多尺度耦合理论

何国威、白以龙

中国科学院力学研究所，非线性力学国家重点实验室

多尺度力学是当代科学技术发展的需求和前沿。在生物科学，材料科学，化学科学和流体力学中，许多重要问题的本质都表现为多尺度，它们涉及从分子尺度到连续介质尺度上不同物理机制的耦合和关联。例如，在生物和化学科学里，在分子尺度上的不同性态产生了生物体尺度上的复杂现象；在固体破坏中，不同尺度的微损伤相互作用产生更大尺度上的裂纹导致材料破坏；在流体力学中，不同时空尺度的涡相互作用构成复杂的流动图案。这些问题的共同特点是不同尺度上物理机制的耦合和关联。只考虑单个尺度上某个物理机制，不可能描述整个系统的复杂现象。因此，多尺度力学的核心问题是多过程耦合和跨尺度关联。

多尺度力学是传统的针对多尺度问题研究的发展，但有着本质的不同。它们都研究不

能通过解耦进行求解的多尺度耦合问题。但是，传统的多尺度问题具有相似性或弱耦合，即：不同尺度上的物理过程具有相似性，因此我们可以求相似解；或者，不同尺度上的物理过程具有弱耦合，因此我们可以采用平均法求解。然而，多尺度力学的研究对象具有多样性和强耦合，即：不同尺度上的物理过程既不具有相似性，耦合也不再是弱的了。因此，传统的相

似解和平均法对多尺度力学的问题都不适用。

动力系统理论和统计力学为多尺度现象的研究提供了基本方法。在一个给定尺度上的物理过程可以用动力学方程描述，而动力学方程的建立主要依赖于经典力学和量子力学。问题的关键在于不同尺度上物理过程的相互耦合。如果可以忽略耦合，单个尺度上的物理过程完全可以由经典力学或量子力学描述，剩下的就是类似于解方程那样的认识过程，原则上并不是什么困难的事情。在平衡态统计物理里，不同尺度之间物理过程耦合的基本假设是基于等概率原理的统计平均。但是，大多数多尺度问题涉及统计力学中非平衡态的非线性演化过程，不同的尺度之间存在强耦合或敏感耦合，不能简单地采用绝热近似、统计平均以及微扰等方法处理，而必须将不同尺度耦合求解。特别是存在敏感耦合的情形，小尺度上的某些无序性细节在非线性演化过程中可能被强烈地放大，变成大尺度上的显著效应。统计力学为处理这类问题提供了一个基本出发点。一个直接的方法是从第一原理出发，利用分子动力学，计算分子尺度上的所有细节，然后求得连续介质尺度上的物理性质。但是，由于现有计算机的限制，从第一原理出发的直接法并不现实。一个比较现实的方法是寻找中间尺度进行过渡，它包括基于区域分解的准连续方法和基于粗粒化的粒子动力学法。这些构造模型的方法在不同的问题上都取得了一定程度的成功，但是，它们都不具有普适性。最新的发展是建立在齐次化方法上的非均匀齐次法，它试图给出解决跨尺度关联问题的一般框架。

现代力学中两个典型的多尺度问题是流体湍流和固体破坏，它们既有共同点，但又有

所区别：流体湍流表现为不同尺度上多个物理过程的耦合，它没有尺度分离；固体破坏表现为不同尺度上物理机制的跨尺度关联，它具有尺度分离。现详细讨论如下：

（1）流体湍流：

在流体湍流里，不同尺度上的涡相互作用构成了复杂的流动图案，它们具有不同的物理机制而又相互耦合。在上个世纪，针对不同尺度上物理过程相似的问题，流体力学家发展了求相似解的方法；针对不同尺度上物理过程耦合较弱的问题，流体力学家发展了小参数摄动法。正是相似解和摄动法解决了航空航天中诸如湍流边界层这样的重大问题，形成了力学史上的一个黄金时代。但是，现在对湍流问题的研究与过去有了根本的不同，它表现为要认识不同尺度上不同的物理过程的强耦合。对于这类问题，经典的相似解和摄动法并不适用。

