第十章 概率与概率分布
高考数学(新课标人教版)一轮总复习课件：第十章 计数原理、概率随机变量及其分布6
考能感悟提升
课时作业
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中
n －k Ck · C M N－M 恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ Cn ，(k＝0,1,2，„，m，其 N
中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋)，称分布 列为超几何分布列． 如果随机变量 X 的分布列具有下表的形式， 则称随机变量 X 服从超几何分布.
念．
4．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决 一些实际问题．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时作业
[要点梳理] 1．离散型随机变量 随机变量 ，常用 随着试验结果变化而变化的变量称为___________
字母X，Y，ξ，η，„表示．所有取值可以一一列出的随机变
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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(3)常见离散型随机变量的分布列 ①两点分布
若随机变量X的分布列为
X P 0 1－p 1 p
则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
②超几何分布
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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X P
0
n－0 C0 C M N－M Cn N
1
n－1 C1 C M N－M Cn N
„ „
m
n－m Cm C M N－M n CN
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3．均值与方差
(1)均值
数学高考复习名师精品教案：第90课时：第十章 排列、组合和概率-随机变量的分布列、期望和方差
数学高考复习名师精品教案第90课时：第十章排列、组合和概率——随机变量的分布列、期望和方差课题：随机变量的分布列、期望和方差教学目的：1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。
2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。
教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力．教学过程：1．通览基础知识2.提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质在分析和研究上述例子的基础上，概括出：一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …，x i,…,ξ取每一个值x i (I=1，2，…)的概率为P(ξ= x i)=P i，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个简单性质：(1) P i≥0，I=1，2，…；(2) P1 +P2 + (1)3．讲参考例题例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。
解：设黄球的个数为n ，依题意知道绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中球的总数为7n 。
71n 7n )0(P ,72n 7n 2)1(P ,74n 7n 4)1(P ===ξ==-=ξ===ξ∴ 则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。
设分裂n 次终止的概率是）（⋯=,3,2,1n 21n 。
记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。
概率与概率分布PPT课件
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.8n次独立重复试验与二项分布课件理
【变式训练 2】 某中学为丰富教职工生活，国庆节举 办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．规则是：每 人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相 互独立．
P(A1)
＝
4 10
＝
2 5
，
P(A2)
＝
5 10
＝
1 2
，
所
以
P(B1) ＝ P(A1A2) ＝
P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝P(A1 A2 )＋
(2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域 随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正 方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间 的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)、P(A|B)．
[解] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
[解] (1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，B1＝{顾客抽奖 1 次 获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与
B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A2 ＋ A1 A2，C＝B1＋B2.因为
第10章 计数原理、概率、随机变量及分 布列
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
板块一 知识梳理·自主学习
2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率(2)教案新人教A版必修第二册
a.与物理学科的关联：探讨物理实验中的概率现象，如量子力学中的概率波函数等。
b.与生物学科的关联：研究遗传学中的概率问题，如基因遗传概率、疾病发病率等。
c.与经济学科的关联：分析投资、风险管理等方面的概率问题，如股票收益率的概率分布等。
课后作业
1.计算题：抛掷两个公正的骰子，求两个骰子的点数和为7的概率。
d.条件概率：使用Venn图和实际案例，如疾病检测的准确性问题，帮助学生理解在给定一个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
2.教学难点
-难点内容：概率乘法规则的适用条件及其理解；条件概率在实际问题中的运用；理解并区分独立事件与非独立事件。
-举例解释：
a.概率乘法规则的适用条件：解释在什么情况下可以使用乘法规则（即事件A和事件B的交集非空且A、B相互独立），通过具体问题让学生体会这一条件的重要性。
反馈作业情况：及时批改作业，提供个性化反馈，指导学生改进。
-学生活动：
完成作业：学生认真完成作业，巩固所学知识。
拓展学习：利用教师推荐的资源，进行自我学习和探索。
反思总结：学生对学习过程进行自我反思，提出改进建议。
-教学方法/手段/资源：
自主学习法：鼓励学生在课后进行自我学习和探索。
反思总结法：引导学生通过反思，促进自我提升。
4.探究题：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
答案：取出的两个球颜色相同的概率为P(两个红球) + P(两个蓝球) = (C(5,2) / C(10,2)) + (C(5,2) / C(10,2)) = 2 * (C(5,2) / C(10,2)) = 2 * (5 * 4 / (2 * 1)) / (10 * 9 / (2 * 1)) = 2/9 ≈ 0.2222，即22.22%。
高中数学必修二第十章概率考点大全笔记(带答案)
高中数学必修二第十章概率考点大全笔记单选题1、打靶3次，事件A i表示“击中i发”，其中i=0、1、2、3.那么A=A1∪A2∪A3表示（）A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确答案：B分析：利用并事件的定义可得出结论.A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选：B.2、已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（）A．0.852B．0.8192C．0.8D．0.75答案：D分析：由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.在20组随机数中含{2,3,4,5,6,7,8,9}中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次，=0.75.至少击中3次的频率为1520据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D3、下列事件属于古典概型的是（）A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B．篮球运动员投篮，观察他是否投中C．测量一杯水分子的个数D．在4个完全相同的小球中任取1个答案：D解析：根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选：D.4、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（）A．0.09B．0.96C．0.97D．0.98答案：B分析：根据互斥事件概率公式即得.记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与B+C是对立事件，所以P(A)=1−P(B+C)=1−0.03−0.01=0.96．故选：B.5、从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（）A．至少有1个红球B．至少有1个黑球C．至多有1个黑球D．至多2个红球答案：C分析：根据对立事件的定义判断即可由题，由对立事件的定义，“至少有2个黑球”与“至多有1个黑球”对立，6、已知集合M ={−1,0,1,−2}，从集合M 中有放回地任取两元素作为点P 的坐标，则点P 落在坐标轴上的概率为（ ）A ．516B ．716C ．38D ．58 答案：B分析：利用古典概型的概率求解.由已知得，基本事件共有4×4= 16个，其中落在坐标轴上的点为：(−1,0)，(0,−1)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(−2,0)，(0,−2)，共7个，∴所求的概率P =716， 故选：B ．7、某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5答案：A分析：由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.8、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”分析：根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事件互斥而不对立；对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，故B中的两事件不互斥；对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事件不是互斥事件；对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球”互斥并且对立.故选：A多选题9、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．P(B)的值不能确定，因为它与A1、A2、A3中究竟哪一个发生有关B．P(B|A1)=511C．事件B与事件A1相互独立D．A1、A2、A3是两两互斥的事件答案：BD分析：P(B)的值与A1、A2、A3都有关，可以计算，可判断A；由条件概率的计算公式计算可判断B；事件B与A1的发生有关系可判断C；A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件可判断D.A选项，P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922，所以A错误；B选项，P(B|A1)=510×51112=511，所以B正确；C选项，事件B与A1的发生有关系，所以C错误；D选项，A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件，所以D正确.故选：BD.10、小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04答案：BD分析：对于选项A，二者是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，通过计算得到线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率小于线路二所需时间小于45分钟的概率，所以选项C错误；对于选项D，求出所需时间之和大于100分钟的概率为0.04，所以选项D正确. 