+1）+n+…+2+1+＝()()212++n nⅡ. 对区域内部的n a 个整点中的每一个都有三种着色方法，由乘法原理知：()()22133--==n n a n nA ，同理()()22122++==n n b n nB ⑴ 当()()()()()()()()()()221421342142122122893++--------=>=>==n n n n n n n n n n n n B A时有()()()()2212143++>--n n n n 得1502152≥⇒⎭⎬⎫∈>+-n N n n n∴n ≥14时，n A ＞n B⑵ 当()()()()()()()()()()()()时2212154852212223310211021++----=<=<==----n n n n n n n n B A n n n n有()()()()221n 21-n 54++<-n n 得1202132≤⇒⎭⎬⎫∈<+-n N n n n∴n ≤12时，n A ＜n B ． 最后，ｎ=13、14时，比较n A 与n B 的大小 由10513661323==B ,A有 488631477106636613..lg A lg =⨯==6053130100105210513..lg B lg =⨯==所以n=13时，n A ＜n B ．同理，n=14时，n A >n B 故3≤n ≤13时，n A ＜n B ．n ≥14时，n A ＞n B .。
2017学年广州市花都区高二数学竞赛(PDF)
2017学年花都区高二数学竞赛试题2018.1.13考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若 ，则 的值为 {1,a,ba }={0,a 2,a +b }(b ‒a)2017( )A. B. C. D. 或 01‒11‒12. 设实数 ， 满足 则 的取值范围是 x y {x ‒y ‒2≤0,x +2y ‒5≥0,y ‒2≤0,u =x 2+y 2xy ( )A. B. C. D. [2,52][52,103][2,103][14,4]3. 已知 ， 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最小值为 a b a ⊥b c ∣c ‒a ‒b∣=1∣c∣( )A. B. C. D. 2‒1 2 2+1 2+24. 设函数 的定义域为 ，，，当 时，，则函数f (x )R f (‒x )=f (x )f (x )=f (2‒x )x ∈[0,1]f (x )=x 3在区间上的所有零点的和为 ()cos()()g x x f x π=-()1,3x ∈-( )A. B. C. D. 9874二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5. 若非零向量 ， 满足 ，则向量与 的夹角为 ．a b ∣a +b ∣=∣a ‒b ∣=2∣a ∣ a a +b6. 已知 是定义在 上的函数，且对任意实数 ，，恒有 ，且 的f (x )[‒4,4]x 1x 2(x 1≠x 2)f (x 1)‒f (x 2)x 1‒x 2>0f (x )最大值为 ，则满足 的解集为 ．1f (log 2x )<17. 已知 ， 是球 的球面上两点，，球 的表面积为 为该球面上的动点，A B O ∠AOB =90∘O 144π, C 求三棱锥 体积的最大值为O ‒ABC 8. 已知 三个内角 ，， 的对应边分别为 ，，，且 ，．当 取得最大值时，△ABC A B C a b c C =πc =2AC ⋅AB a b的值为 ．9. 已知各项均为整数的数列 中，，且对任意的 ，{a n }a 1=2n ∈N ∗满足 ，，则= ． a n +1‒a n <2n +12a n +2‒a n >3×2n‒120172015a a 10. 已知不等式组 表示区域 ，过区域 中任意一点 作圆 的两条切线且切点分{x +y ‒4≥0,x ≤4,y ≤4D D P x 2+y 2=1别为 ，，当 最大时，A B ∠APB cos ∠APB =三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写文字说明、证明过程和演算步骤．1. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知．△ABC A,B,C a,b,c cos 2B ‒3cos (A +C )=1（1）求角 的大小；B （2）若 ，求 的取值范围．a +c =1b 2. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，， ，点 是 的中点，S ‒ABCD ABCD SA ⊥底面ABCD SA =AB M SD AN ⊥SC ，且交 于点 ．SC N （1）求证：；SB ∥平面ACM （2）求证：；平面SAC ⊥平面AMN （3）求二面角 的余弦值．D ‒AC ‒M 3. 在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，圆 过点 ．xOy O O M (3 ，1)（1）求圆 的方程；O （2）若直线 与圆 相切，求 的值．l 1:y =mx ‒4O m （3）过点 的直线与圆 交于 ， 两点，点 在圆 上，若四边形 是菱形，求直线(0,4)l 2O A B P O OAPB 的方程．l 24. 数列 满足 ，{a n }a 1=114415n n a a +=+（1）证明：是等比数列144n n a a ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭（2）是否存在实数 ，使得 对所有的 都成立?证明你的结论．c a 2n <c <a 2n ‒1n ∈N ∗5. 已知函数 .f (x )=ax 2+mx +4a （1）当时，设,若对任意 ,存在 ，使得 ，1a =22()log 1g x x=-x 1∈(‒∞,‒1]x 2∈[3,4]g (x 1)≤f (x 2)求实数 的取值范围．m （2）当时,恒成立，求的最大值；3,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x x ≤6a m +2017学年花都区高二数学竞赛答案一：选择（4小题，每题6分，合计24分）1234BCAA二:填空（6小题，每题6分，合计36分）5：； 6： 7： 36 ； 8： ： 4 10：3π1,16)16⎡⎢⎣2-34三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写文字说明、证明过程和演算步骤．1. （1） 由已知得: ….2分‒cos (A +B )+cos A cos B ‒3sin A cos B =0,即有, ….3分sin A sin B ‒3sin A cos B =0.因为 ，所以 ….4分sin A ≠0sin B ‒3cos B =0.又 ，所以 ….5分cos B ≠0tan B =3.又 ，所以 ….7分0<B <πB =π3. （2） 由余弦定理，有 ….9分b 2=a 2+c 2‒2ac cos B.因为 ，有 …12分a +c =1,cos B =12b 2=3(a ‒12)2+14.又 ，于是有 ，即有 ….15分0<a <114≤b 2<112≤b <1.2. （1） 连接 交 于点 ，连接 ．因为四边形 是正方形，BD AC E ME ABCD 所以 是 的中点，因为 是 的中点，所以 是 的中位线，E BD M SD ME △DSB 所以 ． ….2分ME ∥SB 又 ，， ….3分ME ⊂平面ACM SB⊄平面ACM 所以 ． ….4分SB ∥平面ACM （2） 解：由题可知 ，，因为 ，DC ⊥SA DC ⊥DA SA ∩DA =A 所以 ， ….5分DC ⊥平面SAD且 ，所以 ． ….6分AM ⊂平面SAD AM ⊥DC 又因为 ， 是 的中点， 所以 ． ….7分SA =AD M SD AM ⊥SD 又因为 ， 所以 ． ….8分DC ∩SD =D AM ⊥平面SDC 因为 ， 所以 ． ….9分SC ⊂平面SDC SC ⊥AM 由已知 ，， 所以 ． ….11分SC ⊥AN AN ∩AM =A SC ⊥平面AMN 又 ，所以 ． ….12分SC ⊂平面SAC 平面SAC ⊥平面AMN 解法二：如图，以 为坐标原点，，， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，A AD AB AS x y z 建立空间直角坐标系 ，O ‒xyz由 可设 ，SA =AB AB =AD =AS =1则 ，，，，，，A (0,0,0)B (0,1,0)C (1,1,0)D (1,0,0)S (0,0,1)M (12,0,12)，，AM =(12,0,12)CS =(‒1,‒1,1)所以 ，AM ⋅CS =‒12+12=0所以 ，即有 ．又 且 ．AM ⊥CS SC ⊥AM SC ⊥AN AN ∩AM =A 所以 ．又 ，所以 ．SC ⊥平面AMN SC ⊂平面SAC 平面SAC ⊥平面AMN （3） 解法一：取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ． ….13分AD F F FQ ⊥AC Q MF MQ MF ∥SA 因为 ，所以 ，所以 为 在平面 内的射影．