【精品课件】杨辉三角课件
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课件2：1.3.2 杨辉三角
1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
19-20第1章1.31.3.2 杨辉三角课件人教新课标B版
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项 (或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
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29
【解】 令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展 开式中各项的二项式系数之和为 2n，由题意知，4n－2n＝992.
26
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27
3．二项式系数何时取得最大值？ 【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时， 中间的两项 Cnn－2 1，Cnn+21相等，且同时取得最大值．
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28
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二 项式系数和大 992.
.
19
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(3)∵Tr＋1＝Cr2 019(－2x)r＝(－1)r·C2r 019·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
20
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1．解决二项式系数和问题思维流程
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5
1．如图是一个类似杨辉三角的图形，则第 n 行的首尾两个数均为
________．
1 33
565
7 11 11 7
9 18 22 18 9 ……
【解析】 由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1.
【答案】 2n－1
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6
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右 第 14 与第 15 个数之比为 2∶3.
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29
【解】 令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展 开式中各项的二项式系数之和为 2n，由题意知，4n－2n＝992.
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3．二项式系数何时取得最大值？ 【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时， 中间的两项 Cnn－2 1，Cnn+21相等，且同时取得最大值．
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【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二 项式系数和大 992.
.
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(3)∵Tr＋1＝Cr2 019(－2x)r＝(－1)r·C2r 019·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
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1．解决二项式系数和问题思维流程
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5
1．如图是一个类似杨辉三角的图形，则第 n 行的首尾两个数均为
________．
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7 11 11 7
9 18 22 18 9 ……
【解析】 由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1.
【答案】 2n－1
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6
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右 第 14 与第 15 个数之比为 2∶3.
最新杨辉三角课件精品课件
A
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
课件8：1.3.2 杨辉三角
解：由图知，数列的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23， 第 4 项是 C13，…，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211， ∴S19＝C22＋C21＋C32＋C31＋…＋C120＋C110＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋C24＋…＋C211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C33＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C132＝54＋121××121××310＝274.
于是得到： (1)二项式系数和为 2n，即 Cn0＋Cn1＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)二项式的奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式 系数和相等，都等于 2n－1.即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n ＋Cn4＋…＝2n－1.
在理解二项展开式的二项式系数和的有关性质 时，要掌握这种给字母赋值的思想(实际上是函数思 想)；具体到计算特定项的二项式系数时可以直接给字 母赋值，也可以联系二项式的展开式；对整体式子的 求值，用给字母赋值的方法非常方便．
1.3.2 杨辉三角
情景导入 幻方，在我国也称纵横图，
它的神奇特点吸引了无数人为之痴 迷．一天，时任台州地方官的杨辉外 出巡游，遇到一学童，学童正在为老 先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排列， 不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．
情景导入
杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究 起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回 到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句 话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”
方法总结 (1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c ∈R，n，m∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R， x∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 x ＝y＝1 即可．
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
数学课件：1.3.2 杨辉三角
间两项,这两项的二项式系数相等并且最大,最大为C������2 = C������2 .
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 杨辉三角的应用
【例1】 在“杨辉三角”中,每行的两端都是1,其余每个数都是它 “肩上”两个数的和,“杨辉三角”开头几行如图所示.
(1)利用“杨辉三角”展开(1-x)6; (2)在“杨辉三角”中哪一行会出现相邻的三个数,它们的比是
12
【做一做2-2】 在(1-x)6的展开式中,含x的奇数次幂的项的系数 和为( )
A.32 B.-32 C.0 D.-64 解析:由 Tr+1=C6������ (-x)r=(-1)rC6������ xr 可知,含 x 的奇数次幂的项的系数 和为-(C61 + C63 + C65)=-32. 答案:B
=
4 5
,
化简得
3 4 4 5
= =
������
������+1-������
������+1 ������-������
,
,
1.理解杨辉三角的意义. 2.掌握二项式系数的性质并会应用.
12
1.杨辉三角 关于(a+b)n展开式的二项式系数,当n取正整数时可以单独列成下 表的形式:
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为 “帕斯卡三角”.