对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+69×0.1=39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04，所以选项D正确．故选：BD.小提示：本题主要考查概率的计算和应用，考查随机变量的均值的计算和应用，考查互斥事件和对立事件的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11、下列说法错误的是（）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3，则比赛5场，甲胜3场5B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%答案：ABC分析：根据频率与概率的概念分析可得答案.对于A ，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，是指每场比赛，甲胜的可能性为35，则比赛5场，甲可能胜3场、2场、1场、0场，故A 错误；对于B ，治愈率为10%，是指每个人治愈的可能性是10%，不是说前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，故B 错误；对于C ，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故C 错误；对于D ，天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%，故D 正确.故选：ABC填空题12、将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 答案：19分析：分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．根据题意可得基本事件数总为6×6=36个.点数和为5的基本事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为P =436=19.所以答案是：19. 小提示：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13、已知事件A ，B ，且P (A )=0.5，P (B )=0.2，如果A 与B 互斥，令m =P (AB )；如果A 与B 相互独立，令n =P (A B̅)，则n −m =___________. 答案：0.4##25分析：利用互斥事件的概念及独立事件概率公式即得.∵A 与B 互斥，∴m =P (AB )=0,∵A与B相互独立，∴n=P(A B̅)=P(A)P(B̅)=(1−0.5)×(1−0.2)=0.4，∴n−m=0.4.所以答案是：0.4.14、为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.82，则抽到一等品的概率为___________.答案：0.75##34分析：由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A，B，C，则{P(A)+P(B)=0.93 P(A)+P(C)=0.82P(A)+P(B)+P(C)=1，解得{P(A)=0.75P(B)=0.18P(C)=0.07，所以抽到一等品的概率为0.75.所以答案是：0.75.解答题15、某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：(每人被选到的可能性相同)．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M．答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析．分析：（1）从6名同学中随机选出2人，那么每个人都有可能被选到，将所有的组合列出来即可；（2）找出所有组合中，既满足2人来自不同年级，又满足恰有1名男同学和1名女同学的所有情况即可. 解（1）Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}．（2）M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}．。
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
2022版新教材高考数学一轮复习第十章概率随机变量及其分布10.4二项分布与超几何分布正态分布学案新
10.4二项分布与超几何分布、正态分布必备知识预案自诊知识梳理1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n 重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验. 显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征:①同一个伯努利试验重复做n 次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.2.二项分布定义:一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p<1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X=k )=k p k (1-p )n-k ,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X 的分布列具有上式形式,则称随机变量X 服从二项分布,记作X~B (n ,p ).温馨提示(1)二项式[(1-p )+p ]n 的展开式中,第k+1项为T k+1=k (1-p )n-k p k ,可见P (X=k )就是二项式[(1-p )+p ]n 的展开式中的第k+1项,故称随机变量X 服从二项分布.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:①在一次试验中,事件A 发生与不发生,二者必居其一,且A 发生的概率不变; ②试验可以独立重复进行n 次.(3)P (X=k )=∑k=0nk(1-p )n-k p k =[p+(1-p )]n =1.(4)两点分布是特殊的二项分布. 3.超几何分布 (1)定义一般地,假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取任取n 件(不放回),用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则X 的分布列为P (X=k )=C Mk -M n -kn,k=m ,m+1,m+2,…,r ,其中n ,M ,N ∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m=max{0,n-N+M },r=min{n ,M }.如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X 服从超几何分布. (2)超几何分布与二项分布的关系 不同点联系假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件,用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n 件产品中次品的分布规若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)其中p=MN;若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:(1)总体中含有两类不同的个体;(2)不放回的抽取,且无先后顺序;(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.4.正态密度函数与正态曲线(1)定义函数f(x)=σ√2π-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.(3)特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值)σ√2π.⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.5.正态分布(1)概念:①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.②表示方法:记为X~N(μ,σ2).③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.(2)正态分布的3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7, P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5, P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.上述结果可用右图表示.由此看到,尽管正态变量的取值X 围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X 的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N (μ,σ2)的随机变量X 只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b )n 二项展开式的通项,其中a=p ,b=1-p.() (2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X 服从超几何分布.()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.()(5)二项分布是一个用公式P (X=k )=k p k (1-p )n-k ,k=0,1,2,…,n 表示的概率分布列,它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.()2.某贫困县的15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X 个小镇交通不太方便,下列概率中等于C 64C 96C 1510的是()A.P (X=4)B.P (X ≤4)C.P (X=6)D.P (X ≤6)3.若随机变量X 服从二项分布B 4,23,则()A.P (X=1)=P (X=3)B.P (X=2)=2P (X=1)C.P (X=2)=P (X=3)D.P (X=3)=4P (X=1)4.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X 表示取到的次品数,则P (X=2)=.5.若随机变量X~N (μ,σ2),且P (X>5)=P (X<-1)=0.2,则P (2<X<5)=.关键能力学案突破考二项分布点及其应用【例1】九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:(1)若购进这批九节虾35 000 g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X,求X的分布列.解题心得利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型,解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布.对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为12,13,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列.考点超几何分布【例2】(2020人大附中高三月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率; (2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X 的分布列.解题心得求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N ,M ,n 的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率; 第三步,用表格的形式列出分布列.对点训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.考点正态分布及其应用(多考向探究)考向1正态分布的概率计算【例3】(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158 7,则P(2<X<4)=()A.0.682 6B.0.341 3C.0.460 3D.0.920 7(2)某校在一次月考中有900人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有人.解题心得正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或X围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.对点训练3(1)(2020某某开滦高三检测)已知随机变量X~N(7,4),且P(5<X<9)=a,P(3<X<11)=b,则P(3<X<9)=()A.b-a2B.b+a2C.2b-a2D.2a-b2(2)(2020某某扶余一中月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,25),若P(ξ>c)=P(ξ<c-2),则实数c的值是()A.4B.3C.2D.1考向2正态分布的实际应用【例4】为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.经计算得。
高考数学总复习第十章计数原理概率第7讲二项分布及其应用学案
