控制技术电子教案(第2章)
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21
▼
求图2.3所示的LRC电路的传递函数
图2.3
该电路的微分方程
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
22
在零初始条件下对上式取拉氏变换
( LCs2 RCs 1)Uo (s) Ui (s)
Uo ( s) 1 G( s) Ui ( s) LCs2 RCs 1
式中ai和bi是由系统结构决定的实常数。
19
令r(t)和c(t)及其各阶导数的初始条件为零
r ( i ) ( 0) 0 c ( i ) ( 0) 0
取上式拉氏变换
(i 0,1,2,, m 1) (i 0,1,2,, n 1)
(an s n an 1s n 1 a1s a0 )C ( s) (bm s bm1s
C ( s) G( s) R( s ) s (Ti s 1) (T j2 s 2 2 jTl s 1)
i 1 j 1
24
k 1 n1
l 1 n2
C ( s) G( s) R( s )
m
K ( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1) s (Ti s 1) (T j2 s 2 2 jTl s 1)
m m 1
b1s b0 ) R( s)
C (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s) R(s) an s n an1s n1 a1s a0
该系统的传递函数为：
C ( s) G( s) R( s)
所以 C ( s) G( s) R( s)
dn d n 1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0 c(t ) dt dt dt dm d m 1 d bm m r (t ) bm 1 m 1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
不能应用终值定理。
14
6）卷积定理
当t<0时，f1(t)=f2(t)=0，则
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
卷积运算符合交换律
f 2 (t ) * f1 (t ) f 2 ( ) f1 (t )d
f1 (t ) * f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t )
RC网络的阶 跃响应曲线
18
Hale Waihona Puke Baidu
2.2 传递函数
经典控制理论研究的主要内容之一是系统输出和输入的 关系，用微分方程求解比较困难； 采用以拉普拉斯变换为基础所得出的传递函数，则把控 制系统的输出和输入的关系表示得简单明了。 ◆ 传递函数的定义 r(t)为输入量，c(t)为输出量的线性定常系统微分方程:
17
ur(t)=1(t)，其拉氏变换式Ur(s)=1/s，带入上式
1 T U c ( s) u0 s(Ts 1) Ts 1 1 1 1 U c ( s) u0 s s 1 s 1 T T
两边反拉氏变换
uc (t ) 1 e
t / T
u0e
t / T
其中T1=L/R，T2=RC。
8
▼
在图2.2所示的理想运算放大器组成的电路中， 电压ui(t)为输入量， 电压uo(t)为输出量，求它 的微分方程式。
i2
U2(t)=0
U1(t) i1 U2(t)
U1(t)=U2(t)=0
I1=i2
图2.2
根据基尔霍夫电流定律：
ui (t ) duo (t ) C 0 R dt
di (t ) L Ri (t ) uo (t ) ui (t ) dt
7
消除中间变量i(t)：
duo (t ) i (t ) C dt 2 d uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
上式可写成
d 2uo (t ) duo (t ) T1T2 T2 uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
的导数不可忽略，为了确定系统的输出量和其他 变量，不仅要知道输入量，还必须知道一组变量 的初始值，用一组微分方程来表达。
2
系统建立数学模型的方法：分析法（理论建模）
和实验法（系统辨识）。
线性系统：数学模型为线性微分方程式的控制
系统。
连续系统：能用微分方程式描述的系统。 离散系统：用差分方程式描述的系统。
13
3）积分定理
L[ f (t )dt]
4）初值定理 5）终值定理
t 0
[ f (t )dt]t 0 s
s
F ( s) s
lim f (t ) lim sF ( s ) lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
