2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案分析及详解

2017年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版

附答案分析及详解

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1

）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()2

2()02

A ab

B ab

C ab

D ab ==-==

【答案】A

【解析】00112lim lim ,()2x x x

f x ax a

++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.

（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）

()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)

(1)(1)

A f f

B f f

C f f

D f f >-<->-<-

【答案】C

【解析】'

()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩Q 或()0

(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩

，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所

以选C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）

()12

()6

()4

()2A B C D

【答案】D

【解析】

2(1,2,0)

122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.

|u |333

f u gradf xy x z gradf

gradf u ∂=⇒=⇒

=⋅=⋅=∂ 选D.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）

()

s

0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>

【答案】B

【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为0

120

(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则

210

(t)v (t)10t v dt -=⎰

，当025t =时满足，故选C.

（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵， 则（ ）

()()()()22T T T

T A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆

不可逆

【答案】A

【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解，故0αα-=T E 。即

αα-T E 不可逆。选项B,由()1ααα=T r 得ααT 的特征值为n -1个0，1.故αα+T E 的特征值为

n -1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。

（6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

,则（ ） ()()(),,(),,A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与相似与相似

与相似与不相似

与不相似与相似与不相似与不相似

【答案】B

【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1

因为3(2)1r E A --=，∴A 可相似对角化，且100~020002A ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.

因为3(2)2r E B --=，∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化， ∴~A C ，且B 不相似于C

（7）设,A B 为随机概率，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ）

()()()()()()()()()

()()()

A P

B A P B A B P B A P B A

C P B A P B A

D P B A P B A ><><

【答案】A

【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。

（8）设12,(2)n X X X n ⋅⋅⋅≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i i X X n ==∑，则下列结论

中不正确的是（ ）

()()22221122221

()()2()()()()n

i n i n

i i A X B X X C X X D n X μχχχμχ==----∑∑服从分布

服从分布

服从分布

服从分布

【答案】B 【解析】

2212

221

222

21(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C 1

~(,)(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B 2

i n

i i n

i i n X N X N X n A n S X X n X N X N n X D n

X X N μμμχχμμμχχ==-⇒-⇒-=--⇒---⇒∑∑:::::正确

，正确，

正确,

故错误.

由于找不正确的结论，故B 符合题意。

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 已知函数2

1

()1f x x

=+，则(3)(0)f =__________ 【答案】(0)6f =- 【解析】

2222

00

'''23'''2

11()()(1)11()()(1)2(21)(22)(0)0

n n n

n n n n n f x x x x x f x n n n x f ∞∞

==∞

-====-=-+--=---⇒=∑∑∑

(10) 微分方程'''230y y y ++=的通解为y =_________

【答案】12()x y e c c -=+，（12,c c 为任意常数）

【解析】齐次特征方程为2

1,22301λλλ++=⇒=-

故通解为12()x e c c -+

(11) 若曲线积分221

L xdx aydy

x y -+-⎰

在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则 a =__________

【答案】1a =