人教新课标版数学高一人教A必修1学案 .1函数的表示法

1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法

[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．

[知识链接]

1．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可． 2．二次函数

y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－

b 2a ，4a

c －b 24a

)． 3．函数y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，所以函数与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)． [预习导引] 函数的表示法

要点一 待定系数法求函数解析式

例1 (1)已知反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，求f (x )的解析式； (2)一次函数y ＝f (x )，f (1)＝1，f (－1)＝－3，求f (3)． 解 (1)设反比例函数f (x )＝k

x

(k ≠0)，

则f (3)＝k 3＝－6，解得k ＝－18，故f (x )＝－18

x

.

(2)设一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (1)＝1，f (－1)＝－3，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝－1，

∴f (x )＝2x －1.

规律方法 待定系数法求函数解析式的步骤如下：

(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，反比例函数解析式设为f (x )＝k

x (k ≠0)，二次函数解析式设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组． (3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回原式．

跟踪演练1 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式． 解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧ c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，

4a ＋2b ＋c ＝5，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1，

b ＝0，

c ＝1，

故f (x )＝x 2＋1.

要点二 换元法(或配凑法)求函数解析式 例2 求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2

x 2＋1

x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )． 解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x ＋1，

则t ≠1.把x ＝1t －1

代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2

x 2＋1

x ，得

f (t )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1t －12

＋1

1t －1

＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为

f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．

方法二 (配凑法)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋x x 2－1＋x x ＋1，

又∵1＋x x ＝1x

＋1≠1，

∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．

(2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2

(t －1)2＝t 2－1.

∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．

方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.

又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．

规律方法 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法．所谓换元法，即将“x ＋1”换成另一个字母“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，再代入原式中求出关于“t ”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况．

2．配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x ＋2x ”变成含有“x ＋1”的表达式．这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求． 跟踪演练2 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3

解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3.

方法二 (配凑法)因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 要点三 作函数的图象 例3 作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋1(x ∈Z )； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))．

解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y ＝x ＋1上，如图(1)所示．

(2)因为0≤x ＜3，所以这个函数的图象是抛物线y ＝x 2－2x 介于0≤x ＜3之间的一部分，如图(2)所示． 规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．

2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点． 跟踪演练3 画出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋1(x ≤0)；

(2)y ＝x 2－2x (x ＞1，或x ＜－1)．

解 (1)y ＝x ＋1(x ≤0)表示一条射线，图象如图(1)．

(2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(x ＞1，或x ＜－1)是抛物线y ＝x 2－x 去掉－1≤x ≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．

1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )

x 1≤x ＜2 2 2＜x ≤4 f (x )

1

2

3

A.1 B ．2 C ．3 D 答案 C

解析 由表可知f (3)＝3.

2．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1x B ．y ＝－1x