整式的实际应用(讲义) (含答案)
第6讲 整式的综合运用(教师版)
第6讲整式的综合运用一、赋值法赋值法，顾名思义，就是给代数式中的未知数赋值，从而得到我们要求的答案.注意，赋值法很多时候是结合整体思想一起考察的例题1答案解析已知代数式，当时它的值为；当时它的值为，求时，代数式的值．1．方法一：由题意可得：当时，的值为．所以．因为当时，原式的值为，所以，两式相加可得：．即．所以当时，代数式的值为．方法二：当时，，∴；∴；①当时，；∴；∴；②∴①+②得：，∴；∴当时，．答案解析已知当时，代数式的值为，那么当时，代数式的值是多少．2．当时，代数式，所以，当时，．例题2答案设，求：的值．(1)的值．(2)的值．(3)的值．(4)．(1)．(2)．(3)1如图是一个长方形的铝合金窗框，其长为2七张如图，右下角阴影部分的长为，宽为，，所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．图图，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是答案解析当，时，求窗户能射进阳光的面积是多少．（取）(2)小亮又设计了如图的窗帘（由一个半圆和两个四分之一的圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少．(3)，(1)．(2)是，比原来大．(3)装饰物面积，所以能射进阳光的面积为．(1)当，时，．(2)此时能射入阳光的面积为，∵，∴此时能射进阳光面积更大，，∴比原来大．(3)例题5答案解析如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一个数，与从个位到最高位依次排出的一个数完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”，例如，，，都是“和谐数”．请你解答以下问题：设一个四位“和谐数”个位上的数字，十位上的数字，请你用含有、的代数式表示出这个四位数．(1)请说明任意一个四位“和谐数”都能被整除．(2)．(1)证明见解析．(2)由题意可得．(1)1如图所示是计算机某计算程序，若开始输入2如下图，输入3按照如图所示的程序计算，若开始输入4按下面的程序计算：1对整数2对于任意有理数3用4定义：．∵，∴．(2)练习10答案解析有若干个数，第一个记为，第二个记为，第三个记为，若，从第个数起，每个数都等于“与它前面那个数的差的倒数”．计算，，的值．(1)根据以上计算结果，求出的值．(2)；；．(1)．(2)，，，．(1)，，∴．(2)六、课后故事点子的排列方向 正常的骰子，相对两面的点子数目之和总是7；就此而言，上图中的三只骰子是正常的。
整式的实际应用(通用版)(含答案)
整式的实际应用（通用版）试卷简介:主要考查整式的实际应用，在具体情境中体会字母表示数的意义，形成初步的符号意识，能用字母表示简单问题中的数量关系，做题时需要找准所求量与其他量之间的关系，然后表达其他量．一、单选题(共13道，每道7分)1.两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是50km/h,水流速度是km/h.则2h后甲船比乙船多航行( )kmA.100B.200C. D.答案：D解题思路：根据题意，甲船顺水的速度为，2h甲船航行；乙船逆水的速度为，2h乙船航行．所以2h后甲船比乙船多航行．故选D．试题难度：三颗星知识点：整式的加减2.某商场1月份的销售额为万元,2月份比1月份的2倍多4万元,3月份是2月份的3倍少7万元,则该商场第一季度(前三个月)的销售额为( )万元A. B.C. D.答案：D解题思路：根据题意，1月份的销售额为万元，2月份的销售额为万元，3月份的销售额为万元，所以该商场第一季度的销售额为万元．故选D．试题难度：三颗星知识点：整式的加减3.窗户的形状如图所示,其上部是半圆形,下部是边长相同的四个小正方形,已知下部小正方形的边长为(单位:cm),则窗户的面积是( )cm2A. B.C. D.答案：A解题思路：窗户的面积等于半径为的半圆的面积与边长为的4个正方形的面积之和，所以窗户的面积是（cm2）．故选A．试题难度：三颗星知识点：列代数式4.一种商品,每件成本元,原来按成本增加22%标价,现在由于库存积压减价,按原价的85%出售,现售价可表示为( )A.元B.元C.元D.元答案：A解题思路：标价为元，售价为元．故选A．试题难度：三颗星知识点：列代数式5.某小区一块长方形绿地的造型如图所示(单位:m),其中两个扇形表示绿地,两块绿地用五彩石隔开,那么需铺五彩石的面积为(即图中阴影部分的面积,计算结果保留π)( )m2A. B.C. D.答案：B解题思路：图中阴影部分的面积等于长方形的面积减去四分之一大圆的面积和二分之一小圆的面积，即．故选B．试题难度：三颗星知识点：列代数式6.某市为鼓励市民节约用水,对自来水用户按如下标准收费:若每月用户用水不超过15立方米,则每立方米按元收费;若超过15立方米,则超过部分每立方米按元收费.如果某户居民在一个月内用水35立方米,那么他该月应缴纳的水费是( )A.元B.元C.元D.元答案：B解题思路：该户居民本月用水35立方米>15立方米，则应交水费=未超出部分水费+超出部分水费=元．故选B．试题难度：三颗星知识点：列代数式7.做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:cm):则做大纸盒比做小纸盒多用料( )cm2A. B.C. D.答案：B解题思路：长方体纸盒有6个面，相对面的面积相等，小纸盒的表面积为，大纸盒的表面积为，所以做大纸盒比做小纸盒多用料：．故选B．试题难度：三颗星知识点：整式的加减8.某商店出售一种商品,其原价为元,现有如下两种调价方案:第一种是先提价10%,再此基础上又降价10%;第二种是先降价10%,在此基础上又提价10%.用这两种方法调价后,下列说法正确的是( )A.恢复原价的只有第一种B.恢复原价的只有第二种C.两种均恢复了原价D.这两种方法调价的结果相同答案：D解题思路：根据题意，第一种调价方案后结果为元，第二种调价方案后结果为元，因此这两种方法调价后结果相同，都没有恢复原价．故选D．试题难度：三颗星知识点：整式的加减9.我们把符号“”读作“的阶乘”,规定“其中的为自然数,当时,;当时,.”例如,又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时,应先算阶乘,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的.”按照上述的定义和运算顺序,计算和结果分别为( )A.24;8B.120;120C.24;120D.6;8答案：C解题思路：根据阶乘的定义和含有阶乘的运算顺序：，．故选C．试题难度：三颗星知识点：定义新运算10.定义一种对正整数的“F运算”:①当为奇数时,结果为;②当为偶数时,结果为(其中是使为奇数的正整数),运算重复进行下去.例如,时,运算如图:若,则第50次“F运算”的结果是( )A.1352B.169C.1D.8答案：C解题思路：根据题意，时，运算如下图：可以看出从第4次开始，运算结果开始循环，且循环周期为2，50-3=47，47÷2=23…1，对应一个周期的第一个，因此第50次“F运算”的结果是1．故选C．试题难度：三颗星知识点：循环规律11.如图所示,在一块长为米,宽为米的长方形空地上植草坪,图中阴影部分表示草坪面积,则用含的代数式表示草坪的面积为( )平方米A. B.C. D.答案：D解题思路：草坪的面积=平方米．故选D．试题难度：三颗星知识点：列代数式12.某中学七(1)班3位教师决定带领本班名学生利用假期去某地旅游,甲旅行社的收费标准为:教师全价,学生半价.乙旅行社不管教师还是学生一律八折优惠,这两家旅行社的全价都是500元.用含的式子表示3位教师和名学生参加这两家旅行社所需的费用;当时,选择哪一家旅行社较为合算( )A.甲:;乙:;当时,选择甲旅行社较为合算.B.甲:;乙:;当时,选择乙旅行社较为合算.C.甲:;乙:;当时,选择甲旅行社较为合算.D.甲:;乙:;当时,选择乙旅行社较为合算.答案：A解题思路：根据题意可得，参加甲旅行社所需的费用为：元；参加乙旅行社所需的费用为：元．当时，参加甲旅行社所需的费用为元；参加乙旅行社所需的费用为元，因为2750<3200，所以选择甲旅行社较为合算．故选A．试题难度：三颗星知识点：代数式的值13.某校组织若干师生进行社会实践活动.若学校租用45座的客车辆,则余下20人无座位;若租用60座的客车,则可少租用2辆,且最后一辆还没有坐满.则乘坐最后一辆60座客车的人数是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：根据题意可得共有人，租用60座的客车为辆，其中有辆坐满，1辆未坐满，那么辆坐满的60座的客车可容纳人，则乘坐最后一辆60座客车的人数是：．故选B．试题难度：三颗星知识点：整式的加减。
七年级上册整式优质讲义(含答案解析)
