坐标轴平移参考

F(2,2)为焦点，以直线L ：x +y =0拋物线Γ方程式是Γ ：(x -2)2+(y -2)2 = |x +y |2(*)式平方后可化成Γ：x 2-2xy +y 2-8x -8y +16=0…(**)， 但是从(**)很难辨识它是一条拋物线， 是否可以利用适当的坐标变换， 来辨识(**)式为一条拋物线。

我们如果将坐标轴看成此拋物线的轴与过顶点 与轴垂直的直线，则此拋物线就成为一条开口 向上的拋物线，方程式也会化成y //=ax //2的形式，因此接下来要考虑坐标轴的旋转，以化简Γ的方程式。

(1)推导转轴公式：将直角坐标系 ≡ )绕原点旋转一个有向角θ ，得到一个新坐标系 //≡ 1 , 2)，像这种「坐标原点及长度单位都不变，只改变坐标的方向」的坐标变换称为坐标轴的旋转，简称转轴。

1=(cos θ，sin θ)=cos +sin ，2=(cos(θ+π2)，sin(θ+π2))=(-sin θ，cos θ)=(-sin θ +cos θ设P 点在坐标系 ≡ )与 //≡ 1 , 2)下的坐标为(x ,y )、(x //,y //)OP = +=x 1+y 2=x //( cos +sin )+y //((-sin θ +cos θ )=(x //cos θ -y //sin θ +(x //sin θ +y //cos θ ⇒⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x 这个式子称为转轴公式。

[几何解释]：如右图，−OQ=−OU -−QU=−OS cos θ -−PS sin θ =x //cos θ -y //sin θ−PQ =−RS +−SU =−PS cos θ +−OS sin θ =x //sin θ +y //cos θ透过⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x 可解得⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin sin cos ////y x y y x x 从另一个方向来看，把新坐标系 //绕原点O 旋转有向角-θ就可变成原坐标系 ，即(x //,y //)看成原坐标，(x ,y )看成转轴后的新坐标，那么由转轴公式得到 ⎩⎨⎧+-=-+-=+=---=θθθθθθθθcos sin )cos()sin(sin cos )sin()cos(////y x y x y y x y x x结论：(1)将直角坐标系的x 、y 轴旋转θ角度，得到新的坐标轴x //、y //轴 点P 作这两个坐标下的坐标分别为(x ,y )、(x //,y //)，(x ,y )与(x //,y //)满足下列关系：⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x 。

(2)记忆法：)(c o s s i n s i nc o s )(////原坐標新坐標θθθθy x y x -[例題1] 设将原坐标系旋转θ，θ如下，试分别将原坐标为(x ,y )之点的新坐标以x ,y 表示。

(1)θ =30︒ (2)θ =11cos 3-Ans ：(1)x //=32x +12y ，y //=-12x +32y (2)x //=13x +223y ，y //=-223x +13y (練習1) 将坐标轴旋转θ=π6，(1)若点A(2,1)，求点A 之新坐标。

(2)若点B 之新坐标为(-2,3)，求点B 的原坐标。

Ans ：(1)( 3 +12，-1+32) (2)(- 3 -32，-1+332)(練習2) 将坐标轴旋转θ=cos -135 ，若P(2，-1)之新坐标(h ,k )，而Q(r ,s )之新坐标为(2，-1)，求(h ,k )、(r ,s )。

Ans ：(h ,k )=(25，-115)，(r ,s )=(2，1)(練習3) 平面上一点A(2,5)试分别就下列情形求A 点的新坐标。

(1)先将坐标轴平移至(1,4)，再将新坐标轴以新原点为中心旋转π4。

(2)先将坐标轴以原点为中心旋转π4，再依新坐标轴平移(1,4)。

(3)于(2)中若先将坐标轴以原点为中心旋转π4后应平移至何处，则得A 点所得之新坐标才与(1)相同。

Ans ：(1)( 2 ,0) (2)(722 -1，322 -4) (3)平移至(522，322)将坐标轴旋转π4，求曲线Γ：x 2+4xy +y 2=3在新坐标系中的方程式，并作图。

[解法]：设坐标轴旋转θ角度，根据转轴公式⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x 代入 曲线Γ的方程式x 2+4xy +y 2=3，得(x //cos θ-y //sin θ)2+4(x //cos θ-y //sin θ)(x //sin θ+y //cos θ)+(x //sin θ+y //cos θ)2=3 ⇒(cos 2θ+4cos θsin θ+sin 2θ)x //2+(-2sin θcos θ+4cos 2θ-4sin 2θ+2sin θ cos θ)x //y // +(sin 2θ-4sin θ cos θ+cos 2θ)y //2=3……(*)若要选取角度θ，使得x //y //项的系数=0⇒-2sin θcos θ+4cos 2θ-4sin 2θ+2sin θ cos θ=4(cos 2θ-sin 2θ)=0⇒cos 2θ=sin 2θ可以取θ=π4，再代入(*)中，可得x //21 - y //23 =1 ，故可知Γ是一个双曲线。