SA ⊥底面ABCD MF ⊥底面ABCD FQ MQ ABCD 因为 ， ….15分FQ ⊥AC 所以 ， ….16分MQ ⊥AC 所以 为二面角 的平面角． ….17分∠FQM D ‒AC ‒M 设 ，在 中，，， ….18分SA =AB =a Rt △MFQ MF =12SA =a 2FQ =12DE =24a 所以 ， ….19分tan ∠FQM =a 2a =2所以二面角 的余弦值的大小为 ． ….20分D ‒AC ‒M 33解法二：因为 ，所以 是平面 的一个法向量，．SA ⊥底面ABCD AS ABCD AS =(0,0,1)设平面 的法向量为 ，，，ACM n =(x,y,z )AC =(1,1,0)AM =(12,0,12)则 即 所以 {n ⋅AC =0,n ⋅AM =0,{x +y +0=0,12x +0+12z =0,{y =‒x,z =‒x.令 ，则 ．，x =‒1n =(‒1,1,1)cos ⟨AS ,n⟩=AS n∣AS∣∣n∣11×3=33由图可知二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 ．D ‒AC ‒M D ‒AC ‒M 333. （1） 圆 的半径 ． …..2分 O r =1+(3)2=2故圆 的方程为 ． …..3分O x 2+y 2=4 （2） 若直线 与圆 相切，则，解得 ． …5 分l 1O ∣‒4∣1+m 2=2m =±3 （3）由题意，设直线 的方程为 ，显然 ． …..6分 l 2y =kx +4k ≠0因为四边形 为菱形，OAPB 所以 与 垂直平分． …..8分 OP AB 故圆心 到直线 的距离应为 ，即， …..10分O l 212∣OP∣=1∣4 ∣1+k 2=1解得 ，， …..12分k 2=15k =±15所以直线 的方程为 或 ． 。
广东高一高中数学竞赛测试带答案解析
广东高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，则是（）A．B．C．D．2.如图，已知分别是正方体的棱的中点，设为二面角的平面角，则＝（）A．B．C．D．3.点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（）A．B．C．D．4.有下列命题：①；②；③；④，其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个5.已知角与角的终边相同，那么的终边不可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.若幂函数在上是增函数，则（）A．B．C．D．不能确定7.已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A．B．C．D．8.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合．若此时点与点重合，则的值为（）A．B．C．D．9.函数是（）A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数10.的三内角所对边的长分别为设向量，，若∥，则角的大小为（）A．B．C．D．11.已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，，与的夹角为，则．2.在中，，，，则最短边的边长＝．3.已知，则的值是．4.某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确到0．1）”时，设，算得；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他又取的的4个值分别依次是．5.已知两圆和相交于两点，则公共弦所在直线的直线方程是．6.正六棱锥中，为侧棱的中点，则三棱锥与三棱锥的体积之比＝．三、解答题1.（本题10分）如图所示，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．2.已知圆．（1）此方程表示圆，求的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点），求的值；（3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程．3.（本小题满分10分）已知函数．（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设，若记，求函数的最大值的表达式．4.已知向量，其中．（1）若，求函数的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且，求的值．5.（本小题满分14分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且销售量近似满足（件），价格近似满足（元）．（1）试写出该种商品的日销售额与时间（）的函数关系表达式；（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值广东高一高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.若，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以【考点】集合的运算2.如图，已知分别是正方体的棱的中点，设为二面角的平面角，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则，设平面的法向量为，则由得，令，则，故，又由为平面的一个法向量，为的平面角，，故．故选B．【考点】二面角的平面角及其求法3.点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由点到直线的距离公式求得，点及直线的距离是，则的最小值是．【考点】点到直线的距离4.有下列命题：①；②；③；④，其中正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】①当为偶数，为负数时，，所以①不对；②明显不对；③应该为；④，④不对．故选择A．【考点】（1）根式（2）对数运算5.已知角与角的终边相同，那么的终边不可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由题知为第二象限角，所以可能落在第一，二，三象限，故选择C．【考点】（1）终边相同的角（2）象限角，轴线角6.若幂函数在上是增函数，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】因为幂函数在上是增函数，所以【考点】幂函数的性质7.已知，分析该函数图象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得，函数的大致图像如图：由图得，B一定不成立，C，D一定成立，而A可能成立，也可能不成立，故选A．【考点】（1）二次函数的图像（2）根的存在性及根的个数判断8.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合．若此时点与点重合，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，得到折痕的对称轴，也是的对称轴，的斜率为，其中点为，所以图纸的折痕所在的直线方程为，所以的中点为，所以，由①②解得【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程9.函数是（）A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数【答案】D【解析】，故选D．【考点】（1）降幂公式（2）正弦函数的周期（3）函数的奇偶性10.的三内角所对边的长分别为设向量，，若∥，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）余弦定理（2）平行向量与共线向量11.已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是偶函数，，，又因为在区间是减函数，，故选C．【考点】奇偶性与单调性的综合12.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，解得，因为点是线段上的一个动点，所以，即满足条件的实数的取值范围是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义二、填空题1.已知，，与的夹角为，则．【答案】【解析】由题意可得．【考点】（1）向量的模（2）数量积2.在中，，，，则最短边的边长＝．【答案】【解析】，，，由正弦定理得：．【考点】正弦定理3.已知，则的值是．【答案】【解析】，【考点】三角函数的化简求值4.某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确到0．1）”时，设，算得；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他又取的的4个值分别依次是．【答案】1．5， 1．75， 1．875， 1．8125【解析】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是，又方程的近似解是，故后4个区间分别是，故它去的4个值分别为1．5， 1．75， 1．875， 1．8125．