，，基础训练内容提要列代数式例题基础训练2.[单选题] 下列各式：①1x；②2•3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤；⑥x﹣5千克；其中，不符合代数式书写要求的有（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个1.[单选题]下列各式符合代数式书写规范的是（）A. m9B.C.D. 台2.[单选题] 关于代数式x+1的结果，下列说法一定正确的是（ ）A．比1大 B．比1小 C．比x大 D．比x小1. 请用代数式表示：一个长方形的长为a，宽是长的，则这个长方形的周长是 2. 边长分别为a和b（m＞b）的两个正方形按如图所示的样式摆放，则图中阴影部分的面积是 ．1.[单选题] 下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（ ）A．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额 B．若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长 C．将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力 D．若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4m表示这个两位数模块二单项式内容提要单项式 例题基础训练2. 用字母表示图中阴影部分的面积．1.[单选题]代数式，2x y ， ， ，﹣2，a ，7x +6x ﹣2中，单项式有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个322.[单选题] 单项式﹣5ab 的系数与次数分别为（ ）A ．5，1 B ．﹣5，1 C ．5，2 D ．﹣5，23.[单选题] 下列说法正确的是（ ）A ．单项式b 的次数是0 B ．是一次单项式 C ．2x 是7次单项式 D ．﹣a 的系数是﹣1434.[单选题] 单项式的系数和次数分别是（ ）A ．，1 B ．，2 C ．，3 D ．，41.[单选题] 下列代数式中①，②，③，④，⑤x y ，单项式的个数为（ ）2内容提要考法.根据单项式的概念求字母的值例题基础训练A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.[单选题] 下列说法正确的是（ ）A．单项式b的次数是0 B．是一次单项式 C．2x是7次单项式 D．﹣a的系数是﹣1433.[单选题] 在下列整式中，次数为4的单项式是（ ）A．mn B．a﹣b C．x y D．5st 23334. 单项式的系数是 ，次数是 ．1. mx y是关于x、y的一个单项式，且系数是3，次数是4，则m+n＝ ．n2.[单选题]如果单项式3a b c是5次单项式，那么n＝（ ）A．2B．3C．4D．5n23. 如果一个单项式的系数和次数分别为m、n，那么2mn＝ ．4. 五次单项式（k﹣3）x y的系数为 ．|k|21.[单选题] 如果单项式2a b c是六次单项式，那么n的值取（ ）A．6 B．5 C．4 D．3n22. 单项式﹣3x y是5次单项式，则n＝ ．n23. 若﹣mx y是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值．2|n﹣3|模块三多项式内容提要多项式例题基础训练内容提要单项式、多项式和整式的判断例题1.[单选题]是（ ）A ．二次二项式 B ．二次三项式 C ．三次二项式 D ．单项式2.[单选题]下列语句正确的是（ ）A ．﹣b 的系数是1，次数是2 B ．3a+2b 的项数是2，次数是2 C ．4a +b +1的项数是2，次数是2 D ．不是单项式2221.[单选题] 若A 与B 都是二次多项式，则A ﹣B ：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零．上述结论中，不正确的有（ ）个．A ．5 B ．4 C ．3 D ．22.[单选题] 在多项式﹣3x ﹣5x y +xy 中，次数最高的项的系数为（ ）A ．3 B ．5 C ．﹣5 D ．1322基础训练内容提要多项式的排列例题基础训练1. 下列代数式中的哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？，4xy，，，x+x+，0，，m，﹣2.01×10整式集合：{ …}单项式集合：{ …}多项式集合：{_______________________________________ …}．251. 下列代数式中哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？若是单项式，则说明该单项式的系数与次数；若是多项式，则说明该多项式的次数．，，，﹣3 a b ，2，3x y﹣5xy +y﹣2x，ab．323221. 把多项式2m﹣m n+3﹣5m按字母m的升幂排列是 ．3222. 某多项式按字母x的降幂排列为：﹣7x+3x+4x﹣5，则m的整数值可能为 ．4m1.把多项式3xy﹣按x的降幂排列为 ．22. 已知多项式﹣3x y+x y﹣3x﹣1是五次四项式，且单项式3x y与多项式的次数相同．（1）求m、n的值；（2）把这个多项式按x的降幂排列．2m+1342n3﹣m内容提要考法.根据多项式的次数和各项系数求字母的值例题基础训练自主评价自主探究自主探究题目1.[单选题] 如果k （k ﹣2）x ﹣（k ﹣2）x ﹣9是关于x 的二次多项式，则k 的值是（ ）A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．不能确定322. 已知多项式x y +xy ﹣3x ﹣6是六次四项式，单项式6x y 的次数与这个多项式的次数相同，求m+n 的值．2m+1232n 5﹣m 1.[单选题] 若多项式5x y （m+1）y ﹣3是三次三项式，则m 等于（ ）A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．22|m|22.已知关于x 的多项式（a ﹣1）x +x ﹣2x+b ，问是否存在实数a ，b ，使得这个多项式为二次三项式？若存在，请求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．2|a+2|1.[单选题]下列判断中错误的是（ ）A．2﹣a ﹣ab 是二次三项式 B ．是多项式 C ．2πr 中，系数是2 D ．2020是单项式22.[单选题]（2018·天河区）下列说法正确的是（ ）A ．单项式的系数是3 B ．3x ﹣y+5xy 是三次三项式C ．单项式﹣2a b 的次数是7D ．单项式b 的系数是1，次数是022243.[单选题]单项式﹣的次数是（ ）A ．﹣2 B ．﹣C ．6 D ．334.[单选题]a 、b 、c 、m 都是有理数，且a+2b+3c ＝m ，a+b+2c ＝m ，那么b 与c 的关系是（ ）A ．互为相反数 B ．互为倒数 C ．相等 D ．无法确定5.[单选题]（2019·南沙区）如图，某工厂有三个住宅区，A 、B 、C 各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上（A 、B 、C 三点共线），已知AB ＝1500m ，BC ＝1000m ，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）A ．A 住宅区B ．B 住宅区C ．C 住宅区D ．B 、C 住宅区中间D 处6. 一件商品原价为a 元，现按原价的九折销售，那么售价是 元（用含字母a 的代数式表示）．7. 已知单项式﹣x y 的系数为m ，次数为n ，则mn 的值为 ．228. 多项式x+7是关于x 的二次三项式，则m ＝ ．9. 如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形无缝隙无重叠的拼接成一个新的长方形（如图3所示），则新长方形的周长为 ．（用含a ，b 的代数式表示）参考答案10. 把多项式﹣x ﹣7x y+y ﹣4xy 重新排列（1）按x 的升幂排列；（2）按y 的升幂排列．3232模块一用字母表示数例题1.C解析:解：代数式有：﹣9，x+y ，.故选：C ．2.B 解析:解：①1x ＝x ，不符合要求；②2•3应为2×3，不符合要求；③20%x ，符合要求；④a ﹣b÷c ＝a ﹣，不符合要求；⑤，符合要求；⑥（x ﹣5）千克，不符合要求，不符合代数式书写要求的有4个，故选：B ．基础训练基础训练题目1.B解析:A. 应为9m,故错误；B. 正确C. 应，故错误；D. 应为（）台，故错误；故选B.2.C解析:解：由于1＞0，∴x+1＞x ，故选：C ．例题1.解析:解：由题意可得，这个长方形的周长是：（a+a ）×2＝×2＝，故答案为：2. +b ﹣解析:解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积＝a +b （a+b ）×a ＝a +b ﹣﹣＝ +b ﹣．故答案为：+b ﹣．基础训练基础训练题目1.D解析:解：A 、若葡萄的价格是4元/千克，则4m 表示买m 千克葡萄的金额，正确；B 、若m 表示一个正方形的边长，则4m 表示这个正方形的周长，正确；C 、将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m 表示桌面受到的压强，则4m 表示小木块对桌面的压力，正确；D 、若4和m 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则（4×10+m ）表示这个两位数，则此选项错误；故选：D ．