第七章习题课69194

特殊地：
y (x)
1.
空间曲线方程为
z
(
, x)
在 M (x0,y0,z0)处 ,
x x
y
(
x
)
r
切 向 量 为 ： T 1 , ( x 0 ) , ( x 0 )
z ( x )
切线方程为
xx0 1
y(xy00)z(xz00),
法平面方程为
1 ( x x 0 ) ( x 0 ) ( y y 0 ) ( x 0 ) ( z z 0 ) 0 .
2 当曲线 由交面式方程给出时
x x
:G F((xx,,yy,,zz))00 (1)
y
(
x
)
z ( x )
点M0(x0，y0，z0)是 上一点
dy dz
(1) 式等于两端对x求导数 r
解出 , dx dx
切 向 量 为 ： T 1 , ( x 0 ) , ( x 0 )
切线方程为
y
(t)
t t0 时 , M (x 0 ,y 0 ,z 0 )处 z ( t )
r
切向量： T (t0 ), (t0 ), (t0 )
切线方程：
xx0 yy0 zz0 .
(t0) (t0) (t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面. ( t 0 ) ( x x 0 ) ( t 0 ) ( y y 0 ) ( t 0 ) ( z z 0 ) 0
x4
f1
x2
f2
因为f 具有二阶连续偏导数
2z xy
2z
yx
(x4 x
f1x2
f2)
4 4 x x 3 3 f f 1 1 x 2 x 4 [f 2 f1 1 y x x4 2y f [f 1 f1 2 2( 1 y1 x y y f 2 f2 ) 2 ]2.( 2 2 xyx 2f )2 ]
切平面方程为
F x(x0,y0,z0)(xx0)F y(x0,y0,z0)(yy0) F z(x0,y0,z0)(zz0)0
法线方程为 xx0 yy0 zz0 Fx(M0) Fy(M0) Fz(M0)
2 空间曲面方程形为 zf(x,y) 令 F (x ,y ,z ) f(x ,y ) z ,
r 法向量 n{fx,fy, 1}M 0
切线为两切平面的交线， 切向量T∥n1n2.
r
i
j
k
T Fx(M0) Fy(M0) Fz(M0)
Gx(M0) Gy(M0) Gz(M0)
8．会求曲面的切平面与法线
1 设曲面方程为 F(x,y,z)0
法向量
n r { F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) }
(i)公式法；
(ii)复合函数的求导法则；
(iii) 一阶全微分形式的不变性
（2）方程组的情形 一般：变量个数－方程个数=自变量个数
求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某 一个自变量求偏导，解方程组求得各因变量对这个 自变量的偏导数(或导数) .
7．会求空间曲线的切线及法平面
x (t)
1
空间曲线由参数方程给出时
11．条件极值及拉格朗日乘数法。
（1）函数z= f (x，y)在条件 (x, y) 0下的极值。
辅助函数 L (x ,y ) f(x ,y )(x ,y )
（2）函数u= f (x,y,z)在条件 (x, y,z) 0下的极值
辅助函数 L ( x ,y ,z ) f ( x ,y ,z ) ( x ,y ,z )
例4 设z=f (x，y，u)，u=xey，f 具有二阶连续偏
导数，求 2 z
x
xy
解
z
u
x f1 f3 x f1 ey f3,
z
x y
y u
2z xy
y(f1
ey
f3)fy1
ey
f3
ey
f3 y
f1 2f13 u yeyf3ey(f3 2f33 u y)
f 1 2 f 1x 3y e e y f 3 e y ( f 3 2 f 3x 3y )e
0
lim
2 sin
1
2
=0
0
f(x,y)在(0,0)处 可 微
例2 f(x,y)(x2y2)sinx21y2 0
在(0,0)处（3）偏导连续？
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
1 2 x
1
fx(x ,y ) 2 x six 2 n y2x 2y2co x 2 sy2
fy(x ,y ) 2 ysix 2 n 1y2x 2 2 yy2co x 2 1 sy2
（3）函数u=f (x，y，z，t)在条件 (x,y,z,t)0,
(x,y,z,t)0 下的极值
辅助函数
L f ( x ,y , z , t ) ( x ,y , z , t ) ( x ,y , z , t )
二、典型例题分析
1 、填充
(1)lim (xy)co1s 0
x 0
xy
y 0
(2)lim (1x)y e k xk y
习题课
一、内容及要求
1 理解多元函数、多元函数的极限、连续、 偏导数及全微分的定义.
2 会求一些二元函数的极限、能判别函数的 连续性.
3 能利用一元函数的求导法则计算多元函数 的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分.
4 理解多元函数连续、可导、可微的关系．
5 熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数 的计算（重点）
u v
（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点) z f ( u ,v ) u ,( x ,y ) v ,( x ,y )
求Zxx , Zxy ,Zyy 时应该注意到fu , fv仍是复合函数.
6 熟练掌握隐函数的偏导数的计算
（1）单个方程的情形 理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有
三种方法:
z ux y
yzddu zu yf(u)y
(iii)中间变量与自变量混合存在:
z f(x ,y ,u )u , u (x ,y )
xx z yy
u
z
u
x fx fu x
z
u
y fy fu y
（3）全微分形式的不变性:
z=f (u，v)， u，v 不管是自变量还是中间变
量，有
dz z duzdv
graf(dx,y)fif j x y
(ii)性质（与方向导数的关系） 函数f (x，y)的梯度是这样一个向量，它的方向与
函数取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方 向导数的最大值。
10．多元函数的极值 （1）多元函数极值的定义
（2）多元函数极值的必要条件与充分条件
（3）多元函数最值的求法 （i）一般的最值问题的求解方法
x
1 y
F1
1 x
F 2
方程两端求对y的偏导数，有
dz
F2
z x2
F1 ' dx
F1 (
z y2
z y
)
F
F 1
(
z y2
2
1 x
F 2
dy
) F 2
1 y
F1
1 y
F1
1 x
F2
1 x
F 2
1 y
F 1
例5
设F(xz, y
yz)0,F可 x
微
，求 z ,
x
z y
,
dz
.
