高中数学人教A版高一必修一预习案：专题二：对数与对数函数(总第33课时)
人教版高中数学必修一《对数函数》预习导航学案
2.2 对数函数预习导航一、对数名师点拨对对数的理解：(1)对数式log a N可看作一种记号，表示关于x的方程a x＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．(2)用指数式来理解对数．对数式b＝log a N表达的意义是a b＝N.指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：(3)对数记号a因为在a b＝N中，a＞0，且a≠1，所以在log a N中，a＞0，且a≠1.又因为正数的任何次幂都是正数，即a b＞0(a＞0)，故N＝a b＞0.(4)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(－2)2＝4不能写成log－24＝2，只有在a＞0，且a≠1，N＞0时，才有a b＝N⇔b＝log a N.(5)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决．自主思考a log a N＝N(a>0，且a≠1)成立吗？提示：成立．这是因为：由a x＝N，得x＝log a N.将x＝log a N代入a x＝N，得a log a N＝N.二、常用对数和自然对数1．常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N.2．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为ln_N.预习导航一、对数的运算性质名师点拨(1)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．(3)能用语言准确叙述对数的运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a N―→积的对数等于对数的和．log a MN＝log a M－log a N―→商的对数等于对数的差．log a M n＝n log a M(n∈R)―→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．自主思考若M，N同号，则式子log a(M·N)＝log a M＋log a N成立吗？提示：不一定成立．如log2[(－2)×(－7)]是存在的，但log2(－2)与log2(－7)是不存在的，故log2[(－2)×(－7)]≠log2(－2)＋log2(－7)．二、换底公式log a b＝loglogccba(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．名师点拨1.用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b·log b a＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；(2)log am b n＝nmlog a b(a>0，且a≠1；b>0；m≠0)．2．换底公式的作用是把不同底的对数化为同底的对数．预习导航一、对数函数名师点拨 1.对对数函数定义的理解：(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a>0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a>0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象：对数函数的图象，当x趋近于0时，无限接近于y轴，但不相交．作直线y＝1与函数y＝log a x的图象相交，则交点横坐标为a.x(a>0，且a≠1)的图自主思考1函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数y＝log1a象有怎样的关系？提示：观察课本第70页图2.23知，两函数的图象关于x轴对称．事实上，函数y＝x的图象上，log a x图象上任一点P(x，y)关于x轴的对称点P′(x，－y)都在函数y＝log1a所以这两个函数的图象关于x轴对称．自主思考2a，b在什么情况下，log a b>0？什么情况下，log a b<0?提示：观察对数函数图象知，当a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0,1)时，log a b>0.当a∈(0,1)，b>1或a>1，b∈(0,1)时，log a b<0.二、反函数对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的图象关于直线y＝x对称．名师点拨对数函数和指数函数的区别与联系将对数函数和指数函数的性质对比列表如下：2.2 对数函数预习导航一、对数函数的图象和性质对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质如下表所示：对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)．自主思考1函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象有什么关系？提示：函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象如图所示，结合图象可知函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．其实y＝log1a x＝log a xlog a1a＝log a x－1＝－log a x，因为y＝log a x与y＝－log a x的图象关于x轴对称，所以函数y＝log a x与y＝log1ax的图象也关于x轴对称．自主思考2底数对对数函数图象的影响？提示：在同一坐标系中画出以下各组函数的图象，观察并写出你的发现．(1)y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，如图①所示．(2)y＝log12x，y＝log13x，y＝log14x，y＝log110x，如图②所示．①②观察结果：对于第一组：y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，y＝lg x，其图象的共同特征是上升的；对于第二组，其图象的共同特征是下降的．结论：①当a>1时，图象上升，自变量x越大，函数值y就越大；当x∈(0,1)时，y<0，当x∈(1，＋∞)时，y>0；自变量取同一值时，底数a越大，图象就越接近x轴，即当k>1时，有log2k>log3k>log4k>lg k，当0<k<1时，有log2k<log3k<log4k<lg k.②当0<a<1时，图象下降，自变量x越大，函数值y就越小；当x∈(0,1)时，y>0，当x∈(1，＋∞)时，y<0；自变量取同一值时，底数a越小，图象越接近x轴，即当k>1时，log12k<log13k<log14k<log110k，当0<k<1时，log12k>log13k>log14k>log110k.。
高中高一数学2.2.2对数函数及其性质教案2新人教A版必修1
对数函数及其性质教学设计1. 教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。
它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式．．．”教学方法。
将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。
其理论依据为建构主义学习理论。
它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。
2. 学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。
因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。
3. 教学手段本节课我选择计算机辅助教学。
增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务．4. 教学流程创设情境获得新知作图察质问题探究归纳性质由“考古问题”引入对数函数定义列表、描点、连线底数a对图象的影响分析归纳函数性质学以致用例题分析解答二、形成概念、获得新知 定义：一般地，我们把函数叫做对数函数。
其中x 是自变量，定义域为例1求下列函数的定义域： （1）；（2）.解：（1）函数的定义域是。
（2）函数的定义域是。
归纳：形如的的函数的定义域要考虑— 三、探究归纳、总结性质 活动1：小组合作，每个组内分别利用描点法画和的图象，组长合理分工，看哪个小组完成的最好。
选取完成最好、最快的小组，由组长在班内展示。
活动2：小组讨论，对任意的a 值，对数函数图象怎么画？ 教师带领学生一起举手，共同画图。
活动3：对a ＞1时，观察图象，你能发现图象有哪些图形特征吗？然后由学生讨论完成下表左边： 函数的图象特征 函数的性质 图象都位于y 轴的右方 定义域是图象向上向下无限延展 值域是R图象都经过点（1，0）当x=1时，总有y=0log a y x =≠（a>0,且a 1）()0,+∞2log a y x =log (4)a y x =-200x x >∴≠∴2log a y x ={}0x x ≠404x x ->∴<∴log (4)a y x =-{}4x x <log ()a y f x =()0.f x >23log ,log y x y x ==1123log ,log y x y x ==log a y x =log a y x =()0,+∞））注：底数非常数，要分类讨论当a>1时，且3.4<8.50.3log y x =————————————————以下无正文————————————————以上高中数学必修教学课程教案均为word文字可编辑版，如果刚好符合你要求，欢迎下载使用。
人教A版高中数学必修一对数函数教案(2)
对数函数教案教学目标1．使学生掌握对数函数的定义，会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质．2．通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解．3．通过比较、对照的方法，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质，认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识．教学重点与难点教学重点是对数函数的定义、图象及性质．难点是由对数函数与指数函数互为反函数这一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质．教学过程设计师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念．什么叫对数？N=b．其中a为底数，生：若a b=N，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaN是真数．师：各个字母的取值范围呢？生：a＞0巳a≠1；N＞0；b∈R，师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方法．请将b p=M化成对数式．M=p．生：b p=M化为对数式是logba=q化为指数式．师：请将logc生：loga=q化为指数式是c q=a．c师；什么是指数函数？它有哪些性质？（生回答指数函数定义及性质．）师：请大家回忆如何求一个函数的反函数？生：（1）先求原来函数的定义域和值域；（2）把函数式y=f（x）x与y对换，此反函数可记作x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改写成y=f-1（x），并写出反函数的定义域．师：好．为什么求一个函数的反函数时，要先求出这个函数的定义域和值域呢？生：求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域，而原来函数的值域就是其反函数的定义域．师：很好．原来函数的定义域和值域，就是其反函数的值域和定义域．根据前面复习的求反函数的方法，请同学们求函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数．生：函数y=a x（a＞0，a≠1）的定义域x∈R，值域y∈（0，+∞）．将指数式y=a x化为对数式x=loga y，所以函数y=a x（a＞0，a≠1）的反函数为y=logax（x＞0）．师：今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数，它是指数函数的反函数．定义函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数．因为对数函数y=logax是指数函数y=a x的反函数，所以要说明以下两点：（1）对于底数a，同样必须满足a＞0且a≠1的条件．（2）指数函数的定义域为R，值域为R+．根据反函数性质可知：对数函数的定义域为R+，值域为R．同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象．应该如何画对数函数的图象呢？生：用描点法画图．师：对．我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，列表、描点画图．再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称．因此，只要画出指数函数的图象，就可利用图象的对称性画出对数函数的图象．师：非常好．我们画对数函数图象，即可用描点法，也可用图象变换法．师：由于对数函数是指数函数的反函数，指数函数图象分a＞1和0＜a＜1两类，因此对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类．现在我们观察对数函数图象，并对照指数函数性质来分析对数函数的性质．生：对数函数的图象都在y轴右侧，说明x＞0．生：函数图象都过（1，0）点，说明x=1时，y=0．师：对．这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实．请继续分析．生：当底数是2和10时，若x＞1，则y＞0，若x＜1，则y＜师：对．由此可归纳得到：当底数a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0，反之亦然．