注意：当sF(s)的极点的实部为正或等于零时，
▼
图2.4所示的理想运算放大器组成的电路，其传递 函数为：
Uo ( s) 1 G( s) Ui ( s) RCs
图2.4
23
◆ 关于传递函数的几点说明(传递函数基本性质)
1）传递函数的概念适用于线性定常系统，与线 性常系数微分方程一一对应，传递函数的结构 和各项系数完全取决于系统本身，而与输入信 号的具体形式和大小无关。 2）传递函数不能反映系统或元件的学科属性和 物理性质，学科属性和物理性质截然不同的系 统可能具有完全相同的传递函数。 3）传递函数是复变量s的有理分式，各项系数均 m1 m2 是实数。 K ( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1)
c(t ) Kr (t ) C ( s) G( s) K R( s )
几乎每个控制系统中都有放大环节，如电路中的放大器、 机械系统中的齿轮减速器；绝大部分的测量元件，如电位 器、旋转变压器、光电码器、光栅等。
28
▼
惯性环节
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt C ( s) 1 G( s) R( s ) Ts 1
0
t
卷积定理
L[ f1 (t ) * f 2 (t )] L[ f 2 (t ) * f1 (t )] F1 (s) F2 (s) F2 (s) F1 (s)
15
◆ 应用拉氏变换法解微分方程
▼ 拉氏变换法求解微分方程步骤：
1）对线性微分方程进行拉氏变换； 2）求解代数变换方程； 3）将s域的输出象函数表达式展成部分分式； 4）将部分分式进行拉氏反变换。
东南大学计算机学院
计算机控制技术
主讲教师： 徐造林
1
第 2 章 自动控制系统分析
2.1 控制系统的数学模型
系统的数学模型：描述系统中各变量间的关系
的数学形式和方法。
静态系统：系统各变量随时间变化缓慢，对时间
的导数可忽略不计，知道了输入量即可确定系统 的输出量及其他变量。
动态系统（动力学系统）：系统中的变量对时间
26
U o ( s) K ( s 2) 如传递函数 G( s) 2 U i ( s) ( s 3)(s 2s 2)
的零点、极点分布情况如下图所示
27
◆ 基本环节及其传递函数
把一个复杂的控制系统分成一个个小部分，称
为环节
▼
放大环节（比例环节）
动态方程是 传递函数为：
（1）在t<0时，f(t)=0； （2）在t>=0时的任一有限区间内，f(t)分段连续； （3）
0
f (t )est dt
11
拉氏变换记为：
F (s) L[ f (t )]
拉氏反变换（已知象函数F(s)，求原函数f(t)）
1 c st f (t ) c F (s)e dt 2j
9
上式可变为：
duo (t ) RC ui (t ) dt
或
duo (t ) T ui (t ) dt
其中T=RC称为时间常数。
10
2.1.2 微分方程的解
◆ 拉氏变换的定义 拉氏变换表达式：
F (s) f (t )e dt
st t
拉氏变换充要条件：
16
▼ 例，下图所示的RC无源网络动态微分方程为
du c (t ) T uc (t ) ur (t ) dt
其中T=RC
ur(t)
uc(t)
求输入为单位阶跃电压时的拉氏变换和时域的解， 设电容C上的初始电压为u0 = uc(0)。
微分方程的拉氏变换为
TsU c (s) Tuc (0) Uc (s) U r (s)
拉氏反变换记为：
f (t ) L [ F (s)]
12
1
◆ 常用的拉氏变换法则
1）线性性质
L[af1 (t ) f 2 (t )] aF (s) F2 (s) 1
2）微分定理
df (t ) L[ ] sF ( s) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0) f ' (0) 2 dt d n f (t ) n n 1 n2 n 1 L[ ] s F ( s) s f (0) s f ' (0) f (0) n dt
20
令s=0,
b0 G (0) a0
为系统放大系数，是系统输出、输入的静态比值。
传递函数是在初始条件为零时定义的
零初始条件有两方面的含义 1、输入作用是在t=0以后才作用于系统；
r (i ) (0 ) 0
(i 0,1,2,, m 1)
2、输入作用加于系统之前，系统是“相对禁止”的 ， c(i ) (0 ) 0 (i 0,1,2,, n 1) 实际的工程控制系统多零初始条件系统，传递函数 完全能表征线性定常系统的动态性能。
▼ 连续控制系统数学模型的形式
经典控制理论：微分方程、传递函数和频率特征函
数，还有方框图和信号流图。
现代控制理论：状态空间表达式。
3
2.1.1 控制系统微分方程的建立
◆ 单变量线性定常系数微分方程
