高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2311 4
2021年辽宁省丹东(新高考)高三数学模拟仿真试题(附答案)
2a 时， g ′(x)＜0，g (x)单调递减，g (x)＜g (0)＝0，①式不成立．
过 E 在平面 ADC1 内作 EF⊥AC1，垂足为 F，连 结 CF，则 CF⊥AC1，所以∠EFC 是二面角 D－AC1 －C 的平面角，F 为 AC1 的中点．
A1
C1
B1 F
设 BC＝2，因为∠B1BC＝60°，在△DB1C1 中，
DC1＝ 7．在△DCC1 中，CE＝ 21． 7
因为 F 为 AC1 的中点，所以 CF＝ 6． 2
A B
E C
D
在直角三角形 CEF 中，cos∠EFC＝
35，即二面角 7
D－AC1－C
的余弦值为
35． 7
…………（12 分）
20．解：
（1）因为 C 的离心率为 5，所以 a2＋b2＝ 5，可得 a＝2b．
2
a
2
A2 (a，0)，C 的一条渐近线方程为 x－2y＝0，由2 5＝ 5
a
可得 a＝2．
设 g (x)＝ex－e-x－2ax，g ′(x)＝ex＋e-x－2a． ex＋e-x≥2，当且仅当 x＝0 时等号成立，于是 g ′(x)≥2(1－a)． 若 a≤1，g ′(x)≥0， g(x) 在[0，＋∞)单调递增，g (x)≥g (0)＝0，①式成立．
…………（8 分） 若 a＞1，当 x 满足 2＜ex＋e-x＜2a，即 0＜x＜ln(a＋ a2－1)时，g ′(x)＜0，g (x)单调递 减，g (x)＜g (0)＝0，①式不成立． 综上，实数 a 的取值范围(－∞，1]．
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
2024年高考数学模拟试题含答案(一)
2024年高考数学模拟试题含答案(一)一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间（0，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 1C. a ≤ 1D. a < 0【答案】C【解析】由题意知，f'(x) = 2 > 0，所以函数在区间（0，2）上是增函数。
又因为f(0) = -1，f(2) = 3，所以f(x)在区间（0，2）上的取值范围是（-1，3）。
要使得f(x)在区间（0，2）上是增函数，只需保证a ≤ 1。
2. 已知函数g(x) = x² - 2x + 1，则下列结论正确的是（）A. 函数g(x)在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数g(x)在区间（1，+∞）上是减函数C. 函数g(x)的对称轴为x = 1D. 函数g(x)的顶点坐标为（1，0）【答案】D【解析】函数g(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，所以函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为x = 1。
根据二次函数的性质，当x > 1时，函数g(x)递增；当x < 1时，函数g(x)递减。
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn =2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1)【答案】D【解析】由Sn = 2an - 1，得an = (Sn + 1) / 2。
当n = 1时，a1 = (S1 + 1) / 2 = 1。
当n ≥ 2时，an = (Sn + 1) / 2 = (2an - 1 + 1) / 2 = 2an-1。
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)。
4. 已知函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数h(x)的图像是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 一个三角形D. 一个抛物线【答案】B【解析】函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|表示数轴上点x到点2的距离减去点x到点-1的距离。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案 (4)
数学试卷本试卷分试题和答案纸两部分。
试题共4页，答案共4页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、 已知函数x a y =和x ay 1=，其中0>a 且1≠a ，则它们的反函数的图像关于 A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.直线x y =对称 D.原点对称 2、已知集合R U =，集合},11|{xy x A -==则=A C UA.}10|{≥<x x x 或B.}10|{<≤x xC.}1|{≥x xD.}0|{<x x 3、设集合}0,0|{},02|{222>≥-∈=<--∈=a a x R x x N x x R x x M 其中且且，且φ=⋂N M ，那么实数a 的取值范围是A.1<aB.1≤aC.2>aD.2≥a 4、函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，若)2()(f a f ≤，则实数a 的取值范围是A.2≤aB.2-≥aC.22≤≤-aD.22≥-≤a a 或5、已知)(x f y =是R 上的增函数，令)3()1()(x f x f x F +--=，则)(x F 是R 上的 A.增函数 B.减函数C.先增后减D.