第5课时集合的运算--并集教师版

第 五课时 集合的运算---并

集 【学习导航】

知识网络

学习要求

1．理解并集的概念及其并集的性质；

2．会求已知两个集合的并集；

3．初步会求集合的运算的综合问题；

4．提高学生的分析解决问题的能力. 【课堂互动】

自学评价

1．并集的定义：

一般地，___________________________ ______________________，称为集合A 与集合B 的并集(union set) 记作__________ 读作“___________”.

交集的定义用符号语言表示为：

__________________________________ 交集的定义用图形语言表示为：

_________________________________ 注意：

并集（A ∪B ）实质上是A 与B 的所有元 素所组成的集合，但是公共元素在同一 个集合中要注意元素的互异性.

2．并集的常用性质：

（1） A ∪A = A ；

（2） A ∪∅= A ；

（3） A ∪B = B ∪A ；

（4）(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C)；

（5） A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B

3．集合的并集与子集：

思考:

A ∪B=A ，可能成立吗？A ∪U C A 是什么 集合？ 【答】________________________ 结论： A ∪

B = B ⇔ A ⊆B 【精典范例】 一、求集合的交、并、补集 例1． 根据下面给出的A 、B ，求A ∪B ①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}； ②A={y|y=x 2-2x}，B={x||x|≤3}； ③A={梯形}，B={平行四边形}． 【解】 ① A ∪B={-1，0，1，2，3}； ② A ∪B={ x| x ≥-3}； ③ A ∪B= { 一组对边平行的四边形} 例2． 已知全集U=R ，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x ≤0，或x ≥52}， 求： ①(A ∪B)∩P ②()U

C B ∪P ③ (A ∩B)∪()U C P ． 【解】 ① ∵A ∪B=[-4，3]， ∴ (A ∪B)∩P=[-4，0]∪[52，3] ② U C B =(-∞，-1]∪(3，+∞) ∴ ()U C B ∪P= P ={x|x ≤0，x ≥52} ③ A ∩B=(-12)， U C P =（0，52） ∴ (A ∩B)∪()U C P =（-1，52）． 点评: 求不等式表示的数集的并集时，运用 数轴比较直观，能简化思维过程 例3： 已知集合A={y|y=x-1，x ∈R}，B={(x,y)|y=x 2-1，x ∈R}，C={x|y=x+1，y ≥3}， 求()A C B . 分析：首先弄清楚A ，B ，C 三个集合的元素 究竟是什么？然后再求出集合的有关

运算.

听课随笔

【解】

∵ A={y|y=x-1，x ∈R}=R 是数集，

B={(x,y)|y=x 2-1，x ∈R}是点集， C={x|y=x+1，y ≥3}={x|x ≥2} ∴ ()A C B =∅

点评:

本题容易出现的错误是不考虑各集合的

代表元，而解方程组．

突破方法是：进行集合运算时，应分析集合内的元素是数，还是点，或其它． 追踪训练一

1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A ∪B ；

2.已知A={y|y=x 2-1}，B={y|x 2=-y+2} 求A ∪B ；

3.写出阴影部分所表示的集合： 图1

B

U

A

C

U B

A 图2

4.集合U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4} A={2，3，5}

求：()U C A B 与()()U U C A C B ．

二、运用并集的性质解题 例4： 已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0}，A ∪B=A ，求a ，b 的值或a,b 所满足的条件． 分析：由于A ∪B=A ，可知：B ⊆ A ，

而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a ，b 满足的值或范围． 【解】 ∵ A={x|x 2-1=0 }={1，-1} ∵A ∪B=A ， ∴ B ⊆A ①当B=∅时 , ⊿=4a 2-4b<0 ②当B={-1}时，a=--1，b=1 ③当B={1 }时，2a=1+1=2，即a=b=1 ④当B={-1，1}时，B=A={-1，1 }， 此时a=0，b=-1 综上所述a,b 的取值范围为： ⊿=4a 2-4b<0或a=-1，b=1 或a=0，b=-1 或a=--1，b=1 点评: 利用性质：A ∪B=A ⇔ B ⊆ A 是解题的 关键，提防掉进空集这一 陷阱之中． 追踪训练二

1. 若集合P={1，2，4，m}，Q={2，m 2}， 满足P ∪Q={1，2，4，m}，求实数m 的值组成的集合．

2. 已知集合A={x|x 2-4x+3=0}，B={x|x 2-ax -1=0}，C={x|x 2-mx+1=0}，且A ∪B=A A ∩C=C ，求a ，m 的值或取范围. 听课随笔

思维点拔：

例5：

若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，

（1）若A∪B=A∩B，求a的值；

（2）∅ A∩B，A∩C=∅，求a的值．

点拔：

解决本题的关键是利用重要结论：

A∪B=A∩B⇒ A=B 【师生互动】

听课随笔

⊂≠