15-3绕定轴转动刚体的轴承动反力(重庆大学理论力学课件)
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FRA
m
m FRB
B
FI2
六、动平衡的概念
1、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的 作用下处于平衡，则称之为动平衡状态。
2、条件：惯性力系为平衡力系。 3、对转轴的要求：
①转轴要过质心（xc= yc =0）； ② Jyz= Jxz =0 (即转轴为惯性主轴)
七、惯性主轴
惯性主轴与中心惯性主轴：
M r O ( F r i I ) r r i m i ( r r r i ) r r i m i ( r v r i )
式中
k r × i r = j r , k r × j r = - i r , k r × k r = 0
rrri xrjyvi
uvuv
vv
vi 2 xiyj
FRI FiI maC
MOI MO FiI
由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而 FI垂直于转轴。
为了求惯性力系对O点的主矩，将 速度和加速度写成矢量积的形式
vi ri ai rivi
M rO (F riI) r ri m ia ri
r r i m i ( r r r i ) r r i m i ( r v r i )
u u u v
v
vv
M O I J x z J y z2 i J y z J x z2 j J Z k
u u u v
M x I M O I xJxz Jyz 2
u u u v
M y I M O I yJyz Jxz 2
uuuv
M zI M O IzJZ
u u u v
由前五个方程解得轴承反力：
由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。
由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。与z轴垂直的轴承反力由两部 分组成：
（1）有主动力引起的静反力； （2）由惯性力引起的附加动反力。
即轴承附加动反力等于零的条件是：
A
m B
FI2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
FI1 m
A
FRB
FRA
B
m FI2
一般情形
FI1
A
FRA
m
m FRB
B
FI2
三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和一力偶矩。
这个力等于惯性力系的主矢量， 这个力偶的矩等于惯性力系对 O点的主矩。即
为刚体对z轴的转动惯量；
J x zm ix z , J y zm iy z
ω
u v 质量对
ai
称面
O
为刚体对z轴的两个离心转动惯量或惯性积。 r i
F I i
u u u v
v
vv
M O I J x z J y z2 i J y z J x z2 j J Z k
根据力矩关系定理， 得惯性力系对各坐标 轴Biblioteka Baidu主矩分别为
要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性 积等于零。
五、讨论
1、静反力：由主动力引起，与运动无关。
2、动反力：
①起因： 质心C不在转轴上 ②危害性：将要产生动反力。
FI 1
m1
D
③消除附加动反力的方法；
B
FNA
c
m2
FI 2
x
ω FNB
对于高速转动部件的机器或机械，附加动反力将可能会很大， 应设法减小或消除，以免产生弯曲、断裂等不良后果。
条件是： 转轴通过刚体的质心，且
刚体对转轴的惯性积等于零，
即 转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。
4静平衡与动平衡： 静平衡：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心，
刚体除受重力外，没有受到其它主动力作用，刚体 可以在任意位置平衡的现象称为静平衡；
vv
vi (xjyi)
M r O ( F r i I ) r r i m i ( r r r i ) r r i m i ( r v r i ) ( a )
k r × i r = j r , k r × j r = - i r , k r × k r = 0
式中 J zm i(x 2 y 2 )m ir i2
(1) 惯性主轴： Jxz0, Jyz0的 轴
即：如果刚体对通过点O的z轴的惯性积：
Jxz Jyz 0
则z轴称为该点的惯性主轴。
（2）中心惯性主轴： 过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 故避免出现轴承动反力的条件是： 刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。
上述结论也可叙述为： 刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动反力的
15-3 绕定轴转动刚体的轴承动反力
一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。 二、受力分析
主动力、约束力和虚加的惯性力。 三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和 一力偶矩。
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
FI1 m
偏心情形
FRA
FI1
m
FRB
A
m B
FI2 FI1＝FI2
v
vv
M O I J x z J y z2 i J y z J x z2 j J Z k
惯性力系对于转轴 z 的惯性力矩为
惯性力系对固结于刚体并垂直于 转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为
Jxz Jyz
mi mi
xz yz
四、平衡方程
为了转动刚体支座反力，将此主动力 系也向O点简化，如图所示
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系 对于x轴和y轴的矩等于零。
轴承附加动反力等于零的条件是：
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于 x轴和y轴的矩等于零。 由前面的推导，应有
F Ixm aC x0,
F Iym aC y0
M IxJxzJyz20, M IyJyz Jxz 20
要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。
绕定轴转动刚体的轴承动反力：
（1）动反力:在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动
时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力
往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。
（2）产生原因：
FN A
①质心C不在转轴上时： 如图所示：两质量相等的 小球m1和m2，绕铅垂直轴
FI 1
m1
D
B
c
m2
FI 2
x
ω FNB
匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心C在
轴线上，则：
FI 1
FI 2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
FI1 m
偏心情形
FRA
FI1
m
FRB
A
m B
FI2 FI1＝FI2
A
m B
FI2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