当底数0＜a＜1时，看x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y ＞0，反之亦然．这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系．再继续分析．生：当底数a＞1时，对数函数在（0，+∞）上递增；当底数0＜a＜1时，对数函数在（0，+∞）上递减．师：好．下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表．师：今天我们所要讲的有关概念就讲完了，现在我们通过例题进一步巩固理解这些概念．例2 求下列函数的定义域：生：（1）因为x2＞0，所以x≠0，即y=logax2的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．生：（2）因为4-x＞0，所以x＜4，即y=loga（4-x）的定义域是（-∞，4）．师：在这个函数的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定义域，既要真数大于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组，这个不等式组如何解，问题出在log0.5（3x-1）≥0上，怎么办？生：把0看作log0.51，即log0.5（3x-1）≥log0.51，因为0＜0.5＜1，所以此函数是减函数，所以3x-1≤1．师：对．他是利用了对数函数的单调性．还有别的说法吗？生：因为底数0＜0.5＜1，而log0.5（3x-1）≥0，所以3x-1≤1．师：对．他是利用了对数函数的第三条性质，根据函数值的范围，判断了真数的范围，因此只要解0＜3x-1≤1，即可得出函数定义域．例3 比较下列各组中两个数的大小：（1）log23和log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8．师：请同学们观察这两组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小．生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小．师：对．针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用这个函数在（0，+∞）是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小．请一名同学写出解题过程．生：（板书）解：因为函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，又因0＜3＜3.5，所以log23＜log23.5．师：好．请同学简答（2）中两个数的比较过程．并说明理由．生：因为函数y=log0.7x在（0，+∞）上是减函数，又因0＜1.6＜1.8，所以log0.71.6＞log0.71.8．师：对．上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数．只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小．例4 比较下列各组中两个数的大小：（1）log0.34和log0.20.7；（2）log23和log32．师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小．请大家仔细观察各组中两个数的特点，判断出它们的大小．生：在log0.34中，因为底数0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因为0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7．师：很好．根据对数函数性质，当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0．由此可以判定这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而比较出两个数的大小，这是采用了“中间量法”．请比较第（2）组两个数的大小．生：在log23中，底数2＞1，真数3＞1，所以log23＞0；在log32中，底数3＞1，真数2＞1，所以log32＞0，…师：根据对数性质可判断：log23和log32都比零大．怎么办？生：因为log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32．师：很好．这是根据对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，这里利用了底数的对数为1，即log22=log33=1，从而判断出一个数大于1，而另一个数小于1，由此比较出两个数的大小．请同学们口答下列问题：练习1 求下列函数的反函数：（1）y=3x（x∈R）；（2）y=0.7x（x∈R）；（3）y=log5x（x＞0）；（4）y=log0.6x（x＞0）．生：y=3x（x∈R）的反函数是y=log3x（x＞0）．生：y=0.7x（x∈R）的反函数是y=log0.7x（x＞0）．生：y=log5x（x＞0）的反函数是y=5x（x∈R）．生：y=log0.6x（x＞0）的反函数是y=0.6x（x∈R）．练习2 指出下列各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并简述理由．生：在log50.1中，因为5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0．生：在log27中，因为2＞1，7＞1，所以log27＞0．生：在log0.60.1中，因为0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0．生：在log0.43中，因为0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0．练习3 用“＜”号连接下列各数：0.32，log20.3，20.3．生：由指数函数性质可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3．师：现在我们将这节课的内容小结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质，请同学回答对数函数的定义及性质．生：（复述）……师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图象及性质，都可以利用指数函数的图象及性质得到．对于对数函数的性质，可以利用对数函数图象记忆，也可以对照指数函数的性质记忆．对于函数的定义域，除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外，还应要求对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1．如果函数中同时出现几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果．例3、例4都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子．补充题比较下列各题中两个数值的大小：（1）log30.7和log0.20.5；（2）log0.64和log7.11.2；（3）log0.50.6和log0.60.5；（4）log25和log34．比较下列各题中两个数值的大小：（1）log30.7和log0.20.5；（2）log0.64和log7.11.2；（3）log0.50.6和log0.60.5；（4）log25和log34．。
人教A版高中数学必修一对数与对数运算导学案新
§§2.2.1 对数与对数运算（2）1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..6466 复习1： （1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做 ，记作 . （2）指数式与对数式的互化：x a N =⇔ .复习2：幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ； （3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答： （1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？问题：设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =q a ∴MN =p a q a =p q a +，∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N 根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则 （1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a MM N N=-；（3） log log ()n a a M n M n R =∈.反思：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）※ 典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xyz ； （2）log a .例2计算：（1）5log 25； （2）0.4log 1； （3）852log (42)⨯； （4）探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？※ 动手试试练1. 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a n b b m =；（2）1log log a b b a=.练3. 计算：（1）7lg142lg lg 7lg183-+-；（2）lg 243lg9.三、总结提升 ※ 学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b NN a=；②对数的倒数公式1log log a b b a=.③ 对数恒等式：log log n n a a N N =， log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）.A ．x =a +3b －cB ．35abx c=C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）. A ．y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．4y x = 4. 计算：（1）99log 3log 27+= ；（2）2121log log 22+= .5.计算：15lg 23= .（1；（2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证： 1112c a b -=.。
人教A版高中数学必修一全册导学案对数与对数运算(3)
课题：2.2.1对数与对数运算（3）一、三维目标：知识与技能:（1）在对数运算性质的基础上,利用指数式与对数式之间的关系探索发现换底公式；（2）能够利用换底公式进行对数的化简和运算。
过程与方法：（1）先从特殊的常用对数和自然对数入手,利用计算器进行对数的运算,从中发现对于底数不是10或e 为底的对数需要寻求办法把对数进行转换为常用对数或自然对数；（2）学会把未知的问题转化为已知的问题去思考解决。
情感态度与价值观：了解对数的运算过程中出现的问题,体会数学运算的处理。
二、学习重、难点：重点：对数的换底公式、利用对数的运算性质和换底公式进行化简计算。
难点：对数的换底公式。
三、学法指导：观察、思考、探究。
四、知识链接：B 如何求解206.1=x 中的x ?分析：206.1=x ⇒ 2log 06.1=x ；206.1=x ⇒ 2log 06.1log 1010=x ⇒ 2log 06.1log 1010=⋅x ⇒06.1log 2log 1010=x ； ∴06.1log 2log 2log 101006.1=猜测：bN N a a b log log log = （0a >且1a ≠，0>b 且1≠b ，0>N ） 五、学习过程： B 问题1、模仿上面证明过程证明换底公式b N N a a b log log log =.特例：a N =时，bb a a a a a b log 1log log log ==； αβa a βlog b =log b α；a logb a =b B 例1、计算下列各式的值：① log log ∙49332； ② 1681log 27log 32；③ 3log 13log 15.132+； ④ 10log 5lg 10log 2lg 550+；⑤37log 4log 37+； ⑥95log 4log 235+.C 例2、已知3log 2a =，b =7log 3，试用a 、b 表示4log 7.C 例3、已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两根为α和β，求(14)α·(14)β的值。
人教A版高中数学必修一全册导学案对数函数
对数函数（1）【自学目标】1.初步理解对数函数的概念2通过观察对数函数的图像，发现并了解对数函数的性质，并在进一步应用函数性质过程中，加深对对数函数性质的理解【知识要点】1.对数函数的概念一般地，x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，它的定义域是),0(+∞2．对数函数与指数函数的关系x y a log =的定义域和值域分别是函数x a y =的值域和定义域，它们互为反函数3．对数函数的图像与性质（图略）【预习自测】例1． 求下列函数的定义域（1）)4(log 2.0x y -= （2）1log -=x y a )10(≠>a a 且例2． 利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小（1）4.3log 2，8.3log 2 （2）8.1log 5.0，1.2log 5.0 （3）5log 7，7log 6【课堂练习】1.（1）求函数)1(log -=x y a )10(≠>a a 且的定义域（2）求函数)78lg(2-+-=x x y 的定义域2.比较下列三数的大小（1）8.0log 3，8.0log 4，8.0log 5（2）9.01.1，9.0log 1.1，8.0log 7.0【归纳反思】1. 理解对数函数的概念,应特别重视真数与底数的取值范围;2. 对数函数与指数函数互为反函数,它们的定义域与值域互换;3. 利用对数函数性质比较大小是一类常见题型,学习中要注意对不同的方法进行归类和体会.【巩固反思】1． 已知10<<a ，10<<b ，且1)3(log <-x b a，则x 的取值范围是________ 2． 若132log )3(<+a ，则a 的取值范围是________ 3． 求函数)32(log )5(-=-x y x 的定义域4． 已知m x <<1，设x a m 2log =，2log x b m =，)(log log x c m m =，试比较a 、b 、c 的大小5． 已知y x y x lg lg )2lg(2+=-，求y x 的值。