第7讲 二项分布及其应用最新考纲 1.理解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1.条件概率(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(2)P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B ).( ) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.( ) 解析 对于(2)，若A ，B 独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )，若A ，B 不独立，则P (AB )＝P (A )·P (B |A )，故(2)不正确.答案 (1)√ (2)× (3)√2.(选修2－3P54T2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310B.13C.38D.29解析 设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件B ，依题意P (A )＝210＝15，P (AB )＝2×310×9＝115， 故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝13.答案 B3.设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516B.316C.58D.38解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得， P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.答案 A4.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16解析 设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，且A ，B 相互独立，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.答案 B5.(2017·嘉兴七校联考)天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9、0.8、0.75，若甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，则其中至少一个地方降雨的概率为________.解析 ∵甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9、0.8、0.75，∴甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是0.1、0.2、0.25， 甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.1×0.2×0.25＝0.005， 故至少一个地方降雨的概率为1－0.005＝0.995. 答案 0.9956.连续掷一个质地均匀的骰子3次，各次互不影响，则恰好有一次出现1点的概率为________. 解析 掷一次骰子出现1点的概率为P ＝16，所以所求概率为P ＝C 13·16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572.答案2572考点一 条件概率【例1】 (1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.12(2)(2014·全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析 (1)法一 事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.法二 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110410＝14.(2)记事件A 表示“一天的空气质量为优良”，事件B 表示“随后一天的空气质量为优良”，P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6.由条件概率，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.60.75＝0.8.答案 (1)B (2)A规律方法 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【训练1】 (2016·唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9解析 设“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.8.答案 C考点二 相互独立事件的概率【例2】 (2017·东阳调研)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立. (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (EF )＝13 ×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (E F )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为规律方法 (1)相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算. (2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【训练2】 为了迎接2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错的概率是112，乙、丙两个家庭都回答对的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率.解 (1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，且有⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）·P （C ）＝112，P （B ）·P （C ）＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧[1－P （A ）]·[1－P （C ）]＝112，P （B ）·P （C ）＝14， 所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答对的概率为P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝14×58×13＝596，有1个家庭回答对的概率为P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724， 所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.考点三 独立重复试验与二项分布【例3】 (2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列. 解 (1)记事件A 1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，A 2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，B 为“顾客抽奖1次能获奖”，则B 表示“顾客抽奖1次没有获奖”.由题意A 1与A 2相互独立，则A 1与A 2相互独立，且B ＝A 1·A 2，因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12， 所以P (B )＝P (A 1·A 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝310，故所求事件的概率P (B )＝1－P (B )＝1－310＝710.(2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C ， 由P (C )＝P (A 1·A 2) ＝P (A 1)·P (A 2)＝15，顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15， 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为规律方法 是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.【训练3】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.解 (1)设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为ξ”.依题意，ξ的取值可能为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＝C k 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123. 又每盘游戏得分X 的取值为10，20，100，－200.根据题意则P (X ＝10)＝P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝20)＝P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝100)＝P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝－200)＝P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.[思想方法]1.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝n （AB ）n （A ），其中，在实际应用中P (B |A )＝n （AB ）n （A ）是一种重要的求条件概率的方法.2.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P (AB )＝P (A )P (B ).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位. (1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k q n －k.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p .[易错防范]1.运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A ，B 相互独立时，公式才成立.2.独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件.3.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
2023年人教版高中数学第十章概率知识汇总笔记
(名师选题)2023年人教版高中数学第十章概率知识汇总笔记单选题1、2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为45，34，23，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ） A ．910B ．1920C ．2930D ．5960 答案：D分析：把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式计算作答.试验任务成功的事件M 是甲成功的事件M 1，甲不成功乙成功的事件M 2，甲乙都不成功丙成立的事件M 3的和， 事件M 1，M 2，M 3互斥，P(M 1)=45，P(M 2)=(1−45)×34=320，P(M 3)=(1−45)×(1−34)×23=130，所以试验任务成功的概率P(M)=P(M 1+M 2+M 3)=45+320+130=5960.故选：D2、素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k ，存在无穷多个素数对(p ，p +2k).其中当k =1时，称(p ，p +2)为“孪生素数”，k =2时，称(p ，p +4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p ､q (p <q )，令事件A ={(p ，q)为孪生素数}，B ={(p ，q)为表兄弟素数}，C ={(p ，q)|q −p ≤4}，记事件A ､B ､C 发生的概率分别为P(A)､P(B)､P(C)，则下列关系式成立的是（ ） A ．P(A)P(B)=P(C)B ．P(A)+P(B)=P(C)C ．P(A)+P(B)>P(C)D ．P(A)+P(B)<P(C) 答案：D解析：根据素数的定义，一一列举出不超过30的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，从而可列举出事件A 、B 、C 的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出P(A),P(B)和P(C)，从而可得出结果.解：不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，事件A 发生的样本点为(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)共4个， 事件B 发生的样本点为(3，7)、(7，11)、(13，17)、(19，23)共4个， 事件C 发生的样本点为(2，3)、(2，5)、(3，5)、(3，7)、(5，7)、 (7，11)、(11，13)、(13，17)、(17，19)、(19，23)，共10个， ∴P(A)=P(B)=445，P(C)=1045=29，故P(A)+P(B)<P(C). 