概率论答案

数学兴趣小组---概率论自测习题（一）答案
第二章 随机变量及其分布
一、填空题
1. 设~()X P λ，且(1)(2P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，
2(03)P X <<=__________。

解：1
2
2
(1)2(0)1!
2!
2
P X
e
e
λ
λ
λλλλλλ--==
=
⇒=
⇒=>
2(1)1(0)110!
P X P X e e λλ--≥=-==-
=-
22(03)(1)2P X P X e -<
<===
2. 设 X ～⎩⎨
⎧<<=0
1
02)(x x x f ，对X 的三次独立重复观察中，事件{X ≤0.5}出现
的次数为随机变量Y,则P{Y =2}= 9/64 。

解：P{X ≤0.5}=0.25, Y 服从B(3,0.25)分布,则P{Y=2}=75.025.02
23C =
64
9 3. 设随机变量X 在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X 进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率为 。

解：P(X ＞3)=
⎰
5
3
31dx = 32, 则所求概率即为27203231323
23223=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C 4. 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，设Ф（x ）为标准正态分
布函数，已知Ф（2.5）=0.9938,则X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为 0.9876 。

5. 在区间[0, a ]上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0, a ]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，则X 的分布函数
F(x)=。

6. 设X ~U(0,2),则Y=2
X 在(0,4)内的概率密度=
)(y f Y y
41。

解：当0＜y ＜4时，)(}{}{}{)(2
y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=
此时，=)(y f Y y
y f y
y F y F X x Y 21)
(21)
()(='='=
y
41
7. 设随机变量X 的概率密度函数221
(),x x f x Ae
-+-=则A =________，
E(X )=________
________。

解：
2
22
(1)1(1)1x dx x Ae
dx A --
+∞---∞
-∞
=
=⎰
⎰
2
2(1)1x dx dx A --
+∞-∞
=⇒=
8. 设X 服从泊松分布. （1）若2
(1)1P X e -≥=-，则2
EX =__________；（2）若
212EX =，则(1)P X ≥=__________。

解：()0,1,2,
!
k
P X K e k k λ
λ-==
=
0λ>
（1）2(1)1(0)1110!
P X P X e e e λλλ
---≥=-==-
=-=- 2.λ∴=
2
2
2
2()DX EX EX EX λλ==-=-， 22246EX λλ∴=+=+=
（2）2
2
212120
(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==
所以 3(1)11P X e
e λ
--≥=-=-
二、 单项选择题单项选择题
1．下列函数可作为概率密度的是（ ）. （A ）||
(),x f x e
x R -=∈； （B ）2
1
(),(1)
f x x R x π=
∈+； （C
）2
2,0,()0,0;
x
x f x x -⎧≥=<⎩
（D ）1,||1,
()0,|| 1.x f x x ≤⎧=⎨
>⎩
解：A ：
||0
222x x x e dx e dx e dx +∞+∞+∞----∞===⎰
⎰
⎰
∴ 错.
B ：
211arctan []1(1)22
dx x x πππππ+∞
+∞
-∞
-∞==+=+⎰ 且 2
1
()0(1)
f x x R x π=≥∈+ ∴ 选B. 2．下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）. （A ）21()1F x x =
+； （B ）11
()arctan 2F x x π
=+； （C ）1(1),
0()20
,0;x
e x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩ （D ）()()x F x
f t dt -∞=⎰，其中() 1.f t dt +∞-∞
=⎰
解：对A ：0()1F x <≤，但()F x 不具有单调非减性且()0F +∞= ∴A 不是.
对B ：arctan 22
x π
π
-
≤≤
∴ 0()1F x ≤≤.
由arctan x 是单调非减的 ∴ ()F x 是单调非减的.
11()()022F ππ-∞=+⋅-= 11()122
F π
π+∞=+⋅=.
()F x 具有右连续性. ∴ 选B.
3．设随机变量2
~(1,2)X N ，其分布函数和概率密度分别为()F x 和()f x ，则对任意实数x ，下列结论中成立的是（ ）.
（A ）()1()F x F x =--； （B ）()()f x f x =-； （C ）(1)1(1)F x F x -=-+； （D ）11122x x F F -+⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 解：
2~(1,2)()X N f x ∴以1x =为对称轴对称.
(1)(1)P X x P X x ∴>+=≤-
即 (1)1(1)1(1)F x P X x F x -=-≤+=-+ ∴ 选C.
4. 设 X ～ϕ(x),且ϕ (-x)= ϕ(x),其分布函数为F(x),则对任意实数a, F(-a)=( B )。

