压杆稳定例题

解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象，由静力平衡方程
可求得
F
FAX
A
FAY
M C 0;
450 B
C
FGB
FGB sin 450 1 F 2 0
1m A 450
1m
F
B
C
2F FGB sin 450 2 2F 33.9KN
G
(b) 计算压杆的柔度。
i
I A
(D4 d 4)
64
(2)计算临界压力
Pcr
2 EI y l2
2 Ehb3 12l 2
2 200 109 0.05 0.032 98.7kN 12 1.52
(3)计算临界应力
cr
Pcr A
98.7 103 65.9MPa
0.05 0.03
对A3钢σp≈200MPa，细长压杆在失稳时，强度是有余的；
b y
h
z
F (a)当l1=0.75l 时，λ=0.75×120=90，而
2
a s b
304 235 1.12
62
d
2 1
l
压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力
Pcr cr A a bA 399 kN
(b)当l2=0.5l时，λ=0. 5×120=60 ，而
2
a s b
461 306 2.568
60.4
2
压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；
Pcr
s
A
306 106
1 4
0.052
600kN
p.5
例题
例题
例10-4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径d=80 mm，A端固定，B端铰支；BC是正方形截面杆，
边长a=70 mm，C端也为铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆的材料是A3
(4)求临界力和临界应力；
cr
2E z 2
6.73MPa
Pcr cr A 161kN
p.3
例题
例题
例10-3 两端铰支的压杆，长l=1.5 m，横截面直径d=50 mm，材料是Q235钢，弹性模量E=200
GPa， σp =190 MPa；求压杆的临界力；如果：(1) l1=0.75l；(2) l2=0.5l，材料选用优质碳钢；压
p.2
例题
例题
例10-2 木柱长l=7 m，横截面是矩形，h=200 mm，b=120 mm；当它在xz平面(最小刚度平面)内
弯曲时，两端视为固定；当它在xy平面(最大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支；木材的弹性模
量E=10GPa；求临界力和临界应力。
y
解：(1)求在xz平面内弯曲时的柔度；
iy
例题
3
2
4
例题
压杆稳定
1
5
p.1
例题
例题
例10-1 钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面，h=50 mm，b=30 mm，材料是
A3钢，弹性模量E=200GPa；求临界力和临界应力。
F 解：(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同，
如下图：
y
h
z
l
b
因为Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
(c) 判别压杆的性质。由已知求得 1
2E 102 p
1m
1m
F
查表得a＝304MPa，b＝1.12 MPa。求得
A
B
C
2
a s
b
304 235 1.12
62
450
2 1
压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力。
G
(d)
计算临界应力。 Fcr
cr
A
a
bA
(304 1.12 98.1) 106 (0.0452 0.0362 )
钢，其λ1=104，l=3 m，稳定安全系数nst=2.5；求结构的许可载荷。
解：(1)计算AB和BC杆的柔度：
AB
1l1 i1
1l1 1d
4 0.7 4.5 0.08
157.5
1.5l
l
4
P
BC
2l2
i2
2l2
a
12 13 148 0.07
A
d
B
C
a
12
(2)比较和确定计算的压杆：
因为λAB>λBC ，所以AB杆的稳定性比BC杆差，选AB杆计算； (3)稳定性计算：
又； 因为λAB>λp，AB是细长压杆
n
Pcr P
2E 2
d
4
2
P
nst
P
3Ed2 42nst
3
200109 0.082 4 157.522.5
160kN
p.6
例题
例题
例10-5 图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F＝12kN，其外径D ＝45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模量E=210 GPa， σp=200 MPa， σs=235 MPa，
4
(D2 d 2)
D2 d 2 4
(0.045)2 (0.036)2
0.0144m
4
l 1 ( 2 1) 98.1
i 0.0144
p.7
例题
例题
例10-5 图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F＝12kN，其外径D ＝45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模量E=210 GPa， σp=200 MPa， σs=235 MPa，
4
194.1106 5.726104 111kN
(e) 稳定性校核。
n
Fcr FGB
111103 33.9 103
3.27 nst (nst
2.5)
满足稳定要求
p.8
杆的临界力变为多大?
F
解：(1)计算压杆的柔度：
i
I
1 d 4 64
d
A
1 d 2 4
d
4
l 4l 120
l
id
(2)判别压杆的性质并计算临界力
1
2 E 102 p
1
压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；
Pcr
cr
A
2 E 2
A
269kN
p.4
例题
例题
例10-3 两端铰支的压杆，长l=1.5 m，横截面直径d=50 mm，材料是Q235钢，弹性模量E=200 GPa， σp =190 MPa；求压杆的临界力；如果：(1) l1=0.75l；(2) l2=0.5l，材料选用优质碳钢；压 杆的临界力变为多大?
Baidu Nhomakorabea
Iy A
1 hb3 12
hb
b 12
h
y
1l iy
0.5 l b
3l 14.43l b
(2)求在xy平面内弯曲时的柔度；
12
iz
Iz A
1 bh3 12
h
hb
12
z b
z
2l iz
1 l h
2 3l h
17.32l
12
(3)判断杆件易在哪个平面内弯曲；
z
y
所以易在xy平面内弯曲；