【考点】二分法的定义5.已知两圆和相交于两点，则公共弦所在直线的直线方程是．【答案】【解析】两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．【考点】相交弦所在直线的方程6.正六棱锥中，为侧棱的中点，则三棱锥与三棱锥的体积之比＝．【答案】 2：1【解析】由于为的中点，故等于的体积，在底面正六边形中，，而，故，于是，故三棱锥与三棱锥的体积之比为2：1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积三、解答题1.（本题10分）如图所示，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）本题考察的直线与平面垂直的证明，根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出得出．正方形，对角线，由线面垂直的判定定理可证出．（2）取的中点，连接，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出，且，从而得到是平行四边形，可得，结合线面平行判定定理即可证出．试题解析：（Ⅰ）在直三棱柱中，侧面⊥底面，且侧面∩底面=，∵∠=90°，即，∴平面∵平面，∴．∵，，∴是正方形，∴，∴．（Ⅱ）取的中点，连、在△中，、是中点，∴，，又∵，，∴，，分故四边形是平行四边形，∴，而面，平面，∴面【考点】（1）直线与平面垂直的判定（2）直线与平面平行的判定2.已知圆．（1）此方程表示圆，求的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点），求的值；（3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）本题考察的是二元二次方程表示圆的判定，可以把方程化为圆的标准方程，利用半径大于0，即可求得的取值范围．也可以利用公式，也可求得的取值范围．（2）本题考察的线段的垂直，可以转化为向量的垂直，利用向量积为0，即可求出所求的值．本题可以把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及，建立关于的方程，即可求出的值．（3）根据的值即可求出以为直径的圆的圆心和半径，然后根据圆的标准方程，代入所求的圆心和半径，即可得到圆的方程．试题解析：（1）方程，可化为，∵此方程表示圆，∴，即（2）消去得，化简得．设，，则由得，即，∴．将①②两式代入上式得，解之得．（3）由，代入，化简整理得，解得．∴，．∴，∴的中点的坐标为又∴所求圆的半径为∴所求圆的方程为【考点】（1）直线和圆的方程的应用（2）二元二次方程表示圆的条件3.（本小题满分10分）已知函数．（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；（2）设，若记，求函数的最大值的表达式．【答案】（1），偶函数；（2）【解析】（1）函数的定义域是使函数有意义的的取值范围，本题考察的是开偶次方根，所以只需使根号下大于等于0就可以了，再求出两个的交集．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，再判断定义域关于原点对称，函数的解析式可以化简的要先化简，再去判断与的关系，即可判断函数的奇偶性．（2）本题考察的是二次函数动轴定区间求最值问题，根据二次函数的图像和性质，对对称轴的位置进行讨论，判断函数在定区间上的单调性，从而判断出最大值再某个点取得，代入即可求出最大值．试题解析：（1）函数有意义，须满足，得，故函数定义域是---2分因为，所以函数是偶函数．（2）设，则，∵，∴，∵，∴，即函数的值域为，即∴令∵抛物线的对称轴为①当时，，函数在上单调递增，∴；②当时，，③当时，，若即时，函数在上单调递减，∴；若即时，；若即时，函数在上单调递增，∴；综上得【考点】（1）函数的奇偶性（2）函数的最值及其几何意义4.已知向量，其中．（1）若，求函数的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且，求的值．【答案】（1），（2）【解析】（1）根据向量的数量积表示出函数的解析式后，令转化为二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出的最小值，及其所对应的x的值．（2）根据向量与的夹角为确定，再由向量与向量的数量积等于0，整理可得，再讲代入即可得到所求答案．试题解析：（1）∵，，∴．令，则，且．则，．∴时，，此时．由于，故．所以函数的最小值为，相应x的值为．（2）∵a与b的夹角为，∴．∵，∴，∴．∵a⊥c，∴．∴，．∴，∴．【考点】平面向量的坐标运算5.（本小题满分14分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且销售量近似满足（件），价格近似满足（元）．（1）试写出该种商品的日销售额与时间（）的函数关系表达式；（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值【答案】（1）（2）最大为1225元，最小为600元．【解析】（1）本题考察是关于函数的应用题，要认真读题，找出题目中的等量关系，建立起关系式．根据可得该种商品的日销售额与时间的函数表达式．（2）本题考察的是分段函数，求关于分段函数的题时，记住一句话分段函数分段求．根据函数的定义域所对应的不同的解析式，求出各段的最值，再进行比较即可得到答案．试题解析：（1）依题意，可得：（2）当时，的取值范围是，在时，取得最大值为1225；当时，的取值范围是，在时，取得最小值为600；综上所述，第五天日销售额最大，最大为1225元；第20天日销售额最小，最小为600元．【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．。
2022年广州市高二数学竞赛试卷
广州市高二数学竞赛试卷题 号 一 二三 合 计（11） （12）（13）（14） （15） 得 分 评卷员考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每题6分，共24分．在每题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目规定旳．请将对旳选项前旳字母代号填在该小题后旳括号内． 1．若集合{}a a a -2,有4个子集，则实数a 旳取值范畴是（ ） A ． {}2,0 B ．{∈≠a a a ,0R}C ．{∈≠a a a ,2R} D ．{0≠a a 且∈≠a a ,2R }2 已知函数()⎩⎨⎧<≤-≤≤-=.01,2,10,12x x x x f x 则)]5.0([-f f 等于( )A ．5.0-B ．1-C ．5.0D ．13．在空间直角坐标系xyz O -中，点D C B A 、、、旳坐标分别为A ()001，，、B ()020，，、C ()042，，、()221--，，D ，则三棱锥BCD A -旳体积是（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．10 4. 已知直线012=+-y x 与圆()()5122=-+-b y a x ∈b a ,(R )有交点, 则 12222++-+b a b a 旳最小值是 ( )A ．51B ．54C ．59D ．514二、填空题：本大题共6小题，每题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5. △ABC 旳三个内角C B A 、、所对旳边分别为c b a 、、, 若︒===6024A b a ，，, 则=C cos .6．已知直角梯形ABCD 旳顶点坐标分别为()()()()3,1,1,3,0,2,1,D C B a A ，则实数a 旳值是 .7. 在数列}{n a 中，1a ＝2，∈=++n a a n n (11N )*，设n S 为数列}{n a 旳前n 项和，则3029282S S S -+旳值为 .8．已知C B A 、、三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若=++OC r OB q OA p 0， ∈r q p ,,R ，则=++r q p .9．一种非负整数旳有序数对(,)m n ，如果在做m n +旳加法时不用进位，则称(,)m n 为“奥运数对”，m n +称为“奥运数对”(,)m n 旳和，则和为2008旳“奥运数对”旳个数有___________个.10.如图1所示, 函数()x f y =圆弧, 则不等式()()x x f x f +-<2三、解答题：本大题共5小题，共90分．规定写出解答过程． 图1 11．（本小题满分15分）已知函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,a b ∈R ，0ω>)旳部分图象如图2所示． (1) 求,,a b ω旳值；（2）若有关x 旳方程[]23()()0f x f x m -+=在2(,)x ππ∈-内有解,求实数m 旳取值范畴．D B 1C 1A 1FECBA图212．（本小题满分15分）如图3所示, 在三棱柱ABC C B A -111中, ⊥1AA 底面ABC ，,BC AC ⊥21===CC BC AC .