合并算法时间复杂度计算
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T(n) <= 2T(n/2) + O(n),
或 T(n) <= 2T(n/2) + cn （当 n > 2时，T(2) <= c）
从这个关系式中并不能明显看出 T(n) 是什么类型的函数， 所以我们需要想办法解出这个关系式，也就是递归求解。
方法求解有两种基本的方法：
1、最自然的方法是展开关系式，通过分 析最初几级的运行时间来得到一个通式， 或者说是规律，然后把每一级的运行时 间相加，即求得总的运行时间。
计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数， 它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于 代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复 杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶 项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可 被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷 时的情况。
用 T(n) 表示输入大小为 n 的数组时合并排序最坏 的运行时间。假设 n 是偶数。排序需要 O(n) 时间 把输入分成两个大小为 n/2 的子数组，然后对每个 子数组排序需要 T(n/2)。最后需要 O(n) 把结果合 并起来。所以我们得到这个关系式：
三放三拿来上课， 知识、方法双收获。 算法具有四性质： 输入、输出、确定、有限。 算法分析话时空， 大O大Ω最常用。 勤学勤练勤思考， 登高自卑千古理！
求和：对于大小为n的问题，总的层数还是不变，所 以
令 r = q/2，则上式变成了 这里用到了几何级数的一个公式。如果我们有 等式两边同时乘以r得到 两式相减得到
所以
回到T(n)上来。因为r=q/2是常数，所以
现在问题变成了求 当a>1, b>1时
。这里用上对数的换底公式， 。
所以 最终得到
从结果看得出，运行时间是大于线性的因为
合并排序的时间复杂度计算
通信1304班：鲁信金、易浩宇、刘子雄
目录 CONTENT
01合并排序 02时间复杂度 03方法及计算 04 如何学习
合并排序是建立在归并操作上的一种有效的排 序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。合并排序法 是将两个（或两个以上）有序表合并成一个新 的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列， 每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合 并为整体有序序列。将已有序的子序列合并， 得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序， 再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成 一个有序表，称为2-路归并。合并排序也叫归 并排序。
还是用几何级数可以得出它最终收敛于2。所以
通过对上面三种情况，q = 1, q = 2, q > 2的分析我们得出三种不同的运行时间。 q = 1时，运行时间是线性的。q = 2时是 O(nlogn)。q > 2 时是多项式级数。造成这 种差别的原因主要在于在递归时大部分的工 作完成的阶段。q = 1时，第0级就已经完成 了一半的工作，而当q > 2时，大部分工作却 是在递归底层完成。所以 q = 2可以说是介 于两者之间的分水岭 – 每一层完成工作的 总量是相同的，给了我们较优的O(nlogn)的 运行时间。
2、得出规律：可以看到在第 j 级时，我们有2j个 子数组，每个大小为 cn/2j，分别需要cn/2j时间， 所以这级总的运行时间为2j(cn/2j) = cn.
3、求和：我们已经求得每一级需要的运行时间。对 于一个大小为 n 的数组，递归最多有logn层，所以 总的运行时间为 O(nlogn)。
更通用的递归式：
。
q=4时运行时间是O(n2)。
q=1的情况:
•分析：第0级时，只有一个大小为n的问题，需要cn时 间。第1级时，问题大小为n/2，需要cn/2时间。第2级 时，问题大小为n/4，需要cn/4时间。 •规律：我们看到在任意级j都只有一个问题，大小为 n/2j，需要cn/2j时间来完成。 •求和：总的层数还是logn。
还是采用基本的步骤展开：
•分析：这里我们假设 q=3。在第0级时，只有一个 大小为n的问题，需要cn时间。在第1级，我们有q个 子问题，每个大小n/2，需要cn/2时间，所以总的时 间为(q/2)cn。在第2级，有q2个字问题，每个大小 n/4，需要cn/4时间，总的时间为(q2/4)cn。
•得出规律：在任意一级j，有qj个字问题，每个大 小为n/2j，所以总的时间为qj(cn/2j) = (q/2)jcn。
2、第二种方法是先猜出一个觉得合理的 解，然后代入原来的关系式中验证。
展开递归式基本的步骤：
1、分析最初的几级：在第0级时，我们只有一个大 小为 n 的数组，这里需要最多 cn 时间。在第1级， 我们有两个子数组，每个大小为 n/2，分别需cn/2 时间，所以总的时间是 2*(cn/2) = cn。在第2级， 我们有四个子数组，每个大小为 n/4，分别需要 cn/4 时间，所以总的时间还是 4*(cn/4) = cn。
上面的分析都是基于每个问题被分成2个子问题。如果现在我们把 每个问题分成 q 个大小为 n/2 的子问题，我们得到一个更通用的递 归式
T(n) <= qT(n/2)பைடு நூலகம்+ cn 当 n>2时，T(2) <= c