dn d n 1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0 c(t ) dt dt dt dm d m 1 d bm m r (t ) bm 1 m 1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
式中r(t)是输入信号，c(t)是输出信号，ai和bi是由系统结构 参数决定的系数 。
4
◆ 用解析法列写微分方程的一般步骤
1）根据要求，确定输入量和输出量； 2）根据科学规律，围绕输入量、输出量及有关中间 量，列写原始方程式，构成微分方程组； 3）消除中间变量，整理出只含有输入量和输出量及 其各阶导数的方程； 4）标准化，输出量及其各阶导数放在方程式左边， 输入量及其各阶导数放在方程式右边，各导数项 按阶次由高到低顺序排列。
5
◆ 电气系统的数学模型 他们遵循基尔霍夫电
流定律和电压定律：
i 0 u 0
u Ri di uL dt du iC dt
6
电压、电流与元件参
数的关系：
▼
在图2.1所示的电路中，电压ui(t)为输入量， uo(t) 为输出量，列写该装置的微分方程式。
图2.1
设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电流电压定律：
i 1 j 1 k 1 n1 l 1 n2
m1
m2
K * ( s zi ) s (s p j )
j 1 i 1 n
系统 零点
系统 极点
上式中每个因子对应着物理上的一个环节。
25
4）理论分析和实验都指出，对于实际的物理元件 和系统而言，输入量与它所引起的响应（输出 量）之间的传递函数，分子多项式的阶次m总 是小于分母多项式的阶次n。 5）传递函数G(s)中，自变量是复变量s，称系统 是复域描述；传递函数G(s)的拉氏反变换，即 为系统的脉冲响应g(t)。 6）令系统传递函数分母等于零所得方程为特征方 程，即D(s)=0；特征方程的根称为特征根；特征 根是传递函数的极点。
▼
求图2.3所示的LRC电路的传递函数
图2.3
该电路的微分方程
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
22
在零初始条件下对上式取拉氏变换
( LCs2 RCs 1)Uo (s) Ui (s)
Uo ( s) 1 G( s) Ui ( s) LCs2 RCs 1
式中ai和bi是由系统结构决定的实常数。
19
令r(t)和c(t)及其各阶导数的初始条件为零
r ( i ) ( 0) 0 c ( i ) ( 0) 0
取上式拉氏变换
(i 0,1,2,, m 1) (i 0,1,2,, n 1)
(an s n an 1s n 1 a1s a0 )C ( s) (bm s bm1s
C ( s) G( s) R( s ) s (Ti s 1) (T j2 s 2 2 jTl s 1)
i 1 j 1
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k 1 n1
l 1 n2
C ( s) G( s) R( s )
m
K ( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1) s (Ti s 1) (T j2 s 2 2 jTl s 1)
m m 1
b1s b0 ) R( s)
C (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s) R(s) an s n an1s n1 a1s a0
该系统的传递函数为：
C ( s) G( s) R( s)
所以 C ( s) G( s) R( s)
dn d n 1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0 c(t ) dt dt dt dm d m 1 d bm m r (t ) bm 1 m 1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
不能应用终值定理。
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6）卷积定理
当t<0时，f1(t)=f2(t)=0，则
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
卷积运算符合交换律
f 2 (t ) * f1 (t ) f 2 ( ) f1 (t )d
f1 (t ) * f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t )
RC网络的阶 跃响应曲线
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Hale Waihona Puke Baidu
2.2 传递函数