（1）若点F E D 、、分别为棱CA B C CC 、、111旳中点，求证：⊥EF 平面BD A 1； (2) 请根据下列规定设计切割和拼接措施:规定用平行于三棱柱ABC C B A -111旳某一条侧棱旳平面去截此三棱柱,切开后旳两个几何体再拼接成一种长方体. 简朴地写出一种切割和拼接措施，并写出拼接后旳长方体旳表面积（不必计算过程）.图313．（本小题满分20分）已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 是椭圆L ：221189x y +=上不同旳两点，线段AB 旳中点为(2,1)M .（1）求直线AB 旳方程；（2）若线段AB 旳垂直平分线与椭圆L 交于点C 、D ，试问四点A 、B 、C 、D 与否在同一种圆上，若是，求出该圆旳方程；若不是，请阐明理由.14．（本小题满分20分）已知在数列}{n a 中，11=a ，d qa a n n +=-+1212(d ∈R ,q ∈R 且q ≠0,∈n N *).（1）若数列}{12-n a 是等比数列，求q 与d 满足旳条件；（2）当0d =，2q =时，一种质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，后来依次按向右、向上、向左、向下旳方向交替地运动，设第n 次运动旳位移是n a ，第n 次运动后，质点达到点(,)n n n P x y ,求数列{}n x n 4⋅旳前n 项和n S .15．（本小题满分20分）已知函数()∈--=b a bx ax x x f ,(ln 2R ，且)0≠a .（1）当2=b 时，若函数()x f 存在单调递减区间，求a 旳取值范畴； （2）当0>a 且12=+b a 时，讨论函数()x f 旳零点个数.广州市高二数学竞赛参照答案一、选择题：本大题共4小题，每题6分，共24分． 1．D 2．C 3．A 4．B二、填空题：本大题共6小题，每题6分，共36分．5．8133- 6．1± 7．3- 8．0 9．27 10．()⎥⎦⎤⎝⎛2,581,0 三、解答题：本大题共5小题，共90分．规定写出解答过程． 11．（本小题满分15分）解：(1) 由图象可知函数()f x 旳周期为4T =(67π23π-)=2π，∴2212T ππωπ===． 函数()f x 旳图象过点⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛1,67,0,32ππ， ∴2()03f π=且7()16f π=-.∴10,21 1.2b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩解得：1,2a b ==. ∴,1=ω1,2a b ==. （2）由（1）得1()sin 2f x x x =+sin()3x π=+. 当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈32,3ππx 时，()ππ,03∈+x ，得13sin 0≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πx .令()⎪⎭⎫⎝⎛+==3sin πx x f t ，则10≤<t . 故有关x 旳方程[]23()()0f x f x m -+=在2(,)33x ππ∈-内有解等价于有关t 旳方程032=+-m t t 在(]1,0∈t 上有解.由032=+-m t t ，得121613322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=t t t m .(]1,0∈t ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121,2m . ∴实数m 旳取值范畴是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121,2.ABCEFA 1C 1B 1D12．（本小题满分15分）（1）证法一：以点C 为原点，分别以1CC CA CB 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系xyz C -，依题意得()()(01000,0,21、，，、A D B ()()010201，，、，，F E . ∴=EF ()211--，，，=BD ()102，，-，=D A 1 ()120--，，. ()()()，0120121=⨯-+⨯+-⨯-=⋅BD EF ()()()()，01221011=-⨯-+-⨯+⨯-=⋅D A EF ∴D A EF BD EF 1⊥⊥，.∴D A EF BD EF 1⊥⊥，.⊂BD 平面BD A 1，⊂D A 1平面BD A 1，D D A BD =1 . ∴⊥EF 平面BD A 1.证法二：连结F C 1，⊥1AA 底面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴AC AA ⊥1.21==CC AC ，F D 、分别为棱CA CC 、1旳中点，∴2,11111====CC C A DC CF .︒=∠=∠90111D C A CF C ，∴Rt △≅CF C 1 Rt △D C A 11. ∴111C DA F CC ∠=∠.︒=∠+∠901111DC A C DA ,∴︒=∠+∠90111DC A F DC .∴F C D A 11⊥.N MGB 1C 1A 1E CBAE 'GEC 1A 1,BC AC ⊥∴,1111C B C A ⊥1111111,A C A AA AA C B =⊥ ，∴⊥11C B 平面11CC AA .∴D A C B 111⊥.1111C F C C B = ，∴⊥D A 1平面FE C 1.⊂EF 平面FE C 1，∴D A EF 1⊥. 同理可证BD EF ⊥.D BD D A = 1，∴⊥EF 平面BD A 1.（2）切割拼接措施一：如图甲所示，分别以CB AB B A B C 、、、1111旳中点NM G E 、、、所拟定旳平面为截面，把三棱柱ABC C B A -111切开后旳两个几何体再拼接成一种长方体（该长方体旳一种底面为长方形1'1A EE C 如图①所示，），此时所拼接成旳长方体旳表面积为16.图甲 图①切割拼接措施二：如图乙所示，设AB B A 、11旳中点分别为N M 、，以四点CN M C 、、、1NMB 1C 1A 1CBA(B 1)M 'B 1MC 1A 1所拟定旳平面为截面，把三棱柱ABC CB A -111切开后旳两个几何体再拼接成一种长方体（该长方体旳一种底面为正方形'11M MA C ），此时所拼接成旳长方体旳表面积为284+.图乙 图② 13．（本小题满分20分）解一：（1） 点11(,)A x y ，22(,)B x y 是椭圆L 上不同旳两点，∴22111189x y +=，22221189x y +=. 以上两式相减得：222212120189x x y y --+=， 即222212122()0x x y y -+-=，12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=，∵线段AB 旳中点为(2,1)M ，∴12124,2x x y y +=+=. ∴12124()4()0x x y y -+-=，当12x x =，由上式知，12y y = 则,A B 重叠，与已知矛盾，因此12x x ≠， ∴12121y y x x -=--.∴直线AB 旳方程为1(2)y x -=--，即03=-+y x .由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+.19180322y x y x ， 消去y ，得01232=-x x ，解得0=x 或4=x .∴所求直线AB 旳方程为03=-+y x . 解二: 当直线AB 旳不存在时, AB 旳中点在x 轴上, 不符合题意.故可设直线AB 旳方程为()21-=-x k y , ()()2211,,,y x B y x A .由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.19182122y x x k y ， 消去y ，得()()()02848212222=--+--+k k x k k x k (*) 22212148k kk x x +-=+∴. AB 旳中点为()1,2M ,421=+∴x x . 4214822=+-∴k k k . 解得1-=k . 此时方程(*)为01232=-x x ,其鉴别式0144>=∆.∴所求直线AB 旳方程为03=-+y x . （2）由于直线AB 旳方程为03=-+y x ，则线段AB 旳垂直平分线CD 旳方程为21-=-x y ，即01=--y x .由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,1918,0322y x y x 得()().1,4,3,0-B A ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=--,1918,0122y x y x 消去y 得016432=--x x ，设()().,,,2211y x D y x C 则1212416,33x x x x +==-. ∴线段CD 旳中点E 旳横坐标为12223E x x x +==，纵坐标311-=-=E E x y . ∴E 21,33⎛⎫-⎪⎝⎭.