FI1 m
A
FRB
FRA
B
m FI2
一般情形
FI1
A
m
m FRB
B
FI2
六、动平衡的概念
1、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的 作用下处于平衡，则称之为动平衡状态。
2、条件：惯性力系为平衡力系。 3、对转轴的要求：
①转轴要过质心（xc= yc =0）； ② Jyz= Jxz =0 (即转轴为惯性主轴)
七、惯性主轴
惯性主轴与中心惯性主轴：
M r O ( F r i I ) r r i m i ( r r r i ) r r i m i ( r v r i )
式中
k r × i r = j r , k r × j r = - i r , k r × k r = 0
rrri xrjyvi
uvuv
vv
vi 2 xiyj
FRI FiI maC
MOI MO FiI
由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而 FI垂直于转轴。
为了求惯性力系对O点的主矩，将 速度和加速度写成矢量积的形式
vi ri ai rivi
M rO (F riI) r ri m ia ri
r r i m i ( r r r i ) r r i m i ( r v r i )
u u u v
v
vv
M O I J x z J y z2 i J y z J x z2 j J Z k
u u u v
M x I M O I xJxz Jyz 2
u u u v
M y I M O I yJyz Jxz 2
uuuv
M zI M O IzJZ
u u u v
由前五个方程解得轴承反力：
由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。
由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。与z轴垂直的轴承反力由两部 分组成：
（1）有主动力引起的静反力； （2）由惯性力引起的附加动反力。
即轴承附加动反力等于零的条件是：
A
m B
FI2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
FI1 m
A
FRB
FRA
B
m FI2
一般情形
FI1
A
FRA
m
m FRB
B
FI2
三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和一力偶矩。
这个力等于惯性力系的主矢量， 这个力偶的矩等于惯性力系对 O点的主矩。即
为刚体对z轴的转动惯量；
J x zm ix z , J y zm iy z
ω
u v 质量对
ai
称面
O
为刚体对z轴的两个离心转动惯量或惯性积。 r i
F I i
u u u v
v
vv
M O I J x z J y z2 i J y z J x z2 j J Z k
根据力矩关系定理， 得惯性力系对各坐标 轴Biblioteka Baidu主矩分别为
要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性 积等于零。
五、讨论
1、静反力：由主动力引起，与运动无关。
2、动反力：
①起因： 质心C不在转轴上 ②危害性：将要产生动反力。
FI 1
m1
D
③消除附加动反力的方法；
B
FNA
c
m2
FI 2
x
ω FNB
对于高速转动部件的机器或机械，附加动反力将可能会很大， 应设法减小或消除，以免产生弯曲、断裂等不良后果。
条件是： 转轴通过刚体的质心，且
刚体对转轴的惯性积等于零，
即 转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。
4静平衡与动平衡： 静平衡：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心，
刚体除受重力外，没有受到其它主动力作用，刚体 可以在任意位置平衡的现象称为静平衡；
vv
vi (xjyi)
M r O ( F r i I ) r r i m i ( r r r i ) r r i m i ( r v r i ) ( a )
k r × i r = j r , k r × j r = - i r , k r × k r = 0
式中 J zm i(x 2 y 2 )m ir i2
(1) 惯性主轴： Jxz0, Jyz0的 轴
即：如果刚体对通过点O的z轴的惯性积：
Jxz Jyz 0
则z轴称为该点的惯性主轴。
（2）中心惯性主轴： 过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 故避免出现轴承动反力的条件是： 刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。
上述结论也可叙述为： 刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动反力的
15-3 绕定轴转动刚体的轴承动反力
一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。 二、受力分析
主动力、约束力和虚加的惯性力。 三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和 一力偶矩。
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
FI1 m
偏心情形
FRA
FI1
m
FRB
A
m B
FI2 FI1＝FI2
v
vv
M O I J x z J y z2 i J y z J x z2 j J Z k
惯性力系对于转轴 z 的惯性力矩为
惯性力系对固结于刚体并垂直于 转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为
Jxz Jyz
mi mi
xz yz
四、平衡方程
为了转动刚体支座反力，将此主动力 系也向O点简化，如图所示
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系 对于x轴和y轴的矩等于零。
轴承附加动反力等于零的条件是：
惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于 x轴和y轴的矩等于零。 由前面的推导，应有
F Ixm aC x0,
F Iym aC y0
M IxJxzJyz20, M IyJyz Jxz 20
要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。
绕定轴转动刚体的轴承动反力：
（1）动反力:在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动
时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力
往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。
（2）产生原因：
FN A
①质心C不在转轴上时： 如图所示：两质量相等的 小球m1和m2，绕铅垂直轴
FI 1
m1
D
B
c
m2
FI 2
x
ω FNB
匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心C在
轴线上，则：
FI 1
FI 2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形
FI1 m
偏心情形
FRA
FI1
m
FRB
A
m B
FI2 FI1＝FI2
A
m B
FI2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
FI1 m
A
FRB
FRA
B
m FI2
一般情形
FI1
A