12
名师点拨 解决与杨辉三角有关的问题的一般方法:观察——分 析——试验——猜想结论——证明.要得出杨辉三角中数的诸多排 列规律,取决于我们的观察能力,观察的方法:横看、竖看、斜看、 连续看、隔行看,从多角度观察.
12
【做一做1】 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第
课件7：1.3.2 杨辉三角
【解析】 (1＋2x)2n 的展开式中共有 2n＋1 项，中间 一项的系数最大，即第 n＋1 项． 【答案】 n＋1
4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋ a14x14，试求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)在已知等式中令 x＝1，则得： a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.① (2)在已知等式中令 x＝－1，则得： a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.② ①－②得： 2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.
解：(1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.① (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
011＝1－232
012
.
(3)∵Tr＋1＝Cr2012(－2x)r＝(－1)r·Cr2 012·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
) D．70
【答案】 B
2．在(a－b)20 的二项展开式中，二项式系数与第 6 项
二项式系数相同的项是( )
A．第 15 项
B．第 16 项
C．第 17 项
D．第 18 项
【解析】 由二项式系数的性质知与第 6 项系数相等
的项应为倒数第 6 项，即第 16 项． 【答案】 B
4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋ a14x14，试求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解：(1)在已知等式中令 x＝1，则得： a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.① (2)在已知等式中令 x＝－1，则得： a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.② ①－②得： 2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.
解：(1)令 x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.① (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.② ①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2
011＝1－232
012
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(3)∵Tr＋1＝Cr2012(－2x)r＝(－1)r·Cr2 012·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
) D．70
【答案】 B
2．在(a－b)20 的二项展开式中，二项式系数与第 6 项
二项式系数相同的项是( )
A．第 15 项
B．第 16 项
C．第 17 项
D．第 18 项
【解析】 由二项式系数的性质知与第 6 项系数相等
的项应为倒数第 6 项，即第 16 项． 【答案】 B
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
课件6：1.3.2 杨辉三角
考点二 二项展开式中各项的系数和
例 2 设(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 014·x2 014(x∈R)． (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a2 014 的值． (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a2 013 的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 014|的值．
和为( )
A．2n＋1
B．2n－1
C．2n＋1－1
D．2n＋1－2
【解析】令 x＝1，则 2＋22＋…＋2n＝2n＋1Байду номын сангаас2. 【答案】D
4．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14. (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a14； (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a13.
x
2
n
的展开式中，各项系数和与它的
二项式系数和的比为 32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：令 x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为 2n，
∴222nn＝2n＝32，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共 6 项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
方法小结
二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察—— 归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过 程中应用了函数、方程等数学思想．大致对应如下：
一点通 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路： (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角 度观察； (2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之 间的数据的规律．
题组集训
1．如图是一个类似杨辉三角的图形， 则第 n 行的首尾两个数均为________．
杨辉三角优质课件
n 1
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
2 C 20 3 2 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(207 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
2 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n ) (C n ) (C n ) (C n ) C2 思考2求证: (Cn n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
m m m 1 C C 这就是组合数的性质 2: C n 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
C , C , C , , C ， , C .
0 n
1 n
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
2 C 20 3 2 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(207 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
2 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n ) (C n ) (C n ) (C n ) C2 思考2求证: (Cn n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
m m m 1 C C 这就是组合数的性质 2: C n 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
C , C , C , , C ， , C .
0 n
1 n
《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)
3 数学文化，拓展视野 谢 尔 宾 斯 基
谢 尔 宾 斯 基 三 角 形
埃 菲 尔 铁 塔
分形几何 奇异、美丽、 超乎想象！
4 课堂小结，升华“点睛”
斜看 三角形数 四面体数 高阶等差数列 斐波那契数列
贾宪
本
课
小
C
m n
C nm n
组合数对称性
结
杨横看 辉
2的幂、11的幂
杨辉三角
朱世杰
Cnm
成林处处云,抽笋年年玉。
调清金石怨,吟苦鬼神悲。
天风乍起争韵,池一水相涵更五绿。 十
十 天下只五应我爱一,世间惟有君知。
却寻庚信小员中一,闲对数六竿心自足十五。
二
十
自从十五都尉别六苏句,便一到司空送白辞。
3 数学文化，拓展视野
（动手操作）：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数 分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
对称性：Cnm
C nm n
递推性： Cnm
C m1 n 1
Cm n 1
1
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32
C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C52 C53
C
4 5
C
5 5
C 60
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
2 善于观察，发现“秘密”
杨辉三角PPT优秀课件
B 1
1 1 4
A
1 1 3
1
3
2
1
1
A
6 4 1 5 10 5 10 15 20 15 35 35 B70
2、杨辉三角的对称性：
C C .
