3.2.3空间角的计算

uuuur uuuur AF1 , BD1
uAuuFur1 gBuuDuu1r | AF1 || BD1
|
1 4 5 6
30 . 10
所以AF1与BD1所成角的余弦值为
30 10
例2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，AD=8，AA1=6，M
为B1C1上的一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1N=5，求AD与
平面ANM 所成角的余弦值．
z
解：如图建立空间直角坐标系A-xyz A1
∵ A1D=10， A1N=5， ∴N是 B1 M
A1uDuu的ur 中点, ∴N(0,u4u,u3ur) AN (0, 4, 3),又 AMr (6, 2, 6) B
A
设平面ANM的法向量为
r uuuur
u
则
u r
u
4．如果平面的一条斜线与它在r 这个平面 上r的射影的方向向量分别是 a =(1,0,1)，
b =(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成 的角是 60° .
r 5．已知两平面的法向量分别 u=(0,1,0),
r v =(0,1,1)，则两平面所成的钝二面
角为 135° .
6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为
其中AB α，AB ⊥ l，CD β，CD⊥ l.
uuur uuur
B
uuur uuur
cos cos AB,CD
uAuuBr CuuDur
| AB || CD |
A
C
l
D
例1．在RtΔABC中，∠ACB=90°，现将ΔABC沿着
平面ABC的法向量平移到ΔA1B1C1的位置，已知
BC=CA=CC1，取A1B1， A1C1的中点D1，F1，求AF1与
B
C
Dy
r uuur
则
u r
u
SD uuur CD
y 2z 2 x y
0 0
r 设x=1，解得 u (1, 2,1) r
co易s知ur ,vr平 面rSur gBvrrA的 法2向量为6
v (0,1, 0)
故所求二面角的余弦值是
6
| u || v | 6g1 3
3
例４．如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱
BD1所成角的余弦值． 解：如图建立空间直角坐标系C-xyz
z F1
C1
B1
设BC=2，则Ａ(2,0,0)，F1 (1,0,2)， A1
D1
B(0, 2,0)，D1 (1,1,2)
C
uuuur
uuuur
AF1 (1, 0, 2), BD1 (1, 1, 2)
A x
B y
uuuur uuuur
cos
D
A
r uuur
则
u r
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PD uuur
3x z 0
xr 设x=1，解得 u (1,
B y
E C
3 m, 3)
uuuurPE mx y z 0
又 AP (0uu,u0r,1r), PA与平面PDE所成角的大小为45°
sin 45 |uAuuPr ur |
3
解得m 3 2(舍去正号),
B1
E
G
D
A
F
C B
2．△ABC的顶点B在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、 BC与α所成的角分别是30°和45°, 若AB=3, BC= 4 2 , AC=5, 则AC与α所成的角为( ) A．60° B．45° C．30° D．15°
3．在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相 垂直，且OA=OB=OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC 所成角的余弦值是( )
| AP || u | 4 ( 3 m)2
故存在所求点E，BE 3 2.
五、迁移练习
1．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2， AD=1，
点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线
A1E与GF所成的角是(
)
D1
C1
A．60° B．45°
A1
C．30° D．90°
u a l
l a
sin
| ar ur | | ar || ur |
u
3．二面角
rr
计算两平面的法向量的 u与v 角, 注意与其相等或互补.
u v
u
v
cos
|
ur vr ur || vr
|
理解符号的选择： 同锐同钝取正号， 一锐一钝取负号
二面角的平面角
方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的 方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱） 的夹角。如图设二面角 α-l-β的大小为θ
B1C1上的一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D ⊥ AN.
(1) 求证：A1D ⊥ AＭ.
z
(2)求AD与平面ANM 所成角的正弦值． A1
34
例3．在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，若SA⊥平面
ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求面SCD与面SBA所成二面
角的余弦值．
z
解：如图建立空间直角坐标系A-xyz S
A则(0uS,u0(u,r00,)0,,2)，C(-2,u2uu,r0)，D(0,1,0)
解：建SD立空(直0,角1,坐2系),AC-Dxyz如(r2所, 示1,,0) A 设平面SCD的法向量为 u ( x, y, z) x
攸县一中
1．异面直线a,b所成的角r r
,
计算直线a,b的r方r向向量 即cosθ= | cosa, b |
a, b
的角, 注意写为锐角,
a
a
bb
a
b
a
b
cos
|
a
b|
| a || b |
2．斜线a与平面所r成的r角 计算平面法向量r ru与a 的角, 注意与其锐角互余, 即sinθ= | cosa, u |
AN uuuur AM
4 y 3z 6 x 2 y
(x, y, z) x
0
r 设y=3解得u
6z 0
uuur r
N C1
C
(3, 3,
D1 D y
4)
uuur 又 AD
(0, 8, 0),
sin
|uAuuDr ur
|
24
3
| AD || u | 34g8 34
cos 1 sin2 5 34 为所求角的余弦值．
PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD= 3 ，在线段BC上是否存在一
点E，使PA与平面PDE所成角的大小为45°？若存在，确定点E的
位置；若不存在说明理由.
z
解：如图建立空间直角坐标系A-xyz
P
设BuEuu=rm，则P(0,0,1)，uuuEr (m,1,0)，D( 3, 0, 0)
PD ( 3, 0, 1), PE r (m,1, 1) 设平面PDE的法向量为 u ( x, y, z)