2.解：（1）阴影部分的面积＝ab ﹣bx ；（2）阴影部分的面积＝R ﹣πR ．解析:模块二单项式例题1.C解析:解：代数式，2x y ， ， ，﹣2，a ，7x +6x ﹣2中，单项式有：2x y ，﹣2，a 共3个．故选：C ．222222222 22223232.D解析:解：单项式﹣5ab 的系数与次数分别为：﹣5，2．故选：D ．3.D解析:解：A 、单项式b 的次数是1，故此选项不合题意；B 、不是单项式，故此选项不合题意；C 、2x 是3次单项式，故此选项不合题意；D 、﹣a 的系数是﹣1，故此选项符合题意．故选：D ．4.C解析:解：该单项式的系数为，次数为3，故选：C ．基础训练基础训练题目1.C解析:解：①，②，④，⑤x y 属于单项式，共有4个．故选：C ．2.D解析:解：A 、单项式b 的次数是1，故此选项不合题意；B 、不是单项式，故此选项不合题意；C 、2x 是3次单项式，故此选项不合题意；D 、﹣a 的系数是﹣1，故此选项符合题意．故选：D ．3.C解析:解：A 、mn ，是次数为3的单项式，故此选项错误；B 、a ﹣b ，是多项式，故此选项错误；C 、x y ，是次数为3的单项式，故此选项正确；D 、5st ，是次数为2的单项式，故此选项错误；故选：C ．4.﹣；4解析:解：单项式的系数是：﹣，次数是：4．故答案为：﹣，4．例题432432333解析:解：由题意可知：m ＝3，n+1＝4，∴m ＝3，n ＝3，∴m+n ＝6，故答案为：62.A解析:解：由题意，得n+2+1＝5，解得n ＝2，故选：A ．3.﹣2解析:解：由题意可知：m ＝﹣，n ＝3，∴2mn ＝2×（﹣）×3＝﹣2．故答案为：﹣2．4.﹣6解析:解：∵单项式（k ﹣3）x y 是五次单项式，∴|k|＝3，k ＝±3，∵k ﹣3≠0，∴k ＝﹣3，故答案为：﹣6．基础训练基础训练题目1.D解析:解：∵单项式2a b c 是六次单项式，∴n+2+1＝6，解得：n ＝3，故n 的值取3．故选：D ．2.3解析:解：∵单项式﹣3x y 是5次单项式，∴n+2＝5，∴n ＝3，故答案为：3．3.解：∵﹣mx y 是关于x 、y 的10次单项式，且系数是8，∴m ＝﹣8，且2+|n ﹣3|＝10，|k|2n 2n 22|n ﹣3|解析:模块三多项式例题1.C解析:解：＝ ，是三次二项式．故选：C ．2.D解析:解：A 、﹣b 的系数是﹣1，次数是2，错误；B 、3a+2b 的项数是2，次数为1，错误；C 、4a +b +1的项数是3，次数是2，错误；D 、不是单项式，是分式，正确，故选：D ．基础训练基础训练题目1.C解析:解：∵多项式相减，也就是合并同类项，而合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，∴结果的次数一定不高于2次，当二次项的系数相同时，合并后结果为0，所以（1）和（2）（5）是错误的．故选：C ．2.C解析:解：在多项式﹣3x ﹣5x y +xy 中，次数最高的项的系数为：﹣5．故选：C ．例题1.解：整式集合：{，4xy ，，0，m ，﹣2.01×10 …}；单项式集合：{ 4xy ，，0，m ，﹣2.01×10 …}；多项式集合：{ …}．故答案为：{，4xy ，，0，m ，﹣2.01×10 …}；{ 4xy ，，0，m ，﹣2.01×10 …}；{…}．解析:2223225555基础训练题目1.解：代数式 ，﹣3 a b ，2，3x y ﹣5xy +y ﹣2x ，ab 是整式；代数式﹣3 a b ，2，ab 是单项式，其中“﹣3 a b ”系数是﹣27，次数是5；“2”系数是2，次数是0；“ab”系数是1，次数是2；代数式，3x y ﹣5xy +y ﹣2x ，是多项式，其中“ ”次数是1；“3x y ﹣5xy +y ﹣2x”次数是3．解析:例题1.+3﹣5m ﹣m n +2m 解析:解：把多项式2m ﹣m n +3﹣5m 按字母m 的升幂排列是+3﹣5m ﹣m n +2m ．故答案为：+3﹣5m ﹣m n +2m ．2.3或2解析:解：∵某多项式按字母x 的降幂排列为：﹣7x +3x +4x ﹣5，∴m 的整数值可能为3或2．故答案为：3或2．基础训练基础训练题目1.﹣x ﹣x y +3xy ﹣1解析:解：把多项式3y ﹣按x 的降幂排列为﹣x ﹣x y +3xy ﹣1．故答案为：﹣x ﹣x y +3xy ﹣1．2.解：（1）∵多项式﹣3x y +x y ﹣3x ﹣1是五次四项式，且单项式3x y 与多项式的次数相同，∴m+1＝3，2n+3﹣m ＝5，解得：m ＝2，n ＝2；（2）按x 的降幂排列为﹣3x +x y ﹣3x y ﹣1．解析:例题1.A解析:解：∵多项式（k ﹣2）x +kx ﹣2x ﹣6是关于x 的二次多项式，∴不含x 项，即k （k ﹣2）＝0，且﹣（k ﹣2）≠0，解得k ＝0；故k 的值是0．3232232332322222233222232234m 32322323232322m+1342n 3﹣m 43233232.解：∵多项式x y +xy ﹣3x ﹣6是六次四项式，∴2+m+1＝6，∴m ＝3，∵单项式26x y 的次数与这个多项式的次数相同，∴2n+5﹣m ＝6，∴2n ＝1+3＝4，∴n ＝2．∴m+n ＝3+2＝5．解析:基础训练基础训练题目1.C解析:解：∵多项式5x y （m+1）y ﹣3是三次三项式，∴|m|＝1，即m ＝﹣1或m ＝1，经检验m ＝﹣1不符合题意，则m 等于1，故选：C ．2.解：若（a ﹣1）x +x ﹣2x+b 是二次三项式，可得a ＝﹣1，b≠0或a ＝﹣3，b≠0或a ＝0，a ＝﹣4，b≠0或a ＝﹣2，b≠﹣1，所以当a ＝﹣1，b≠0或a ＝﹣3，b≠0或a ＝﹣4，b≠0或a ＝﹣2，b≠﹣1．得（a ﹣1）x +x ﹣2x+b 为二次三项式．解析:自主探究自主探究题目1.C解析:解：A 、2﹣a ﹣ab 是二次三项式，正确，不合题意；B 、是多项式，正确，不合题意；C 、2πr 系数是：2π，故此选项错误，符合题意；D 、2020是单项式，正确，不合题意．故选：C ．2.B解析:解：A 、单项式的系数是：，故此选项错误；B 、3x ﹣y+5xy 是三次三项式，正确；C 、单项式﹣2a b 的次数是5，故此选项错误；2m+1232n 5﹣m 2|m|22|a+2|2|a+2|22224D、单项式b的系数是1，次数是1，故此选项错误；故选：B．3.D解析:解：∵2+1＝3，∴单项式﹣的次数是3．故选：D．4.A解析:解：由题意得，a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，则a+2b+3c＝a+b+2c，即b+c＝0，b与c互为相反数．故选：A．5.C解析:解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×1500+45×2500＝142500m；当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×1500+45×1000＝67500m；当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×2500+20×1000＝57500m；当停靠点在D区时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：15×（1500+x）+20x+45（1000﹣x）＝﹣10x+67500，由于k＝﹣10，所以，x越大，路程之和越小，∴当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和最小．故选：C．6.0.9a解析:解：由题意可得，该件商品的售价是0.9a元，故答案为：0.9a．7.﹣3．22解析:解：∵单项式﹣x y的系数为m ＝﹣，次数为n＝4，∴mn 的值为：﹣×4＝﹣3．故答案为：﹣3．8.2解析:解：∵多项式是关于x的二次三项式，∴|m|＝2，∴m＝±2，但﹣（m+2）≠0，即m≠﹣2，综上所述，m＝2，故填空答案：2．9.5a﹣9b．＝5a ﹣9b ，故答案为：5a ﹣9b ．10.解：（1）按x 的升幂排列为：y ﹣4xy ﹣7x y ﹣x ；（2）按y 的升幂排列为：﹣x ﹣7x y ﹣4xy +y ．解析:32233223。
整式综合应用(讲义及答案)
