间接效用函数

•得到的一阶条件为
L x1 L x2 L 1
1

1
( x1

x2 )


1
1 x1 p 1 0
1


( x1

x2 )


1
x 1 p 2 0 2
0
w
p 1 x1
p
2
x2
一、间接效用函数
y y x1 x2 p

v( p, w ) w
0
j
j
由
m ax s .t
u
f ( p ,w )
px w
得 ， L (x , )= u (x )+ (w - p x ) v( p, w ) w v( p , w ) p L(x

, ,

)
w L (x



|x
x ( p ,w )

一、间接效用函数
• （2）间接效用函数的性质
• A.它对于价格和财富是零次齐次的，即价格和财 富的同比例变化并不影响效用水平。 • B.在财富上是严格递增的，而在价格上则是严格 递减的。 • C.拟凸的。 • D.在价格和财富上是连续的。
一、间接效用函数
• (3) 罗伊恒等式
• 如果间接效用函数 v ( p , y ) 在点上 ( p , y ) 是可导的 且 ， ( p • 一定存在 x ( p , y ) v p , y ) v (p , y ) , j 1, 2 , , n y
1
1

p1 p p
2
, x1 x2

1

x2

p1 p
2

1
p 1 x1 x2
1
2
1
2
p1
1


p
1
2

x2
p1
yp
1
1
2


1
p
1
2
x1
p1
y p1
1
1

p
1
2
一、间接效用函数
第二章 间接效用函数与支出函数
内蒙古财经大学 张建斌
一、间接效用函数
• 1.马歇尔需求函数 （1）基本概念：即是在满足消费预算约束的条 件下，消费者获得的最大的效用水平时的解。 • 记为：x x ( p , y ) • 这时消费者的所有的支出将与其收入达到一致。 满足： p x = y
*
一、间接效用函数
)

0

i j

u ( x u ( x u ( x

) - u xi x
j

0
p p

) )
二、支出函数
• 求出的最小解称为 • 希克斯需求函数： • 记为：x x ( p , u ) , i 1, 2 , . . .n • 代入支出px得最小支出称为支出函数： 记为e(p,y)
令
r
1
x1

y p1 p1
r
r 1 r 2

2
p
r 1
x
2

yp p1
r

p
r 2
一、间接效用函数
• （3）马歇尔需求函数的性质 • A.在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。 即对于任意给定的p、y，都有a>0，使得 成立。 x ( a p , a y ) x ( p , y ) • B.瓦尔拉斯定理。即最优的消费束都在预算线 的上界。 x R , p x y
h i i
二、支出函数
二、支出函数
• 2.希克斯需求函数 • 希克斯的需求函一般记为：h ( p , u ) • 前者是为达到既定的效用水平u，选择的最小支 出
二、支出函数
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• （2）马歇尔需求函数的推导
1
u ( x1 , x 2 ) ( x1 x 2 )



, 0 1, 求 x i x i ( p 1 , p 2 , y ) , i 1, 2
•建立L函数
1
L ( x1 , x 2 , ) ( x1

x2 )


( w p 1 x1 p 2 x 2 )

)
p
|x
x( p ,w )


x
二、支出函数
• 1.支出函数： • 这是个支出最小化问题，选择合适的x使得满足 约束条件
m in s .t px u (x ) u
L = p x - L xi L p
u

(x ) - u u ( x xi



i

一、间接效用函数
• 2.间接效用函数 • （1）基本概念 • 若 v ( p , y ) u x ( p , y ) 成立，则 v ( p , y ) 就为间接效用 函数。 • 间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者 的最优消费时的效用。 • 间接效用函数的存在对于说明政府水平的福利影 响有比较便利的条件