A.1-⎰a
dx x 0)(ϕ B. 2
1
-⎰a
dx x 0)(ϕ C. F(a) D.2F(a)-1
5. 设X ～N(μ,2σ),则随着σ的增大，P(|X-μ|＜σ）（ C ）。

A.单调增大
B.单调减少
C.保持不便
D.增减不定
6．设随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则35-=X Y 的分布函数)(y F Y 为（ ）.
（A ）)35(-y F X ； （B ）3)(5-y F X ；
（C ）⎪⎭
⎫
⎝⎛+53y F X ； （D ）.3)(51+y F X
解：))3(5
1
()35()()(+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Y
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=53y F X ∴ 选C.
7．设随机变量X 取非负整数值，)1()(≥==n a n X P n ，
且1=EX ，则a 的值为（ ）。

（A ）
253+； （B ）25
3-； （C ）2
53±； （D ）5/1.
解：∑∑∑∑∞
=∞
=∞
===-∞
='
-='
===
=1
1
1
1
)1()(1n n n a
X n a
X n
n n n
X a X a na
a na
EX
2
)1(1
1a a
x x a a X -='⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-==
∴ 253,013,)1(2
2
±=
=+--=a a a a a ，但1<a .∴ 2
5
3-=a . ∴ 选B. 8. 设X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C 和0>ε，必有（ ）.
（A ）εε/||)|(|C X E C X P -=≥-； （B ）εε/||)|(|C X E C X P -≥≥-； （C ）εε/||)|(|C X E C X P -≤≥-； （D ）2
/)|(|εεDX C X P ≤≥-. 解：||||||
(||)()()X C X C X C P X C f x dx f x dx ε
ε
εε
-≥-≥--≥=
≤⎰
⎰
||
1
()||X C f x dx E X C ε
ε
+∞-∞
-≤=
-⎰
∴ 选C.
三、计算题
1. 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分且96分以上的考生数占
2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

解：设X 表示考生的外语成绩，且X ～N(72,2σ),则 P(X ＞96)=1-P(X ≤96)=1-Φ(σ
24
)=0.023,
即Φ (
σ
24
)=0.977,查表得
σ
24
=2，则σ =12，即且X ～N(72,144)，
故P(60≤X ≤84)=P(-1≤
12
72
-X ≤1)=2Φ(1)-1=0.682
2. 设一大型设备在任何长为t 的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为λt 的泊松分布，求：
（1）相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布；
（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率。

解：（1） 只需求出T 的分布函数F(t)： 当 t ＜0时，F(t)=P(T ≤t)=0
当 t ≥0时，F(t)=P(T ≤t)=1-P(T ＞t)=1-P(N(t)=0)=t t e e t λλλ--=-0)(!
01
1 可见T 服从参数为λ的指数分布。

（2）P(T ＞16|T ＞8)=t
t t e
e e T P T P 8816)
1(1)1(1)8()16(---=----=>> 3. 设随机变量X 的绝对值不大于1，P(X =-1)=
81,P(X =1)=4
1
,在事件{}11X -<<出现的条件下，X 在区间（-1，1）内的任意子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，
求X 的分布函数F(x)。

解：显然， P(-1＜X ＜1＝ =
8
5
. 设-1＜a ＜b ＜1,则P(a ＜X ＜b ＝= k(b-a) 且 P(-1＜X ＜1＝=k(1-(-1))=2,则k=
2
1
,在事件(-1＜X ＜-1＝出现的条件下，X 在区间（-1，1）内的子区间上（0,x ）取值的条件概率为
P(-1＜X ≤x|-1＜X ＜1＝=
)1(21
8
5)1()11()11,1(+=≤<-=<<-<<-≤<-x x X P X P X x X P ,
故P(-1＜X ≤x)=
16
5
(x+1) ∴ ⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1111)75(16
1
10)(x x x x x F
4. 设随机变量X 的概率密度函数)
1(1
)(2
x x f X +=π，求随机变量Y=1-3X 的概率密度函数。

