小学数学《巧求周长和面积》练习题(含答案)

小学数学《巧求周长和面积》练习题（含答案）
“巧求周长和面积”的相关内容我们在寒假小4第四讲给予过一定的讲解. 本讲我们主要在原有知识的基础上进行提高巩固，同时加入一些新的知识，帮助我们更好的过渡到五年级几何部分的学习. 对于一些非常典型的例题，我们采用“重复加强”的学习方法，帮助孩子们牢固掌握. 奥数的题目虽然很多，但一些经典题目，常常会以原题形式出现在各个中学入学测试题中，希望我们的孩子能戒骄戒躁，温故而后知新，清晰彻底的掌握理解自己学习过题目.
你还记得吗
【复习1】若干个长2cm、宽1cm的长方形摆成如右图的形状，求该图
形的周长.
分析：观察图形，上下共有13层，所以左、右的高共长：1×13×2=26(cm)；
从下层往上数，第四层最长，有2×10=20cm，所以上下的宽共有：
20×2=40(cm)，故该图形的周长为：26+40=66(cm) .
【复习2】右图中是一个方形螺线.已知两相邻平行线之间的距离均为l厘米，
求螺线的总长度.
分析：如下图所示，将原图形转化为3个边长分别为3、5、7厘米的正方形和中间
一个三边图形.
所以螺线的总长度为：（3+5+7）×4+1×3=63 cm .
【复习3】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照右图的
样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方
厘米？
分析：每多盖一张，遮住的面积增加2×1，所以这10张纸片所盖住的桌面的面积是3×2+2×1×9=24cm2.
巧求周长
【例1】图1、图2都是由完全相同的正方形拼成的，并且图1的周
长是22厘米，那么图2的周长是多少厘米？
分析：图1的周长是小正方形边长的12倍。

图2的周长是小正方形边长的18倍．
因此，图2的周长=22÷12×18=33(厘米)
【巩固】右图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400
平方厘米，那么它的周长是多少厘米?
分析：因为400÷16=25(平方厘米)，所以每个正方形的边长是5厘米.观察右
图，从上下方向来看有14条边是周长的一部分，从左右方向来看有20条边是
周长的一部分，所以周长为170厘米.
【例2】计算右面图形的周长(单位：厘米).
分析：要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件.但是，我们仔细观察
这个图形，发现它的每一个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的
线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图)，这样正好移补成一个长方形。

求长方形的周长就易如反掌了.图形的周长是：(10+15)×2=50(厘米) .
【例3】（希望杯1试）如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。

