(江西版)高考数学总复习 第四章4.4 三角函数的图像与性质 理 北师大版(含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.4 三角函数的

图像与性质练习

一、选择题

1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤π4，π2上为减少的是( )．

A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2

B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2

C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2

D ．y ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π2

2．(2012山东济宁模拟)设集合P ＝{x |sin x ＝1，x ∈R }，Q ＝{x |cos x ＝－1，x ∈R }，S

＝{x |sin x ＋cos x ＝0，x ∈R }，则( )．

A ．P ∩Q ＝S

B ．P ∪Q ＝S

C ．P ∪Q ∪S ＝R

D ．(P ∩Q )⊆S

3．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π

10

个单位长度，再把所得各点的横坐标

伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )．

A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10

B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5

C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10

D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －π20 4．函数y ＝2sin 3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

6

≤x ≤5π6与函数y ＝2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形

的面积是( )．

A ．43

B ．π3

C ．4π

3

D ．1 5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图像与直线y ＝2的某两个交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )．

A ．ω＝2，θ＝π2

B ．ω＝12，θ＝π

2

C ．ω＝12，θ＝π4

D ．ω＝2，θ＝π

4

6．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，给出下列三个命题：①函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2

，5π8上是减少的；②直线x ＝π

8

是函数f (x )的图像的一条对称轴；③函数f (x )的图像可以由函数y ＝2

sin 2x 的图像向左平移π

4

个单位得到．

其中正确的是( )．

A ．①③

B ．①②

C ．②③

D ．①②③ 二、填空题

7．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．

8．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x ＋π12的图像，则需将函数y ＝sin ωx 的图像向__________平移__________个单位长度．

9．水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h ，梯形面积为S ，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及底边CD 之和达到最小．此时α应该是__________．

三、解答题

10．已知f (x )＝23cos 2

x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的递增区间；

(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π4，π4时，求f (x )的值域． 11．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2，g (x )＝12sin 2x －1

4

.

(1)函数f (x )的图像可由函数g (x )的图像经过怎样的变换得出？

(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．

12．如图，某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地△ABD ”，其中AB 长为定值a ，BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长)．现规划在△ABD 的内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草，且把种草的面积S 1与种花的面积S 2的比值S 1S 2

称为“草花比y ”．

(1)设∠DAB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式． (2)当BE 为多长时，y 有最小值？最小值是多少？

参考答案

一、选择题

1．A 解析：C ，D 两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C ，D ；B 项中y ＝co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增加的，不合题意；A 项中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，该

函数符合题意，故选A.

2．D 解析：方法一：由sin x ＝1得，x ＝2kπ＋π

2

，k ∈Z ，

所以P ＝⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭

⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；

由cos x ＝－1得，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，

所以Q ＝{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }； 由sin x ＋cos x ＝0得，

2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，可得x ＋π4＝k π，k ∈Z ，

即x ＝k π－π

4

，k ∈Z ，

所以S ＝⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭

⎬

⎫x ＝k π－π

4，k ∈Z .

由于P ∩Q ＝⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭

⎬

⎫x ＝2k π＋π

2，k ∈Z ∩{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }＝∅，

因此(P ∩Q )⊆S ，所以D 项正确．

方法二：P 表示终边落在y 轴非负半轴上角的集合，Q 表示终边落在x 轴非正半轴上角的集合，故P ∩Q ＝∅，所以D 项正确．

3．C 解析：函数y ＝sin x 的图像上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －π10的图像；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图像，

所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －π10.故选C. 4．C 解析：在同一坐标系中画出函数y ＝2sin 3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

6≤x ≤5π6和函数y ＝2的图像，如

图，根据图像的对称性，所求的面积即为图中所示阴影部分的面积，为4π

3

.