故选：D.小提示：关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力. 3、抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ） A ．至多一枚硬币正面朝上B ．只有一枚硬币正面朝上 C ．两枚硬币反面朝上D ．两枚硬币正面朝上 答案：C分析：由对立事件的概念直接判断即可.由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”. 故选：C.4、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A ．0.6076B ．0.7516C ．0.3924D ．0.2484 答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P ＝0.42×0.32+C 21×0.6×0.4×C 21×0.7×0.3+ 0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A .小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.5、某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A 表示事件“正面向上”，则A 的（ ） A ．频率为35B ．概率为35C ．频率为12D ．概率接近35答案：A分析：根据频率和概率的知识确定正确选项. 依题意可知，事件A 的频率为1220=35，概率为12. 所以A 选项正确，BCD 选项错误. 故选：A6、某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都没中靶 答案：D分析：利用对立事件的定义判断可得出结论.对于A ，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶， “至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.故选：D.7、将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为（）A．17B．18C．19D．20答案：C分析：直接列举即可得到.一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个；方程有实数根，需满足b2−4c≥0；样本点中满足b2−4c≥0的有（2，1）､（3，1）､（3，2）､（4，1）､（4，2）､（4，3）､（4，4）､（5，1）､（5，2）､（5，3）､（5，4）､（5，5）､（5，6）､（6，1）､（6，2）､（6，3）､（6，4）､（6，5）､（6，6），共19个.故选：C8、“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（）.A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；B．小概率事件很少发生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；D．大概率事件就是必然事件，一定发生．答案：A分析：理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.“不怕一万，就怕万一”表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；故选：A9、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”，则事件M发生与否和事件N有关，故事件M和事件N与不是相互独立事件；对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；故选：C.10、龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为（）A ．25B ．12C ．310D ．35答案：A解析：利用古典概型的概率进行列举所有情况，然后即可求解依题意，阳数为1、3、5、7、9，故所有的情况为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共10种，其中满足条件的为(3,9)，(5,7)，(5,9)，(7,9)，共4种，故所求概率P =410=25故选A ．小提示：关键点睛：利用古典概型的概率进行求解，主要考查考生数学建模、数学运算、逻辑推理等能力，属于基础题11、从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是（ ） A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 答案：C分析：列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C12、下列叙述正确的是（）A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B．若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1C．频率是稳定的，概率是随机的D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小答案：B分析：由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；对于B，事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1，即B正确；对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；，即D错误，对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为15即叙述正确的是选项B，故选：B.小提示：本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题. 双空题13、一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：则4年内男婴的出生频率为________（保留4位小数）；这一地区男婴出生的概率约是_______ 答案： 0.5173 0.5173分析：求出每年内男婴出生的频率，从而可估计4年内男婴的出生频率，用频率来衡量概率即可 因为男婴出生的频率依次约为0.5200，0.5173，0.5173，0.5173. 这些频率非常接近0.5173，所以这一地区男婴出生的概率约为0.5173. 所以答案是：0.5173，0.517314、一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是__________，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A ， “第二次取到红球”为事件B ，则P (B|A )=__________. 答案： 35 35分析：（1）直接使用公式；（2）条件概率公式的使用. 恰有一个白球的概率P =C 21C 42C 63=35；由题可知A =“第一次取到红球”， B =“第二次取到红球”，则 P (A )=23，P (AB )=4×36×5=25， 所以P (B|A )=P (AB )P (A )=35.所以答案是：35，35.15、容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,10)内的频数为______，数据落在[6,10)内的概率约为______.答案： 64. 0.32.解析：（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式频数样本容量=频率，计算频数；（2）转化为求数据落在[6,10)内的频率.由题图易知组距为4，故样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4=0.32，频数为0.32×200=64，故数据落在[6,10)内的概率约为0.32. 所以答案是：64；0.32小提示：本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型. 16、掷一颗骰子，求出现下列事件的概率： （1）事件A “出现1点”，P (A )=______； （2）事件B “出现偶数点”，P (B )=______． 答案： 1612##0.5分析：根据给定条件，求出掷一颗骰子的试验的基本事件总数，再利用古典概率分别计算事件A ，B 的概率作答.依题意，掷一颗骰子的试验的基本事件总数为6，它们等可能， （1）事件A 含有的基本事件数为1，则P (A )=16；（2）事件B 含有的基本事件数为3，则P (A )=36=12. 所以答案是：16；1217、下列试验中，随机事件有________，必然事件有________．①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②打开电视机，正好在播新闻；③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个，全部都是黄球；④下周六是晴天． 答案： ②④ ①分析：结合勾股定理可判断①，打开电视机，看到播新闻是随机的，只有3个黄球，不可能摸4个黄球，下周六的天气是随机的．①是必然事件，③是不可能事件，②④是随机事件． 解答题18、从长沙高铁南站到黄花机场共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从高铁站到机场的人进行调查，调查结果如下：（1）试估计30分钟内能从高铁站赶到机场的概率；（2）某医疗团队急需从高铁站去机场支援某地疫情防控，需在40分钟内到达机场，为了尽最大可能在允许时间内赶到机场．请你从用时的角度，通过计算说明他们该如何选择路径． 答案：（1）p =8+18100=1350；（2）选择路径L 2.分析：（1）直接从表格得到频数为26，再除以总数，即可得到答案；（2）从表格计算走L 1路线40分钟内到达的概率为35，走L 2路线40分钟内到达的概率为34，比较概率大小，即可得到答案； （1）由题意得：p =8+18100=1350；（2）选择L 1：p 1=2440=35， 选择L 2：p 2=4560=34 由于P 1<P 2，选择路径L 2.19、在①高一或高二学生的概率为1114；②高二或高三学生的概率为47；③高三学生的概率为314这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.答案：(1)300(2)35分析：（1）若选①，则由题意可得600+500600+500+a =1114，从而可求出a的值，若选②，则由题意可得500+a600+500+a=47，从而可求出a的值，若选③，则由题意可得a600+500+a =314，从而可求出a的值，（2）根据分层抽样的定义可求得抽取的6人中，高一有4人，高三有2人，然后利用列举法列出这6人中任取2人的所有情况，再找出抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可（1）选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为600+500600+500+a =11001100+a=1114，解得a=300，所以a的值为300. 选②.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为500+a600+500+a =500+a1100+a=47，解得a=300，所以a的值为300. 选③.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为a600+500+a =314，解得a=300，所以a的值为300.（2）第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况高一的4人记为a，b，c，d，高三的2人记为A，B，则从这6人中任取2人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15种.第三步：列出至少有1人是高三学生的情况抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9种.第四步：根据古典概型的概率公式得解至少有1人是高三学生的概率为915=35.20、已知集合M={−2,3}，N={−4,5,6)，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；(4)说出事件A={(−2,−4),(−4,−2)}所表示的实际意义．答案：(1)答案见解析；(2)12(3)(3,5),(3,6),(5,3),(6,3)(4)得到的点是第三象限内的点.分析：（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；（2）由样本空间可得样本点的个数；（3）找出横纵坐标都大于0的样本点即可；（4）根据事件A中样本点的坐标可得实际意义.(1)样本空间为：{(−2,−4),(−2,5),(−2,6),(3,−4),(3,5),(3,6),(−4,−2),(5,−2),(6,−2),(−4,3),(5,3),(6,3)} (2)由知这个试验样本点的总数为12.(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).(4)事件A={(−2,−4),(−4,−2)}表示得到的点是第三象限内的点.。
第十章 第五节 离散型随机变量的分布列及数字特征
(1)C 解析：D(3X－1)＝9D(X)，只需求 D(X)的最大值即可，根据题意 a＋b
又 0≤p1≤1，∴0≤13 －d≤1，∴－23 ≤d≤13 .同理，由 0≤p3≤1，p3＝d＋13 ， ∴－13 ≤d≤23 ，∴－13 ≤d≤13 ，即公差 d 的取值范围是－13，13 .