整式综合应用（讲义）➢课前预习1.有理数混合运算的操作步骤①观察________划_________；②有序操作依________；③每步推进一点点．2.整式的运算➢精讲精练1.计算：①323322()(2)()()a a a a a a ⎡⎤⋅--⋅-+-÷-⎣⎦；②2(2)(2)(2)x y x y x y ---+-；③222(1)(1)21()ab ab a b ab ⎡⎤+--+÷-⎣⎦；④24()(2)(2)(2)a a b a b a b b ----+---．2. 化简求值：①322(48)4(2)()ab a b ab a b a b -+÷-+-，其中21a b ==，．②2322()(3)()x y xy x y xy +---÷-，其中2x =，1y =．3. 计算：①24(1)(1)(1)(1)m m m m -+++；②2432(31)(31)(31)(31)++++…；③22222210099989721-+-++-…；图2图1④222020202040382019-⨯+．4. 如图1，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪拼成一个如图2所示的长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）A ．22()(2)2a b ab a ab b -+=+-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．22()()a b a b a b -+=-5. 请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积间的关系，便可得到一个非常熟悉的公式，这个公式是________________________________________．6. 要使2(2)x --有意义，x 的取值应满足的条件是___________．7. 若02(1)2(3)x x -+--有意义，则x 的取值范围是_________．8. 若21=1(1)x x --，则x =_______．9. 若化简(3)()ax y x y +-的结果中不含xy 项，则常数a 的值为_________．10. 若23(5)(23)x ax x x ++++的展开式中不含x 2的项，则a =____．11. （1）若2332m n a +=，2m a =，则n a =_______；（2）若3322336x x x ++-⋅=，则x =_________；（3）若a x =2，a y =3，则a 2x +3y =_______；（4）若234m n +=，则927m n ⋅=_______；（5）若253x y +=，则432x y ⋅=_______．12. （1）若2225x mx -+是完全平方式，则m =______；（2）若2216x axy y ++是完全平方式，则a =______；（3）若216x x k ++是完全平方式，则k =______；（4）若22168x xy my -+是完全平方式，则m =______；（5）若22()mx xy y ++是完全平方式，则m =______．13. 氧原子的直径约为0.000 000 001 6米，0.000 000 001 6米用科学记数法可表示为________________米．14. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，粒径小，含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，对人体健康和大气环境质量的影响很大．2.5微米可用科学记数法表示为______________米．➢ 课前预习1．①结构；部分；②法则2．a m +n ；a m -n ；a mn ；a n b n相加；不变；系数；系数；字母；字母；乘法分配律；系数；系数；字母；字母；乘法分配律；22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+➢ 精讲精练1. ①0；②242xy y +；③1-；④23a -2. ①2-；②23. ①81m -；②64312；③5 050；④1 4. D 5. 222()2a b a ab b +=++6. x ≠27. x ≠-1且x ≠38. -1或29. 3 10. 32- 11. （1）2；（2）7；（3）108；（4）81；（5）812. （1）5±；（2）8±；（3）64；（4）1；（5）1213. 91.610-⨯14. 62.510-⨯。
中考数学专题复习_第三讲__整式(含详细参考答案)
第三讲整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：：由数与字母的积组成的代数式1、整式：多项式：。
单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。
【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。
】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )③整式加减的步骤是先，再。
【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。
】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。
即（am+bm）÷m= 。
初中数学人教版初三复习讲义 2.整式的运算(含知识点 答案)
专题02 整式的运算本专题主要介绍整式的加、减、乘、除以及混合运算需要掌握的基本概念、规律。
通过例题讲解和训练抓住解决问题的思维方法，以便快速提高大家解决问题能力。
一、整式的基本概念1.单项式（1）由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。
单独的一个数或者一个字母也是单项式。
（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
（3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式（1）几个单项式的和叫做多项式。
（2）其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
（3）多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。
3.整式单项式与多项式统称整式。
二、整式的加减1.同类项概念：含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
3.合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变.4.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.5.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
三、整式的乘除 1.基本运算（1）同底数幂的乘法法则：nm nmaa a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（2）幂的乘方法则：mnnm aa =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mna a a)()(==（3）积的乘方法则：nnn b a ab =)(（n 是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
（4）同底数幂的除法法则：nm nmaa a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（5）零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。
即10=a （a ≠0）（6）负整数指数：任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 次幂的倒数,即( a ≠0,p 是正整数)。
【精品讲义】人教版七年级数学(上)专题2.1整式(知识点+例题+练习题)含答案
第二章整式的加减2.1整式帮锂慣1.用字母表示数（I）用字母或含有字母的式子表示数或数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便.从具体的数字抽象到用字母表示数，在认识上是一个重大飞跃.<2）同一问题中不同的数呈:要用不同的字母表示；不同的问题中不同的数疑可以用相同的字母表示；一个字母表示的数往往不止一个，具有任意性，但要受实际问题的限制.2.单项式（1）_________________ 单项式：由组成的式子叫做单项式.如£“"，rn2, -X2V.特別地，单独的___________________________________ 或 _________ 也是单项式.单项式的系数：单项式中的___________ .单项式的次数：一个单项式中，__________ •（2）注意：①圆周率兀是常数，单项式中出现兀时，要将英看成系数.②当一个单项式的系数是“1”或“一1”时，“1”通常省略不写，如0 , _,…2.次数为“1”时，通常也省略不写，如儿③单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关.2④单项式中的数与字母是乘积关系，如L不是单项式.3a⑤单项式的次数与数字因数无关，只与字母有关，是单项式中所有字母的指数的和，如单项式b的次数是1,而不是0,常数-5的次数是0, 9×1 OWc的次数是6,与2无关.3.多项式（1）多项式：几个________ 的和叫做多项式.如F+2ξy+2, a2-2.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做____________ .多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的__________ .(2)注意：①多项式的每一项都包括它前而的符号，且每一项都是单项式.②多项式的次数是多项式中次数最髙项的次数，而不是所有项的次数之和.③一个多项式有几项，就叫它几项式.4.整式：单项式与多项式统称 __________ •如果一个式子既不是单项式，也不是多项式，那么它一泄不是整式.晅電。
