人教新课标版数学高一人教A必修1学案 .1函数的表示法

1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
[知识链接]
1．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可． 2．二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－
b 2a ，4a
c －b 24a
)． 3．函数y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，所以函数与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)． [预习导引] 函数的表示法
要点一 待定系数法求函数解析式
例1 (1)已知反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，求f (x )的解析式； (2)一次函数y ＝f (x )，f (1)＝1，f (－1)＝－3，求f (3)． 解 (1)设反比例函数f (x )＝k
x
(k ≠0)，
则f (3)＝k 3＝－6，解得k ＝－18，故f (x )＝－18
x
.
(2)设一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (1)＝1，f (－1)＝－3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－1，
∴f (x )＝2x －1.
规律方法 待定系数法求函数解析式的步骤如下：
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，反比例函数解析式设为f (x )＝k
x (k ≠0)，二次函数解析式设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组． (3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回原式．
跟踪演练1 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式． 解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧ c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，
4a ＋2b ＋c ＝5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0，
c ＝1，
故f (x )＝x 2＋1.
要点二 换元法(或配凑法)求函数解析式 例2 求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2
x 2＋1
x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )． 解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x ＋1，
则t ≠1.把x ＝1t －1
代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2
x 2＋1
x ，得
f (t )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －12
＋1
1t －1
＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为
f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
方法二 (配凑法)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x x 2－1＋x x ＋1，
又∵1＋x x ＝1x
＋1≠1，
∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．
(2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2
(t －1)2＝t 2－1.
∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．
方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.
又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．
规律方法 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法．所谓换元法，即将“x ＋1”换成另一个字母“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，再代入原式中求出关于“t ”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况．
2．配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x ＋2x ”变成含有“x ＋1”的表达式．这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求． 跟踪演练2 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3
解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3.
方法二 (配凑法)因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 要点三 作函数的图象 例3 作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋1(x ∈Z )； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))．
解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y ＝x ＋1上，如图(1)所示．
(2)因为0≤x ＜3，所以这个函数的图象是抛物线y ＝x 2－2x 介于0≤x ＜3之间的一部分，如图(2)所示． 规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．
2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点． 跟踪演练3 画出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋1(x ≤0)；
(2)y ＝x 2－2x (x ＞1，或x ＜－1)．
解 (1)y ＝x ＋1(x ≤0)表示一条射线，图象如图(1)．
(2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(x ＞1，或x ＜－1)是抛物线y ＝x 2－x 去掉－1≤x ≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．
1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )
x 1≤x ＜2 2 2＜x ≤4 f (x )
1
2
3
A.1 B ．2 C ．3 D 答案 C
解析 由表可知f (3)＝3.
2．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1x B ．y ＝－1x
C ．y ＝2x
D ．y ＝－2
x
答案 C
解析 设y ＝k x ，由1＝k
2得，k ＝2.
因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2
x .
3．若f (x ＋2)＝2x ＋3，f (3)的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 答案 C
解析 令x ＋2＝3，则x ＝1，∴f (3)＝2×1＋3＝5.
4．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1 答案 D
解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排除A 、B ；又图象过点(0,0)，可排除C ；D 项符合题意．
5．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎡⎦
⎤1f (3)的值等于________．
答案 2
解析 由函数f (x )图象，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎡⎦
⎤1
f (3)＝f (1)＝2.
1.函数三种表示法的优缺点
2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线． 3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．
一、基础达标
1．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3 答案 B
解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝3，b ＝－2，
∴f (x )＝3x －2.
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，
后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C. 3．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1 B ．f (x )＝x 2－2x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋2x －1 D ．f (x )＝x 2－2x －1 答案 A
解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝f (x －1)＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.
4．等腰三角形的周长为20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( ) A ．y ＝10－x (0<x ≤10) B ．y ＝10－x (0<x <10) C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10) D ．y ＝20－2x (5<x <10) 答案 D
解析 ∵2x ＋y ＝20，
∴y ＝20－2x ，解不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
20－2x >0，x ＋x >y ＝20－2x ，
x >0，
得5<x <10.
5．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出
(1)f [g (1)]＝__________；
(2)若g [f (x )]＝2，则x ＝__________. 答案 (1)1 (2)1
解析 (1)由表知g (1)＝3， ∴f [g (1)]＝f (3)＝1；
(2)由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.
6．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________． 答案 5
解析 ∵f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－7
2，
∴f (x )＝32x －7
2
，
∴f (a )＝4，即32a －7
2
＝4，∴a ＝5.
7．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；
(2)若x 1＜x 2＜1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．
解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象，如图所示：
(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， ∴f (1)＞f (0)＞f (3)． (2)由图象可以看出， 当x 1＜x 2＜1时，
函数f (x )的函数值随着x 的增大而增大， ∴f (x 1)＜f (x 2)．
(3)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]． 二、能力提升
8. 如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x
1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x
D.1x －1
答案 B
解析
令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x
1－x ， 则有f (t )＝1t
1－
1t
＝1t －1，故选B.
9．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________． 答案 [2,11)
解析 画出函数的图象，如图所示，
观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11)． 10．若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋1
2(x ≠0)，则f (2)＝________. 答案 52
解析 令x ＝2得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝9
2， 令x ＝12得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32， 消去f ⎝⎛⎭⎫12得f (2)＝52
. 11．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝c ＝0，
∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ， f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝b ＋1，
a ＋
b ＝1. ∴⎩⎨⎧
a ＝1
2
，b ＝12.
∴f (x )＝12x 2＋1
2x .
三、探究与创新
12．求下列函数的解析式：
(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1
x
2＋1，求f (x )； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式． 解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1
x 2＋2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x －1
x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3.
(2)以－x 代x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x . 与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得： f (x )＝1
3
x 2－2x .
13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．
解 因为对任意实数x ，y ， 有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，
有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．
又f (0)＝1，所以f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。