2019-2020学年新人教A版必修一 对数函数 教案
2019-2020学年新人教A 版必修一 对数函数 教案版块一：对数的定义和相关概念（一）知识内容<教师备案>在指数函数x y a =中，对于每个y +∈R ，存在唯一的x 与之对应，幂指数x 叫做以a 为底的y 的对数，这样从y 到x 的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？1．对数：一般地，如果x a y =(0a >，且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作log a x y =，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数．对数恒等式及对数的性质，对数log (0,1)a N a a >≠满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵1的对数是零，即log 10a =； ⑶底的对数等于1，即log 1a a =．2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ． 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数 2.71828e =为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为ln N ．4．对数与指数间的关系：当0,1a a >≠时，log x a a N x N =⇔=． 5．指数和对数的互化：log b a a N N b =⇔=．log a N a N =，log N a a N =版块二：对数的运算性质和法则知识精讲（一）知识内容1．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈⑷1log log a a N n=（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）<教师备案>以性质⑴为例进行证明如下：已知log a M ，log a N （M 、0N >），求log ()a MN设log a M p =，log a N q =，根据对数的定义，可得p M a =，q N a = 由p q MN a a =⋅p q a +=∴log ()log log a a a MN p q M N =+=+2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） <教师备案>证明：法一：根据指数的运算性质推导 设log b N x =，则x b N =．两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =， 所以log log a a N x b =，即log log log a b a NN b=． 法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：log log log log ()log b N b a a a N b b N ⋅==， 所以有log log log a b a NN b=． 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．<教师备案>常见错误：log ()log log a a a M N M N ±=±；log ()log log a a a MN M N =⋅；log log log a aa MM N N=．3．关于对数的恒等式①log a N a N =②log n a a n =③1log log a b b a =④log log n n a a M M =⑤log log log log a b a b M M N N=版块三：对数函数1．对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R ．2．对数函数的图象和性质：一般地，对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质如下表所示：01a <<1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R性质⑴过定点(1,0)，即1x =时，0y =⑵在(0,)+∞上是减函数； （2）在(0,)+∞上是增函数．<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照．如：指数函数的值域(0,)+∞，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等．【例1】 计算：26666[(1log 3)log 2log 18]log 4-+⋅÷ 【解析】 1；<教师备案>计算的前提是化简，运用对数的运算性质时，各部分变形要化到最简形式，同时注意分子和分母的联系【例2】 计算：24892(log 3log 9log 27...log 3)log 32()n n n n *++++⋅∈N例题精讲y=log a x (0<a <1)O 1yx y=log a x (a >1)O 1yx【解析】 52；【例3】 计算：lg 0.5lg30153⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【解析】 从对数的定义和对数的运算性质出发，结合对数恒等式可求设lg30lg0.515()3x ⋅=，则lg30lg0.511lg lg[5()]lg30lg5lg lg0.533x =⋅=⋅+⋅(1l g 3)l g 5l g 3(l g 51)l g 5=+--=+= 所以，15x =，即lg30lg0.515()153⋅=【例4】 （04-北京-模拟）已知18log 9a =，185b =． 用,a b 表示36log 45 【解析】 ∵ 18log 9a =，18log 5b =∴1818181818361818181818log 45log 9log 5log 9log 5log 4518log 36log 18log 22log 18log 9a ba+++====+-+【备选】 解方程： 2(lg )lg 10100x x x ⋅=【解析】 两边同时取对数：2(lg )lg lg lg100x x x +⋅= 22(l g )2x= ∴lg 1x =± ∴10x =或0.1x =<教师备案>将此题变为 “2(lg )lg 1020x x x +=”让学生思考作答，观察2(lg )lg 2lg10lg (lg )x x x x ==2(l g )l gl gl g102201010x x x x x xxx ⇒=⇒=⇒=⇒=或0.1x =【例5】 已知6lg lg A p q =+，其中,p q 为素数，且满足29q p -=，求证：34A << 【解析】 由于,p q 为素数，其差29q p -=为奇数，∴2,31p q ==6lg lg lg1984A p q =+=，1000198410000<< 故34A <<【备选】 （2004-3121log 202x +>的解集为_______【解析】 原不等式等价于223331log 0222log 1000x x x x -++>⎪-⎨⎪>⎪>⎪⎩≥t =，则有23122t t t ⎧-+>⎪⎨⎪≥⎩ 解得01t <≤ ，即20log 11x -<≤ ∴24x <≤板块二：对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，底数大于０且不等于１，真数为正．根据对数的性质可知：当底数和真数同在)1,0( 上或),1(∞+ 上时，对数为正；当真数为１时，对数为０；当底数和真数一个在)1,0( 上另一个在),1(∞+ 上时，对数为负．这在对数的大小和比较中有重要应用．2．理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于x y =对称，单调性一致． 3．对数函数恒过点)0,1( ，要注意这个条件的灵活应用．即这个点是与底数a 无关的，不随a 的变化而变化．例如，函数1)2(lo g 2-+-=x x y a 0(>a 且)1≠a 恒过一定点，则该点的坐标为 ．我们知道01log =a ，这是与a 无关的一个等式，于是12=-x 则3=x ，从而8132=-=y ，故定点为)8,3( 4．掌握对数函数性质，在1>a 时，函数为增函数；在10<<a 时，函数减函数． 5．掌握对数函数图象的性质，在第一象限，沿着逆时针方向，a 逐渐变小．6．在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法（利用实数的性质），注意结合第1、第4、第五点进行大小比较时的灵活应用．7．形如)(log 2b ax x y a ++=的函数定义域为R 或值域为R 时的等价转换．【备选】 已知函数log ()x a y a a =-，其中1a >，求它的定义域和值域． 【解析】 0x x a a a a ->⇒<，又1,x a a >是增函数，1x ∴<∵x a a <，且0x a >，∴x a a a -<，log ()1x a a a ∴-<∴函数log ()x a y a a =-的定义域与值域分别是{|1}x x <，{|1}y y <<教师备案>求函数定义域、值域是一个复杂的问题，一定要引起足够的重视，求定义域时，观察、思考问题要全面，把限制条件要摆全、勿遗漏，对数函数的底、真数的允许值范围要记熟；求函数值域时，千万不要忘记函数的定义域．【例6】 已知5log 5log n m >，试确定m 和n 的关系．【解析】 这是一个真数相同底数不同的比较大小问题，应分各种情况予以讨论．令5log 1m y =，5log 2n y =，由于5log 5log n m >，它的函数图象可能有如下三种情况，如图在图⑴中n m <<1，在图⑵中10<<<n m ，在图⑶中1>m ，10<<n ．<教师备案>这类题型应数形结合，充分利用函数图象的直观性．【例7】 设10<<x ，0>a 且1≠a ，试比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a +的大小． 【解析】 这是一道典型的比较大小的题目，其中a 与1的大小未确定，对数双在绝对值内，这就增加了解题的难度和解法的灵活性，此题解法较多．下面主要介绍作差法，平方法和作比法．解法1 作差法：∵10<<x ，∴211<+<x ，110<-<x ， 当10<<a 时，0)1(log >-x a ，0)1(log <+x a ， ∴)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a ++-=+-- )1(log )]1)(1[(log 2x x x a a -=+-=． ∵10<<x ， ∴1102<-<x ． 故0)1(log 2>-x a ． 因此 |)1(log ||)1(log |x x a a +>-．当1>a 时，0)1(log <-x a ，0)1(log >+x a ，∴)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a +---=+-- 0)1(log )]1)(1[(log 2>--=+--=x x x a a ． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．综上所述，当10<<x ，0>a 且1≠a 时，总有|)1(log ||)1(log |x x a a +>-． 解法2平方法：∵)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |2222x x x x a a a a +--=+--)]1(log )1()][log 1(log )1([log x x x x a a a a ++-+--=)1(log 11log 2x xxa a-⋅+-= ∵10<<x ，∴1102<-<x ，10 1.1xx-<<+ 对于任意0>a 且1≠a ，)1(log 2x a -总与xxa +-11log 同号． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．解法3 作比法： ∵10<<x ，211<+<x ，110<-<x ，xx x x x x x x a a -=--=-=+-+++11log )1(log |)1(log ||)1(log ||)1(log |1111)1(log 11log 121=+>-+=++x xxx x． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．<教师备案>对于此题尽管同样是作差法、作比法，但过程却可千变万化，各具特色，巧妙之处常在某些“灵活”的处理上．如解析3中判断(1)1log 1x x+-与1的大小关系，处理得比较巧妙，避免了一系列的讨论．【例8】 设01a <<，,x y 满足：log 3log log 3a x x x a y +-=，如果y，求此时a 和x 的值．【解析】 由已知条件得22log 333log 3log log 3log 3(log )log log 24a a a a a a a a y x y x x x x x +-=⇒=-+=-+当3log 2a x =时，log a y 有最小值34∵01a << ∴y 有最大值34a ．依题意得33334224112()()24a -===∴14a =，此时332211()48x a ===．