3．随机变量 X 的概率分布列如下：
X0
1
2
3
4
5
6
P
1 a
1 a
C16
1 a
C26
1 a
C36
1 a
为
X x1 x2 …
xi
…
xn
P p1 p2 …
pi
…
pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 为 X 的数学期望或均值．
意义：离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平．
(2)离散型随机变量的方差定义：
设离散型随机变量 X 的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
X
－1
0
1
P
1 4
1 2
1 4
A．0 B．1 C．14
D．12
D 解析：E(X)＝－1×14 ＋0×12 ＋1×14 ＝0，
则 D(X)＝14 ×(－1－0)2＋12 ×(0－0)2＋14 ×(1－0)2＝12 .
高中数学第十章概率基础知识手册(带答案)
高中数学第十章概率基础知识手册单选题1、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8答案：C分析：把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有C42=6种，相邻的情况共有4种，=0.6，因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为610故选：C.2、打靶3次，事件A i表示“击中i发”，其中i=0、1、2、3.那么A=A1∪A2∪A3表示（）A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确答案：B分析：利用并事件的定义可得出结论.A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选：B.3、将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为（）A．17B．18C．19D．20答案：C分析：直接列举即可得到.一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个；方程有实数根，需满足b2−4c≥0；样本点中满足b2−4c≥0的有（2，1）､（3，1）､（3，2）､（4，1）､（4，2）､（4，3）､（4，4）､（5，1）､（5，2）､（5，3）､（5，4）､（5，5）､（5，6）､（6，1）､（6，2）､（6，3）､（6，4）､（6，5）､（6，6），共19个.故选：C4、下列事件属于古典概型的是（）A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B．篮球运动员投篮，观察他是否投中C．测量一杯水分子的个数D．在4个完全相同的小球中任取1个答案：D解析：根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选：D.5、甲、乙两个元件构成一串联电路，设E：甲元件故障，F：乙元件故障，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩F C．E∩F D．E∩F答案：A分析：根据当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，即可求解.由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为E∪F.故选：A.6、抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（）A．相互独立B．互斥C．既相互独立又互斥D．既不相互独立又不互斥答案：A分析：根据相互独立事件、互斥事件的知识确定正确选项.由于A∩B表示“向上的点数为1”，所以A,B不是互斥事件.P(A)=12,P(B)=26=13,P(AB)=16，所以P(AB)=P(A)⋅P(B)，所以A,B是相互独立事件，不是互斥事件.故选：A7、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等答案：C解析：根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.8、将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A．4B．40C．250D．400答案：D分析：直接利用频率的定义求解即可．∵一个容量为1000的样本分成若干组，某组的频率为0.4，∴该组的频数为：1000×0.4=400．故选：D．小提示：本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题．多选题9、小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04答案：BD分析：对于选项A，二者是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，通过计算得到线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率小于线路二所需时间小于45分钟的概率，所以选项C错误；对于选项D，求出所需时间之和大于100分钟的概率为0.04，所以选项D正确. 对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+69×0.1=39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04，所以选项D正确．故选：BD.小提示：本题主要考查概率的计算和应用，考查随机变量的均值的计算和应用，考查互斥事件和对立事件的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、对于事件A，B，下列命题正确的是（）A．如果A，B互斥，那么A与B也互斥B．如果A，B对立，那么A与B也对立C．如果A，B独立，那么A与B也独立D．如果A，B不独立，那么A与B也不独立答案：BCD分析：A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互独立事件的定义判断.A.如果A，B互斥，由互斥事件的定义得A与B不一定互斥，故错误；B.如果A，B对立，由对立事件的定义得A与B也对立，故正确；C.如果A，B独立，由相互独立事件的定义得A与B也独立，故正确；D.如果A，B不独立，由相互独立事件的定义得A与B也不独立，故正确；所以答案是：BCD11、已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，则下列结论正确的是（）A．如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.2，P(AB)=0.5B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)=0.7，P(AB)=0C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)=0.7，P(AB)=0D．如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.4，P(AB)=0.4答案：BD分析：A选项在B⊆A前提下，计算出P(A∪B)=0.5，P(AB)=0.2，即可判断；B选项在A与B互斥前提下，计算出P(A∪B)=0.7，P(AB)=0，即可判断；C、D选项在A与B相互独立前提下，计算出P(A∪B)=0.7，P(AB)=0.1，P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.4，P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.4，即可判断.解：A选项：如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.5，P(AB)=0.2，故A选项错误；B 选项：如果A 与B 互斥，那么P (A ∪B )=0.7，P (AB )=0，故B 选项正确；C 选项：如果A 与B 相互独立，那么P (A ∪B )=0.7，P (AB )=0.1，故C 选项错误；D 选项：如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.4，P(AB)=P (A )⋅P(B)=0.4，故D 选项正确. 故选：BD.小提示：本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题. 12、甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法错误的是（ ） A ．甲获胜的概率是16B ．甲不输的概率是12C ．乙输的概率是23D ．乙不输的概率是12答案：BCD分析：由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断.“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是1−12−13=16，故A 正确；设甲不输为事件A ，则事件A 是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)=16+12=23，故B 错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为16，故C 错误；设乙不输为事件B ，则事件B 是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(B)=13+12=56，故D 错误； 故选：BCD13、某人有6把钥匙，其中n 把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p ，则下列结论正确的是（ ） A ．当n =1时，p =16B ．当n =2时，p =13 C ．当n =3时，p =310D ．当n =4时，p =45答案：AC分析：根据n 不同的取值，分别计算对应概率求解. 当n =1时，p =5×16×5=16，选项A 正确； 当n =2时，p =4×26×5=415，选项B 错误； 当n =3时，p =3×36×5=310，选项C 正确；当n=4时，p=2×46×5=415，选项D错误.故选：AC填空题14、高一（11）班班主任准备安排A，B，C三位同学参与某一周的班级值日工作，其中周一周二安排一位同学，周三周四安排一位同学，周五安排一位同学，周六周日不安排，则A同学周三在值日的可能性是___________.答案：13分析：用列举法列出A，B，C三位同学参与一周的班级值日工作根据古典概型概率计算公式可得答案.