∴()()[]32643164342411221221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-++=x x x x CD . ∵32623313222=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=EA CD 21=， 326233143222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=EB CD 21=， ∴四点A 、B 、C 、D 在同一种圆上，此圆旳圆心为点E ，半径为3262， 其方程为2221104339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14．（本小题满分20分）解:（1） 11=a ，2121n n a qa d +-=+，q ≠0，① 当0d =时，2121n n a qa +-=，显然21{}n a -是等比数列；② 当0d ≠时，()d d q q d qa a d q d qa a ++=+=+=+=3513,.数列21{}n a -是等比数列，∴5123a a a =，即()()d d q q d q ++=+2，化简得1=+d q . 此时有q qa a n n -+=-+11212，得()111212-=--+n n a q a ，由 11=a ，q ≠0, 得112=-n a （∈n N *)，则数列21{}n a -是等比数列.综上，q 与d 满足旳条件为0(0)d q =≠或1q d +=（0,0≠≠d q ）.（2）当0d =，2q =时，∵21212n n a a +-=，∴1121122n n n a a ---=⋅=，依题意得：41312x a a =-=-，2381222x =-+-，…，∴22223222141(2)12121222221(2)123n n nn n n x ------=-+-++-===--+.∴24132n n x -=. ∴32124n n x -=. ∴()n n n x n x n x x x S 4)1(41284132⋅+⋅-+⋅⋅⋅+++=- ()()n n n 264222322213132131⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-+⋅⋅⋅+++= ()61+=n n ()n n 2642223222131⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-. 令()n n n n n T 2)1(2642221232221⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=- ① n T 4()222864221232221+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n ②①-②得2226422222213+⋅-+⋅⋅⋅+++⨯=-n n n n T()2222241212+⋅---=n n n ()22221234+⋅--=n n n . ∴()()92139432219422222++⋅-+=⋅+-=n n n n n n T . ∴()()272132746122+⋅---+=n n n n n S . 15．（本小题满分20分）解：（1）当2=b 时，函数()x f x ax x 2ln 2--=，其定义域是()∞+,0， ∴()x x ax ax x x f 1222212'-+-=--=. 函数()x f 存在单调递减区间，∴()x x ax x f 1222'-+-=0≤在()∞+∈,0x 上有无穷多种解. ∴有关x 旳不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多种解. ① 当0>a 时，函数1222-+=x ax y 旳图象为开口向上旳抛物线，有关x 旳不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上总有无穷多种解.② 当0<a 时，函数1222-+=x ax y 旳图象为开口向下旳抛物线，其对称轴为 01>-=ax .要使有关x 旳不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多种解. 必须480a ∆=+>， 解得12a >-，此时102a -<<. 综上所述，a 旳取值范畴为()1(,0)0,2-+∞. 另解：分离系数：不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多种解， 则有关x 旳不等式221212(1)1x a x x -≥=--在()∞+∈,0x 上有无穷多种解， ∴21a >-，即12a >-，而0a ≠. ∴a 旳取值范畴为()1(,0)0,2-+∞. （2）当12b a =-时，函数()x f ()2ln 12x ax a x =---，其定义域是()∞+,0，∴()()2'12(12)1212ax a x f x ax a x x +--=---=-. 令()0'=x f ，得22(12)10ax a x x +--=，即22(12)10ax a x +--=， (1)(21)0x ax -+=， 0x >，0a >，则210ax +>，∴1x =当<<x 01时，()0'>x f ；当>x 1时，()0'<x f .∴函数()x f 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. ∴当1x =时，函数()x f 获得最大值，其值为()1ln1121f a b a a a =--=--+=-. ① 当1a =时，()10f =，若1≠x , 则()()1f x f <, 即()0<x f .此时，函数()x f 与x 轴只有一种交点，故函数()x f 只有一种零点； ② 当1a >时，()10f >，又()011112111ln 122<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a ee a e a e a e ef , ()()()02121ln 2<---=---=e e ae e a ae e e f ,函数()x f 与x 轴有两个交点，故函数()x f 有两个零点； ③ 当01a <<时，()10f <，函数()x f 与x 轴没有交点，故函数()x f 没有零点.。
2022年广东省东莞市高中数学竞赛决赛试卷与解析
2022年广东省东莞市高中数学竞赛决赛试卷与解析一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．） 1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是A ．56B ．23C ．12D ．132．若α是第四象限角，且2cos2sin 212cos 2sin αααα-=-，则2α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3. 已知点O A B 、、不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且22+OP OA BA =，则A ．点P 不在直线AB 上 B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 在线段AB 的反向延长线上 4．设+∈R n m ,，若直线04)1()1(=-+++y n x m 与圆4)2()2(22=-+-y x 相切，则m n +的取值范畴是A .]31,0(+B .),31[+∞+C . ),222[+∞+D .]222,0(+5. 已知正方体C 1的棱长为C 1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 2，以C 2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 3，则凸多面体C 3的棱长为A ．18B ．29C ．9D ．266. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(3)()f x f x +=-,且在区间]23,0[上是增函数,若方程m x f =)()0(<m 在区间[]6,6-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=A ．6-B ． 6C ．8-D ．8 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．已知1ln ,0()1,0x xf x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则不等式()1f x >-的解集为 ▲ .8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情形，发觉学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 ▲ 人.9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 ▲ . 10．