先减后增6、若条件65:,4|1:|2-<≤+x x q x p 条件，则非p 是非q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 7、为了得到函数x y )31(3⨯=的图像，可以把函数x y )31(=的图像A.向左平移3个单位长度B. 向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度8、已知函数)0(|1|log )(2≠-=a ax x f 满足关系式)2()2(x f x f --=+-，则实数a 的值是A.1B.21- C.41 D.-19、设函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若8)(200721=x x x f ，则)()()(220072221x f x f x f ++ 的值等于A.4B.8C.16D.28log a 10、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.111、某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是)240,0(,1.02030002∈-+=x x x y ，若每台产品的销售价为25万元，则生产若不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为A.100台B.120台C.150台D.180台12、设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数都有)2()2(t f t f -=+成立，在函数 值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是A.)1(-fB.)1(fC.)2(fD.)5(f二、填空题（每小题5分，共20分，请把答案写在答案纸的相应位置上） 13、函数)0(121>+=x x y 与函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称,则)(x f = 14、函数)0(||||)(22c b a c x b x x a x f <<<-++-=的图像关于对称；15、已知)(x f 是周期为2的奇函数，当)1,0[∈x 时，x x f 2)(=，则)23(log 21f 的值为16、为了预防N1H1流感，我学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为at y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为.（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.三、解答题（本大题共６小题，共７0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本题满分10分）记函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ， )]2)(1lg[()(x a a x x g ---= ，)1(<a 的定义域为B（1） 求集合A ；（2） 若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、（本题满分12分）已知抛物线)(1)2()1(2R m x m x m y ∈--+-= （1）当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？（2）若关于x 的方程01)2()1(2=--+-x m x m 的两个不等实根的倒数平方和大于2，求m 的取值范围。
2021年高考数学全真模拟考试卷
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 集合A = {x| x2 －16 ＜0，x∈Z }，B = {－5，0，1}，那么A . A ∩B = Φ B.A B = {－3,－2,0，－1} C.A∩B = {0，1} D、A B = {4,3,2,0，1}2.设复数z满足z·〔1－i〕= 2，那么复数z等于B、 2C、1－iA、D、1＋i3．某次考试结束后，从考号为1号到1000号的1000份试卷中，采用系统抽样法抽取50份试卷进行试评，那么在考号区间[840，939]之中被抽到的试卷份数为A、一定是5份 B.可能是4份 C.可能会有10份D.不能具体确定4．设向量a =〔x，1〕，b =〔4，x〕，假设向量a，b方向相反，那么实数x的值是A、0B、－2C、 2D、± 25．等差数列{a n}的前n项和为S n，S5= －5，S9= －45，那么a4的值为A、－1B、－2C、－3D、－46．假设某几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积等于A、30B、24C、12D、47.圆C：x2＋y2－2ax ＋4ay ＋5a2﹣25 = 0的圆心在直线l1：x＋y＋2=0上，那么a的值为A、2B、－2C、23D、－238．执行如下图的程序框图，输出的S值为A 、 1B 、 0C 、 －1D 、 －29.等比数列{a n }满足a 2＋8a 5 = 0，设数列{n1a }的前n 项和为n S ，那么52S S =A 、 －11B 、 －8C 、 5D 、 1110.函数f 〔x 〕= k a x ﹣a ﹣x 〔a ＞0且a ≠ 1〕在R 上是奇函数，且是增函数，那么函数g 〔x 〕=log a 〔x ﹣k 〕的大致图象是A B CD11．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2，那么顶点S到底面ABC的距离为A、3B、23C、23D、26＋2的图象关于点A 12．