解：Y 的分布函数为})1({}1{}{)(3
3y X P y X P y Y P y F Y -≥=≤-=≤=
=))1((1})1({13
3y F y X P X --=-≤-
则：=)(y f Y ))1(()1(3)1()1(3))1(()(3
223y f y y y F y F X X
Y --=---'-=' =]
)1(1[1
)
1(362
y y -+-π
5. 设随机变量X 的概率密度 )(x f X =x e -，x ≥0，求Y=X e 的概率密度)(y f Y 。

解：因为X Y e =的取值范围是(1,)+∞，且()x
y g x e ==是严增函数，其反函数为
()ln()x h y y ==，及()1/h x y '=，所以Y 的密度函数为
21
,1,
(ln )1,1()0,0,.
X Y y p y y y y
p y ⎧>⎧>⎪⎪==⎨⎨⎪⎩⎪⎩
其他其他
四、应用题
1. 有一大批产品，其验收方案如下。

先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。

若产品的次品率为10％，求
（1） 这批产品经第一次检验就能接受的概率。

（2） 需做第二次检验的概率。

（3） 这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。

（4） 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。

这批产品被接受的概率。

解： 设X =“第一次检验的次品数”，Y =“第二次检验的次品数”，p=10％ =0.1，则X b(10,0.1), Y
b(5,0.1)
（1） P{X=0}=
=0.910≈0.349
（2） P{1X 2}=P{X=1}+P{X=2}=≈0.581
（3） P{Y=0}=
=0.95≈0.590
（4） P{Y=0,1X 2}=P{Y=0}P{1X 2} 两事件相互独立
=0.590.581≈0.343
（5） P （{X=0}{Y=0,1X 2}）=0.349+0.343=0.692
2. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为
，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月
要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求P{Y
}。

要点： 5次5重Y b(n,p)=b(5,p)，p 由X 的分布求。

解： Y b(5,p)
p =P{X }=
Y 的分布律为 P{Y=k}=，k=0，1，2，3，4，5
P{Y }=1－P{Y
}=1－P{Y=0}=1－
=0.5167
五、 证明题
1. 设X 服从参数为2的指数分布，求证：Y=1-X e 2-在[0，1]上服从均匀分布。

证明：因为X 服从参数为2的指数分布，所以X 的密度函数为2()2,0.x
X p x e
x -=>
Y=1-X e 2-的取值范围为[0，1]，且2()1x
y g x e
-==-是单调递增，其反函数为
1
()ln(1)2
x h y y ==--。

故当01y <<时Y 的密度函数为
1
()(())()2(1)
1.2(1)
Y X p y p h y h y y y '==-=-
所以Y=1-X e 2-在[0，1]上服从均匀分布。

2. 设随机变量X 仅在区间[,]a b 上取值，试证2
,()2b a a EX b Var X -⎛⎫
≤≤≤ ⎪⎝⎭。

证明：不妨设X 是连续型随机变量，其密度函数为()p x ，则
()()()()b b b
a
a
a
a a p x dx xp x dx E X
b p x dx b =≤=≤=⎰⎰⎰
()()222
2
.222a b a b b a Var X E X E X E X E b ++-⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-≤-≤-=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
3. 设()g x 为设随机变量X 取值的集合上的非负单调不减函数，且()()E g X 存在，证明：对任意的0ε>，有()()
()()
E g X P X g εε>≤。

不妨设X 是连续型随机变量，其密度函数为()p x ，则
()()()
()()()()().()()()
E g X g x g x P X p x dx p x dx p x dx g g g ε
ε
εεεε+∞
+∞
+∞-∞>=≤≤=⎰
⎰
⎰。