整式的实际应用(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：在整式的实际应用中，需要分3步进行：①找准_________与_________之间的关系；②_________其余各个量；③化简，求值．问题2：在横线上填写每一步操作的名称．先化简，再求值：，其中x=-1，y=3．当x=-1，y=3时，整式的实际应用（人教版）一、单选题(共15道，每道6分)1.a的20%与18的和可表示为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式2.上等米每千克售价为x元，次等米每千克售价为y元，取上等米a千克和次等米b千克，混合后的大米每千克售价为( )元．A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式3.已知长方形的周长是45cm，一边长为acm，则这个长方形的面积是( )cm2．A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式4.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，把个位上的数字与十位上的数字交换后所得的两位数是( )A.x+yB.xyC.10x+yD.10y+x答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式5.一列长为160米的匀速行驶的火车用25秒的时间通过了某隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），若火车的速度为a米/秒，则该隧道的长度是( )A.（25a-160）米B.25a米C.（160+25a）米D.（160-25a）米答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式6.将边长为a的正方形的一边裁去两个半径为的圆（阴影部分），则剩余图形的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：列代数式7.有12米长的木料（不计木料宽度）要做成一个如图所示的窗框．如果窗框横档的长度为x 米，那么窗框的面积是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式8.随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，又降低20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为( )A. B.C.（5m+n）元D.（5n+m）元答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式9.如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式10.为节约用水，某市规定三口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过部分水费为1.5元/立方米，超过部分水费为3元/立方米．若某户居民某月用水30立方米，则该月应交水费( )元．A.22.5B.45C.67.5D.90答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：列代数式11.某同学计算一多项式加上时，误认为减去此式，计算出错误结果为，则正确答案是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式加减12.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：整式的加减13.已知，，其中，则的值为( )A.55B.35C.-55D.-35答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入14.把中的看成一个整体合并同类项，结果应是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：合并同类项15.把看成一个整体，当时，化简求值：的值为( ) A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整体代入。
整式加减在实际问题中的应用(含答案)
整式加减在实际问题中的应用(含答案）学完了整式的加减运算, 希望同学们不仅会做一些计算题, 更要善于用数学知识解决生活中的实际问题, 养成“用数学”的习惯, 现举例说明.例1 某大商场, 10月份营业额为x 万元, 11月份营业额比10月份的2倍还多17万元, 12月份的营业额比10月份的3倍少2万元, 试求第四季度的总营业额.分析: 解体的关键是读懂题意, 能用所给的字母正确的表示出相关的量.可分别确定11月份, 12月份的营业额, 从而确定第四季度的总营业额.解: 因为10月份的营业额为x 万元,所以11月份的营业额为(2x+17)万元, 12月份营业额为(3x-2)万元.所以第四季度的总营业额为x+(2x+17)+(3x-2)=（6x+15）（万元）.例 2 前不久, 共青团中央等部门发起了“保护母亲河”的行动, 某校八年级两个班的115名学生积极参与, 踊跃捐款, 已知甲班有 的学生每人捐了10元, 乙班有 的学生每人捐了10元, 两个班其余学生每人捐了5元, 设甲班有学生x 人, 试用式子表示两个班捐款的总额, 并进行化简.分析：先确定各数量之间的关系：两班捐款总额=甲班捐款总额+乙班捐款总额, 又因为甲班有x 人, 则乙班有(115-x)人, 再列出式子并化简. 解: 两班捐款总额为(31x ⨯10+32x ⨯5)+[52(115-x)⨯10+53(115-x)⨯5] =(310x+310x)+(460-4x+345-3x) =x 320+805-7x =-31x+805.所以两班捐款总额为(-31x+805)元.例3 某工厂有工人200人, 每人每天可织布30m 或制衣6件, 每件衣服用去布2m, 把不直接出售, 每米利润2元；若把衣服出售, 每件利润为25元, 现安排x 名工人制衣, 其余支部, 试求利润. 分析: 利润有两部分: 售衣和售布.售衣的利润为25 6x, 而售布的利润为(200-x)名工人所织的布减去制衣用的布乘以2.解: 因为售衣的利润为25 6x （元）, 售布的利润为2[30(200-x)-2 6x]（元）, 所以利润为25⨯6x+2[30(200-x)-2⨯6x]=（66x+12000）（元）. 练习:1、某商场4月份营业额为x 万元, 5月份营业额比4月份多10万元.如果该市场第二季度的营业额为4x 万元, 试求6月份的营业额.2.A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才, 两家公司招聘的条件基本相同, 只有工资待遇有如下诧异: A 公司年薪10000元, 每年加工龄工资200元；B 公司办年薪5000元, 每半年加工龄工资50元, 从经济收入的角度考虑的话, 选择哪家公司有利？, 并进行化简 （2）假设所购进手机恰好用去61000元且全部售出, 综合考虑各种因素, 该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．请用含x 、y 的代数式表示预估利润, 并进行化简（注：预估利润P ＝预售总额-购机款-各种费用）4. 一种商品每件成本a 元, 按成本增加22%定出价 格, 每件售价多少元？ 后来因库存积压减价, 按原价85%出售, 现售价多少元？每件还能盈利多少元？千克？ （2）若甲种产品每件成本为70元, 乙种产品每件成本为90元, 用含x 的代数式表示两种产品的成本总额是多少元？6.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究, 为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果: 第一年的年产量为x （吨）时, 所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式y= x2+5x+90, 投入市场后当年能全部售出, 且在甲、乙两地每吨的售价为p 甲, p 乙（万元）. （注: 年利润＝年销售额－全部费用）成果表明, 在甲地生产并销售 吨时, p 甲= – x+14, 请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额及年利润。
整式 辅导资料(含答案).