周一周二安排一位同学，周三周四安排一位同学，周五安排一位同学，周六周日不安排共有周一周二A，周三周四B，周五C；周一周二A，周三周四C，周五B；周一周二B，周三周四A，周五C；周一周二B，周三周四C，周五A；周一周二C，周三周四B，周五A；周一周二C，周三周四A，周五B，6种方法，其中A同学在周三值日有周一周二C，周三周四A，周五B；周一周二B，周三周四A，周五C，2种方法，则A同学周三在值日的可能性是26=13.所以答案是：13.15、某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为_______________.答案：16分析：先计算出该班有既选考物理又选考地理的人数，再除以班级总人数即可求解设选考物理的学生为集合A，选考地理的同学为集合B，由题意可得：Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)，即28=21+14−Card(A∩B)，解得：Card(A∩B)=7，所以该班有7人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为742=16，所以答案是：16.16、设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________答案：0.98分析：利用对立事件和独立事件的概率公式计算．由题意目标未被击中的概率是(1−0.8)×(1−0.9)=0.02，所以目标被击中的概率为1−0.02=0.98．所以答案是：0.98．解答题17、已知集合M={−2,3}，N={−4,5,6)，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；(4)说出事件A={(−2,−4),(−4,−2)}所表示的实际意义．答案：(1)答案见解析；(2)12(3)(3,5),(3,6),(5,3),(6,3)(4)得到的点是第三象限内的点.分析：（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；（2）由样本空间可得样本点的个数；（3）找出横纵坐标都大于0的样本点即可；（4）根据事件A 中样本点的坐标可得实际意义. (1)样本空间为：{(−2,−4),(−2,5),(−2,6),(3,−4),(3,5),(3,6),(−4,−2),(5,−2),(6,−2),(−4,3),(5,3),(6,3)}(2)由知这个试验样本点的总数为12. (3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为(3,5),(3,6),(5,3),(6,3). (4)事件A ={(−2,−4),(−4,−2)}表示得到的点是第三象限内的点.18、科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为16O ，17O ，18O ，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为16O 占99.759%，17O 占0.037%，18O 占0.204%．现有3个16O ，2个17O ，n 个18O ，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是17O 的概率为23． (1)求n ；(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率． 答案：(1)1； (2)415.分析：（1）求出随机选取1个氧元素是17O 的概率，再利用对立事件概率公式计算作答.（2）对给定的16O ，17O ，18O 进行编号，列举出选取2个氧元素的所有结果，再借助古典概率公式计算作答.（1）依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是17O 的概率P 1=2n+5，则有1−2n+5=23，解得n =1，所以n =1.（2）记3个16O 分别为a ，b ，c ，2个17O 分别为x ，y ，1个18O 为m ，从中随机选取2个，所有的情况为：(a,b )，(a,c )，(a,x )，(a,y )，(a,m )，(b,c )，(b,x )，(b,y )，(b,m )，(c,x )，(c,y )，(c,m )，(x,y )，(x,m)，(y,m)，共15种，它们等可能，其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有(a,b)，(a,c)，(b,c)，(x,y)，共4种，其概率为P2=415，所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是415.。
第十章 统计与概率10-8离散型随机变量及其概率分布(理)
第10章 第8节一、选择题1．(2010·厦门质检)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为( ) A.1738 B.2738 C.1719 D.2719 [答案] B[解析] m ⎝⎛⎭⎫231＋m ⎝⎛⎭⎫232＋m ⎝⎛⎭⎫233＝1，∴m ＝2738.故选B. 2．(2010·辽宁理)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16 [答案] B[解析] 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是，则情形为两种，即甲为一等品，乙不是或乙为一等品甲不是，∴P ＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512，故选B. 3．从甲袋中摸出一个红球的概率为13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出一个球，则概率等于23的是( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率 [答案] C[解析] 两袋中各摸出一个球： ①甲红，乙红，P 1＝13×12＝16；②甲红，乙不是红，P 2＝13×⎝⎛⎭⎫1－12＝16； ③甲不是红，乙红，P 3＝⎝⎛⎭⎫1－13×12＝13； ④甲、乙都非红，P 4＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－12＝13. 因此A 的概率为56，B 的概率为16，C 的概率为23，D 的概率为12，故选C.4．(2010·山东省实验中学)种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为( )A ．p ＋q －2pqB ．p ＋q －pqC ．p ＋qD ．pq [答案] A[解析] 恰有一株存活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2pq .5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则E (ξ)＝( )A.1225B.2325C.1350D.4625 [答案] B[解析] 由条件知c ＋c 2＋c 3＋c 4＝1，∴c ＝1225，故分布列为故E (ξ)＝0×1225＋1×625＋2×425＋3×325＝2325，∴选B.6．(2010·江西文，9)有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率是p (0<p <1)．假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n [答案] D[解析] 采用正难则反的方法，都通不过测试的概率为(1－P )n ，则至少有一个通过测试的概率为1－(1－P )n .选D.7．在一次抽奖中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，则这10个小球中，中奖号码小球的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] C[解析] 设有x 个小球的号码为中奖号码，则 P (X ＝1)＝C x 1·C 10－x 3C 104＝821，∴x (10－x )(9－x )(8－x )＝480，将选项中的值代入检验知，选C.8．在四次独立重复试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.13B.23C.3281D.881 [答案] C[解析] 设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为P k ＝C 4k p k (1－p )4－k (k ＝0,1,2,3,4)，∴p 0＝C 40p 0(1－p )4＝(1－p )4，由条件知1－p 0＝6581，∴(1－p )4＝1681，∴1－p ＝23，∴p ＝13，∴p 1＝C 41p ·(1－p )3＝4×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281，故选C.9．(2010·衡阳模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1210·⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582 B ．C 119·⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 119·⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 119·⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 [答案] B[解析] 从口袋中任取一球，取到红球的概率为38.重复进行了ξ次取球试验，其中红球恰好取到了10次，ξ＝12即进行了12次试验，其中前11次试验中出现了9次红球，第12次试验结果为红球，∴P (ξ＝12)＝C 119·⎝⎛⎭⎫389×⎝⎛⎭⎫582×38. 10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 75⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235B ．C 72⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135 C ．C 75⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235D ．C 73⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235 [答案] B[分析] 关键是弄清S 7＝3的含义：S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7，而a i 的取值只有1和－1，故S 7＝3表示在a i 的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．