大学运筹学课程知识点总结

1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8

3105120106max 21212

1x x x x x x z

2.将下述线性规划问题化成标准形式。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束

4,03,2,12321422245243min 43214

32143214

321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z

解：令z z -='，'

'4'

44x x x -=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,23214

2222455243'max 6

5''4'43216'

'4'43215'

'4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应

图解法中的可行域的哪个顶点。

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

≤

+

≤

+

+

=

,

8

2

5

9

4

3

5

10

max

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

z

解：①图解法：

②单纯形法：将原问题标准化：

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

=

+

+

=

+

+

+

=

,

,

,

8

2

5

9

4

3

5

10

max

4

2

1

3

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

z

C j10 5 0 0

θ

对应图解法

中的点

C B B b x1x2x3x4

0 x39 3 4 1 0 3

O点

0 x48 [5] 2 0 1 8/5

σj 0 10 5 0 0

0 x321/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2

C点

10 x18/5 1 2/5 0 1/5 4

σj-16 0 1 0 -2

5 x23/2 0 1 5/14 -3/14

B点

10 x1 1 1 0 -1/7 2/7

σj35/2 0 0 -5/14 -25/14

单纯型法步骤：转化为标准线性规划问题；找到一个初始可行解，列出初始单纯型表；最优性检验，求cj-zj ，若所有的值都小于0，则表中的解便是最优解，否则，找出最大的值的那一列，求出bi/aij ，选取最小的相对应的xij ，作为换入基进行初等行变换，重复此步骤。

4.写出下列线性规划问题的对偶问题。

（1）()()()⎪⎪

⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====

∑∑∑∑====n j m i x n j b x m i a x t s x c

z ij j

m i ij i

n

j ij m i n

j ij

ij

,,1;,,10

,,1,,1..min 1111

()⎪⎩⎪⎨⎧==≤++=+=+=∑∑无约束

j i ij

j m i n

i m

j j m i i i y x n j m i c y y t s y b y a w ,,,1;,,1..max 1

1

（2）()()()()⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥++==<=≤=∑∑∑===n n j x n n j x m m m i b x a m m i b x a t s x c z j j i n j j ij i

n

j j ij n

j j

j ,,1,10,,2,1,1..max 11111

11

1 无约束

()()()()⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==<=≥=∑∑∑===m m i y m m i y n n j c y a n n j c y a t s y b w i i j

m

i i ij j

m

i i ij m

i i

i ,,1,2,10,,1,2,1..min 1111

11

1

无约束