这9个小长方形的周长之和是多少厘米？
分析：从总体考虑，在求这9个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、AD这四条边被用了1次，其余四条线被用了2次，所以9个小长方形的周长之和是：4×6+4×
2×6=72（厘米）.
【拓展】正方形ABCD的边长为3厘米，每边被3等分，求图中所有正方形周长的和. 分析：分类进行统计，
边长为1厘米的正方形的周长的和是：1×4×(3×3)=36(厘米)，
边长为2厘米的正方形周长的和是：2×4×(2×2)=32(厘米)，
边长为3厘米的正方形周长是：3×4×(1×1)=12(厘米)，
图中所有正方形周长的和是：36+32+12=80(厘米).
【例4】如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具
有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙 .甲的
边长为4厘米，乙的边长是甲边长的1.5倍，丙的边长是乙边长的1.5倍，那
么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？
分析：乙的周长实际上是正方形AHJE的周长（我们可将乙与甲重合的部分“掰
过来”），同理丙的周长也就是正方形ABCD的周长，那么AE=1.5×4=6 ，AD=1.5
×6=9，丙的周长为36厘米，EF =AE-AF=6-4=2（厘米）.
【例5】用若干个边长都是2cm的平行四边形与三角形（如
下图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长
是244cm，平行四边形和三角形各有多少个？
分析：40个 .大平行四边形上、下两边的长为（244-2×2）÷2=120（cm），观察上边，每6cm有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形（120÷6）×2=40（个），三角形数量与小平行四边形的数量相等，也是40个.
【巩固】如果将大平行四边形的周长改为236cm，大平行四边形上、下两边的长为（236-2×2）÷2=116（cm），观察上边，每6cm有两个平行四边形的边，116÷6=19……2，所以有三角形19×2=38，小平行四边形38+1=39（个）.
巧求面积
【例6】一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加30米(如图虚
线所示)，则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米?
分析：小正方形的面积为：30×30=900平方米．用增加的面积减去小正方形的面积
就得到增加的两个长方形的面积，为：9900—900=9000平方米．而增加的两个长方
形的面积相等，于是其中一个长方形的面积等于9 000÷2=4500平方米．
长方形的宽为30米，那么长为：4500÷30=150（米），150×150=22500（平方米）.
【例7】长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画
正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积
是多少平方厘米?
分析：从图形我们可以看出，A1B的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD
周长的一半，可以看出若以A1B和BC1为边能构成大正方形A1BC1E1(如下图b所示)，其
中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，
两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形A1BC1E1
的边长为15厘米，面积为：225平方厘米，正方形CDD1C1与正方形ADEA1的面积
之和为：290÷2=145(平方厘米)．长方形ABCD与长方形EDD1E1的面积相等．所以，
长方形ABCD的面积为：(225—145)÷2=40(平方厘米)．
【巩固】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分
别44cm2与28cm2，原正方形纸片面积是多少平方厘米？
分析：做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为44－28=16，
a=4, b=28÷4=7，原正方形面积=7×7=49（平方厘米）.
【例8】正三角形ABC的面积是1m2，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六
个端点得到一个六边形（如右图），求六边形的面积.
分析：采用分割法，右下图中所有小三角形的面积都相同，所以
面积=13.
【巩固】右图是一个长方形花坛，阴影部分是草地，面积为18平方米，空地是四
块同样的菱形，求空地的面积.
分析：采用分割的思路，如右下图，添加3条与宽平行的线，
形成4个长方形，其中的阴影部分面积为小长方形面积的一半，
所以总的阴影面积为总面积的一半，空地的面积等于阴影面积
为18平方米.
综合应用
【例9】（希望杯1试）如右图，六个相同的长方形围成了大小两个正方形，已知小
正方形的面积是36平方厘米，则每个小长方形的面积是多少平方厘米？
图4
分析：小正方形的面积为36平方厘米，则边长为6厘米，所以小长方形的长为6厘米，2个宽+长=2个长，所以小长方形的宽等于3厘米，每个小长方形的面积为18平方厘米.
【例10】如右图的长方形纸片，假如按图中虚线剪成4块，这4块纸片可拼成
一个正方形.那么所拼成的正方形的周长是多少厘米? (单位：厘米)
分析：根据形变其面积不变的原理，所拼成的正方形面积是：9×(12+4)=144(平
方厘米)，由正方形面积计算公式可知正方形的边长是12厘米，即144=12×12，
所以，所拼成的正方形的周长是：12×4=48(厘米).
【例11】（迎春杯初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH，
中间阴影为正方形。

已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD
的面积是20cm2，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和.
分析：大正方形面积等于四边形ABCD面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即
20+32÷2=36（厘米2）。

推知大正方形边长为6厘米，也就是小长方形的长加宽为
6厘米，所以一个小长方形的周长为12厘米，甲、乙、丙、丁周长的总和等于48
厘米.
【例12】（06年希望杯2试）如右图，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同
的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正
方形的面积是多少？
分析：如果标号为5的正方形的边长是a，那么1号比2号大a，2号比3号大a，
所以1号比3号大2a，又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之
和是18，所以1号比3号大18-14＝4，即2a＝4，a＝2，标号为5的正方形的
面积是4 .
附加题目
【附1】右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120cm2，求原长
方形的长与宽。