或利用全微分形式的不变性求偏导
z
z
F1d(xy)F2d(yx)0
yd zzdy xd zzdx F 1(d x y2 )F 2(d y x2 )0
整理可得
11
z
z
(yF 1xF 2)d z ( F 1 F 2x 2)d x ( F 2 F 1y 2)dy
由此可求得
例5
设F(x z, y z)0,F可 yx
微
， z求 ,
x
z y
x2 si n 1
lim
x2 0
x0
x
同fy 理 (0,0)0
例2 f(x,y)(x2y2)sinx21y2 0
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
在(0,0)处（2）可微？
fx(0,0)=fy(0,0)0
Qli m 0zfx(0,0) xfy(0,0)y
(x2 lim
y2)sinx2
1 y2
曲面在M处的切平面方程为
f x ( x 0 , y 0 ) ( x x 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) ( y y 0 ) + ( - 1 ) ( z z 0 ) 0
曲面在M处的法线方程为
xx0 yy0 zz0. fx(x0,y0) fy(x0,y0) 1
（2） 由一般式方程给出时
ly i m xfx (x ,y ) ly i m x(2 x sin 2 1 x 2 1 x c o s2 1 x 2)不 存 在
x 0
x 0
fx(x, y)在(0,0)处偏导不连续
例3
设z
x3
f
(xy,
y ),(
f
具 有 二 阶 连 续 偏)，导
x
求z y
,
2z y2
,
2z xy
.
解
z y
设：G F((xx,,yy,,zz))00.,
则
T G Fyy
Fz,Fz Fx,Fx Gz Gz Gx Gx
Fy Gy M0
或 把 每 个 方 程 对 x 求 导 得 y '( x ) ,z '( x ) ，
r 则 T { 1 ,y '(x ),z '(x )} .
9.方向导数与梯度
（1）方向导数f
f(xx,yy)f(x,y)
（i）定义
lim l 0
f(xc o,y s co ) sf(x ,y)
lim
0
(ii)计算方法
1）函数可微时，用公式：f f cosf cos
l x
y
对于三元函数 flfxco sfyco sfzco s
2）用定义。(函数不可微)
（2）梯度 (i)定义 f (x，y)在D内一阶偏导连续，
注：多元复合函数的偏导数 链式法则—“连线相乘，分线相加”
（1） z f( u ,v )u ,(x ,y )v , (x ,y ) ，
变量关系图 z u x zf[(x ,y) ,(x ,y)]
vy
则有
x z u z u x v z x vfu xfvx
y z u z u y v z v yfuyfvy
f 1 2 x y f 1 e 3 e y f 3 e y f 3 2 x 2 y f e 33
例5
设F(xz, y
yz)0,F可 x
微
，求 z ,
x
z y
,
dz
.
解：方程两端求对x的偏导数，有
解F 得1 (11 y zx z) FF 22 ( xz2x z2F1 1 x ' x z)0
（2）几种变形
(i)多个中间变量，一个自变量 u f ( x ,y , z ) x ,( t ) y ,( t ) z ,( t )
u z xt
y
duudxudyudz dt xdt ydt zdt
(ii)一个中间变量，多个自变量：
zf(u )u ,(x ,y) x zd du z u xf(u)x,
方 程 两 边 对 x求 偏 导 ： y2zzz33z2z0
x
x
z
z3
x 2 yz 3z2
例2
f(x,
y)(x2
y2)sinx2
1 y2
0
(x, y)(0,0) (x, y)(0,0)
在(0,0)处（1）偏导是否存在？（2）可微？
（3）偏导连续？
解
f(0 x ,0 ) f(0 ,0 ) fx (0 ,0 ) lx i0m x
, dz .
也可利用公式，令：
(x ， y ， z) F (x z y， yx z)
xx0 yy0 zz0 ,
法平面方程为 1 (x0) (x0)
1 ( x x 0 ) ( x 0 ) ( y y 0 ) ( x 0 ) ( z z 0 ) 0 .
设：G F((xx,,yy,,zz))00.,
交面式空间曲线的切向量的另一求法：
n 1{F x(M 0)F ,y(M 0)F ,z(M 0)}, n 2{G x(M 0)G ,y(M 0)G ,z(M 0)},
如f (x，y)在有界闭区域上连续，则最值一定存在 。将D内的可能极值点（驻点或偏导不存在的点）处 的函数值与函数在D的边界上的最值（通常化为一元 函数最值问题或条件极值问题）相比较而确定。
（ii）实际问题中：如依问题的实际意义知f(x，y)的 最大（小）值一定在D内取得，而函数在D内偏导数 存在且驻点唯一，则可断言驻点处的函数值就是要 求的最大（小）值。
x3(f1x
f2
1 )
xFra Baidu bibliotek
x4f1x2f2,
y 2z 2x4(f1 x 1f1 2 1 x)x2(f2 x 1f2 2 1 x)
x 5f1 12 x 3f1 2x f2 ,2
设 z x 3 f(x y ,y ) ,(f具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ) ， 求 2 z.
x
x y
z y
y
(3)zarctx ya, n zxy
(
y2 x2
x2 y2)
2
(4)zxy,dz yxy1dxxylnxdy
(7)usiny(3z), z由z2yxz310确定，
求ux xy10 cos3 解 ： u x3cos(y3z) x z3cos(y3z)2yzz33z2
z2 y x z3 1 0 确 定 z z(x ,y )