“反证法”与“逆否命题”的争端

“反证法”与“逆否命题”的争端

“反证法”与“逆否命题”是数学家族中的一对好兄弟，但最近两人为了一个问题，引起了争端。究竟是什么回事呢？

原来，“逆否命题”发现“反证法”往往利用自己来证明一些结论，所以认为反证法的实质就是证明一个命题的逆否命题。而“反证法”并不认帐。两人找来“逻辑”与“推理”两位法官主持公道。

“逆否命题”说：“反证法是间接证法中的一种，从命题的角度来看，由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以反证法的证明思路是证明原命题的逆否命题成立。”

“反证法”微微一笑，说：“反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性, 从逻辑角度看,命题:“若

p则q”的逆否命题是“若

q

⌝，则p

⌝”，而命题“若q

⌝，则p

⌝”的否定是“若q

⌝，则p”，

由此推理,如果发生矛盾,那么就说明“若

q

⌝则p”为假,即命题“若q

⌝，则p

⌝”为真，从而可以

导出“若p则q”为真,从而达到证明的目的. …”

还没等“反证法”说完，“逆否命题”就打断了他的话：“两位法官听听，“反证法”现在已经承认了。”“反证法”笑着说：“别急，我还没说完呢。我的理论基础是互为命题的等价性，但是我们证明的思路并不完全是证明一个命题的逆否命题。”

法官“逻辑”说：你说来听听。

“反证法”说：“从逻辑形式上来说，反证法的理论依据在于矛盾律和排中律（矛盾律：对于同一事物的两个矛盾的判断不能同时为真，其中至少有一个是假的；排中律：对于同一事物的肯定判断与否定判断不能同时进行）；其矛盾的种类可以有：与题设矛盾，与假设矛盾，写定义、定理、公理、公式矛盾或自相矛盾等等。由此可知，反证法证明的思路是只要找到矛盾即可，不一定是与题设矛盾。这说明，反证法与证明逆否命题是不一样的。”

“逻辑”与“推理”两位听完之后，点了点头，赞许地说：“你说的非常正确，还有其他理由吗？”“反证法”说：“还有。而反证法的本质是：由证明p⇒q转向证明：q

⌝⇒r⇒……⇒t,t与假设

或与某个真命题矛盾，

q

⌝为假，推出q为真的方法．从逻辑角度看,命题:“若p则q”的逆否命题

是“若

q

⌝，则p

⌝”，而命题“若q

⌝，则p

⌝”的否定是“若q

⌝，则p”，由此推理,如果发生矛

盾,那么就说明“若

q

⌝则p”为假,即命题“若q

⌝，则p

⌝”为真.而证明命题“p q

⇒”逆否命

题是证明“

q p

⌝⇒⌝”，这两者的证明思路也不一样。所以我们两人是不同的。”

在事实面前，“逆否命题”也不得不认真反思自己的想法，思考了一会，说：“我知识看到了反证法的外在形式，而没有深入思考他的逻辑基础。我错了。”

两位法官听完后，真诚地对“逆否命题”说：“是的，我们不应该只看事物的外在形式，更要深入研究它的实质。反证法与证逆否命题是不同的．由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路．”

“推理”说：“反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中以常用到,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要, 反证法是一种逆高思维的一种推理方式，它常可将肯定正面转化为否定反面，由反面的否定得出正面的肯定，从而避开直接肯定正面的障碍，正因为如此，反证法往往可以完成直接证明难以完成的工作。从2009年的高考开始已经把反证法纳入高考的范畴，所以我们一定要认真学习。”