经典控制理论研究的主要内容之一是系统输出和输入的 关系，用微分方程求解比较困难； 采用以拉普拉斯变换为基础所得出的传递函数，则把控 制系统的输出和输入的关系表示得简单明了。 ◆ 传递函数的定义 r(t)为输入量，c(t)为输出量的线性定常系统微分方程:
17
ur(t)=1(t)，其拉氏变换式Ur(s)=1/s，带入上式
1 T U c ( s) u0 s(Ts 1) Ts 1 1 1 1 U c ( s) u0 s s 1 s 1 T T
两边反拉氏变换
uc (t ) 1 e
t / T
u0e
t / T
其中T1=L/R，T2=RC。
8
▼
在图2.2所示的理想运算放大器组成的电路中， 电压ui(t)为输入量， 电压uo(t)为输出量，求它 的微分方程式。
i2
U2(t)=0
U1(t) i1 U2(t)
U1(t)=U2(t)=0
I1=i2
图2.2
根据基尔霍夫电流定律：
ui (t ) duo (t ) C 0 R dt
di (t ) L Ri (t ) uo (t ) ui (t ) dt
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消除中间变量i(t)：
duo (t ) i (t ) C dt 2 d uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
上式可写成
d 2uo (t ) duo (t ) T1T2 T2 uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
的导数不可忽略，为了确定系统的输出量和其他 变量，不仅要知道输入量，还必须知道一组变量 的初始值，用一组微分方程来表达。
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系统建立数学模型的方法：分析法（理论建模）
和实验法（系统辨识）。
线性系统：数学模型为线性微分方程式的控制
系统。
连续系统：能用微分方程式描述的系统。 离散系统：用差分方程式描述的系统。
13
3）积分定理
L[ f (t )dt]
4）初值定理 5）终值定理
t 0
[ f (t )dt]t 0 s
s
F ( s) s
lim f (t ) lim sF ( s ) lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
注意：当sF(s)的极点的实部为正或等于零时，
▼
图2.4所示的理想运算放大器组成的电路，其传递 函数为：
Uo ( s) 1 G( s) Ui ( s) RCs
图2.4
23
◆ 关于传递函数的几点说明(传递函数基本性质)
1）传递函数的概念适用于线性定常系统，与线 性常系数微分方程一一对应，传递函数的结构 和各项系数完全取决于系统本身，而与输入信 号的具体形式和大小无关。 2）传递函数不能反映系统或元件的学科属性和 物理性质，学科属性和物理性质截然不同的系 统可能具有完全相同的传递函数。 3）传递函数是复变量s的有理分式，各项系数均 m1 m2 是实数。 K ( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1)
c(t ) Kr (t ) C ( s) G( s) K R( s )
几乎每个控制系统中都有放大环节，如电路中的放大器、 机械系统中的齿轮减速器；绝大部分的测量元件，如电位 器、旋转变压器、光电码器、光栅等。
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▼
惯性环节
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt C ( s) 1 G( s) R( s ) Ts 1
0
t
卷积定理
L[ f1 (t ) * f 2 (t )] L[ f 2 (t ) * f1 (t )] F1 (s) F2 (s) F2 (s) F1 (s)
15
◆ 应用拉氏变换法解微分方程
▼ 拉氏变换法求解微分方程步骤：
1）对线性微分方程进行拉氏变换； 2）求解代数变换方程； 3）将s域的输出象函数表达式展成部分分式； 4）将部分分式进行拉氏反变换。
东南大学计算机学院
计算机控制技术
主讲教师： 徐造林
1
第 2 章 自动控制系统分析
2.1 控制系统的数学模型
系统的数学模型：描述系统中各变量间的关系
的数学形式和方法。
静态系统：系统各变量随时间变化缓慢，对时间
的导数可忽略不计，知道了输入量即可确定系统 的输出量及其他变量。
动态系统（动力学系统）：系统中的变量对时间
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U o ( s) K ( s 2) 如传递函数 G( s) 2 U i ( s) ( s 3)(s 2s 2)