给出下列四个命题：（1）假如平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交； （2）假如平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β；（3）假如平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直； （4）假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β． 其中真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 11．若动点00(,)M x y 在直线20x y --=上运动，且满足2200(2)(2)x y -++≤8，则2200x y +的取值范畴是 ▲ ． 12．设函数()1121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f x，0A 为坐标原点，nA 为函数()x f y =图象上横坐标为n （n∈N *）的点，向量∑=-=nk kk n A A a 11，向量)0,1(=i ，设nθ为向量na 与向量i 的夹角，满视力足15tan 3nk k θ=<∑的最大整数n 是▲ ．答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解承诺写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 222x x x f x =-+ （1）求函数()f x 的单调减区间；（2）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象通过如何样的变换得到? （3）已知2π,63πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且6()5f α=，求()6f πα-的值．14.（本小题满分12分）菱形ABCD中，)2,1(A，)0,6(AB，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交=于点P.（1）若向量)7,3(AD，求点C的坐标；=（2）当点D运动时，求点P的轨迹.15．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE ＝BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE. （1）判定平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并说明理由； （2）求点D 到平面ACE 的距离.ABCDEF16．（本题满分13分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.依照环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m3，试依照环保部门的要求写出x、y所满足的所有条件；（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m 3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m 3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m 3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？17．（本题满分14分）已知),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=.（1）当0≠a 时，若函数)(x f 的图象与直线x y ±=均无公共点，求证：;4142>-b ac（2）43,4==c b 时，关于给定的负数8-≤a ，记使不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值为)(a M .问a 为何值时，)(a M 最大，并求出那个最大的)(a M ，证明你的结论. 18．（本题满分14分）已知数列{}n x 和{}n y 的通项公式分别为n n x a =和()1,n y a n b n N +=++∈.（1）当3,5a b ==时，记2n n c x =，若k c 是{}n y 中的第m 项(,)k m N +∈，试问：1k c +是数列{}n y 中的第几项？请说明理由．（2）对给定自然数2a ≥，试问是否存在{}1,2b ∈，使得数列{}n x 和{}n y 有公共项？若存在，求出b 的值及相应的公共项组成的数列{}n z ，若不存在，请说明理由．2020年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．） 题号 1 2 3 4 5 6 答案ABDCDB二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．),0()1,(e --∞ 8． 78 9．1210． （3）（4） 11． [2，8] 12． 3 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解承诺写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分） 解：（1）2()sin 2sin )2x f x x =+-sin x x =π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． …………………2分令πππππk x k 223322+≤+≤+，Z k ∈． 得ππππk x k 26726+≤≤+，Z k ∈． ()f x ∴的单调减区间为]267,26[ππππk k ++，Z k ∈． …………………5分（2）先把函数)(sin R x x y ∈=的图象向左平移3π个单位，就得到函数))(3sin(R x x y ∈+=π的图象；再把其纵坐标伸长为原先的2倍，横坐标不变，就得到π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭)(R x ∈的图象．…………7分 （3）由56)(=αf 得：π62sin(),35α+=即π3sin(),35α+= …………………8分因为2π,63πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因此π()(,)32παπ+∈. 从而π4cos()35α+===- (10)分因此()2sin[()]2[sin()cos cos()sin ]6363636f πππππππαααα-=+-=+-+5433]21542353[2+=⨯+⨯=. …………………12分14.（本小题满分12分） 解：（1）菱形ABCD 中，)7,9()0,6()7,3(=+=+=AB AD AC ，且)2,1(A ，因此)9,10(C .…4分（2）设),(y x P ，则)2,7()0,6()2,1(--=---=-=y x y x AB AP BP . …………………5分又因为点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，即点P 是ABC ∆的重心，从而有MP MC 3=,因此11133()3222AC AM MC AB MP AB AP AB AP AB=+=+=+-=- 3(1,2)(6,0)(39,36)x y x y =---=-- …………………7分菱形ABCD 的对角线互相垂直，因此AC BP ⊥， 即 0)63,93()2,7(=--⋅--y x y x ， 亦即0)63)(2()93()7(=--+-⋅-y y x x ， 整理得：4)2()5(22=-+-y x （2≠y ）， …………………11分故P 点的轨迹是以)2,5(为圆心，2为半径的圆，除去与2=y 的交点. …………………12分15．（本题满分13分）解：（1）平面ADE 与平面BCE 垂直. …………………1分证明如下：因为BF ⊥平面ACE ，因此BF ⊥AE. …………………3分因为平面ABCD ⊥平面ABE ，且ABCD 是正方形，BC ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，因此BC ⊥平面ABE ，从而BC ⊥AE. …………………6分 因此AE ⊥平面BCE ，故平面ADE ⊥平面BCE. ………………7分 （2）连结BD 交AC 与点M ，则点M 是BD 的中点，因此点D 与点B 到平面ACE 的距离相等. …………………8分 因为BF ⊥平面ACE ，因此BF 为点B 到平面ACE 的距离. …9分 因为AE ⊥平面BCE ，因此AE ⊥BE.又AE ＝BE ，因此△AEB 是等腰直角三角形. …………………10分AB CD EFABCDEF M G因为AB＝2，因此BE＝2sin45︒=. …………………11分在Rt△CBE中，CE=BC BEBFCE⨯===故点D到平面ACE的距离是332. …………………13分16．（本题满分13分）解：（1）据题意，x、y所满足的所有条件是()20.25001000.8(2) 1.40.2700100020 1.4xx yxy-⎧≤⎪⎪-+-⎪≤⎨⎪≤≤⎪⎪≤≤⎩，…………………4分即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+4.121854yxyx . …………………5分（2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则目标函数z＝1200x＋1000y＝200(6x＋5y).