【例9】 当a为何值时，不等式215log 1)log (6)log 30a ax ax ⋅+++≥有且只有一解【解析】 易知：0a >且1a ≠，设25u x a x =++，原不等式可化为3533log 1)1log (1)0log log u a a⋅++-≥⑴ 当01a <<时，原不等式为35log 1)log (1)1u ⋅+≥ ⑴由于当0u ≥时，3log 1)与5log (1)u +均为单调增函数，所以它们的乘积35()log 1)log (1)f u u =+⋅+也是单增函数因为35(4)log (21)log (41)1f =+⋅+=所以⑴等价于4u ≥，即254x ax ++≥此不等式有无穷多解 ⑵当1a >时，不等式化为35log 1)log (1)1u ⋅+≤⑵ 由(4)1f =知，⑵等价于04u ≤≤，即2054x ax ++≤≤从上式可知，只有当254x ax ++=有唯一解即240a ∆=-=时，不等式2054x a x ++≤≤有唯一解1x =-综上所述，当2a =时原不等式有且只有一个解．【备选】 （00-京皖春季-理T21）设函数()|lg |f x x =，若0a b <<，且()()f a f b >，证明：1ab <【解析】 证法一：由已知 lg ,[1,)()|lg |lg ,(0,1)x x f x x x x ∈+∞⎧==⎨-∈⎩∵0,()()a b f a f b <<> ∴,a b 不能同时在区间[1,)+∞上． 又由于0a b <<，故必有(0,1)a ∈若(0,1)b ∈，显然有1ab <． 若[1,)b ∈+∞，由()()0f a f b -> 有lg lg 0a b -->，故lg 0ab < 1ab ∴<证法二：有题设()()f a f b >，即|lg ||lg |a b >，上式等价于22(lg )(lg )a b >(lg lg )(lg lg )0a b a b +->，lg()lg0aab b> 由已知0b a >>，1a b ∴< l g 0ab∴<，lg()0,01ab ab ∴<<<【备选】 设124()min(3log ,log )f x x x =+，其中min(,)p q 表示p 、q 中的较小者，求()f x 的最大值【解析】 易知()f x 的定义域为(0,)+∞因为1143log y x =+在(0,)+∞上是减函数，22log y x =在(0,)+∞上是增函数，而当12y y =，即1243log log x x +=时，4x =，所以由1143log y x =+和22log y x =的图象可知1423log ()log x f x x+⎧⎪=⎨⎪⎩ (4)(04)x x <<≥ 故当4x =时，得()f x 的最大值是2另解：1241()3log 3log 2f x x x =+=-⑴2()log f x x = ⑵⑴×2+⑵消去2log x ，得()2f x = 又(4)2f =，故()f x 的最大值为2板块三：指数函数与对数函数<教师备案>1． 复习指数函数、对数函数的概念2． 反函数的概念：一般地，函数()y f x =中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =可得()x y φ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过()x y φ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y φ=就表示x 是自变量y 的函数． 这样的函数()x y φ=，y C ∈叫函数()y f x =的反函数，记作：1()x f y -=． 习惯上，用x 表示自变量，y 表示函数，因此()y f x =的反函数1()x f y -=2y x =通常改写成：1()y f x -=注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如等均无反函数② ()y f x =与1()y f x -=互为反函数③()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的值域、定义域3． 奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数()y f x =是增（减）函数，则其反函数1()y f x -=是增（减）函数． 4． 求反函数的步骤：由()y f x =解出1()x f y -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换,x y ，得1()y f x -=；根据()y f x =的值域，写出1()y f x -=的定义域．【备选】 求下列函数的反函数：①31()y x x =-∈R ； ②31()y x x =+∈R ；③1(0)y x =+≥； ④23(,1)1x y x x x +=∈≠-R 【解析】 略．【铺垫】函数2()log 2f x x =-，则1()f x -的定义域是（ ） A ．R B ． [)2,-+∞ C ．[)1,+∞ D ．()0,1 【解析】 A ;即函数2()log 2f x x =-的值域．【例10】 求函数11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数．【解析】 ∵ 12111x e y x x e e +==+--，∴211x e y =+-， 即11x y e y +=-，∴1ln 1y x y +=-，∵0x >,∴1x e >．∴2111x y e =+>－． ∴11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数为1ln 1x y x +=-()1x >．【例11】 已知函数21()21x f x x ⎧-=⎨-⎩，求它的反函数.【解析】1()12f x x -=⎨+⎪⎩ 11x x -<-≥<教师备案>分段函数的反函数仍是分段函数，在求其反函数时，要在每一段上分别求出它的反函数，然后分段写出，要特别注意定义域的限制作用．【例12】 已知xa x f =)(，x x gb log )(-=，且0lg lg =+b a ，1≠a ，1≠b ．则)(x f y =与)(x g y =的图象 （ ）A ．关于直线0=+y x 对称；B ．关于直线0=-y x 对称；C ．关于y 轴对称；D ．关于原点对称．【解析】 此题可以采用的方法有：①分情况讨论a 和b ；②给a 和b 赋特殊值；③求出两个函数的解析式．下面给出③的解析过程． 由0lg lg =+b a 得1=ab ，∴x x x x g a a b log log log )(1=-=-=-．∴)(x f y =与)(x g y =的图象关于直线0=-y x 对称，故选B ．<教师备案>由0lg lg =+b a 去掉a 或者b ，再进行比较，关于直线0=+y x 对称的两点坐标为(,)x y ，),(x y -- ；关于直线0=-y x 对称的两点坐标为(,)x y 和(,)y x ．【备选】 （04-全国-理15）已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()31x f x =-，设()f x 的反函数是()yg x =，则(8)g -=【解析】 由奇函数得当0x <时，()31x f x --=-+即31()31xx f x -⎧-⎪=⎨-+⎪⎩00x x <≥又由()y f x =与()y g x =互为反函数，可知求(8)g -即求()8f x =-时的x ． 由()31x f x =-(0)x ≥知值域为[0,)+∞ 由()31x f x -=--(0)x <知值域为(,0]-∞故(8)g -即为求318x ---=-，2x ∴=-，即(8)2g -=-【备选】 已知实数0,1a a ≠≠，函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠ 求证：函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a ≠的图象关于直线y x =成轴对称图形． 【解析】 要证明函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠的图象关于直线y x =成轴对称图形，只要证明该函数的反函数是其自身，即该函数与它的反函数是同一个函数．由1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠，得(1)1y ax x -=- (1)1a y x y ∴-=-若10ay -=，则1y a=，代入11x y ax -=-，得111x a ax -=-从而1ax a ax -=-1a ∴=，与已知矛盾，故10ay -≠ 于是，由(1)1ay x y -=-，得11()1y x y ay a -=≠-（1y a≠可通过变量分离法直接得到）∴函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a ≠的反函数为1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠，即为自身故函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠的图象关于直线y x =成轴对称图形【例13】 设,a b 分别是方程2log 30x x +-=和230x x +-=的根，求a b +及2log 2b a + 【解析】 在直角坐标系内分别作出函数2x y =和2log y x =的图象，再作直线y x =和3y x =-+，由于2x y =和2log y x =互为反函数，故它们的图象关于直线y x =对称，方程2log 30x x +-=的根a 就是直线3y x =-+与对数曲线2log y x =的交点A 的横坐标，方程230x x +-=的根b 就是直线3y x =-+与指数曲线2x y =的交点B 的横坐标设3y x =-+与y x =的交点为M ，则点M 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以23M a b x +== 2log 223b M a y +==习题1. 已知()2x f x =，则方程11(1)()1f x f x ---+=的解集为_________． 【解析】 12()log f x x -=，所以方程11(1)()1f x f x ---+=，即22log (1)log 1x x -+=，即(1)2x x -=，解得2x =或1x =-．又0x >，故2x =．习题2. 已知函数()3x f x =，且1(18)2f a -=+，()34ax x g x =-．家庭作业⑴求a 的值；⑵求()g x 的表达式；⑶当[1,1]x ∈-时，()g x 的值域并判断()g x 的单调性． 【解析】 ⑴13()log f x x -=，3log 182a =+，3log 2a ∴=⑵3log 2()(3)4(3)424a x x x x x x g x =-=-=-⑶令2x u =，∵11x -≤≤，则122u ≤≤，2211()()()24g x u u u u φ==-=--+当12u =时，max 1()4u φ=；当2u =时，min ()2u φ=－．∴()g x 的值域为1[2,]4-当11x -≤≤时，122u ≤≤，()u φ为减函数，而2x u =为增函数．∴ ()g x 在[1,1]-上为减函数．习题3.【解析】 32-习题4. 已知,,x y z R +∈，346x y z ==（1）求证：1112z x y-=；（2）比较3,4,6x y z 的大小；【解析】 设346x y z t ===，由0,x >知1t >故取以t 为底的对数，可得 l o g 3l o g 4l o gt t tx y z === 1l o g 3t x ∴=，1log 4t y =，1log 6t z = ⑴易证：1112z x y-=⑵64lg8134lg 0lg3lg 4x y t -=⋅<⋅ 34x y ∴< 又2lg 46(lg36lg64)0lg 4lg6ty z -=-<⋅46y z ∴< 346x y z∴<<习题5. 已知)(log )(x a a a x f -=)1(>a ，⑴求)(x f 的定义域和值域； ⑵判断函数的单调性并证明；⑶解不等12(2)()f x f x -->【解析】 ⑴(),1-∞，(),1-∞ ；⑵减函数；⑶11x -<<习题6. 如图曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a的取值431,,3510，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是 ．【解析】 C 1，C 2，C 3，C 4的a431,,3510．习题7. 设0,1,(),()x x x x a a f x a a g x a a -->≠=-=+且()()4,()()8f x f y g x g y ==．求,x y 的值【解析】 2222222211(2)(2)1611(2)(2)64x yx y x y x y a a a a a a a a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩令222211,x yx ym a n a a a =+=+解得6m n ==，即log 1)a x y ==习题8. 设}1,0{ =M ，}2lg 11{a a a N a，， ， -=，是否存在a 的值，使}1{=N M ． 【解析】 不存在a 的值，使}1{=N M1. 解方程：2lg [lg ]20x x --= （其中[]x 表示不大于实数x 的最大整数） 【解析】 由[]x 的定义知，[]x x ≤，故原方程可变为不等式：2lg lg 20x x --≤即1lg 2x -≤≤月测备选当1lg 0x -<≤时，[lg ]1x =-，于是原方程为2lg 1x =，lg 1x =-，110x =当0lg 1x <≤时，[lg ]0x =，原方程为2lg 2x =，lg x =均不符合[lg ]0x = 当1lg 2x <≤时，[lg ]1x =，原方程为2lg 3x =，所以lg x =，x =当lg 2x =时，100x = 所以原方程的解为1110x =，2x =，3100x =2. 方程x x 3)3(log 2=+有多少个实数根．【解析】 可用数形结合的办法，作出函数2log (3)y x =+及3x y =的图象，如图可知，两交点A 、B 的横坐标即为原方程的解，故个数为2个．3. 设]1)(2[log 225.0+-+=x x x b ab a y ，a ，b 都是正实数，求使y 取负值时x 的取值范围．【解析】 依据01log =a ，当)1,0( ∈a ，1>t ，0log <=t y a ，将对数式转化为指数不等式；再将指数式转化为一元二次不等式来求解．要使0<y ，须使11)(222>+-+x x x b ab a ，即 0)(222>-+x x x b ab a ． 又因a 、b 均为正数，两边同除以x b 2，则01)(2)(2>-+x x ba b a．由ab +∈R ，所以12)(->x ba ．若0>>b a ，则1>b a，)),12((log ∞+-∈ b a x ． 若0>=b a ，则1=ba，不等式恒成立．所以x ∈R ． <教师备案>通常对于较复杂的对数，指数运算，一方面要注意互化，另一方面还要注意等价转化，对含有字母的式子，要注意对底数的讨论．4. 设0,1,(),()x x x x a a f x a a g x a a -->≠=-=+且()()4,()()8f x f y g x g y ==．求,x y 的值．【解析】 2222222211(2)(2)1611(2)(2)64x yx y x y x y a a a a a a a a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩令222211,x yx ym a n a a a=+=+解得6m n == ，即log 1)a x y ==5. 设函数21()2ax y f x x b+==-的图象关于直线y x =对称，求,a b 应满足的条件． 【解析】 由已知得，函数21()2ax y f x x b+==-的反函数就是它自身，可以利用系数对应相等，或给x 附值法． 比较系数得2b a =，此即,a b 所满足的关系．6. 已知0a >且1a ≠，试求使方程22)log ()ax ak x a -=-有解的k 的取值范围【解析】 原方程即log ()log a a x ak -= 即0x ak <-<分别解关于xa 的不等式、方程得：212x k k a k +<= （0k ≠时）所以212k k k+<，解得1k <-或01k <<又当0k =时，代入原式可推出0a =与已知矛盾，故k 的取值范围为(,1)(0,1)-∞-。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)对数函数及其性质(解析版)
