坐标轴平移参考

F(2,2)为焦点，以直线L ：x +y =0拋物线Γ方程式是Γ ：(x -2)2+(y -2)2 = |x +y |

2

(*)式平方后可化成Γ：x 2-2xy +y 2-8x -8y +16=0…(**)， 但是从(**)很难辨识它是一条拋物线， 是否可以利用适当的坐标变换， 来辨识(**)式为一条拋物线。

我们如果将坐标轴看成此拋物线的轴与过顶点 与轴垂直的直线，则此拋物线就成为一条开口 向上的拋物线，方程式也会化成y //=ax //2的形式，

因此接下来要考虑坐标轴的旋转，以化简Γ的方程式。

(1)推导转轴公式：

将直角坐标系 ≡ )绕原点旋转一个有向角θ ，得到一个新坐标系 //≡ 1 , 2)，像这种「坐标原点及长度单位都不变，只改变坐标的方向」的坐标变换称为坐标轴的旋转，简称转轴。

1=(cos θ，sin θ)=cos +sin ，

2=(cos(θ+π2)，sin(θ+π

2))=(-sin θ，cos θ)=(-sin θ +cos θ

设P 点在坐标系 ≡ )与 //≡ 1 , 2)下的坐标为(x ,y )、(x //,y //)

OP = +

=x 1+y 2

=x //( cos +sin )+y //((-sin θ +cos θ )

=(x //cos θ -y //sin θ +(x //sin θ +y //cos θ ⇒⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos //

//////y x y y x x 这个式子称为转轴公式。

[几何解释]：

如右图，−OQ=−OU -−QU=−OS cos θ -−

PS sin θ =x //cos θ -y //sin θ

−PQ =−RS +−SU =−PS cos θ +−

OS sin θ =x //sin θ +y //cos θ

透过⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos //

//////y x y y x x 可解得⎩

⎨⎧+-=+=θθθθcos sin sin cos ////y x y y x x 从另一个方向来看，把新坐标系 //绕原点O 旋转有向角-θ就可变成原坐标系 ，即(x //,y //)看成原坐标，(x ,y )看成转轴后的新坐标，那么由转轴公式得到 ⎩⎨⎧+-=-+-=+=---=θ

θθθθ

θθθcos sin )cos()sin(sin cos )sin()cos(//

//y x y x y y x y x x

结论：

(1)将直角坐标系的x 、y 轴旋转θ角度，得到新的坐标轴x //、y //轴 点P 作这两个坐标下的坐标分别为(x ,y )、(x //,y //)，

(x ,y )与(x //,y //

)满足下列关系：⎩

⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos //

//////y x y y x x 。

(2)记忆法：

)

(c o s s i n s i n

c o s )(////原坐標新坐標θθθθy x y x -

[例題1] 设将原坐标系旋转θ，θ如下，试分别将原坐标为(x ,y )之点的新坐标以x ,y 表示。

(1)θ =30︒ (2)θ =11

cos 3

-

Ans ：(1)x //=32x +12y ，y //=-12x +32y (2)x //=13x +223y ，y //=-223x +13

y (練習1) 将坐标轴旋转θ=π

6，

(1)若点A(2,1)，求点A 之新坐标。

(2)若点B 之新坐标为(-2,3)，求点B 的原坐标。

Ans ：(1)( 3 +12，-1+32) (2)(- 3 -32，-1+33

2)

(練習2) 将坐标轴旋转θ=cos -13

5 ，若P(2，-1)之新坐标(h ,k )，而Q(r ,s )之新坐标

为(2，-1)，求(h ,k )、(r ,s )。 Ans ：(h ,k )=(25，-11

5)，(r ,s )=(2，1)

(練習3) 平面上一点A(2,5)试分别就下列情形求A 点的新坐标。

(1)先将坐标轴平移至(1,4)，再将新坐标轴以新原点为中心旋转π

4。 (2)先将坐标轴以原点为中心旋转π

4，再依新坐标轴平移(1,4)。 (3)于(2)中若先将坐标轴以原点为中心旋转π

4后应平移至何处，则得A 点所得之新坐标才与(1)相同。

Ans ：(1)( 2 ,0) (2)(

722 -1，322 -4) (3)平移至(522，32

2

)

将坐标轴旋转π

4，求曲线Γ：x 2+4xy +y 2=3在新坐标系中的方程式，并作图。 [解法]：

设坐标轴旋转θ角度，

根据转轴公式⎩

⎨⎧+=-=θθθ

θcos sin sin cos //

//////y x y y x x 代入 曲线Γ的方程式x 2+4xy +y 2=3，得

(x //cos θ-y //sin θ)2+4(x //cos θ-y //sin θ)(x //sin θ+y //cos θ)+(x //sin θ+y //cos θ)2=3 ⇒(cos 2θ+4cos θsin θ+sin 2θ)x //2+(-2sin θcos θ+4cos 2θ-4sin 2θ+2sin θ cos θ)x //y // +(sin 2θ-4sin θ cos θ+cos 2θ)y //2=3……(*)

若要选取角度θ，使得x //y //项的系数=0

⇒-2sin θcos θ+4cos 2θ-4sin 2θ+2sin θ cos θ=4(cos 2θ-sin 2θ)=0⇒cos 2θ=sin 2θ

可以取θ=π

4，再代入(*)中，可得x //21 - y //23 =1 ，故可知Γ是一个双曲线。 (1)化简方程式：

由前面例题，我们发现适当选择旋转的角度θ，可以使二次曲线的新方程式中消去xy 项，但是对于一般的二次曲线Γ：ax 2+bxy +cy 2+dx +ey +f =0 (b ≠0)……..(A) 如何选择转轴的角度θ，才可以使Γ的新方程式中缺少xy 项呢？

将⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos //

//////y x y y x x 代入二次曲线Γ的方程式中：

⇒a (x //cos θ-y //sin θ)2+b (x //cos θ-y //sin θ)(x //sin θ+y //cos θ)+c (x //sin θ+y //cos θ)2 +d (x //cos θ-y //sin θ)+e (x //sin θ+y //cos θ)+f =0

上面的方程式展开后，整理成a //x //2+b //x //y //+c //y //2+d //x //+e //y //+f //=0……(B)

其中a //=a cos 2θ+b ⋅sin θ cos θ +c sin 2θ，

b //=-2a sin cos θ +b (cos 2θ -sin 2θ)+2

c sin θcos θ =b cos2θ-(a -c )sin2θ c //=a sin 2θ-b sin θ cos θ +c cos 2θ

d //=d cos θ +

e sin θ e //=-d sin θ +e cos θ

f //=f

如果选取转轴的角度θ使得b cos2θ-(a -c )sin2θ=0，则x //y //项的系数b //=0，

所以当cot2θ=a -c

b (b ≠0)时，x //y //项的系数b //=0。 结论：