…………7分作可行域，如图. ……………10分平移直线l：6x＋5y=0，当直线通过点A(1，0.8)时，z取最大值，现在z＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）. ……………12分故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元. …………………13分17．（本题满分14分）解：(1)由),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=与直线x y ±=均无公共点（0≠a ），可知xc bx ax ±=++422无解， ………………1分由04)12(2=+++c x b ax 无解，得：016)12(2<-+=∆ac b ， 整理得：bb ac +>-4142(1) ………………3分由04)12(2=+-+c x b ax 无解，得：016)12(2<--=∆ac b ， 整理得：bb ac ->-4142(2) ………………5分由(1),(2)得:4142>-b ac . ………………6分(2) 由43,4==c b ，因此38)(2++=x ax x f ………………7分因为aa f 163)4(-=-, 由8-≤a 得，5163)4(≤-=-aa f ………………9分 因此()5f x ≤恒成立，故不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值也确实是不等式()5f x ≥-成立的x 的最大值，…………10分因此)(a M 为方程5382-=++x ax 的较大根， 即aaa M 2424)(---=（8-≤a ） ………………11分当8-≤a时，()M a ==是关于a 的增函数， ………………13分因此，当8a =-时，)(a M 取得最大值，其最大值为251)(+=a M . ………………14分18．（本题满分14分）解：（1）由条件可得3n n x =，45n y n =+，依照题意知，23n n c =． …………………1分由kc 为数列{}n y 中的第m 项，则有2345k m =+， …………………2分那么2(1)213939(45)36454(910)5k k k c m m m ++==⨯=⨯+=+=++，…………………4分因910m *+∈N ,因此1k c +是数列{}n y 中的第910m +项． …………………5分（2）设在区间[1,2]上存在实数b 使得数列{}n x 和{}ny 有公共项，即存在正整数s ，t 使(1)s a a t b =++，∴1+-=a b a t s ， 因自然数2a ≥,s ，t 为正整数，∴s a b -能被1a +整除． …………………6分①当1s =时，1s a b t a -=<+1a a *∉+N ． ②当2s n = (n *∈N )时， 若1b =，2222111[1()()()]111()s n nn a b a a a a a a a a ----==-=-+-+-++-++--2422(1)[1]n a a a a -*=-+++∈N ，即s a b-能被1a +整除， …………………8分现在数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，通项公式为2n n z a =(n *∈N )； 若2b =， 明显，222111111s n n a ba a a a a a *---==-∉++++N ，即s a b -不能被1a +整除． ………………9分 ③当21s n =+(n *∈N )时,2()11n sba a ab a t a a --==++， …………………10分若2a >，则2nb a a*-∉N，又a 与1a +互质，故现在2()1n b a a a t a *-=∉+N ． ………………11分 若2a =，要2nba a*-∈N ，则要2b =，现在221nnb a a a-=-， …………………12分 由②知，21n a -能被1a +整除， 故2()1n b a a a t a *-=∈+N ，即s a b -能被1a +整除．当且仅当2b a ==时，ba S -能被1a +整除． …………………13分现在数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，通项公式为212n n z +=(n *∈N ). 综上所述，存在{1,2}b ∈，使得数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，且当1b =时,数列2nn z a =(n *∈N )；当2b a ==时,数列212n n z +=(n *∈N ). ……………14分。
广东省广州市荔湾、海珠部分学校2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
广东省广州市荔湾、海珠部分学校2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3）C ．4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题3．已知双曲线22214x y b-=（0b >0y ±=，则b =（ ）A ．BCD ．4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 6．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 7．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->8．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．129．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f >B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f >C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f <D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f <12．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．10D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东2023高中数学竞赛题
广东2023高中数学竞赛题一、填空题（共8小题，每题8分，共64分）1. 对所有正实数a,b,c,d,都满足（a 3a 3+15bcd ）12≥a x a x +b x +c x +d x ,则x= 2. 若sin1°=a,则∑1sini°sin(i+1°)88i=1= 3. 若经过点M （2,1）作直线l ，交椭圆x 216+y 24=1于A,B 两点，若M 恰好为AB 的三等分点，则l 的斜率为______________4. 将集合{1,2，…，n}任意划分成2个自己，其中必有一个子集中拥有2017个正整数x 1,x 2…x 2017,∑x i =x 20172016i=1，则满足条件的最小正整数n=________5. 有四条长度为1的线段和两条长度为x 的线段，六条线段能够成一个三棱锥，则x 的取值范围为________6. [∏(2k+1)4+(2k+1)2+1(2k)4+（2k ）2+1]n k=1=44,则n=________ 7. 空间中有2017个点，讲每两点间线段的中点染上红色，则红点个数的最小值为________ 8. a n =[(√2+1)n +(12)n ]，n≥0，则∑1a n−1a n+1∞n=1=________ 二、解答题（第9题16分，第10题20分，第11题20分）9.n≥2为正整数，a i ,b i 均为非负实数（i =1,2…n),求证：(n n −1)n−11n ∑a i 2+(1n ∑b i )n i−12≥∏(a i 2+b i 2)1n ni=1n i=110.设数列{a n}满足a1=7,a2=7,a n2+5=a n−1a n+1(n≥2) ,,证明：若a n+(−1)n 为素数，则必存在整数k，使得n=3k.11.已知AB、CD是椭圆过焦点F的两条弦，AC，BD交于M,AD,BC交于N，若ABCD任意两点所在直线斜率都存在，求证：∠MFN是直角。
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广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷（样卷）
（考试时间：120分钟 全卷满分：100分）
一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．
（1）小丁储备2008年赴京观看奥运会的费用，他从2001年起到2007年，每年元旦到银行
存入a 元一年定期储蓄，若年利率r 保持不变，且每年存款到期自动转存新的一年定期. 到2008年元旦将所有的存款和利息悉数取出，可提取 ( ) 元.