当 q=2时就是我们 上面分析的情况。 接下来我们分析 q>2 和 q=1的情况。
q>2的情况：
或 T(n) <= 2T(n/2) + cn （当 n > 2时，T(2) <= c）
从这个关系式中并不能明显看出 T(n) 是什么类型的函数， 所以我们需要想办法解出这个关系式，也就是递归求解。
方法求解有两种基本的方法：
1、最自然的方法是展开关系式，通过分 析最初几级的运行时间来得到一个通式， 或者说是规律，然后把每一级的运行时 间相加，即求得总的运行时间。
计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数， 它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于 代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复 杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶 项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可 被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷 时的情况。
用 T(n) 表示输入大小为 n 的数组时合并排序最坏 的运行时间。假设 n 是偶数。排序需要 O(n) 时间 把输入分成两个大小为 n/2 的子数组，然后对每个 子数组排序需要 T(n/2)。最后需要 O(n) 把结果合 并起来。所以我们得到这个关系式：
三放三拿来上课， 知识、方法双收获。 算法具有四性质： 输入、输出、确定、有限。 算法分析话时空， 大O大Ω最常用。 勤学勤练勤思考， 登高自卑千古理！
求和：对于大小为n的问题，总的层数还是不变，所 以
令 r = q/2，则上式变成了 这里用到了几何级数的一个公式。如果我们有 等式两边同时乘以r得到 两式相减得到
所以
回到T(n)上来。因为r=q/2是常数，所以
现在问题变成了求 当a>1, b>1时
。这里用上对数的换底公式， 。
所以 最终得到
从结果看得出，运行时间是大于线性的因为
合并排序的时间复杂度计算
通信1304班：鲁信金、易浩宇、刘子雄
目录 CONTENT
01合并排序 02时间复杂度 03方法及计算 04 如何学习
合并排序是建立在归并操作上的一种有效的排 序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。合并排序法 是将两个（或两个以上）有序表合并成一个新 的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列， 每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合 并为整体有序序列。将已有序的子序列合并， 得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序， 再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成 一个有序表，称为2-路归并。合并排序也叫归 并排序。
还是用几何级数可以得出它最终收敛于2。所以
通过对上面三种情况，q = 1, q = 2, q > 2的分析我们得出三种不同的运行时间。 q = 1时，运行时间是线性的。q = 2时是 O(nlogn)。q > 2 时是多项式级数。造成这 种差别的原因主要在于在递归时大部分的工 作完成的阶段。q = 1时，第0级就已经完成 了一半的工作，而当q > 2时，大部分工作却 是在递归底层完成。所以 q = 2可以说是介 于两者之间的分水岭 – 每一层完成工作的 总量是相同的，给了我们较优的O(nlogn)的 运行时间。
2、得出规律：可以看到在第 j 级时，我们有2j个 子数组，每个大小为 cn/2j，分别需要cn/2j时间， 所以这级总的运行时间为2j(cn/2j) = cn.
3、求和：我们已经求得每一级需要的运行时间。对 于一个大小为 n 的数组，递归最多有logn层，所以 总的运行时间为 O(nlogn)。
更通用的递归式：
。
q=4时运行时间是O(n2)。
q=1的情况:
•分析：第0级时，只有一个大小为n的问题，需要cn时 间。第1级时，问题大小为n/2，需要cn/2时间。第2级 时，问题大小为n/4，需要cn/4时间。 •规律：我们看到在任意级j都只有一个问题，大小为 n/2j，需要cn/2j时间来完成。 •求和：总的层数还是logn。
还是采用基本的步骤展开：
•分析：这里我们假设 q=3。在第0级时，只有一个 大小为n的问题，需要cn时间。在第1级，我们有q个 子问题，每个大小n/2，需要cn/2时间，所以总的时 间为(q/2)cn。在第2级，有q2个字问题，每个大小 n/4，需要cn/4时间，总的时间为(q2/4)cn。
•得出规律：在任意一级j，有qj个字问题，每个大 小为n/2j，所以总的时间为qj(cn/2j) = (q/2)jcn。
2、第二种方法是先猜出一个觉得合理的 解，然后代入原来的关系式中验证。
展开递归式基本的步骤：
1、分析最初的几级：在第0级时，我们只有一个大 小为 n 的数组，这里需要最多 cn 时间。在第1级， 我们有两个子数组，每个大小为 n/2，分别需cn/2 时间，所以总的时间是 2*(cn/2) = cn。在第2级， 我们有四个子数组，每个大小为 n/4，分别需要 cn/4 时间，所以总的时间还是 4*(cn/4) = cn。
上面的分析都是基于每个问题被分成2个子问题。如果现在我们把 每个问题分成 q 个大小为 n/2 的子问题，我们得到一个更通用的递 归式
T(n) <= qT(n/2)பைடு நூலகம்+ cn 当 n>2时，T(2) <= c
当 q=2时就是我们 上面分析的情况。 接下来我们分析 q>2 和 q=1的情况。
q>2的情况：