康托尔集合论

康托尔三分集的性质及证明

（1）0P 是一个闭集，不含有任何区间。

这是显然的，0G 是任意个开集的并，所以0G 仍是开集，0P 是0G 的补集，所以0P 是闭集。

这表明不含有任何区间的闭集是存在的。

（2）0P 是完全集

证明：要证0P 是完全集即证它不含有孤立点。

假设0P 有一孤立点0x ，则存在（α，β）使（α，β）中不含0P 中除0x 以外

的任一点。

所以（α，0x ）⊂0G ，（0x ，β）⊂0G 。

于是0x 将成为0G 的某两个区间的公共端点，但由于0G 的做法是不可能的。 所以不存在这样的点0x ，与假设矛盾，所以得证0P 是完全集。

（3）0P 是不可列的

证明：假设0P 是可列的，将0P 中点编号成点列1x ，2x ，…，k x …，也就是说，

0P 中任一点必在上述点列中出现。显然，10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦与2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦

中应有一个不含有1x ，用1I 表示这个闭区间。将1I 三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含2x ，用2I 表示它。然后用3I 表示三等分2I 时不含3x 的左或右的那个闭区间，如此等等。这样，根据归纳法，得到一个闭区间列N k k I ∈}{。由所述取法知，

1I ⊃2I ⊃…⊃k I ⊃…，k x Ïk I ，k ∈N ，

同时，易见k I 的长为13k →0（k →∞）。于是根据数学分析中区间套定理，存在点x Îk I ，k ÎN 。可是x 是k I 等的端点集的聚点，从而是闭集0P 的聚点，故x Î0P 。由于上面已指出k x Ïk I ，k ∈N ，故x ¹k x ，k ÎN 。这是一个矛盾。故0P 不可列。

（4）0P 的势等于À与[]0,1同势

证明：引进[]0,1中小数的三进表示来考察区间（13，23

）中每个点x 可表示成x=0.12x 3x …，其中2x ，3x ，…是0，1，2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：

13=0.0222…，23

=0.2000…， 区间（213，223），（273，283

）中的点x 可表示成x=0.013x 4x …或x=0.213x 4x …，其中3x ，4x ，…是0，1，2中任一数字。而区间端点则采用（不出现数字1）：

21

3=0.0022…，273=0.2022…， 2

23=0.0200…，283=0.2200…。 如此等等。根据归纳法分析可知，依上述规定，0G 中的点的三进表示中必有一位数字是1，且只有这样的点才属于0G 。因而0P 与集

A={0. 1x 2x 3x …：每个k x ∈{0，2}}

成一一对应。且A 显然与[]0,1对等，故A 的势为À，从而0P 的势为À。

（5）m 0P =0

证明：因为0G 是开集由测度的定义有

m 0G =13+223

+…++=1 m 0P =1- m 0G =1-1=0

我们得到0P 是一个测度为零的不可列集。

（6）0P 是稀疏集

因为0P =0P ，不能包含R 中的任何一个邻域，所以0P 不在R 中的任何一个邻域中稠密，故0P 是稀疏集。

康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。