反证法(课件)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 分析法
结论
已知条件
由因导果 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
名家情系反证法
反证法常常是解决某些“疑难”问 题的有力工具。 牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
P67
习题3-4
1, 2
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； -（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立 一、你能用更简洁的文字概括反证法的基本步骤吗？ 二、反证法在推理中可能得出哪几类矛盾？
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
3.如果a>b>0，那么 a > b
否定要全面
证明: 假设 则
a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
a 不大于
b
(1)若 a < b a b
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
解题反思： 证明该问题的难点是哪一步？
你怎么看待反证法题目中的已知条件？
1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结 论的否定是（ ） C A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
反证法的概念
反证法的证题步骤
如何正确使用反证法
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定，防止否定 不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整准确，否则不能说明 命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
牛刀小试
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图） 求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角 大于或等于60 ° B
用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A
证明：假设所求的结论不成立，即 ＜ ∠A__ 60 ° ,∠ B__60 ° ,∠ C __60 ° ＜ ＜ 则∠A+∠ B+∠ C＜180 ° 三角形的三个内角之和等于180 ° 这与______________________相矛盾 假设 所以______不成立， 所求证的结论成立
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
大家议一议！
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
原词语
等于
否定词
不等于 不是 不都是 不大于 不小于
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
Βιβλιοθήκη Baidu
是 都是 大于 小于
一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个 对任何x 不成立 存在某个x,成立
对所有x 存在某个 x不成立 成立
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
C
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义： 在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
探究2：深度挖掘——了解反证法
综合法 已知条件 结论 分析法
结论
已知条件
由因导果 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
名家情系反证法
反证法常常是解决某些“疑难”问 题的有力工具。 牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
P67
习题3-4
1, 2
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； -（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立 一、你能用更简洁的文字概括反证法的基本步骤吗？ 二、反证法在推理中可能得出哪几类矛盾？
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
3.如果a>b>0，那么 a > b
否定要全面
证明: 假设 则
a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
a 不大于
b
(1)若 a < b a b
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
解题反思： 证明该问题的难点是哪一步？
你怎么看待反证法题目中的已知条件？
1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结 论的否定是（ ） C A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
反证法的概念
反证法的证题步骤
如何正确使用反证法
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定，防止否定 不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整准确，否则不能说明 命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
牛刀小试
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图） 求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角 大于或等于60 ° B
用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A
证明：假设所求的结论不成立，即 ＜ ∠A__ 60 ° ,∠ B__60 ° ,∠ C __60 ° ＜ ＜ 则∠A+∠ B+∠ C＜180 ° 三角形的三个内角之和等于180 ° 这与______________________相矛盾 假设 所以______不成立， 所求证的结论成立
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
大家议一议！
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
原词语
等于
否定词
不等于 不是 不都是 不大于 不小于
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
Βιβλιοθήκη Baidu
是 都是 大于 小于
一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个 对任何x 不成立 存在某个x,成立
对所有x 存在某个 x不成立 成立
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
C
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义： 在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
探究2：深度挖掘——了解反证法