线面角的求法总结

线面角的三种求法

1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,

B

M

H

S

C

A

图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D

所成的角的正弦值。

A 1

C 1

D 1

H

4

C

B 1

2

3

B

A

D

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5

图2

3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2

已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则

直线AB 是斜线在平面α内的射影。设AC 是平面α内的任意一条直线，且

BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为

2θ，AO 与AC 所成角为θ，则易知：

1||||cos AB AO θ=，212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ==

又∵||||cos AC AO θ=，

可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅， 注意：2(0,

)2

π

θ∈

易得：1cos cos θθ< 又1,(0,

)2

π

θθ∈即可得：1θθ<．

则可以得到：

平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（最小角定理）

例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。

解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD 上，则 ∠AOD 即为OA 与面OBC 所成的角，可知

∠DOC=30° ,cos ∠AOC=cos ∠AOD·cos ∠DOC ∴cos60°=cos ∠AOD·cos30°

∴ cos ∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC 所成的角的余弦值为√3／3。

O

α

D

A

C

B

图4

θ

θ2

θ1

O C

B

A

α

练习．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。 〖解〗（法一）连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ，

∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1

AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，

在1Rt A BO ∆中，1

112

AO A B =，∴130A BO ∠=． （法二）由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 又∵112cos cos 452A BB ∠==，116

cos 3B B B BO BO ∠==，

∴11112

cos 3

2cos cos 26

3

A B

B A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=．

【基础知识精讲】

1.直线和平面的位置关系

一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：

(1)直线在平面内——直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.

直线a 在平面α内，记作a α.

(2)直线和平面相交——直线和平面有且只有一个公共点. 记作a ∩α＝A

(3)直线和平面平行——如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a ∥α.

直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作a α. 2.直线和平面平行的判定

判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行，则线面平行”)

即 a ∥b,a α，b αa ∥α 证明 直线和平面平行的方法有： ①依定义采用反证法

②利用线面平行的判定定理 ③面面平行的性质定理也可证明 3.直线和平面平行的性质定理

性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”).

即 a ∥α,a β，α∩β＝b a ∥b. 这为证线线平行积累了方法：

①排除异面与相交 ②公理4 ③线面平行的性质定理

1B

1A 1

A B

C

1D

D

O