r n
nr n
3、杨辉三角的第 n行就是二项式 (a b) 的展开式的系数，即：
n
(a b) C a C a b
n r 0 n n 1 n
2.1杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》． 为了使《九章算术》便于自学，杨辉对 该书的246个问题中较难的80题作了详解， 并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解 释题意、名词术语，校勘文字，并对题目 作出评注；二是“细草”，即详细的解题过 程及必要的图示；三是“比类”，即增选与 原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按 解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题．图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在 正上方， B 在正下方，然后在交叉 点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ， 正好是答案 ( 70) ． 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数， 就是从 A 到达该点的方法数．由此 看来，杨辉三角与纵横路线图问题 有天然的联系．
n1
Ca
r n
n r
b C b
n n n
请用数学归纳法证明这一性质 。
《1.3.2 杨辉三角》PPT课件(云南省市级优课)
五、拓展探究
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1=6 C 1 6 第二条斜线上：
1+2+3+4+5=15
C
2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20 C 3 6
第四条斜线上：1+4+10=15 C 4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数.
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
教学基本流程
复习旧知，自然引出所探究的问题 学生动手写出二项式系数表，观察发现规律
观察、讨论、归纳二项式系数的性质 通过例题和练习，巩固对二项式系数的认识
一、复习引入
①二项式定理
a b n Cn0anb0 Cn1an1b Cn2an2b2
问题4：观察每一行中数字之和，有什么规律？
三、归纳总结
二项式系数的四个性质
1、对称性： Cnm Cnnm
2、递推性：
Cr-1 n
Crn
Cr n 1
3、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，
在最中间取到最大值 CCnnn2n，21 =当Cnnn2是1，偶当数n时是奇书时
4、各二项式系数和： C0n C1n C2n Cnn 2n
②二项展开式的通项
Cnna0bn
Tk 1 Cnk a nk bk
③二项展开式中的二项式系数是哪些？
Cn0 , Cn1 , Cn2 Cnn
二、引导探究、获得新知
探究 计算a bn 展开式的二项式系数并填入下表.
杨辉三角(小学版)ppt课件
古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
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令a=1，b=－1得
( 即 1 0 1 ) n C n 0 C n 0 C n C 2 n 1 C n 2 C C n n 3 1 C n 3 ( 1 ) n C n n
C n 0 C n 2 C n 1 C n 3
Cnk与Cnk1的大小.
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减
小. C n k k !(n n !k )! n k k 1 (k 1 )!( n n ! k 1 )! n k k 1 C n k 1
(4)各二项式系数的和.C n 0 C n 1 C n 2 C n r C n n 2 n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
研究二项式系数的性质．
f(r)
. (a+b)n展开式的二项式系数是
20-
. . C n 0,C n 1,C n 2, ,C n r， , C n n.
C
r
n 可看成是以r为自变量的函数
1106---8-
. . f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当 . . n=6时，其图象是右图中的7个孤立
642--
点.
3 6 9r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.
继续思考1:
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 2 n 1
证明：在展开式C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n n b n 中
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值;
3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考:
1.求证：C n 0 2 C n 1 3 C n 2 n 1 C n n n 2 2 n 1
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C( )
Cn0CnnCn1Cnn1Cn2Cnn2 Cnn1Cn1CnnCn0 C2nn
再由 Cnm Cnnm 得
( C n 0 ) 2 ( C n 1 ) 2 ( C n 2 ) 2 ( C n n ) 2 C 2 n n .
思考3
2答案
学习小结:
1.当n 10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题;
思考:求证：C n 0 2 C n 1 3 C n 2 n 1 C n n n 2 2 n 1
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，
是解决二项式有关问题的一种重要方法—ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ赋值法。
1答案
2答案
思考2求证: ( C n 0 ) 2 ( C n 1 ) 2 ( C n 2 ) 2 ( C n n ) 2 C 2 n n . 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律：
(a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 1
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什
(a+b)3…………1 33 3 1 么性质呢?