的零点、极点分布情况如下图所示
27
◆ 基本环节及其传递函数
把一个复杂的控制系统分成一个个小部分，称
为环节
▼
放大环节（比例环节）
动态方程是 传递函数为：
（1）在t<0时，f(t)=0； （2）在t>=0时的任一有限区间内，f(t)分段连续； （3）
0
f (t )est dt
11
拉氏变换记为：
F (s) L[ f (t )]
拉氏反变换（已知象函数F(s)，求原函数f(t)）
1 c st f (t ) c F (s)e dt 2j
9
上式可变为：
duo (t ) RC ui (t ) dt
或
duo (t ) T ui (t ) dt
其中T=RC称为时间常数。
10
2.1.2 微分方程的解
◆ 拉氏变换的定义 拉氏变换表达式：
F (s) f (t )e dt
st t
拉氏变换充要条件：
16
▼ 例，下图所示的RC无源网络动态微分方程为
du c (t ) T uc (t ) ur (t ) dt
其中T=RC
ur(t)
uc(t)
求输入为单位阶跃电压时的拉氏变换和时域的解， 设电容C上的初始电压为u0 = uc(0)。
微分方程的拉氏变换为
TsU c (s) Tuc (0) Uc (s) U r (s)
拉氏反变换记为：
f (t ) L [ F (s)]
12
1
◆ 常用的拉氏变换法则
1）线性性质
L[af1 (t ) f 2 (t )] aF (s) F2 (s) 1
2）微分定理
df (t ) L[ ] sF ( s) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0) f ' (0) 2 dt d n f (t ) n n 1 n2 n 1 L[ ] s F ( s) s f (0) s f ' (0) f (0) n dt
20
令s=0,
b0 G (0) a0
为系统放大系数，是系统输出、输入的静态比值。
传递函数是在初始条件为零时定义的
零初始条件有两方面的含义 1、输入作用是在t=0以后才作用于系统；
r (i ) (0 ) 0
(i 0,1,2,, m 1)
2、输入作用加于系统之前，系统是“相对禁止”的 ， c(i ) (0 ) 0 (i 0,1,2,, n 1) 实际的工程控制系统多零初始条件系统，传递函数 完全能表征线性定常系统的动态性能。
▼ 连续控制系统数学模型的形式
经典控制理论：微分方程、传递函数和频率特征函
数，还有方框图和信号流图。
现代控制理论：状态空间表达式。
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2.1.1 控制系统微分方程的建立
◆ 单变量线性定常系数微分方程
dn d n 1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) a1 c(t ) a0 c(t ) dt dt dt dm d m 1 d bm m r (t ) bm 1 m 1 r (t ) b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
式中r(t)是输入信号，c(t)是输出信号，ai和bi是由系统结构 参数决定的系数 。
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◆ 用解析法列写微分方程的一般步骤
1）根据要求，确定输入量和输出量； 2）根据科学规律，围绕输入量、输出量及有关中间 量，列写原始方程式，构成微分方程组； 3）消除中间变量，整理出只含有输入量和输出量及 其各阶导数的方程； 4）标准化，输出量及其各阶导数放在方程式左边， 输入量及其各阶导数放在方程式右边，各导数项 按阶次由高到低顺序排列。
5
◆ 电气系统的数学模型 他们遵循基尔霍夫电
流定律和电压定律：
i 0 u 0
u Ri di uL dt du iC dt
6
电压、电流与元件参
数的关系：
▼
在图2.1所示的电路中，电压ui(t)为输入量， uo(t) 为输出量，列写该装置的微分方程式。
图2.1
设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电流电压定律：
i 1 j 1 k 1 n1 l 1 n2
m1
m2
K * ( s zi ) s (s p j )
j 1 i 1 n
系统 零点
系统 极点
上式中每个因子对应着物理上的一个环节。
25
4）理论分析和实验都指出，对于实际的物理元件 和系统而言，输入量与它所引起的响应（输出 量）之间的传递函数，分子多项式的阶次m总 是小于分母多项式的阶次n。 5）传递函数G(s)中，自变量是复变量s，称系统 是复域描述；传递函数G(s)的拉氏反变换，即 为系统的脉冲响应g(t)。 6）令系统传递函数分母等于零所得方程为特征方 程，即D(s)=0；特征方程的根称为特征根；特征 根是传递函数的极点。