【精品课件】杨辉三角课件

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点.
3 6 9r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.
继续思考1:
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 2 n 1
证明：在展开式C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n n b n 中
学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
二项式定理(三)─杨辉三角
开门见山
研究系数规 律
性质继续 思考
本课小结
思考三
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
二项式定理(三)─杨辉三角
把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当
Cn0CnnCn1Cnn1Cn2Cnn2 Cnn1Cn1CnnCn0 C2nn
再由 Cnm Cnnm 得
( C n 0 ) 2 ( C n 1 ) 2 ( C n 2 ) 2 ( C n n ) 2 C 2 n n .
思考3
2答案
学习小结:
1.当n 10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题;
思考:求证：C n 0 2 C n 1 3 C n 2 n 1 C n n n 2 2 n 1
Cnk与Cnk1的大小.
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减
小. C n k k !(n n !k )! n k k 1 (k 1 )!( n n ! k 1 )! n k k 1 C n k 1
(4)各二项式系数的和.C n 0 C n 1 C n 2 C n r C n n 2 n
令a=1，b=－1得
( 即 1 0 1 ) n C n 0 C n 0 C n C 2 n 1 C n 2 C C n n 3 1 C n 3 ( 1 ) n C n n
C n 0 C n 2 C n 1 C n 3
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
新课标人教版课件系列
《高中数学》 选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提
高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
n依次取1，2，3，…时，可列成下表：
1
在我国,很早
(a+b)1→ (a+b)2→ (a+b)3→
11 12 1 13 3 1
就有人研究过二 项式系数表,南 宋数学家杨辉在 其所著的《详解
(a+b)4→ 1 4 6 4 1 九章算法》中就
(a+b)5→ 1 5 10 10 5 1有出现.
(a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1
(1)对称性: C n 0,C n 1,C n 2, ,C n r， , C n n.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: C nm

C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
这就是组合数的性质
2:
C
m ห้องสมุดไป่ตู้1

Cnm

C m1 n
(3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，
是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
1答案
2答案
思考2求证: ( C n 0 ) 2 ( C n 1 ) 2 ( C n 2 ) 2 ( C n n ) 2 C 2 n n . 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律：
(a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 1
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什
(a+b)3…………1 33 3 1 么性质呢?
(a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 510 10 10 5
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
研究二项式系数的性质．
f(r)
. (a+b)n展开式的二项式系数是
20-
. . C n 0,C n 1,C n 2, ,C n r， , C n n.
C
r
n 可看成是以r为自变量的函数
1106---8-
. . f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当 . . n=6时，其图象是右图中的7个孤立
1
15
不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每
(一a个+b数)6都…等1于它6肩上两15个数2的0和.1事5实上6，设表中任一
1不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1
及Cnr，知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质
2.
性质
联系函数
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值;
3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考:
1.求证：C n 0 2 C n 1 3 C n 2 n 1 C n n n 2 2 n 1
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C( )