分析：设小正方形边长为a，那么大正方形的边长为 1.5a ，所以长方形的长、宽
分别为3a、2.5a ，7.5×a×a=120=7.5×16 ，所以a=4，原长方形的长和宽分别
为：12、10厘米.
【附2】（希望杯培训试题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米.原正方形的边长是______
分析：把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7
分米的小长方形，所得长方形的面积是301+11×7=378(平方分米)，这个长方
形的长等于原正方形的边长，宽是 11+7=18(分米)，所以原正方形边长为：
378÷18=21(分米).
【附3】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，
那么小正方形试验田的面积是多少平方米？
分析：根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图(如图a)，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形(如图b)．
由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40÷4=10米，即图b中
的长方形的宽是10米．又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为：220÷10=22(米)．由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：(22—10)÷2=6(米)．所以小正方形的面积为：6×6=36(平方米)．
解本题的常规思路是先求出小正方形试验田的边长，再在利用面积公式求出小正方形试验田的面积．可是直接从题目已知出发求小正方形试验田的边长不太容易，于是我们想到用割补的方法利用图像来比较直观地解决这个问题．
【附4】要在一块正方形的绿化区域内修一条长方形的路，已知正方形区域的边
长为36米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形的每一条边都分成两段，其中
长的一段是短的一段的两倍，请你计算一下道路以外的实际绿化区域的面积．
分析：实际的绿化面积等于正方形区域与长方形道路的面积之差，即实际的
绿化面积为图中三角形1，2，3，4的面积之和．通过观察可以发现，三角形2，
4和三角形1，3可以分别组成大、小两个正方形(如图b、c)．这两个正方形
的边长之和为36米，并且大正方形的边长等于小正方形边的两倍.于是小正方
形边长为：36÷（2+1）=12（米），面积为：12×12=144（平方米）；大正方
形的边长为：12×2=24（米），大正方形的面积为：24×24=576（平方米），
道路以外的实际绿化面积为：144+576=720（平方米）.
【附5】如图，正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形
BFGE的面积.
分析：利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，每个小正方形面积是5，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。

【附6】（希望杯培训试题）如右图所示，已知长方形的长AB 是40厘米，
剪去一个正方形ADFE后剩下的长方形的周长是多少厘米？
分析：因为AE+EB=40(厘米)，又AE=EF，所以EF+EB=40(厘米)，剩下的长
方形的周长是2×40=80(厘米)．
练习五
1. 如图多边形的每条边都垂直于它的邻边，且所有的边长都相等且等于3厘米，这
个图形的周长是多少厘米？
分析：周长=4×（3×9）=108（厘米）.
2．（希望杯培训试题）用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，
如右图所示. 已知外面大正方形的周长是264厘米，里面小正方形的面积是900平方
厘米，每块长方形条砖的长是_____厘米，宽是______厘米.
分析：外面大正方形的边长为264÷4=66厘米，里面小正方形的边长为30厘米，所以
长方形的宽为：(66-30)÷2=18(厘米)，长方形的长为：(66-18)÷2=24(厘米).
3．计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为
300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米?
分析：（法1）：常规思路是要求正方形花坛的面积，就要先求正方形花坛的边长．将
环形小路进行分割，得到四个面积相同的小长方形(如图1)．由于小路的面积已知，
那么每一块小长方形的面积为：300÷4=75(平方米)．由题意知，小长方形的宽为3
米，于是长方形的长为：75÷3=25(米)．那么正方形花坛的边长为：25—3=22(米)．
所以正方形花坛的面积为：22×22=484(平方米)．
（法2）：若我们将环形小路重新分割(如图2)，阴影部分是四个
面积相等且边长为3的小正方形，它们的面积和为：3×3×
4=36(平方米)．从环形小路的面积中减掉这四块阴影部分的面积
后剩下的又是四块相等的长方形，每块长方形的面积为：(300—36)÷4=66(平方米)．长方形的长为：66÷3=22(米)，即为正方形花坛的边长，于是求出正方形花坛的面积为：22×22=484(平方米)．
4．（希望杯2试）如右图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如
果这四个正方形的周长是的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影
部分的面积是多少平方厘米？
分析：200平方厘米.
5．右图中 A，B两点分别是长方形的长和宽的中点，阴影部分占长方形面积的几分
之几？
分析：3/8 ，采用分割的思想去做，分割如右下图所示.
6．（希望杯培训试题）小军用编号为1、2、3、4、5的大小不同的正方形拼出
一个长方形，如右图所示，则中间阴影部分正方形的周长是多少厘米？
分析：因为正方形1的边长+正方形2的边长+正方形3的边长=30厘米，正方
形1的边长+正方形2的边长=22厘米，所以正方形3的边长=30-22=8(厘米)，
正方形5的周长=(22-8×2)×4=24(厘米).。