第17讲对数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型；2．会求简单的对数型函数的定义域；3．会用描点法画出对数函数的简图；4．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.知识点1对数函数的概念1、对数函数的概念：函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、判断一个函数是对数函数的依据（1）形如log a y x =，且系数为1；（2）底数a 满足0a >，且1a ≠；（3）真数是x 而不是x 的函数；（4）整体只有一项；（5）定义域为()0,∞+．例如，2log (1)y x =+，22log y x =都不是对数函数，可称为对数型函数．3、两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =．（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =．知识点2对数函数及其性质1、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数2、底数a 对函数图象的影响（1）底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；（2）函数log a y x =与1log ayx=（0a >，且1a ≠）的图象关于x 轴对称；（3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论1a >还是01a <<，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．知识点3反函数1、反函数的定义一般地，函数()()y f x x A =∈，设它的值域为C ，根据这个函数中,x y 的关系，用y 把x 表示出来，得到()x g y =．如果y 在C 中的任何取值，通过()x g y =，x 在A 中都有唯一值和它对应，则()x g y =就表示x 是关于自变量y 的函数．这样的函数()()x g y y C =∈叫做()()y f x x A =∈的反函数，记作1()y f x -=．例如，对数函数log a y x =(0a >,且1a ≠)是指数函数x y a =(0a >,且1a ≠)的反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称；（2）若函数()y f x =的图象上有一点(,)a b ，则点(,)b a 必在其反函数的图象上，反之也成立；（3）互为反函数的两个函数的单调性相同；（4）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；（5）单调函数必有反函数．考点一：对数函数的概念辨析例1．（22-23高一上·云南曲靖·月考）下列函数是对数函数的是（）A ．ln y x =B ．22log y x=C ．log 9ax y =D ．2log 2022y x =-【答案】A【解析】形如()log 0,1a y x a a =≠＞的函数叫作对数函数，它的定义域是()0,∞+，对于A ，e ln log y x x ==满足，故A 正确；对于B ，C ，D ，形式均不正确，均错误.故选：A【变式1-1】（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【答案】D【解析】因为函数log a y x =(0a >且1a ≠)为对数函数，所以ABC 均为对数型复合函数，而D 是底数为自然常数的对数函数.故选：D.【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（）A ．12log ()y x =-B ．42log (1)y x =-C ．ln y x=D ．2()log a a y x+=【答案】C【解析】函数12log ()y x =-，42log (1)y x =-的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB 不是；函数ln y x =是对数函数，C 是；函数2()log a a y x +=的底数含有参数a ，而a 的值不能保证2a a +是不等于1的正数，D 不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·全国·课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）A ．()12log y x =-B ．24log y x=C ．ln y x=D ．()22log a a y x ++=（a 是常数）【答案】CD【解析】对于A ，真数是x -，故A 不是对数函数；对于B ，242log log y x x ==，真数是x ，不是x ，故B 不是对数函数；对于C ，ln x 的系数为1，真数是x ，故C 是对数函数；对于D ，底数22172124a a a ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭+，真数是x ，故D 是对数函数．故选：CD考点二：对数函数过定点问题例2.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数()()log 43a f x x =-（0a >且1a ≠）的图象所过的定点为（）A ．()1,0B ．3,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,1D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数()()log 43a f x x =-（0a >且1a ≠），令431x -=，解得1x =，则()log 110a f ==，所以()f x 的图象所过的定点为()1,0.故选：A.【变式2-1】（23-24高一下·甘肃威武·开学考试）函数()log (23)5a f x x =-+（0a >，1a ≠）的图象过定点A ，则A 的坐标为（）A ．(1,0)B ．(1,5)C ．(2,5)D ．(2,6)【答案】C【解析】令231x -=，则2x =，此时()log 155a f x =+=，故定点A 的坐标为(2,5).故选：C【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过的定点是（）A ．()1,2B ．()1,3C ．()2,2D ．()0,2【答案】B【解析】当1x =时，()log a f x x =恒等于0，()1x g x a -=恒等于1，故1log 2x a y x a-=++恒等于0123++=，所以1log 2x a y x a -=++的图象恒过的定点是()1,3.故选：B【变式2-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知曲线log (2)1a y x =-+（0a >且1a ≠）过定点(,)s t ，若m n s t +=-且0m >，0n >，则91m n+的最小值为（）A ．16B ．10C ．8D ．4【答案】C【解析】对于log (2)1a y x =-+，令21x -=，即3x =，则1y =，即曲线log (2)1a y x =-+（0a >且1a ≠）过定点(3,1)，即3,1s t ==，故2m n +=，又0m >，0n >，则91191191()()(10(108222n m m n m n m n m n +=++=++≥⨯+=，当且仅当9n m m n=，结合2m n +=，即31,22m n ==时等号成立，故选：C考点三：与对数函数有关的函数图象例3.（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数()lg 1y x =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()lg 10y x =+≥，故排除D ；当0x =时，()00lg 1y =+=，故排除BC ；结合对数函数的性质可知A 正确.故选：A.【变式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·月考）已知0a >且1a ≠，则函数()log 1a y x =+与1(1xy a=+在同一直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】结合()log 1a y x =+与1()1xy a=+可知，两函数单调性一定相反，排除选项A ；因为()log 1a y x =+恒过定点()0,0，1()1xy a=+恒过定点()0,2，排除选项B ，D ．故选：C ．【变式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数()(1),()log a f x a x g x x =-=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()(1),()log a f x a x g x x =-=，由对数函数可知，0a >且1a ≠，当01a <<时，()(1)f x a x =-为过原点的减函数，()log a g x x =为减函数，则B 错误，D 正确；当1a >时，()(1)f x a x =-为过原点的增函数，()log a g x x =为增函数，则A 错误，C 错误；故选：D.【变式3-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数①y ＝log ax ；②y ＝log bx ；③y ＝log cx ；④y ＝log dx 的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A ．a ＋c ＜b ＋aB ．a ＋d ＜b ＋cC ．b ＋c ＜a ＋dD ．b ＋d ＜a ＋c【答案】A【解析】由已知可得b ＞a ＞1＞d ＞c ，则a ＋b ＞a ＋c ，b ＋d ＞a ＋c ，故A 正确，D 错误；又a ＋d 与b ＋c 的大小不确定，故B ，C 错误．故选A.考点四：对数型复合函数的定义域例4.（23-24高一上·四川广安·期末）函数()1lg 12x x -+-的定义域为（）A ．(1,)+∞B ．[)(1,22),⋃+∞C ．(0,2)(2,)⋃+∞D ．(1,2)(2,)⋃+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >，且2x ≠.故函数()f x =()1lg 12x x -+-的定义域为(1,2)(2,)⋃+∞.故选：D.【变式4-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）函数2lg(21)()1x f x x -=-的定义域为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由2lg(21)()1x f x x -=-，则221010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得12x >且1x ≠，即其定义域为()1,11,2∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.故选：D ．【变式4-2】（23-24高一下·河南·开学考试）函数()log x f x -=的定义域为（）A ．{1xx >∣且2}x ≠B ．{12}xx <<∣C ．{2}xx >∣D ．{}1x x ≠∣【答案】C【解析】由题得21011320x x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪-+>⎩，解得2x >，即函数()f x 的定义域为{2}xx >∣.故选：C 【变式4-3】（23-24高一上·湖北·期末）函数y =的定义域为（）A ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．53,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】由题意可得()0.5log 450x -≥，∴0451x <-≤，∴5342x <≤，即y =53,42⎛⎤⎥⎝⎦，故选：B 考点五：对数型复合函数的单调性例5.