2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第十章 10.2随机抽样、用样本估计总体

§10.2随机抽样、用样本估计总体

1．随机抽样

(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

2．用样本的频率分布估计总体分布

(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.

(2)频率分布折线图和总体密度曲线

①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；

②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．

(3)茎叶图

茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

3．用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．

(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．

(3)平均数：x ＝x 1＋x 2＋…＋x n

n ，反映了一组数据的平均水平．

(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离， s ＝

1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (5)方差：s 2＝1

n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样

本平均数)．

概念方法微思考

1．三种抽样方法有什么共同点和联系？

提示 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．

(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．

2．平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？

提示 平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( × ) (2)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √ )

(3)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × ) (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) 题组二 教材改编

2．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( ) A ．33,34,33 B ．25,56,19 C ．20,40,30 D ．30,50,20

答案 B

解析 设在不到35岁的员工抽取x 人，则100500＝x

125，所以x ＝25，同理可得这三个年龄段抽

取人数分别为25,56,19.

3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )

A ．91.5和91.5

B ．91.5和92

C ．91和91.5

D ．92和92

答案 A

解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋92

2＝91.5，

平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96

8

＝91.5.

4．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量在[2,2.5)范围内的居民有______人．

答案 25

解析 0.5×0.5×100＝25. 题组三 易错自纠

5．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是() A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32

答案 B

解析间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.

6．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数x＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的平均数和方差分别为________．

答案16,18

解析∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，

∴x1＋x2＋x3＋…＋x n

n

＝5，

∴3x1＋3x2＋3x3＋…＋3x n

n

＋1＝3×5＋1＝16，

∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，

∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的方差是32×2＝18.

抽样方法

1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( ) A.110，110 B.310，15 C.15，310 D.310，310

答案 A

解析 方法一 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为1

10

.故选A.

方法二 第一次被抽到，显然为1

10；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次抽才被

抽到．可能性为910·19＝1

10

.故选A.

2．(2019·全国Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 答案 C

解析 根据题意，系统抽样是等距抽样， 所以抽样间隔为1 000100

＝10.