用混沌理论解释湍流现象

用混沌理论解释湍流现象

一、历史的简短回顾

湍流问题曾被称为“经典物理学最后的疑团”。因为它涉及到从微观到宏观许多时空尺度上的运动，它不仅和周围进行着能量交换，其内部也存在着各式各样的能量交换。有人估计：在一个线度为ι的湍流中，信息产生率为

其中v为运动学粘滞系数，u为湍流中最大漩涡的速度。据此，即使是一杯咖啡被搅拌时也会产生1012比特/秒的信息。难怪对湍流的研究进

展甚缓，至今还停留在半经验理论的水平上。

早在阿基米德时代，人们就注意到了湍流现象。1883年雷诺（Reynolds）指出：当流体的雷诺数R大于某个临界值R c时，它就从层流向湍流转化。尔后，他又提出了著名的雷诺方程，试图用确定论的方法来解决这个问题，然而始终没有得到明确的结果。

从本世纪30年代开始，泰勒（Taylor）、卡曼（Karman）、哥尔莫柯洛夫（Kolmogorov）、周培源等人创立了湍流的统计理论，把概率论的方法引进了这个领域。这不能不说是一个重大的进展，湍流中大漩涡套着中漩涡，中漩涡套着小漩涡，互相交叉互相混杂，这些运动着的漩涡数量之巨、种类之多、相互作用之繁决不是用几个甚至几十个确定论的方程可以描述的。这几十年来，湍流的统计理论有了很大的发展，但是对这个复杂的问题几乎没有引出什么定量的预测。

随着科学的发展，电子计算机的诞生，在最近的实验和理论研究中都出现了有希望的新方向，研究的重点是一些能为理论研究所接受的比较简单的湍流发生机制，研究的对象也从流体力学扩充到物理、生物、化学、天文、地学等领域。有人认为，对这个问题的研究很可能导致物理学的又一次革命——开辟对“复杂”系统研究的新途径。

二、新的方向

我们知道：从理论上解决湍流问题的重大障碍是流体力学基本方程——纳维尔—斯托克斯（Navier－Stockes）公式

①（2）

的非线性。以前只知道这类方程的定常解不稳定，会出现分岔，至于这以后会发生什么就不清楚了。1963年，洛伦兹（Lorentz）在电子计算

机上进行大气对流的数值实验时，发现一个完全确定的三阶常微分方程组，在一定的参数范围内给出了非周期的、看起来很混乱的输出。传统的观念根本无法解释洛伦兹的发现。起先他以为随机性来自计算机的误差，在排除了种种随机因素后还是出现了上述现象。面对事实，他冲破了旧的观念，提出了一种新的湍流发生机制。由于受到当时科学水平的限制，人们没有也不可能意识到这项工作的划时代意义，加之论文登在一本不太出名的杂志上，所以一直过了将近十年，这项工作才被重视起来。人们开始认识到确定论系统的内在随机性——混沌（chaos）是客观事物固有的特性，对它的研究很可能导致湍流问题的突破性进展。

确实，混沌现象的发现是人类认识自然的又一次飞跃。以前，我们把对自然界的描述分为确定论和概率论这二套看起来完全对立的方法，取得了很大的成功。但是对造成它们之间差别的原因，以及它们之间的联系等一系列根本问题，却始终没有得到满意的答复。以致统计物理的奠基人玻尔兹曼（Boltzmann）也为此而苦恼万分，人们对随机性的出现存在两种观点。有文献认为，统计方法只是处理大量粒子体系的一种权宜之计，有朝一日它将要被精确的确定论计算淘汰掉。但是，比较多的人认为：对于大量粒子所组成的复杂系统而言，统计规律是它们本身所特有的，决不能把它还原为力学规律。从确定论到概率论的发展在哲学上常常用来说明量的增加必定导致质的改变。但是对于中间的转化过程，由于缺乏必要的手段，所以一直没有搞清楚。电子计算机的应用使我们找到了这个问题的答案：只要确定论的系统稍微复杂一点，它就会出现随机行为，被人奉为确定论的典型——牛顿力学——具有内在的随机性。在确定论和概率论的描述之间存在着由此及彼的桥梁。

混沌理论刚出现就解决了这个百年悬案，所以有人把混沌理论和确定论、概率论并列起来，作为人类认识客观世界的又一套方法论，称为混沌论。在近阶段，混沌理论在哲学上的意义远大于它在一些具体问题上的意义，它标志了人类对客观世界的认识已进入了一个新阶段——不仅对“非此即彼”的明晰形态，而且对“亦此亦彼”的过渡性形态都能进行比较详细的研究。与随机性相关的混沌理论以及与可能性相关的模糊数学都在迅速地发展着，虽然它们研究的对象不尽相同，但是它们所描述的都是客观事物的不确定性。

为了说明什么是混沌现象，我们考察如下的迭代过程：

如果把参数a限制在[0，2]区间内，上式便是从线段I=[-1，1]到它自身的一个非线性映象。这种映象可以记为f（x n），它表示经过n次迭代所得到的结果。f（x1），f（x2），…是对离散时间（n相当于t n，△t ＝1）的不可逆演化序列。它所描写的是一个最简单的耗散系统。在参数a的增加过程中，迭代将出现多次突变。

当0＜a＜0.75时，在x∈[－1，1]内任选一个初值x0，迭代过程

故谓之不稳定不动点或排斥子。当a变化时，原来的稳定不动点可能失稳，但同时又会产生新的不动点。

当0.75

当a＞a∞后，多数迭代结果看起来象是分布在一定区间内的随机数，这就是混沌现象，区间[a∞，2]叫做混沌区。在混沌区内，根据随机数在x∈[-1，1]区间内分布区域的多少我们就说有几个混沌带。随着a从小到大，混沌区可分为一带区、二带区、……2n带区，当a趋向a∞时n→∞。此外，在混沌区中还嵌套着许许多多周期窗口。关于这个迭代更细致的结构，无论从计算机实验还是从严格的解析理论中都发现了下面几个重要的性质。

（1）M．S．S．规则：上述映射的周期结构（包括周期数、循环方式）在参数轴上的排列具有相同的顺序，对任意周期P，在参数增大的方向上，按顺序有2p，4p，8p，…，2n p，…的倍周期序列。周期区和混沌区内均存在倍周期序列。

（2）萨可夫斯基（Sarkovskii）定理：混沌区内一带区中主要周期窗口随着参数的减小依次（不相连接）为3，5，7，…，类似地2n带区中主要周期窗口为2n×3，2n×5，2n×7，…，混沌区内主要周期窗口的排列也是有章可循的。

（3）D．G．P．内部相似定律：对任一周期p，在它的右边必定存在一个区间，这个区间内的结构与整个参数区间内的结构相似，但是它的周期为后者的p倍。

定律显示了混沌区内存在着无穷嵌套的自相似几何结构，同一种行为在越来越小的尺度上重复出现。这样的图象颇具我国古代所刻划的混沌——“气似质具而未相离”的风格。

1977年菲金堡姆（Feigenbaum）用一个可编程序的计算器配合几何作图的方法证明了：单峰映射相邻的倍周期分岔点之间的距离当n→∞时，存在着一个普适常数