(1)化简方程式：由前面例题，我们发现适当选择旋转的角度θ，可以使二次曲线的新方程式中消去xy 项，但是对于一般的二次曲线Γ：ax 2+bxy +cy 2+dx +ey +f =0 (b ≠0)……..(A) 如何选择转轴的角度θ，才可以使Γ的新方程式中缺少xy 项呢？将⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ////////y x y y x x 代入二次曲线Γ的方程式中：⇒a (x //cos θ-y //sin θ)2+b (x //cos θ-y //sin θ)(x //sin θ+y //cos θ)+c (x //sin θ+y //cos θ)2 +d (x //cos θ-y //sin θ)+e (x //sin θ+y //cos θ)+f =0上面的方程式展开后，整理成a //x //2+b //x //y //+c //y //2+d //x //+e //y //+f //=0……(B)其中a //=a cos 2θ+b ⋅sin θ cos θ +c sin 2θ，b //=-2a sin cos θ +b (cos 2θ -sin 2θ)+2c sin θcos θ =b cos2θ-(a -c )sin2θ c //=a sin 2θ-b sin θ cos θ +c cos 2θd //=d cos θ +e sin θ e //=-d sin θ +e cos θf //=f如果选取转轴的角度θ使得b cos2θ-(a -c )sin2θ=0，则x //y //项的系数b //=0，所以当cot2θ=a -cb (b ≠0)时，x //y //项的系数b //=0。

结论：可以取得锐角θ满足cot2θ=a -cb ，选择这样的锐角θ作为转轴旋转的角度，变换后的二次曲线Γ：a //x //2+c //y //2+d //x //+e //+y //+f //=0 (f //=f )。

[例題2] 坐标轴旋转θ角度(0<θ<π2)，使得曲线Γ：52x 2-72xy +73y 2=100之新方程式中没有xy 项。

(1)求cot2θ、sin θ 、cos θ 的值。

(2)写出转轴公式。

(3)求Γ的新方程式。

(4)请求出焦点的坐标Ans ：(1)724、35、45 (2)x =45x //-35y //，y =35x //+45y //(3)x //24 + y //21 =1(4)(435,335)、(-435,[例題3] 设Γ为以原点O (0,0)为顶点，F (1,2)为焦点之拋物线，将原坐标系S 旋转cos －115得到新坐标系S //，则F 对S'的坐标为 ，Γ对S'坐标系的新方程式为 ，Γ对原坐标系S 的方程式为 。

(化为二元二次式)Ans ：(5，0)，y'2＝45x'，4x 2－4xy ＋y 2－20x －40y ＝0 [解法]θ＝cos －115，原坐标S 旋转θ得到新坐标系S //，根据转轴公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔)2(51)2(51////////y x y y x x ＋＝－＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔)72(51)2(51////＋－＝＋＝x y y x x由5＝OF 知焦点F 对于S //的坐标为(5，0) ∴ 在S'坐标系中，Γ：y //2＝45x //⇔51(－2x ＋y )2＝45．51(x ＋2y )⇔4x 2－4xy ＋y 2＝20x ＋40y∴ 在S 中，Γ：4x 2－4xy ＋y 2－20x －40y ＝0。

(練習4) 设θ为坐标轴旋转的角度，试求下列二次曲线旋转坐标轴后的新方程式。

(1)θ=π4，xy = 2 (2)θ=π4，5x 2-6xy +5y 2=32Ans ：(1)x //2-y //2=2 2 (2)x //216 + y//24 =1 (練習5) 将坐标轴旋转θ角(0<θ<π2)，使得曲线Γ：2x 2-3xy +y 2=10对新坐标系中的方程式消去xy 项，请问θ=？新的方程式为何？Ans ：π3，x //220 + y //24 =1 (練習6) 将坐标轴旋转θ角(0<θ<π2)，使得曲线Γ：2x 2+4xy +5y 2=12对新坐标系中的方程式消去xy 项，(1)请写出转轴公式(2)新的方程式为何？Ans ：(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=)2(51)2(51////////y x y y x x ，(2)x //22 + y //212 =1(練習7) 将坐标轴旋转θ角(0<θ<π2)，使得曲线Γ：3xy +y 2=12对新坐标系中的方程式消去xy 项，(1) 请问θ=？(2)新的方程式为何？ Ans ：(1)π3，(2)x //28 - y //224 =1(練習8) 曲线Γ：x 2–2xy +y 2–42( x + y ) = 0，将坐标轴旋转︒45，(1) 可得新坐标方程式为 。

(2) 其图形为何？答： 。

Ans ：(1) (y //)2 = 4 (x //)；(2) 拋物线例子：利用坐标变换，将曲线Γ：5x 2-6xy +5y 2-4x -4y -4=0化成标准式。