整式学习本节先复习单项式的系数和次数、多项式的项等概念，为学习同类项的概念及合并同类项法则做好准备.主要包括 单项式的系数和次数,多项式的项和每项的系数.一单项式、多项式的概念及它们各自对应的系数，项这是本节的重点；【典例引路】中例2，【当堂检测】中第2题，【课时作业】中第3题。
二.正确的判断所给代数式的系数或项这是本节的难点;【典例引路】中例2，【当堂检测】中第3题，【课时作业】中第10题。
三．易错题目单项式的次数,多项式的次数是同学们易错的地方. 【典例引路】中例2，【基础练习】中第2题,【当堂检测】中第4题，【课时作业】中第9题。
知识点击一:单项式的概念及其次数与系数（1）单项式的定义：像 1.5V ，28n π，h r 231π等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式．注：①单独一个数与一个字母也是单项式．②形如21＋x 形式的代数式不是单项式．（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．注：单独一个数的次数是0次．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．注：①单个字母的系数为1；②单项式的系数包括符号．知识点击二:多项式的概念及其项数与次数（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．注：①多项式概念中的和指代数和，即省略了加号的和的形式．②多项式中不含字母的项叫做常数项．（2）多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（3）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．知识点击三:整式的概念单项式和多项式统称为整式．区别是否整式：关键：分母中是否含有字母.针对性练习:一、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）1．x是单项式．（）2．6不是单项式．（）3．m的系数是0，次数也是0．（）【解答】1．∨ 2．× 3．× 4．∨类型之一:应用创新型例1.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班种了a棵树，二班种的比一班的2倍多b棵，这两个班一共种了多少棵树？【解答】(2a+b+a) 棵, 是整式.类型之二:明辨是非型例2 判断下列各说法是否正确，错误的改正过来；（1）单项式的系数是，次数是2次．（）（2）单项式的次数是1次．（）（3）任何两个单项式的和是多项式．（）（4）是单项式．（）（5）不是单项式．（）（6）的系数是，次数是1次．（）（7）没有系数．（）（8）多项式是一次二项式．（）（9）是二次三项式．解：（1）错．的系数是－，次数是3次．（2）错．单项式的次数是3次．（3）错．任何两个单项式的和不一定是单项式；（4）错．是多项式．（5）错．是单项式．（6）对（7）错．的系数是1．（8）错．多项式是三次二项式．（9）对说明：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，如 的次数是次．任何两个单项式的和不一定是多项式，如单项1与单项式的和为 ，而 为单项式． 可写成 ，因此多项式 是二次三项式．1.下列代数式分别有几项？每一项的系数分别是多少？2x －3y 4a 2－4ab +b 2 －31x 2y +2y －x 【解答】 2x －3y 有2项，每一项的系数分别是2，－3；4a 2－4ab +b 2有3项，每一项的系数分别是：4,－4,1. －31x 2y +2y －x 有3项，每一项的系数分别是－31，2，－1. 2．若－2a m ＋2b 4是7次单项式，则m ＝_______；【解析】:m+2+4=7,m=1;3．多项式x 2－3x －4共有_____项，次数是________．【解析】3,2;4．x 2yz 的系数是________，次数是________．【解析】1, 4.5．如果单项式－2x 2y n 与单项式a 4b 的次数相同，则n=________．【解析】3.6．写出系数为5，含有x 、y 、z •三个字母且次数为4•的所有单项式，•它们分别是_______．【解析】5xy 3，5x 2y 2，5x 3y1.代数式ab －mn －81πn 2+1是哪几项的和？每项的系数分别是什么？ 【解析】式子中数与字母的积为一项，如ab ，－mn ，每一项应包含它前面的符号.单独一个数或一个字母也是一项，字母前的数字因数是它的系数，如ab 的系数是1，－mn 的系数是－1，－81πn 2的系数是－81π，因为π是常数. 【解答】ab －mn －81πn 2+1分别是ab ，－mn ，－81πn 2，1四项的和， 每项的系数分别是1，－1，－81π，1. 2.下列代数式中，哪些是整式？单项式？多项式？ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，π，2y x －，12－x x 【解析】整式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，－5，2y x －; 单项式: －5; 多项式: ab ＋c ，ax 2＋bx ＋c ，2y x －; 3.求下列各单项式的系数及次数：73xy ，－ab 2c 【解析】73xy 的系数及次数:73,2; －ab 2c 的系数及次数:－1,4; 4.说出下列多项式为几次几项式？ －31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 【解析】－31x －x 2y ＋2π，6x 3y 2－5＋xy 3－x 2 5.根据题意列出代数式，并判断是否为整式．①ab 两数的积除以ab 两数的和；②ab 两数的积的一半的平方；【解析】:①ab÷(a+b)=b a ab +;（2）(ab 21)2=2241b a ;例1、将多项式3+6x 2y －2xy －5x 3y 2－4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。
整式在实际中的应用
整式在实际中的应用梁山县梁山镇一中孙恩玺1、王老师在一次团体操队列造型设计中，先让全体队员派成一个方阵（即行与列的人数一样多的队型），人数正好够用。
然后再进行各种队型变化，其中的一个造型需分5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按“5人一组”分将多出3人，你说这可能吗？为什么？解析：因为全体人员可排成一个方阵，故总人数是一个完全平方数，设每行m人，则总人数为m2人，根据变化队形时按5人分组，可考虑m为5n、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4中的某种情形，这里n为自然数，从而全体人数m2可能是：⑴(5n)2 =5·(5n)2⑵(5n+1)2 =25n2 +10n +1=5(5n2 +2n)+1⑶(5n+2)2 =25n2 +20n +4=5(5n2 +4n)+4⑷(5n+3)2 =25n2 +30n +9=5(5n2 +6n+1)+4⑸(5n+4)2 =25n2 +40n +16=5(5n2 +8n+3)+1由此可见，不论哪一种情形，总人数按每组5人分组所多出的人数只能是1或4，不可能多3人。
2、某种产品的两种原料相继提价，因而厂家决定根据这两种原料提价的情况对产品进行提价，现有三种方案：方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价提价((p+q)/2 )%，第二次提价((p+q)/2 )%问三种方案哪种提的价格最多？解析：因为这三种提价的方案都以原来的价格为基础，所以我们可以设原来的价格为单位“1”然后分别求出三种提价方案后的最后价格，再进行比较就知道那种方案的提价做多了。
所以我们可以这样解答：设原来的价格为“1”则按三种方案进行提价后的价格分别是：甲：（1+p%）(1+q%) =1+(p+q)%+p%·q%乙：(1+q%)（1+p%）=1+(p+q)%+p%·q%丙：(1+(p+q)/2·% )2=1+（p+q)%+(p+q)% ·(p+q)%÷4∵(p-q)2≥0∴p2+q2≥2pq∴p2+q2+2pq ≥4pq 即（p+q）2≥4pq∴甲=乙＜丙（p、q为不相等的正数）所以三种方案中，丙的提价最多3、秋收季节到了，幸福村的人们都用篾席制成的粮囤来储藏粮食。
整式的实际应用 (讲义及答案)
整式的实际应用➢ 课前预习1. 已知长方形的长为122，宽为b ，则此长方形的面积可表示为__________．2. 已知长方形的面积为S ，长为2，则此长方形的宽可表示为_________．3. 计算：（1）12232a a b c ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭；（2）2221242xy xy x y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭．4. 已知圆的直径为b ，则这个圆的面积为_______________．5. 若设三角形的底边为a ，高为h ，则三角形的面积可表示为12S ah =．当4a =，5h =时，三角形的面积S =_______．6. 请你用实例解释下列代数式的意义．（1）2x ；（2）2a b +；（3）38a ．7. 查询资料或者跟爸爸妈妈了解出租车是怎么计费的．➢知识点睛整式的实际应用：1.__________________________________________；2.__________________________________________；3.__________________________________________．➢精讲精练1.填空：（1）小刚家冰箱冷冻室的温度现为-5℃，调低t ℃后的温度为__________℃．（2）一个长方形的宽为 a cm，长比宽的2倍多 1 cm，则这个长方形的周长为_____________cm．（3）某公园的成人票价每张是20元，儿童票价每张是8元．