偏微分方程定解问题

第一章 偏微分方程定解问题

引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。

如

牛顿定律

22d x dt

m g = ------(1) 波动方程 222222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂------(2)

热传导方程 2222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

+∂∂∂∂=++∂∂∂∂ ------(3) 静电场位方程 2222

222(,,)f x y z u u u a x y z ⎛⎫

⎪=- ⎪⎝⎭

∂∂∂++∂∂∂ ------(4) 激波方程 0u u

u t x

∂∂+=∂∂ ------(5) 等等。

其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。

这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。

数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。

本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。

为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念

(术语)。

1. 常，偏微分方程

只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。

含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。 2. 阶

上述(1)----(5)均可改写成如下形式

220d x m g dt

-= ------(1’) 222

30u t a u f -∂∂∆-= -------(2’) 230u t

a u f -∂∂∆-= ------(3’)

230a u f ∆+= ------(4’)

0u u t x

u +∂∂∂∂= ------(5’)

其中 222

3222x y z

∂∂∂∆=++∂∂∂，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)

或f(x,y,z)。

这些方程可归纳为如下形式

12

121212,,,,,,,,,,n m n m m m n n u u u u F x x x u x x x x x x ⎛⎫

⎪ ⎪⎝

⎭

∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂∂∂∂⋅⋅⋅∂=0， 其中12n m m m m =++⋅⋅⋅+为导数的最高阶数，成为方程的阶。 3. 线性、非线性偏微分方程

只涉及未知函数及其偏导数的线性组合(一次项)的偏微分方程称为线性偏微分方程。如(2)----(4)。

含有未知函数及欺骗导数二次或二次以上乘积项的偏微方程称为非线性偏微分方程。如(5)。

三个典型方程的导出

本课程中研究问题的方式是：

先将物理问题装化为数学问题，建立数学模型；再求解数学模型；最后由所得解来分析，解释，揭示实际物理问题出现的结果。 1.1.1：弦的(微小)横振动 (1) 相关的物理规律 牛顿第二定律 F ma =u u v

u u v

胡克定律 F m x =∆u u v

u u u u v (2) 波动方程的导出

微元分析法：(x, x+dx)

已知外力 ()()µ

,;,G t x dx g t x dx j =u u v

，均匀线密度为 ρ 弦内部张力 µ¶12(,)(,)(,)T t x dx T t x dx i T t x dx j +=+++u u v

µ

¶12(,)(,)(,)T t x T t x i T t x j =+u u u v

导数的基和意义：21/x u T T =，

21/x u T T =21(,)(,)(,)x T t x dx u t x dx T t x dx ⇒+=++ 21(,)(,)(,)x T t x u t x T t x = 由牛顿第二定律得到如下矢量关系式

(,)(,;)(,)(,)tt t x t x dx t x dx t x dm u G T T =+++u u u v

u u u v

u u u v

u u u u v

g

即 µ¶1122:(,)(,)0:(,)(,)(,)(,)tt i T t x dx T t x j dx u t x g t x dx T t x dx T t x ρ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪

⎩⎭

+-==++-g 由此可得：

10T x ∂=∂，2211

122()x x T u T u u g g T u x x t x ρ∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂ 即 11(,)()T t x T t =， 22122()u u

g T t t x

ρ∂∂=+∂∂

又由小振动条件知

||11,x u ds dx <<⇒≈==≈

而

1()T T T T t =≈

故最终有一维波动方程为

22222

(,)f t x u u a t x +∂∂=∂∂，

用同样的方法可导出：

二维波动方程(如鼓膜小振动)：

2222222(,,)f t x y u u u a t x y ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭

+∂∂∂=∂∂∂， 三维波动方程(如声波)：

22322222222(,,)(,,)u f t x y f t x y u u u u a a t x y z ⎛⎫ ⎪++ ⎪⎝⎭

++=∆∂∂∂∂=∂∂∂∂。 (3) 说明