（23-24高一上··期末）函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x +->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·月考）函数()()lg 4f x x =-的单调递增区间为（）A ．()4,0-B ．(),0∞-C ．()0,4D ．()0,∞+【答案】A【解析】对于函数()()lg 4f x x =-，令40x ->，即4x <，解得44x -<<，所以函数的定义域为()4,4-，又4,044,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨+<⎩，所以4y x =-在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增，函数lg y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以()()lg 4f x x =-的单调递增区间为()4,0-，单调递减区间为()0,4.故选：A【变式5-2】（22-23高一下·湖南长沙·期末）已知()()212log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a的取值范围是（）A ．(],4∞-B ．(]4,4-C ．()0,2D ．(]0,4【答案】B【解析】设()23x x a g ax -+=，因为函数()()212log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是减函数，可得()23x x a g ax -+=在[)+∞上是增函数，故有对称轴22ax =≤，即4a ≤，且()24230g a a =-+>，解得44a -<≤，即实数a 的范围是(]4,4-.故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数log 1,1()(4),1a x x f x a x x +≥⎧=⎨-<⎩是R 上的单调递增函数，则a的取值范围是（）A ．[2,4)B ．[3,4)C ．(1,2]D ．(1,3]【答案】B【解析】由题意可知()f x 是R 上的单调递增函数，则1404log 11a a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤+⎩，解得34a ≤<．故选：B.考点六：对数型函数有关的值域例6.（23-24高三上·陕西汉中·月考）已知()()24216log log f x x x =⋅，1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为（）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．[]0,1D ．[]3,0-【答案】A【解析】令2log x t =，则[]1,3t ∈-，又24442216log log 16log 2log 2x x t x=-=-=-，所以原函数可变为()2y t t =-=-()211t -+，[]1,3t ∈-，所以max 1y =，min 3y =-，所以()f x 的值域为[]3,1-.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数()()22log log 88x f x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的值域为（）A ．[]9,0-B ．[)9,-+∞C ．(],9-∞-D ．[]12,0-【答案】B【解析】()()()()2222log 3log 3log 9f x x x x =-+=-．故()f x 的值域为[)9,-+∞．故选：B ．【变式6-2】（22-23高一下·云南保山·月考）函数()()2lg 2f x x x m =++的值域为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．m 1≥C ．1m ≤D ．m ∈R【答案】C【解析】因为函数()()2lg 2f x x x m =++的值域为R ，所以，()0,∞+为函数22y x x m =++的值域的子集，所以，440m ∆=-≥，解得1m £.故选：C.【变式6-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知函数()2log 42x xy a a =-⋅+的值域为R ，则实数a 的取值范围是．【答案】(,0][4,)-∞+∞ 【解析】由函数()2log 42x xy a a =-⋅+，令()42x x f x a a =-⋅+，令20x t =>，可得()2g t t a t a =-⋅+，要使得函数()2log 42x xy a a =-⋅+的值域为R ，则()2,0g t t a t a t =-⋅+>的值域能取遍一切正实数，当0a >时，则满足2()40a a ∆=--≥，解得4a ≥；当0a =时，可得()20g t t =≥，符合题意；当a<0时，则满足()00g a =<，此时函数()g t 的值域能取遍一切正实数，符合题意，综上可得，实数a 的取值范围为(,0][4,)-∞+∞ .故答案为：(,0][4,)-∞+∞ .考点七：利用单调性比较大小例7.（23-24高一下·湖北·月考）已知32a -=，2log 3b =，4log 6c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c<a<b【答案】B【解析】因为24222log 61log 6log 6log log 42c ====3所以根据对数函数的单调性可知1c b <<，又因为321a -=<，所以a c b <<，故选：B【变式7-1】（23-24高一下·河南开封·月考）已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A【变式7-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知6log 2a =，0.6log 0.2b =，0.20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．a c b <<B ．a b c<<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】A【解析】因为0.6log y x =在定义域()0,∞+内单调递减，可得0.60.6log 0.2log 0.61>=，即1b >；且6log y x =在定义域()0,∞+内单调递增，可得66610log 1log 2log 2=<<=，即102a <<；又因为00.20.30.31110.60.60.60.50.52=>>>>=，即112c <<；所以a c b <<.故选：A【变式7-3】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>【答案】C【解析】22243ln 2ln 4ln 3ln 3ln 2ln 3ln 2ln 42log 3log 20ln 4ln 3ln 3ln 4ln 3ln 4b a +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=-=>=22254ln 3ln 5ln 4ln 4ln 3ln 4ln 3ln 52log 4log 30ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4c b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=-=>=所以c b a >>.故选：C.考点八：利用单调性解对数不等式例8.不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】()3log 212x -≤= 3log 9，0219x ∴<-≤，15.2x ∴<≤∴不等式()3log 212x -≤的解集为1,52⎛⎤⎥⎝⎦．故选：B【变式8-1】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知()()44log 3log 1x x <+，则x 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为4log y x =在定义域()0,∞+内单调递增，若()()44log 3log 1x x <+，则031<<+x x ，解得102x <<，所以x 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.【变式8-2】（23-24高一上·四川内江·月考）设函数()()2lg 1f x x =+，则使得()()211f x f x ->+成立的x的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()(),02,-∞+∞ 【答案】D【解析】因为()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，因为()()211f x f x ->+，所以22211x x ->+，即2241412x x x x +->++，所以2360x x ->，所以0x <或2x >故选：D.【变式8-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知不等式()2log 21log (3)0x x x x +<<成立，则实数x 的取值范围（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1x >时，不等式即为202131x x <+<<，由22103x x -+<解得112x <<，又1x >，所以x ∈∅；当01x <<时，不等式即为22131x x +>>，由22310x x -+>解得12x <或1x >；又13x >，所以1132x <<.综上，实数x 的取值范围为11,32⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.考点九：对数型函数的奇偶性例9.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）函数2()lg(1)1f x x =-+的图象关于（）对称.A ．直线y =xB ．原点C ．x 轴D ．y 轴【答案】B 【解析】21()lg(1)lg 11xf x x x -=-=++，令101x x->+得11x -<<，故2()lg(1)1f x x =-+的定义域为()1,1-，关于原点对称，又1111()()lglg lg(lg101111x x x xf x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-，故()()f x f x -=-.该函数为奇函数，关于原点对称.故选：B【变式9-1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数()()lg22a xf x x x-=≠-+是定义在(),b b -的奇函数，则b a 的取值范围为（）A ．(]0,4B ．()0,4C ．(]1,4D ．()1,4【答案】C【解析】函数()()lg22a xf x x x-=≠-+是定义在(),b b -的奇函数，则有()0lg 02af ==，解得2a =，即()2lg2x f x x-=+，()f x 有意义，202xx ->+，解得22x -<<，所以有02b <≤，此时()()1222lg lg lg222x x xf x f x x x x-+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭，满足在(),b b -上为奇函数，由02b <≤，所以(]21,4b ba =∈.故选：C.【变式9-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数()()()22log 3log 3f x x x =++-.(1)求()f x 的定义域；(2)求证：函数()f x 为偶函数；(3)求f的值.【答案】(1)()3,3-；(2)证明见解析；(3)1【解析】（1）由()()()22log 3log 3f x x x =++-，则有3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-；（2）因为()f x 的定义域为()3,3-，又()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数；（3）(((2222log 3log 3log 33log 21f⎡⎤=+===⎣⎦.【变式9-3】（23-24高一上·陕西安康·期末）已知函数()2log 1x af x x+=-（a 为常数）是奇函数.(1)求a 的值与函数()f x 的定义域；(2)若2()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1a =，函数的定义域为()1,1-；(2)[)1,+∞【解析】（1）因为函数()2log 1x af x x+=-（a 为常数）是奇函数，所以()()f x f x -=-，则22log log 11x a x ax x-++=-+-，即22log log 011x a x a x x -+++=+-，所以111x a x ax x-++⋅=+-，即21a =，解得1a =±，当1a =时()21log 1x f x x+=-，则令101x x +>-，解得11x -<<，即函数的定义域为()1,1-，且()()1222111log log log 111x x x f x f x x x x--+++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 为奇函数，符合题意，当1a =-时()()2211log log 11x x f x x x---==--函数无意义，故舍去；综上可得1a =，函数的定义域为()1,1-.（2）因为()21log 1x f x x +=-，则()()22221log (1)log log (1)log 11x f x x x x x++-=+-=+-，因为2()log (1)f x x m +-<恒成立，所以()2log 1x m +<对任意的()1,1x ∈-恒成立，又()2log 1y x =+在()1,1-上单调递增，所以()22log 1log 21x +<=，所以m 1≥，即m 的取值范围是[)1,+∞.