甲旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的12．两个旅行团的门票费用和为_____________元．2.体育委员带了100元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元，则代数式100-3a-2b表示的意义为__________________________________________________________．3.我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子中不正确的是（）A．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数B．若正方形的边长为a，则4a表示正方形的周长C．若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买a千克葡萄的金额D．若三角形的底边长为3，面积为6a，则4a表示这边上的高4.有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数字大1，用代数式表示这个两位数是_________；当a=5时，这个两位数是________．5.一个两位数的个位数字是m，十位数字是n，将两个数字调换后的两位数与原来的两位数的差用代数式表示为______________．6.如图，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中，以2b为直径分别剪掉两个半圆．（1）求剩下铁皮的面积（用含a，b的式子表示）；（2）当a=4，b=1时，求剩下铁皮的面积是多少．（结果保留π）7.为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元．（1）如果小张家一个月用电128度，那么这个月应缴纳电费________元；（2）如果小张家一个月用电a度（a＞150），那么这个月应缴纳电费_________元；（用含a的最简代数式表示）（3）如果这个月小张家用电200度，那么小张家这个月应缴纳电费多少钱？8.某体育用品商店销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价75元，乒乓球每盒定价10元．“元旦”期间商场开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副乒兵球拍送一盒乒乓球；方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的九折付款．某客户要到该体育用品商店购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x＞10）．（1）若该客户按方案一购买，需付款______元；若该客户按方案二购买，需付款_______元；（用含x的代数式表示）（2）若x =30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算．9. 按如图所示的程序计算，若开始输入n 的值为1，则最后输出的结果是________．10. 有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是_______，依次继续下去…，则第2 019次输出的结果是________．11. 定义一种新运算：3a b a b b b a b a -⎧=⎨<⎩≥（）※（），则当x =3时，2※x -4※x 的结果为_______．12. 有一道题目是23142x x -+减去一个多项式，而小强误当成了加法运算，结果得到2324x x -+，那么这道题目正确的结果是__________．13. 先化简，再求值：（1）2x 2-5x +x 2+4x ，其中x =-3．1 6．（2）(-4a2-2ab+7)-2(5ab-4a2+7)，其中a=-2，b=【参考答案】 ➢ 课前预习1.52b 2. 12S3. （1）362a b c -+；（2）229xy x y -+4.24b π 5. 106. （1）表示一辆车以x km/h 的速度行驶2小时的路程（2）买2支笔和2个笔记本共花（a +b ）元，一支笔和一个笔记本共花费多少元 （3）一个边长为2a 的正方体的体积7. 起步价8元（含两公里），大于2公里，每公里1.5元；累计停车每3分钟加收1元；如果路程超过10公里的话，每公里收50%的返程费；晚上10点至第二天6点起步价10元（含两公里）➢ 知识点睛1. 找准所求量与其他量之间的关系2. 表达其他各个量3. 化简➢ 精讲精练1. （1）(5t --)；（2）(6a +2)；（3）(60x +12y )2. 买3个足球、2个篮球后剩下的钱3. A4. 11a +10，655. 9m -9n6. （1）22ab b -π（2）8-π 7. （1）64（2）(0.8a -45) （3）115元8. （1）(10x +650)(9x +675)（2）方案一：950元方案二：945元此时按方案二购买较为合算9.4210.3；311.812.109 24x-+13.（1）化简结果为23x x-，最终结果为30 （2）化简结果为24127a ab--，最终结果为13。
专题02 整式和因式分解(讲义)(解析版)
专题02 整式和因式分解核心知识点精讲1．理解代数式的意义，能够进行代数式的求值．2．理解整式的相关概念，包括单项式、多项式系数、次数、同类项的概念．3．理解同类项的合并方法．4．能够进行整式的加减法、乘除法的运算，混合运算以及化简求值.5．理解同底数幂的运算．6．掌握因式分解的概念、常用方法，如提公因式法、公式法、分组分解法等．7．能够理解运用因式分解的一般步骤．考点1 代数式及求值1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.代数式求值：用数值代数式里的字母，计算后所得的结果。
考点2 整式的相关概念1.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313-。
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做多项式的次数。
4.多项式：几个单项式的和叫做多项式。
每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
常数项的次数为0。
5.整式：单项式和多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
6.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
考点3 整式的运算法则1.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
2.整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
3.整式的乘法：),(都是正整数n m aa a n m n m +=∙),(都是正整数）（n m a a mn n m =)()(都是正整数n b a ab n n n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-4.整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数考点4 幂的运算1.同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m •a n ＝a m +n （m ，n 是正整数）（2）推广：a m •a n •a p ＝a m +n +p （m ，n ，p 都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a 2b 2）3与（a 2b 2）4，（x ﹣y ）2与（x ﹣y ）3等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．2．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m ）n ＝a mn （m ，n 是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．3．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m ÷a n ＝a m ﹣n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ）①底数a ≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．考点5 整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．考点6 因式分解1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
《整式的加法和减法》 讲义
《整式的加法和减法》讲义一、整式的基本概念在数学的世界里，整式是一个非常重要的概念。
整式是由数和字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做整式。
整式可以分为单项式和多项式。
单项式是只有一个项的整式，它是由数字因数和字母因数的积组成的。
比如，3x、－5 、07m 等都是单项式。
其中，数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数。
多项式则是由几个单项式相加组成的。
比如，2x ＋ 3y 、a² 2ab ＋b²等都是多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
二、整式的加法整式的加法，其实就是把同类项合并起来。
那什么是同类项呢？同类项就是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
例如，5x²y 和－3x²y 就是同类项，因为它们都含有字母 x 和 y，并且 x 的指数都是 2，y 的指数都是 1。