[解析] S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝3表示七次取球试验中，有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P 1＝23，∴所求概率为P ＝C 72⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135. 二、填空题11．(2010·山东枣庄模拟)设随机变量X ～B (n,0.5)，且D (X )＝2，则事件“X ＝1”的概率为________(用数字作答)[答案]132[解析] ∵X ～B (n,0.5)，∴D (X )＝n ×0.5×(1－0.5)＝2，∴n ＝8.∴事件“X ＝1”的概率为P (X ＝1)＝C 81×0.5×0.58－1＝132. 12．为了了解学生的体能素质，随机抽取一小组进行体能检测，要求每位学生长跑、跳远至少通过一项才算合格，已知通过长跑测试的有2人，通过跳远测试的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既通过长跑测试又通过跳远测试的人数，且P (ξ>0)＝710，则该小组有______人．[答案] 5[解析] 设该小组共有x 人，其中既通过长跑测试又通过跳远测试的有y 人，则 ⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ>0)＝C y 1C x －y 1＋C y 2C x 2＝710(2－y )＋y ＋(5－y )＝x 解得x ＝5或x ＝11237(舍去)．所以该小组一共有5人．13．在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为________．[答案] 12[解析] 设第一次抽到理科题为事件A ，第二次抽到理科题为事件B ，则两次都抽到理科题为事件A ∩B ，∴P (A )＝35，P (A ∩B )＝310，∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12.[点评] 由于是不放回抽样，故在第一次抽到理科题条件下，相当于有2道理科题和2道文科题，从中抽一道，抽到理科题的概率为多少，故为P ＝12.14．(2010·上海大同中学模考)一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球，现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的，用ξ表示摸出的黑球数，则ξ的数学期望E (ξ)＝________.[答案] 32[解析] P (ξ＝0)＝C 33C 30C 63＝120，P (ξ＝1)＝C 32C 31C 63＝920，P (ξ＝2)＝C 31C 32C 63＝920，P (ξ＝3)＝C 30C 33C 63＝120，∴E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.三、解答题15．(2010·温州十校)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)从袋子里一次取出3个球，得4分的概率为P ＝C 32C 21C 53＝35.(2)依题意，ξ的可能取值为2,3,4.P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫352＝925，P (ξ＝3)＝C 21×35×25＝1225，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫252＝425，故ξ的分布列为故ξ的数学期望E (ξ)＝2×925＋3×1225＋4×425＝145.[点评] 取球问题是随机变量的常见题型，要注意球有无颜色限制，摸球的方法，终止摸球的条件，记分方法等等附加了哪些限制条件，请再练习下列两题：1°口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则换成对方进行下一次摸球；②每一次摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球．求在前三次的摸球中：(1)乙恰好摸到一次红球的概率； (2)甲至少摸到一次红球的概率；(3)甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望．[解析] 记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，“乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则 P (A )＝P (B )＝44＋8＝13，P (A －)＝P (B －)＝23，且事件A ，B 相互独立．(1)在前三次摸球中，乙恰好摸到一次红球的概率为 P ′＝P (A A －B )＋P (A －B B －) ＝13×23×13＋23×13×23＝29. (2)因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为 P 1＝P (A －·B )＋P (A －·B －·A －) ＝23×13＋⎝⎛⎭⎫233＝1427， 所以甲至少摸到一次红球的概率为 P 2＝1－P 1＝1－1427＝1327.(3)根据题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝P (A －·B )＝P (A －·B －·A －) ＝23×13＋⎝⎛⎭⎫233＝1427， P (ξ＝1)＝P (A ·A －)＝P (A －·B －·A ) ＝13×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝1027， P (ξ＝2)＝P (A ·A ·A －)＝⎝⎛⎭⎫132×23＝227，P (ξ＝3)＝P (A ·A ·A )＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 故ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝0×1427＋1×1027＋2×227＋3×127＝1727.2°袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13.(1)求m ，n 的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“第一次摸出3号球”为事件A ，“第二次摸出2号球”为事件B ，则P (B |A )＝m 9＝13， ∴m ＝3，n ＝10－3－1＝6. (2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.P (ξ＝3)＝1·C 31C 102＝115，P (ξ＝4)＝1·C 61＋C 32C 102＝15，P (ξ＝5)＝C 31C 61C 102＝25，P (ξ＝6)＝C 62C 102＝13.ξ的分布列为E (ξ)＝3×115＋4×15＋5×25＋6×13＝5.16．(2010·广东理，17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505克的概率． [解析] (1)重量超过505克的产品数量是 40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件． (2)Y 的分布列为(3)从流水线上取5 C 283C 122C 405＝28×27×263×2×1×12×112×140×39×38×37×365×4×3×2×1＝21×1137×19＝231703. 17．一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个岗遇到红灯的概率为p ，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为12. (1)若p ＝23，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过518，求p 的取值范围．[解析] (1)记“该学生在第i 个交通岗遇到红灯”为事件A i (i ＝1,2，…，5)， 则P (A －1A －2A 3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝112. 即该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为112.(2)“该学生至多遇到一次红灯”指“没有遇到红灯(记为A )或恰好遇到一次红灯(记为B )”，P (A )＝(1－p )2·⎝⎛⎭⎫1－123＝18(1－p )2， P (B )＝(1－p )2·C 31⎝⎛⎭⎫1－122×12＋C 21p (1－p )×⎝⎛⎭⎫1－123＝38(1－p )2＋14p (1－p )． 由18(1－p )2＋38(1－p )2＋14p (1－p )≤518得， 13≤p ≤83，又0≤p ≤1，且p ＝1时，首末两个交通岗都必遇到红灯，不合题意，所以p 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.。
概率论—损失分布
2021年4月9日14时47分
15
设B={零件是乙厂生产} 300个 乙厂生产
A={是标准件}
所求为P(AB) .
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
2021年4月9日14时47分
16
第一节 概率论与数理统计的基本概 念
（3）全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式用于某一事件的概率的计算。如果事件组满
足： ① A1 ，A2，… An两两互斥，且P（Ai）>0（i=1，…，n）； ② A1 +A2+… +An=U（U为整个样本空间），则对任何一
事件B皆有
随机变量X的期望值。
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第一节 概率论与数理统计的基本概 念
连续随机变量X的期望值
2 ( x )2 f ( x)dx
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第一节 概率论与数理统计的基本概 念
二、数理统计基本概念 1、统计推断：
从一般到具体方法称为演绎法，是概率论的研究方法。 从具体到一般方法称为归纳法，是数理统计研究方法。
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .
X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.2)3k , k 0,1,2,3
P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)
把观察一个 时数看作
=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2 =0.104
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之两 间随 的机 关事 系件
3. 先验概率
在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古 典法和频率法。 由普拉斯1814年提出。以想 象总体为对象，利用模型本身所 具有的对称性来事先求得概率， 故被称为先验概率 。 条件： （1）在一样本空间中，各样 本点出现的机会均等； （2）该样本空间只有有限 （n)个样本点。
理解统计独立的概念，对于灵活运用概率的乘法规则 很重要。现在用条件概率来加以表达，统计独立是指
若A和B在统计上相互独立(无关) ，这时乘法规则可以简化为
[例]假定有下列3000个社区的数据，如果随机地从这 个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率 低的社区的概率是多少? 属性 高犯罪率 低犯罪率 大 600 600 中 300 900 小 100 500 总和 1000 2000
国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。
1. 随机现象和随机事件
概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随 机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即 将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是 朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的 特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止 一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规 律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生 后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的 可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。 随机现象具有一定 条件呈现多种可能结 果的特性。 人们把随机现象的结 果以及这些结果的集合体 称作随机事件。
[例] 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现 其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌 曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流 行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。如果我们 随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜 欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲。 ①用数字证明P(A且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是 多少？ ③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三 个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是 多少？
第六章
本章是推 断统计的 基础。 主 要 内 容
概率与概率分布
基础概率
概率的数学性质
概率分布、期望值与变异数
参数估计和假设检验
总体参数 推断估计
抽样分布 参数估计
统计量
随机原则
假设检验
检验
推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断， 这是以概率论为基础的。
第一节 基础概率
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险 等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需 要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和为 9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子 连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚 掷24次，出现一次双6 的机会却很少。
频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显 而 说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的 统计学派也就被称为频率学派。
比如： 法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次， 正面的次数是2048，比例是0.5069 。 1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次， 正面的次数是12012，比例是0.5005 南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了10000次， 正面的次数是5067，比例是0.5067 。 再如： 保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研 究表明20－24岁的男性中明年死亡的概率是 0.0015，同龄的女性是0.0005，保险公司对男性的 保费就多收一些。
第二节
1.非负性
概率的数学性质
特别对必然事件 和不可能事件有
2.加法规则
如果事件A和事件B互斥，那么 如果A和B是任何事件(不一定互斥)， 加法规则更普通地表示为如下形式
[例]从一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红 桃或者方块的概率。
[例] 在一副52张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一 张红桃或爱司的概率。
在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所 述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然 后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立 的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前 一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽 取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用 条件概率的概念。
在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。 如前所述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放 回总体中去，然后再进行下一次抽取。使用回置抽样法， 先后两次抽取是彼此独立的。因为每一次抽取后抽取到的 单位都得返还，总体保持不变，前一次的结果不可能影响 到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退 还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用条件 概率的概念。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某 一随机现象进行观察）称之为随机试验。随机试验必须符 合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试 验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果 中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
1.样本点
2.样本空间
随机试验的每一个可能 的结果，称为基本事件 （或称样本点） 所有样本点的全体称作样本 空间(Sample space)，记作Ω
如果
则
（4）互斥事件——事件A和事件B不能同时 发生，则称B和A是互斥事件，或互不相容事 件，记作
（5）对立事件——事件A与事件B是互斥事 件，且在一次试验中必有其一发生，称A与B为 对立事件（逆事件），记作
（6）相互独立事件——事件A的发生与事 件B是否发生毫无关系，称A与B为相互独立事 件，记作
[例]用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得 到两张A的概率。
例：用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得到 两张A的概率。
[例 ] 为了研究父代文化程度对子代文 化程度的影响，某大学统计出学生中父亲 具有大学文化程度的占30％，母亲具有大 学文化程度的占20％，而双方都具有文化 程度的占有10％，问从学生中任抽一名， 父代至少有一名具有大学文化程度的概率 是多少？
4. 经验概率
求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联 系的事件A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A 是否发生了。假如做了 n 次试验，而记录到事件A发生了 m 次 （即成功 m 次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A 发生的频率
显然，频率具有双重性质：随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极 限值就是用频率法所定义的概率，即
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费
尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率 问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667— 1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一 1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯 (1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概 率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研 究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德
用古典 法求出 的概率
这样对于含有m个样本点的事件A，其出现 的概率为
m P ( A) n
用古典法求算概 率，在应用上有两个 缺点：①它只适用于 有限样本点的情况； ②它假设机会均等， 但这些条件实际上往 往不能得到满足。
[例] 掷两枚均匀的硬币， ①求 “两枚都朝上”的概率； ②求“一枚 朝上，一枚朝下”的概率。
[例] 根据上海市职业代际流动的统计，向下流动 的概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动的 概率是多少？ [例] 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影 响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占 30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而双方都具 有文化程度的占有10％，问从学生中任抽一名，父代 至少有一名具有大学文化程度的概率是多少素中，若其中第一组中有r1个不能
素都不相同的 情况下，排列
区分的元素，第2组中有r2个不能区分的元 素，…，第k组中有rk个不能区分的元素，
方式数为
且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为
[例] 从一幅洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法， 求至少得到1张A和一张K的概率是多少? [解]按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1张 A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其他)； 抽到1张A和2张K，用符号(AKK)表示；抽到2张A和1张K，用符号 （AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同， 必须对它们加以区别。 次序为AKO的样本点实现的概率是 次序为AKK的样本点实现的概率是 次序为AAK的样本点实现的概率是 再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)含有3！／2!＝3种排列方式 (AAK)含有3！／2!＝3种排列方式 （AKO)含有3！＝6种排列方式 所以，在三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是
加法规则可推广到对两个以上的事件，若事 件A，B，C…K都互斥，那么有 P (A或B或C…或K)＝P(A)+P(B)+P(C)… +P(K)
3.乘法规则
式中符号 和 代表条件概率。 应理 解为，“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是， A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之，B已经发生时A发生 的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。
总和
1200
1200
600
3000
[例]假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区， 得 到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少 属性 大 中 小 ? 总和 高犯罪率 低犯罪率 100 500 300 900 600 600 1000 2000