考点十：反函数及其性质应用例10.（23-24高一上·湖南长沙·期中）若对数函数()f x 经过点()4,2，则它的反函数()g x 的解析式为（）A ．()2xg x =B ．()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()4xg x =D ．()2g x x=【答案】A【解析】设()log a f x x =，函数过()4,2，即()4log 42a f ==，即2a =，()2log f x x =，它的反函数()g x 的解析式为()2xg x =.故选：A【变式10-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y =的反函数是（）A ．()22y x x =+-∞<<+∞B ．()222y x x =+≥C ．()222y x x =+≤D ．()220y x x =+≤【答案】D【解析】∵y =，∴0y ≤，∴y -=22y x =-，∴22x y =+，将x ，y 调换可得，()220y x x =+≤，故函数y =()220y x x =+≤．故选：D ．【变式10-2】（23-24高二上·天津和平·月考）如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a ，b 的值分别为（）A ．13a =，6b =B ．13a =-，6b =C ．3a =，2b =-D ．3a =，6b =【答案】A【解析】因为直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，显然0b ≠，所以函数2y ax =+与函数3y x b =-互为反函数，又因为3y x b =-的反函数为1133y x b =+，所以13123a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即136a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选：A 【变式10-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）设函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()2y x f x =-的图象过点()2,3，则函数()1y f x --的图象一定过点（）A ．()1,1-B ．()3,2C ．()1,0D ．()2,1【答案】A【解析】因为函数()2y x f x =-的图象过点()2,3，所以()2223f -=，解得()21f =，即()y f x =的图象过点()2,1，所以()1y f x -=的图象过点()1,2，()1y f x -=-的图象过点()1,2-，所以()1y f x -的图象过点()1,1-，故选：A一、单选题1．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）函数()()1ln 3f x x x=++的定义域为（）A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．()3,-+∞D ．()()3,00,-⋃+∞【答案】D【解析】因为()()1ln 3f x x x=++，所以030x x ≠⎧⎨+>⎩，解得3x >-且0x ≠，所以()f x 的定义域为()()3,00,-⋃+∞.故选：D.2．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，则a 的值是（）A ．1或2B ．1C ．2D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】∵函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，∴2331a a -+=，0a >且1a ≠，解得1a =或2a =，∴2a =，故选：C ．3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知01a <<，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C．D．【答案】B【解析】由题意若01a <<，则指数函数1xxa y a-=⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递增，并过定点()0,1，函数log a y x =单调递减，并过定点()1,0，而函数log a y x =-与函数log a y x =关于x 轴对称，所以log a y x =-单调递增，并过定点()1,0，对比选项可知，只有B 选项符合题意.故选：B.4．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数()5log f x x =，()g x 是()f x 的反函数，则()()11f g +=（）A ．10B ．8C ．5D ．2【答案】C【解析】因为函数()5log f x x =，()g x 是()f x 的反函数，故()5x g x =，故()()15log 15511f g =++=.故选：C5．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）已知2169log 3,2,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】依题意，1633111log 3log log 31627a ==>=，922111log 2log 9log 38c ==<=，又291log 2log 24c b -=>===，所以,,a b c 的大小关系为a c b >>.故选：A6．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数()()ln 11f x a x ⎡⎤=-+⎣⎦在()2,3上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】易知函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，又函数()f x 在(2,3)上单调递减，所以()10a -<且()1310a -⨯+≥，解得213a ≤<．即实数a 的取值范围为2[,1)3故选：B二、多选题7．（23-24高一上·贵州黔南·月考）关于函数()2()lg 23f x x x =+-，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为()3,1-B ．()f x 的定义域为()(),31,∞∞--⋃+C ．()f x 的单调递增区间为()1,∞-+D ．()f x 的单调递减区间为(),3∞--【答案】BD【解析】由()2()lg 23f x x x =+-，得2230x x +->，解得1x >或3x <-，所以()f x 的定义域为()(),31,∞∞--⋃+，故A 错误，B 正确；令223u x x =+-，其在()1,∞+上单调递增，在(),3∞--上单调递减，又函数lg y u =在定义域内为增函数，所以()f x 的单调递减区间为(),3∞--，单调递增区间为()1,∞+，故C 错误，D 正确.故选：BD.8．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知函数()ln 1ln 1f x x x =+--，则下列有关该函数叙述正确的有（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在()1,1-上单调递增D ．()f x 的值域为()0,∞+【答案】BC【解析】函数()ln 1ln 1f x x x =+--，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，因此()f x 的定义域为()()(),11,11,∞∞--⋃-⋃+，显然()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，函数()f x 是奇函数，A 错误，B 正确；函数()12lnln 111x f x x x +==+--，显然ln y x =在()0,∞+单调递增，当11x -<<时，()2ln 11f x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭，函数211y x =--在()1,1-上单调递增，于是()f x 在()1,1-上单调递增，C 正确；当1x <-或1x >时，()2ln 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，函数211y x =+-在()(),1,1,∞∞--+上单调递减，于是()f x 在()(),1,1,∞∞--+上单调递减，图像如图所示，所以值域为R ，故D 错误.故选:BC ．三、填空题9．（23-24高一·上海·假期作业）函数()()2lg 4f x x x =-+的值域是．【答案】(],2lg 2-∞【解析】由题意得240-+>x x ，即04x <<，所以()f x 的定义域为()0,4，因为24t x x =-+对称轴为2x =，且开口向下，且lg y x =在定义域内单调递增，由复合函数的单调性可知：()f x 在()0,2上单调递增，在()2,4上单调递减，当0x →（或4x →）时，()f x →-∞，当2x =时，()22lg 2f =，所以()(],2lg 2f x ∈-∞，故答案为：(],2lg2-∞．10．（23-24高一上·云南曲靖·月考）函数()log 325a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点.【答案】1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】令321x +=，解得13x =-，又1log 32553ay ⎡⎤⎛⎫=⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()log 325a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭11．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称，则()21g x +的值域为．【答案】(],0-∞【解析】因为函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称，所以()13log g x x =，因此()()22131log 1g x x +=+，因为211x +≥，所以()21133log 1log 10x +≤=，因此()21g x +的值域为(],0-∞，故答案为：(],0-∞四、解答题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠．(1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．【答案】(1)10(,)3+∞；(2)2a =或12a =【解析】（1）由(12)3f =可得log (123)13a -+=，解得3a =，即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>，则()0f x >，即3log (3)10x -+>，即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩，故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞；（2）由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，故log 11(log 21)1a a +-+=，即log 21,2a a =∴=或12a =，即a 的值为2a =或12a =.13．（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+．(1)求函数()y f x =的定义域；(2)判断函数()y f x =的奇偶性并说明理由；(3)求证：对于任意的()1,1x ∈-都有()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭．【答案】(1)()1,1-；(2)奇函数，理由见解析；(3)证明见解析【解析】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，得11x -<<，∴函数()f x 的定义域为()1,1-．（2）因为()()11lg lg 11x x f x f x x x-+==-=--+-，且定义域为()1,1-，关于原点对称，所以函数()f x 为()1,1-上的奇函数.（3）对于任意()1,1x ∈-，有2222121lg 2111xx x f x x x -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭++222221(1)lg lg 21(1)x x x x x x -+-==+++，又()221(1)22lg lg 1(1)x x f x x x --==++，所以()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭.。
人教A版高中数学必修一对数函数及其性质教案