(a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 510 10 10 5
新课标人教版课件系列
《高中数学》 选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提
高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
1
15
不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每
(一a个+b数)6都…等1于它6肩上两15个数2的0和.1事5实上6，设表中任一
1不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1
及Cnr，知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质
2.
性质
联系函数
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
n依次取1，2，3，…时，可列成下表：
1
在我国,很早
(a+b)1→ (a+b)2→ (a+b)3→
11 12 1 13 3 1
就有人研究过二 项式系数表,南 宋数学家杨辉在 其所著的《详解
(a+b)4→ 1 4 6 4 1 九章算法》中就
(a+b)5→ 1 5 10 10 5 1有出现.
(a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1
学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
二项式定理(三)─杨辉三角
开门见山
研究系数规 律
性质继续 思考
本课小结
思考三
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
二项式定理(三)─杨辉三角
把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当
(1)对称性: C n 0,C n 1,C n 2, ,C n r， , C n n.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: C nm
C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
这就是组合数的性质
2:
C
m n1
Cnm
C m1 n
(3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较
( 即 1 0 1 ) n C n 0 C n 0 C n C 2 n 1 C n 2 C C n n 3 1 C n 3 ( 1 ) n C n n
C n 0 C n 2 C n 1 C n 3
Cnk与Cnk1的大小.
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减
小. C n k k !(n n !k )! n k k 1 (k 1 )!( n n ! k 1 )! n k k 1 C n k 1
(4)各二项式系数的和.C n 0 C n 1 C n 2 C n r C n n 2 n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
研究二项式系数的性质．
f(r)
. (a+b)n展开式的二项式系数是
20-
. . C n 0,C n 1,C n 2, ,C n r， , C n n.
C
r
n 可看成是以r为自变量的函数
1106---8-
. . f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当 . . n=6时，其图象是右图中的7个孤立
642--
点.
3 6 9r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.
继续思考1:
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 2 n 1
证明：在展开式C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n n b n 中
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值;
3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考:
1.求证：C n 0 2 C n 1 3 C n 2 n 1 C n n n 2 2 n 1
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C( )
Cn0CnnCn1Cnn1Cn2Cnn2 Cnn1Cn1CnnCn0 C2nn
再由 Cnm Cnnm 得
( C n 0 ) 2 ( C n 1 ) 2 ( C n 2 ) 2 ( C n n ) 2 C 2 n n .
思考3
2答案
学习小结:
1.当n 10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题;
思考:求证：C n 0 2 C n 1 3 C n 2 n 1 C n n n 2 2 n 1
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，
是解决二项式有关问题的一种重要方法—ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ赋值法。
1答案
2答案
思考2求证: ( C n 0 ) 2 ( C n 1 ) 2 ( C n 2 ) 2 ( C n n ) 2 C 2 n n . 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律：
(a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 1
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什
(a+b)3…………1 33 3 1 么性质呢?
(a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 510 10 10 5
新课标人教版课件系列
《高中数学》 选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提
高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
1
15
不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每
(一a个+b数)6都…等1于它6肩上两15个数2的0和.1事5实上6，设表中任一
1不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1
及Cnr，知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质
2.
性质
联系函数
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
n依次取1，2，3，…时，可列成下表：
1
在我国,很早
(a+b)1→ (a+b)2→ (a+b)3→
11 12 1 13 3 1
就有人研究过二 项式系数表,南 宋数学家杨辉在 其所著的《详解
(a+b)4→ 1 4 6 4 1 九章算法》中就
(a+b)5→ 1 5 10 10 5 1有出现.
(a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1
学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
二项式定理(三)─杨辉三角
开门见山
研究系数规 律
性质继续 思考
本课小结
思考三
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
二项式定理(三)─杨辉三角
把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当
(1)对称性: C n 0,C n 1,C n 2, ,C n r， , C n n.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: C nm
C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
这就是组合数的性质
2:
C
m n1
Cnm
C m1 n
(3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较