因此，必须发展能解决多尺度现象里多样性和强耦合问题的理论和数值方法。

湍流具有从耗散尺度到积分尺度的连续谱，它没有尺度分离，因此平均法并不适用。

统计物理为湍流的多尺度模型提供了工具。一般而言，湍流的统计特性可以用矩和概率密度函数描述。但是，矩方程含有非线性引起的高阶矩耦合，概率密度函数方程含有耗散引起的

空间耦合。在湍流的解析理论中，直接作用逼近（DIA）已成为矩方程耦合的经典方法；映

射封闭逼近（MCA）正发展成为概率密度函数方程的封闭方法。在湍流的唯象理论中，高斯封闭是耦合表象的基础，例如，EDQNM 方法和朗之万方程。

大涡模拟是湍流数值模拟的重要方法。在大涡模拟中，直接计算大尺度，而小尺度对

大尺度的影响用亚格子模型反映。现有的亚格子模型是根据能量平衡方程得到的。它能反映小尺度对大尺度能量的影响，不一定能反映小尺度对大尺度其它物理量的影响，特别是随时间演化的非定常特性。多尺度大涡模拟方法考虑了多个不同尺度上多个不同的物理过程的耦

合，正成为该领域的重要研究方向。

（2）固体破坏：

人类社会生活在一个主要由固体介质支撑的环境中，固体介质的破坏、失效几乎涉及

人类生活的一切方面、工程技术的各个领域、以及地震、滑坡、雪崩等多种严重自然灾害之中。但是，由于固体破坏问题的复杂性，使之成为固体力学、材料科学、物理学以及诸多相关学科的跨世纪难题。对于多尺度问题，人们注意到，虽然平均化常常是一种有效的方法，但是它只适于预测诸如刚度和传导率这样的一类性质。而断裂或“崩溃”一类现象会依赖

于微结构的具体细节，通常，平均化的方法是不适用的。因此对于固体破坏的研究，例如对于地震预测性的争论，一直在持续着。Herrmann 和他的合作者的书从非均匀介质的角度出发汇集了上世纪后半期这方面的进展。2004 年在重庆召开的会议的详尽总结反映了近年来

对此问题的各类看法和学说。

固体破坏预测的困难，主要联系于它的两个特征：1. 一大类固体的破坏表现为突发性灾变，灾变前很难捕捉到明显的前兆；2. 宏观上大体相同的系统其灾变行为可有显著差异，即灾变呈现不确定性，只用宏观平均量不足以表征灾变行为。这类复杂特征的根源在于多尺度耦合效应。固体破坏的演化过程涉及很宽的空间和时间的尺度范围。其破坏过程通常是一种跨尺度演化的过程，即由大量微损伤的累积并通过跨尺度的非线性串级发展而诱发宏观灾变。在整个过程中，微小尺度上的某些无序结构的效应可能被强烈放大，上升为显著的大尺度效应，对系统的灾变行为产生重要的影响。那么，该怎么处理多尺度耦合的问题呢？

Barenblatt 建议，要确定材料微结构的变化对宏观行为的控制性影响，应该将宏观力学方程与微结构转变的动力学方程组成统一的方程组，耦合求解。特别是，他还注意到了Deborah 数的重要性。但是另一方面，由于不可能对各个尺度上的无序结构及其敏感效应作详尽无遗的描述，灾变行为呈现不确定性，跨尺度敏感性就是一个典型的案例。

实现灾变预测的另一种可能的策略是寻找灾变的共性。借用和发展逾渗模型，自组织

临界性，临界点模型等等在许多文献中被探讨着。另一方面，这种共性可能表现为损伤局部化和临界敏感性，它们是典型的多尺度耦合现象，是需要在连接细观与宏观尺度的跨尺度耦合理论框架中阐明的。它们可能是具有普适性的并且可监测的灾变前兆，因而可为灾变预测提供线索。这表明进一步发展关于固体破坏的跨尺度耦合的理论应是当前最重要的研究方向之一。正如Kadanoff 指出的，为了考察材料的失效、地震或雪崩动力学等，人们开始在所谓的物理动力学领域开展了各种深入的研究。当科学转移到越来越复杂的系统时，可能统计

方法是下一代科学问题的一个重要投入。

流体湍流和固体破坏从具体物理机制来看，似乎毫不相干。但是从多尺度耦合的角度

来看，无论是基本概念、研究方法还是理论框架，都有惊人的共同之处。例如：它们都涉及非平衡、非线性的演化，不同尺度之间存在强耦合，不能采用微扰或求相似解的方法，都存在跨尺度的敏感性，以致某些涨落会影响全局的突变等等。并且，二十一世纪纳米科学和生物技术的发展促进了多尺度力学的发展，一个更具挑战性的范例如下：

（3）从分子动力学到连续介质力学的跨尺度关联

纳米科学和生物技术的发展促进了从分子动力学到连续介质力学的跨尺度关联的研