§2.2.2 对数函数及其性质（一）学习目标：⒈理解对数函数的意义，掌握对数函数的图象和性质； ⒉进一步体会应用函数图象讨论函数性质的方法． 教学重点：对数函数的图象及其性质．教学难点：对数函数的图象、性质与底数a 的关系． 教学方法：探究、讨论式．教具准备：用《几何画板》演示对数函数的图象与底数a 的关系． 教学过程：（I ）新课引入：师：通过前面的学习我们了解到，生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系为：573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由对数与指数的关系，我们可以得到logt P =．这样我们就可以估算出土文物或古代遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系log t P =，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以t 是P 的函数．这就是我们今天将要研究的一种新的函数——对数函数． （II ）讲授新课： ⒈对数函数的意义：师：一般地，我们把函数log a y x =(0a >，且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数定义域是(0,)+∞．这里为什么要规定“0a >，且1a ≠”呢？生：在对数的定义“log x a a N x N =⇔=”中，我们规定了必须满足条件“0a >，且1a ≠”．师：0a >的来历确实如此，但对于条件1a ≠来说就不仅仅如此了！事实上，在指数式x a N =中，如果1a =，则对于任意的x R ∈，都有11x =，转换成为对数形式后，则不再是我们所学习的函数了．⒉对数函数的图象和性质：师：下面我们利用计算机软件《几何画板》来观察分析对数函数2log y x =和12log y x =的图象之间的关系以及对数函数log a y x =(0a >，且1)a ≠的图象和性质．（引导学生观察图象，填写下表、讨论交流、概括总结对数函数的基本性质）例题：课本62P 例⒎（Ⅲ）课后练习：课本81P 练习⒈⒉；课本82P 习题2.2 A 组⒍ （Ⅳ）课时小结⒈要理解对数函数的意义，根据函数图象理解掌握对数函数的性质； ⒉要逐渐学会利用函数图像分析研究函数的性质． （Ⅴ）课后作业⒈课本82P 习题2.2 A 组⒌⒎ ⒉阅读课本79P ～80P ，思考下列问题：怎样利用对数函数的单调性比较两个对数的大小？所有对数的大小比较都可以用对数函数的性质进行吗？教学后记:。
人教A版高中数学必修一第二章教案单元复习之三对数函数
第三十二教时教材：单元复习之三——对数函数（《教学与测试》第32、33课）目的：重点复习对数及对数函数的有关内容，通过复习期望学生对知识有更深的理解 过程：一、 复习：对数概念，对数运算，换底公式，对数函数的概念、图象、性质二、 例一、已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图象交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为E ，过点B 作y 轴的垂线，交EA 于C ，若C恰好在x y 2lo g =函数的图象上，试求A 、B 、C 三点的坐标。
解：设A (x 1 , 18log x ) , B (x 2 ,28log x ) , 则C (x 1 , 28log x )∵C 在函数的图象上 ∴1228log log x x =即：1222l o g l o g 31x x = ∴ x 2 = x 13又：FBOFEA OE = 即：282181log log x x x x =∴18313181log log x x x x =∴1831181log log 3x x x x = 由x 1>1 ,∴log 8x 1≠1 从而有：3x 1=x 13∴33,321==x x∴A 、B 、C 三点的坐标分别为：),33log ,33(,)3log ,3(88B A例二、求函数)(l o g 2x x y a -=(a >0 , a ≠1)的定义域、值域、单调区间。
解：1．定义域：02>-x x 得：10<<x2．∵02-<x x (log 2a x x -∞+⎢⎣⎡,41lo g a 当a >1时, 41log )(log 2a a x x ≤- 函数的值域为⎝⎛⎥⎦⎤∞-41lo g ,a3．∵02>-x x 在区间内2x x u -=在]21,0(上递增，在)1,21[上递减。
当0<a <1时, 函数在]21,0(上是减函数, 在)1,21[是增函数。
高一数学人教A版必修1教学教案2-2-1对数与对数运算
2.2.1 对数运算一、教材分析本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数运算的内容二、三维目标1．知识与技能（1）．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；（2）．理解和掌握对数的运算性质；（3）．掌握对数的运算性质的正逆转化。
2．过程与方法（1）通过实例了解对数运算，体会引入对数运算的必要性；（2）通过指数运算的观察分析得出对数运算的性质及换底公式；（3）通过分组探究进行活动，掌握对数运算的重要性质。
3．情感、态度与价值观（1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；（2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；（3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．三、教学重点教学重点：（1）对数运算的性质；（2）换底公式的灵活应用。
四、教学难点教学难点：推导对数的运算性质和换底公式的推导过程。
五、自主梳理1．对数的定义bNa=log其中),1()1,0(+∞∈a与,0(+∞∈N2．指数式与对数式的互化3.重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵1log=a，log=aa六、重点领悟1、积、商、幂的对数运算性质：如果 a ＞ 0， a1，M ＞ 0， N ＞ 0 有： 证明：①设a log M=p, a log N=q ． 由对数的定义可以得：M=p a ，N=qa ． ∴MN= p a q a =q p a + ∴a log MN=p+q ， 即证得a log MN=a log M + a log N ．②设a log M=p ，a log N=q ． 由对数的定义可以得M=p a ，N=qa ． ∴q p q p a a a N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设alog M=P 由对数定义可以得M=p a , ∴n M ＝np a ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ． 2、换底公式：(),0;10;1,0log log log >≠>≠>=N c c a a aN N c c a 且且（4） 证明：设P N a =log由对数的定义可以得：a N N a N p a p N a N a N c c a c c c c p c c p log log log log log ,log log log log ,==⇒=⇒=⇒=即证得这个公式就叫做换底公式七、探究提升（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ： 八、学法引领 例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zy x z xy a a ． 解：（1）zxy a log =a log （xy ）a log z=a log x+a log y a log z（2）32log z y x a =a log （2x 3log )z y a -= a log 2x +alog 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-． 例2． 计算 （1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg 解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0．（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19．（4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+- 解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+ ＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2；(3)解法一：lg142lg 37+lg7lg18=lg(2×7)2(lg7lg3)+lg7lg(23×2) =lg2+lg72lg7+2lg3+lg72lg3lg2=0．解法二：lg142lg 37+lg7lg18=lg14lg 2)37(+lg7lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯九、课堂练习1、练习：用表示下列公式：z y x lg ,lg ,lg（1）);lg(xyz （2）zxy 2lg ； （3）zxy 3lg ； （4）z y x 2lg 。
高中数学人教A版必修一教案：2.2.1对数与对数运算(二)
3 【解析】（1）方法一：
3
1
原式= 1 (lg 25 lg 7 2 ) 4 lg 2 2 lg(7 2 5) 2
2
3
= 5 lg 2 lg 7 2 lg 2 lg 7 1 lg 5
2
2
----------------------------------------------------------------------------
提出
探究：在上课中，我们知道，对数式
可看作指数运算的逆运算，你能从指数与
问题 对数的关系以及指数运算性质，得出相应
的对数运算性质吗？如我们知道
am an amn ，那 m n 如何表示，能用
m
n
loga
M N
（3）
N
n 0时,令则N loga M n , M a n
b
b n loga M , 则M a n
N
b
a n an
N b
即 loga
M N
loga M
loga
N
当 n =0 时，显然成立.
loga M n n loga M
是发现数学 结论的有效 方法，让学 生体会“归纳 一猜想一证 明”是数学中 发现结论， 证明结论的 完整思维方 法，让学生 体会回到最 原始（定义） 的地方是解 决数学问题 的有效策 略．通过这 一环节的教 学，训练学 生思维的广 阔性、发散 性，进一步 加深学生对 字母的认识 和利用，体 会从“变”中 发现规 律．通过本 环节的教学， 进一步体会
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高中数学(课前预习+课初+课中+课末+课后)§1-9 对数函数及性质教案 新人教A版必修1
必修１ 第一章§1-9 对数函数及性质【课前预习】阅读教材P70-73完成下面填空1．一般地，函数 叫做对数函数；2．对数函数的图象和性质【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．已知f(x)=(a 2－1)x 在区间(－∞,+∞)内是减函数,则实数a 的取值范围是 （ ）A.|a|＜1B.|a|＞1C.|a|＜2D.1＜|a|＜22．若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围是( )A.)1,0(B.)2,0(C.)2,1(D.),2(+∞3.函数)8131(log 3≤≤=x x y 的反函数的定义域为( ) A ．),0(+∞ B ．)81,31( C ．)4,1( D ．)4,1(-4．在区间),0(+∞上不是增函数的是 （ ）A ．2x y = B.y = C.xy 2= D.221y x x =++强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．函数22()log (2)x f x x =-的定义域是 ． 6．设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩, 求满足()f x =41的x 的值．7．求函数)64(log 22+-=x x y 的定义域、值域、单调区间8．已知函数222(3)lg 6x f x x -=-， (1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性。
9．已知函数2328()log 1mx x n f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值。
强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．函数(21)log x y -=的定义域是 （） A ．()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．下列关系式中，成立的是 （ ）A ．10log 514log 3103>⎪⎭⎫⎝⎛>B ．4log 5110log 3031>⎪⎭⎫⎝⎛>C ．03135110log 4log ⎪⎭⎫ ⎝⎛>>D ．0331514log 10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>3．函数212log (617)y x x =-+的值域是 （ ）A ．RB ．[)8,+∞C ．(),3-∞-D ．[)3,+∞4．若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是（ B ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∞,43]0,(5．求函数y =)23(log 221+-x x 的递增区间。
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专题二：对数与对数函数(总第33课时)
【教学目标】
1．知识与技能
复习对数、对数运算与对数数函数图像性质，能利用所学有关知识，解决与对数、对数函数有关的问题.
2．过程与方法
通过学生复习整理,让学生更加熟悉对数性质、对数运算,对数函数的图象性质.
3. 情感、态度、价值观
培养学生整理、整合的学习能力； 进一步培养学生数形结合的思想方法.
【预习任务】
1.对数、与对数函数知识结构要点:
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨
⎧性质
图像
定义对数函数对数的运算性质
对数的定义）
对数
2对数与对数运算
.①写出对数的定义、三个性质
②写出利用定义推导出的两个重要结论.
③写出常用对数、自然对数的概念.
④写出对数换底公式及由此推导出的三个重要结论.
⑤写出对数的三个运算性质.
3.对数函数及其性质
①写出对数函数定义.
②列表总结对数函数的图象与性质.
③通过图象，总结不同底数的对数函数的函数值随底数的变化情况.
【自主检测】
1.求值:① lg 14－lg25= ②2log 510+log 50.25=
2.设
3.02131)(,log ,2log 2131===c b a ，则c b a ,,由小到大的顺序__________.
3. 函数()212
()log 25f x x x =-+的值域是_
【组内互检】
互查预习任务。