在进行整式加法时，我们只需要把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
举个例子，计算 3x ＋ 5x ，因为 3x 和 5x 是同类项，所以可以将系数 3 和 5 相加，得到 8x 。
再比如，计算 2a²b 3a²b ＋ 5a²b ，先找出同类项，然后将同类项的系数相加减，即：（2 3 ＋ 5)a²b ＝ 4a²b 。
三、整式的减法整式的减法可以转化为加法来进行。
我们只需要把减号后面的整式看成是加上它的相反数，然后按照整式的加法法则进行计算。
例如，计算 5x 3x ，可以看成是 5x ＋（－3x) ，然后将同类项的系数相减，得到 2x 。
再比如，计算 7a² 4a²，同样可以看成 7a²＋（－4a²) ，结果是 3a²。
如果遇到多项式的减法，比如（3x²＋ 2x 1) （2x² x ＋ 3) ，我们需要先把括号去掉。
人教版初中数学同步讲义七年级上册第01讲 整式(解析版)
D．4 个
【解答】解：代数式 ，2x3y， ， ，﹣2，a，7x2+6x﹣2 中，单项式有：2x3y，﹣2，a 共 3 个．
故选：C．
【即学即练 2】
9．单项式﹣2x2y 的系数和次数分别是（ ）
A．3，4
B．﹣2，2
C．3，﹣2
【解答】解：﹣2x2y 的系数为﹣2，次数为 2+1＝3．
故选：D．
4. 多项式的名词：
根据多项式的 次数与项数 把多项式命名为几次几项式。 题型考点：①多项式的判断。
②多项式各项的判断。 ③多项式的次数以及命名。 【即学即练 1】
（5）
书写正确；
（6）m﹣3℃前面的代数和应加括号，故原式书写错误；
符合代数式书写要求的有 3 个．
故选：C．
【即学即练 3】
3．“m 与 n 差的 3 倍”用代数式可以表示成（ ）
A．3m﹣n
B．m﹣3n
C．3（n﹣m）
D．3（m﹣n）
【解答】解：“m 与 n 差的 3 倍”用代数式可以表示为：3（m﹣n）．
第 01 讲 整式
课程标准
①代数式及其书写要求 ②整式的概念 ③单项式 ④多项式 ⑤升幂与降幂排列
学习目标 1. 掌握代数式的概念及其书写要求，能够列简单的代 数式。 2. 掌握整式的概念并判断整式。 3. 掌握单项式及其单项式的系数与次数。 4. 掌握多项式、多项式的项、多项式的次数。 5. 能够对多项式进行升幂或降幂排列。
1. 整式的概念： 单项式 和 多项式 统称为整式。简单理解：即分母中不含
题型考点：整式的判断。
字母
的式子叫做整式。
【即学即练 1】
7．下列各式：﹣ mn，m，8， ，x2+2x+6，
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整式的实际应用（讲义）
➢ 课前预习
1. 已知长方形的长为122
，宽为b ，则此长方形的面积可表示为__________． 2. 已知长方形的面积为S ，长为2，则此长方形的宽可表示为_________．
3. 计算：
（1）12232a a b c ⎛⎫
--+- ⎪⎝⎭；
（2）2221
242xy xy x y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭．
4. 已知圆的直径为b ，则这个圆的面积为_______________．
5. 若设三角形的底边为a ，高为h ，则三角形的面积可表示为1
2S ah =．当
4a =，
5h =时，三角形的面积S =_______．
6. 请你用实例解释下列代数式的意义．
（1）2x ；
（2）2a b
+；
（3）38a ．
7. 查询资料或者跟爸爸妈妈了解出租车是怎么计费的．
➢知识点睛
整式的实际应用：
1.__________________________________________；
2.__________________________________________；
3.__________________________________________．
➢精讲精练
1.填空：
（1）小刚家冰箱冷冻室的温度现为-5℃，调低t ℃后的温度为__________℃．（2）一个长方形的宽为 a cm，长比宽的2倍多 1 cm，则这个长方形的周长为_____________cm．
（3）某公园的成人票价每张是20元，儿童票价每张是8元．甲
旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行
团的2倍，儿童数是甲旅行团的1
2
．两个旅行团的门票费用
和为_____________元．
2.体育委员带了100元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元，则代
数式100-3a-2b表示的意义为_______
___________________________________________________．
3.我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予4a实际
意义的例子中不正确的是（）
A．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数
B．若正方形的边长为a，则4a表示正方形的周长
C．若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买a千克葡萄的金额
D．若三角形的底边长为3，面积为6a，则4a表示这边上的高
4.有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字比个位上的数字大1，用代数式
表示这个两位数是_________；当a=5时，这个两位数是________．
5.一个两位数的个位数字是m，十位数字是n，将两个数字调换后的两位数与原来
的两位数的差用代数式表示为______________．
6.如图，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中，以2b为直径分别剪掉两个半
圆．
（1）求剩下铁皮的面积（用含a，b的式子表示）；
（2）当a=4，b=1时，求剩下铁皮的面积是多少．（结果保留π）
7.为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那
么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元．
（1）如果小张家一个月用电128度，那么这个月应缴纳电费________元；
（2）如果小张家一个月用电a度（a＞150），那么这个月应缴纳电费_________元；（用含a的最简代数式表示）
（3）如果这个月小张家用电200度，那么小张家这个月应缴纳电费多少钱？
8. 某体育用品商店销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价75元，乒乓球每
盒定价10元．“元旦”期间商场开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一副乒兵球拍送一盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的九折付款．
某客户要到该体育用品商店购买乒乓球拍10副，乒乓球x 盒（x ＞10）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款______元；
若该客户按方案二购买，需付款_______元；（用含x 的代数式表示）
（2）若x =30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算．
9. 按如图所示的程序计算，若开始输入n 的值为1，则最后输出的结果是________．
10. 定义一种新运算：3a b a b b b a b a -⎧=⎨<⎩
≥（）※（），则当x =3时， 2※x -4※x 的结果为_______．
11. 有一道题目是23142
x x -+减去一个多项式，而小强误当成了加法运算，结果得到2324
x x -+，那么这道题目正确的结果是__________．
12. 先化简，再求值：
（1）2x 2-5x +x 2+4x ，其中x =-3．
（2）(-4a 2-2ab +7)-2(5ab -4a 2+7)，其中a =-2，b =16
．
13. 已知a =2，b =-1，求223122(1)3(2)6223a b a a b b b ⎡⎤⎛⎫-+---+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的值时，马虎同学将a =2，b =-1错抄成a =2，b =1，可结果还是正确的，马虎同学比较纳闷，请你帮助他揭开其中的迷雾，写出你的说明过程．
【参考答案】
➢ 课前预习
1.
52
b 2. 12S 3. （1）362a b
c -+；（2）229xy x y -+
4.
24
b π 5. 10
6. （1）表示一辆车以x km/h 的速度行驶2小时的路程 （2）买2支笔和2个笔记本共花(a +b )元，一支笔和一个笔记本共花费多少元
（3）一个边长为2a 的正方体的体积
7. 起步价8元（含两公里），大于2公里，每公里1.5元；累计停车每3分钟加收1
元；如果路程超过10公里的话，每公里收50%的返程费；晚上10点至第二天6点起步价10元（含两公里）
➢ 知识点睛
1. 找准所求量与其他量之间的关系
2. 表达其他各个量
3. 化简
➢ 精讲精练
1. （1）(5t --)；（2）(6a +2)；（3）(60x +12y )
2. 买3个足球、2个篮球后剩下的钱
3. A
4. 11a +10，65
5. 9m -9n
6. （1）22ab b -π
（2）8-π
7. （1）64
（2）(0.8a -45)
（3）115元
8. （1）(10x +650)
(9x +675)
（2）方案一：950元
方案二：945元
此时按方案二购买较为合算
9. 42
10. 8
11. 10924
x -+ 12. （1）化简结果为23x x -，最终结果为30
（2）化简结果为24127a ab --，最终结果为13
13. 化简结果为5a --，最终结果为-7。