数学十字交叉法

2014备考之数学十字交叉法

一般情况下，我们是在“溶液问题”中引入“十字交叉法”，原理如下所示：重量分别为A和B的溶液，浓度分别为a和b，混合后的浓度为r。可得：

Aa＋Bb＝(A＋B)r⇒⇒A r b

B a r

-=

-

十字交叉法主要用于解决加权平均型问题，即由两个不同的“数值”混合在一起形成新的“平均值”的问题。十字交叉最终得到的是一个比例，关键在于确定这个比例是什么量的比例！十字交叉法常用的情况有以下五种：

一、溶液混合问题

两种不同浓度的溶液混合，得到的混合浓度大小居中，十字交叉所得到的比例为混合前溶液的质量之比或体积之比。

【例1】要将浓度分别为20%和5%的A、B两种食盐水混合配成浓度为15%的食盐水900克。问5%的食盐水需要多少克？（）

A. 250

B. 285

C. 300

D. 325

【答案】C

【解析】本题考查溶液混合。浓度为20%的溶液与浓度为5%的溶液混合后得到的混合溶液的浓度为15%，混合浓度大小居中。十字交叉法表示如下：

＝A B

即A

B

＝

10%

5%

＝

2

1

，故B溶液的质量为

1

3

×900＝300。因此，本题选择C选项。

【例2】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水。问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？（假设烧杯中盐水不会溢出）

A.6

B.5

C.4

D.3

【答案】B

【解析】浓度为10%的溶液与浓度为50%的溶液混合后得到的混合溶液的浓度为25%，十字交叉法表示如下：

＝

A B

即

A B ＝

25%5

15%3

=，可得50%浓度的溶液需要60克。60÷14＝4……4，即至少需要加5次。因此，本题选择B 选项。

二、增长率混合

总量的两个分量增长率混合，得到的混合增长率大小居中，十字交叉所得到的比例为两个分量的基期量之比。

【例3】某公司2011年前三季度营业收入7650万元，比上年同期增长2%，其中主营业务收入比上年同期减少2%，而其他业务收入比上年同期增加10%，那么该公司今年前三季度主营业务收入为（ ）。

A.3920万元

B.4410万元

C.4900万元

D.5490万元

【解析】本题考查增长率的混合。十字交叉法表示如下：

2

1

=

可得2010年前三季度主营业务收入与其他业务收入之比为2：1，主营业务收入占总收

入的比重为

2

3。2010年前三季度营业收入为7650÷（1＋2%）＝7500（万元），主营业务收入为2

750050003

⨯=万元，则2011年前三季度主营业务收入为5000×（1－2%）＝4900万

元。因此，本题选择C 选项。

【例4】某人持有两只股票，某日收盘时A 股损失2%，B 股上涨10%，其两只股票总价

15%

25%

25%

50%

10%

值为22950元，总体上涨2%，则收盘时A 股价值为（ ）元。

A. 15000

B. 14700

C. 15450

D. 7500

【答案】B

【解析】本题考查增长率问题。十字交叉法表示如下：

可得A 、B 两股的总价值之比为

8%24%1A B ==，因此A 股的原价值为229502

1500012%3

⨯=+元，

收盘时损失2%，则收盘时的价格为15000×（1－2%）＝14700（元）。因此，本题选择B 选项。

三、平均数混合

两组数据混合，得到的混合平均数大小居中，十字交叉所得到的比例为两组数据的数量之比。

【例5】在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（ ）。

A.48

B.45

C.43

D.40

【答案】B

【解析】平均数混合，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分，利用十字交叉法可得：

可得男选手与女选手的人数比为7：8，因此总人数应该是15的倍数，而已知全部选手人数在35到50之间，其中只有45是15的倍数，则全部选手人数为45人。因此，本题选择B 选项。

87

72

65

80

【例6】某班一次数学测试，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，则女生人数是男生人数的多少倍？（ ）

A. 0.5

B. 1

C. 1.5

D. 2

【解析】本题考查平均数混合。男生的平均分为88分，女生的平均分为93分，男女混合后总的平均分是91分，大小介于男生和女生之间，十字交叉法表示如下：

则女生人数与男生人数的比值为3：2，即女生人数是男生的1.5倍。因此，本题选择C 选项。

【例7】某单位共有A 、B 、C 三个部门，三部门人员平均年龄为38岁、24岁、42岁。A 和B 两部门人员平均年龄为30岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员平均年龄为几岁？（ ）

A. 34

B. 36

C. 35

D. 37

【答案】C

【解析】本题属于平均数问题。利用十字交叉法算得A 、B 两部门的人数之比为3：4，B 、C 两部门的人数之比为4：5，故A 、B 、C 三部门的人数之比为3：4：5，则平均年龄为

383244425

35345

⨯+⨯+⨯=++岁。因此，本题选择C 选项。

四、利润率混合

两种不同利润率的商品混合，得到的混合利润率大小居中，十字交叉得到的比例为两种利润率混合前所对应商品的销量之比。

【例8】甲、乙两种商品，其成本价共100元，如甲乙商品分别按30%和20%的利润定价，并以定价的90%出售，全部售出后共获得利润14.3元，则甲商品的成本价是（ ）。

A.55元

B.60元

C.70元

D.98元

【答案】C