(A) a (1+r )8 (B) a
r [(1+r )7－(1+r )]
(C) a
r
[(1+r )8－1]
(D) a
r
[(1+r )8－(1+r )]
（2）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为一
个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 公里，远地点B 距地面为n 公里．若地球的半径为R 公里，则飞船运行轨道的短轴长为
(A) mn (B) 2))((R n R m ++ (C) 2nm (D)
))((R n R m ++
（3） 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是25cm ，宽是20cm ．设
0＜a ≤8，水箱里盛有深为a cm 的水，若往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，则水深为
(A) 2 cm (B) 10 cm (C) (a +2) cm (D)
a 4
5
cm （4）右图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积)(2
m y 与时间t （月）的关系为：t
a y =.有以
下判断：①这个指数函数的底数为2；②第5个月后，浮萍面积就会超过302m ；③浮萍从42m 蔓延到122m 只需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到
22m ,226,3m m 所经过的时间分别为,,,321t t t 则321t t t =+．其
中正确判断的个数是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 （D ） 4
A
C
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（5）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验，则至少有两件
不合格的概率为 ．
（6）如图，距离船只A 的正北方向100 n mile 处，有一船只B
以每小时20 n mile 速度，沿北偏西0
60 角的方向行驶，船
只A 以每小时15 n mile 速度，向正北方向行驶，两船同时 出发，经过 小时后，两船相距最近。
（7）如图，一个地区分为5个行政区域，现给
地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜 色，现有4种颜色可供选择，则不同的着 色方法共有 种．（以数字 作答）
（8）某工厂为某工地生产一种无盖圆柱形容器，容器的底面半径r ∈[2，3]（米），容积为
)(2
3
3米π，制造容器底面的材料每平方米为30元，制造容器侧面的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计，则这种容器的最低造价为 元．（取π＝3.14，精确到1元）
三、解答题：本大题共4小题，共60分．要求写出解答过程．
（9）（本小题满分15分）
某机关在精减人员中,对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的三分之二领取工资.该机关根据分流人员的特长,计划创办新的经济实体,该经济实体计划第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获b 元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%.如果某分流人员分流前工资收入每年a ,分流后第n 年总收入为n a 元. （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）当278a
b =时,这个人哪一年收入最少,最少收入是多少? （Ⅲ）当a b 8
3
≥时,是否一定可以保证这个人分流后的年收入永远超过分流前的年收
入．
（10）（本小题满分15分）
甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/
时．已知
汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元．
(Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?
(11)（本小题满分15分）
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （Ⅰ）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱 宽l 是多少？
（Ⅱ）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设 计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为lh S 4
π
=，
柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1
2.65）
(12) （本小题满分15分）
下面是某国从1790年到1950年的人口数据资料：
试利用上述资料预测该国1980年的人口数。
广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷（样卷）
参 考 答 案
（1）至（10）题答案参看《广州市高中数学知识应用竞赛初赛试卷（样卷）参考答案》 (11) （本小题满分15分）
解: （Ⅰ）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5）， 椭圆方程为12222=+b
y a x .
将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.337
7
882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.
（Ⅱ）由椭圆方程122
22=+b
y a x ，
得.15.41122
22=+b
a 4
.6,1.31222222
9,211,215.411,.
29924,
,2,995.41125.41122222222≈=≈===
===≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a b a S ab lh S b h a l ab ab b
a 此时得有取最小值时当所以且即因为π
ππ
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. (12) （本小题满分15分）
解答要点：
（1）假设该国的政治、社会、经济环境稳定，该国人口数量完全按表中所给数据呈现的规律连续变化．
（2）将该国人口数量看成是时间的函数，并设时间为t ，该国人口数量为y ，则
)(t f y =．
（3）以t 为横坐标，y 为纵坐标，在平面直角坐标系中，根据表中所给的数据资料，画出散点图（略）．
（4）观察散点图，从整体趋势来看，可认为散点近似在一条指数型的曲线上．
由于表中所给1940和1950两年数据离1980年最近，故设1940
()t f t k a -=⋅，并以（1940，
131.669）和（1950，150.697）代入，求出k ，a 的值，得到
=)(t f 131.669(1.0136)1940-t ．
由此，算得该国1980年的人口预测数为:f ()1980=226.02（百万）．
以下别解更接近学生的思路，仅供参考：
别解1：如果认为曲线是一条抛物线，设为y＝ax2＋b，将（0，0.3929）和（16，15.0697），代入得：a＝0.0573313，b＝0.3929，
即y＝0.0573313x2＋0.3929，
将x＝19（注：按1790年时x＝0，依次取值，则1950年时x＝16，即1980年时x＝19），得y＝21.09（注：人口数以千万为单位，即210.9百万）
别解2：仍认为曲线是一条抛物线，设为y＝ax2＋bx＋c，将（0，0.3929）、（8，3.8558）和（16，15.0697），代入得：a＝0.0574852，b＝0.0220938，c＝0.3929，
即y＝0.0574852x2＋0.0220938x＋0.3929，
将x＝19（注：按1790年时x＝0，依次取值，则1950年时x＝16，即1980年时x＝19），得y＝21.56（注：人口数以千万为单位，即215.6百万）
其图形如下：（从图中可以看出拟合的程度也较精确）。