反证法(课件)

探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义： 在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
探究2：深度挖掘——了解反证法
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
反证法的概念
反证法的证题步骤
如何正确使用反证法
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定，防止否定 不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整准确，否则不能说明 命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
解题反思： 证明该问题的难点是哪一步？

你怎么看待反证法题目中的已知条件？
1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结 论的否定是（ ） C A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
大家议一议！
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
原词语
等于
否定词
不等于 不是 不都是 不大于 不小于
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个 对任何x 不成立 存在某个x,成立
对所有x 存在某个 x不成立 成立
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
P67
习题3-4
1, 2
3.如果a>b>0，那么 a > b
否定要全面
证明: 假设 则
a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
a 不大于
b
(1)若 a < b a b
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
牛刀小试
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图） 求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角 大于或等于60 ° B
用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A
证明：假设所求的结论不成立，即 ＜ ∠A__ 60 ° ,∠ B__60 ° ,∠ C __60 ° ＜ ＜ 则∠A+∠ B+∠ C＜180 ° 三角形的三个内角之和等于180 ° 这与______________________相矛盾 假设 所以______不成立， 所求证的结论成立
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 分析法
结论
已知条件
由因导果 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
名家情系反证法
反证法常常是解决某些“疑难”问 题的有力工具。 牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； -（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立 一、你能用更简洁的文字概括反证法的基本步骤吗？ 二、反证法在推理中可能得出哪几类矛盾？
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
C
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。