函数f〔x〕的图象与函数h(x) = x＋1x，且g〔x〕在区间〔0，2]〔0，1〕对称，假设g(x) = f〔x〕＋ax上为减函数，那么实数a的取值范围是A 、[2，+∞〕B 、[3，+∞〕C 、〔0，3]D 、〔0，2]第二卷二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上. 13．函数f 〔x 〕=2,26ln ,2x xx ((0)0)xx的零点个数是 ．14．假设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，那么目标函数S = 3x －2y 取最大值时=x .15．假设双曲线 C ：2x 2﹣y 2 = m 〔m ＞0〕与抛物线y 2 = 16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB，那么m 的值是 ． 16.函数y = f (x )的图象在点M (1, f (1)) 处的切线方程是122y x =+，那么(1)(1)f f '+= .三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值12分〕△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积3cos 2Sac B .〔Ⅰ〕求角B 的大小； 〔Ⅱ〕假设4π ≤ A ≤ 3π，求sinA ＋ sinC 的最大值和最小值．18.〔本小题总分值12分〕某校对十一假期在市内旅游的教师进行统计，用分层抽样的方法从去克旗阿斯哈图国家地质公园、翁旗玉龙沙湖景区、宁城道须沟景区、喀旗美林谷景区、敖汉旗清泉谷旅游景区五地旅游人员中抽取假设干人成立旅游爱好者协会，相关数据统计如下：〔Ⅰ〕求学校旅游爱好者协会的总人数；〔Ⅱ〕假设从去宁城道须沟景区和敖汉旗清泉谷旅游景区两地抽取的人数中选2人担任旅游爱好者协会与学校之间的联络员，求这两人来自不同旅游地的概率．19.〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB = 60°，AB = AD = 2CD =2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD 为底的等腰三角形．〔Ⅰ〕证明：AD⊥PB；，问：是否存在过点C 〔Ⅱ〕假设四棱锥P﹣ABCD的体积等于32的平面CMN，分别交PB，AB于点M，N，使得平面CMN∥平面PAD？假设存在，求出△CMN的面积；假设不存在，请说明理由．20.〔本小题总分值12分〕焦点在x 轴上的椭圆C 的一个顶点与抛物线E ：x 2y 的焦点重合，且离心率e =12，直线l 经过椭圆C 的右焦点与椭圆C 交于M ，N 两点．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕假设2OM ON ，求直线l 的方程．21.〔本小题总分值12分〕 关于x 的函数()xax -af x =e(0)a.〔Ⅰ〕当a =﹣1时，求函数f 〔x 〕的极值；〔Ⅱ〕假设函数F 〔x 〕=f 〔x 〕+ 1没有零点，求实数a 取值范围．四.选考题：本小题总分值10分，请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分 22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，△ADC 的外接圆交BC 于点E ，AB = 2AC〔Ⅰ〕求证：BE = 2AD；〔Ⅱ〕当AC=3，EC=6时，求AD的长．23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为32cos42sinxy〔θ为参数〕．〔Ⅰ〕以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕A〔﹣2，0〕，B〔0，2〕，圆C上任意一点M〔x，y〕，求△ABM面积的最大值．24.〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲设函数f〔x〕=|x＋1|＋|x﹣4|﹣A、〔Ⅰ〕当a =1时，求函数f〔x〕的最小值；〔Ⅱ〕假设f〔x〕≥4＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的a取值范围．。
2022-2023学年全国高中高考专题数学人教A版高考模拟(含解析)
2022-2023学年全国高考专题数学高考模拟考试总分：136 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图．集合 ，则图中阴影部分表示A. B. C. D.2. A.B.C.D.3. 已知函数是偶函数，当时，，则在上，下列函数中与的单调性相同的是（ ）A.＝A ={2,3,4.5,6,8}B ={1,3.4,5,7}C ={2.4,5.7,8.9}{2.4.5.8}{2,8}{2.6,8}{1.3,6}=(1+3i 1−i)−2−4i−2+4i−1+2i−1−2if(x)x >0f(x)=x 13(−2,0)f(x)y −+1x 2|x +1|B.＝C.＝D.4. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A.B.C.D.5. 在矩形中，＝，＝，点为的中点，点在线段上．若，且点在直线上，则 A.B.C.D.6. 若，且，则 A.B.C.D.7. 在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，，，的面积分别为，，，则三棱锥外接球的表面积为( )A.B.y |x +1|y e |x|y ={ 2x −1,x ≥0+1,x <0x 36π+12–√23–√2–√ABCD AB 2BC 1E BC F DC +=AE →AF →AP →P AC ⋅=(EF →AP →)32−94−52−3α∈(0,π)sin α+2cos α=23–√tan =(α2)3–√23–√423–√343–√3A −BCD AB AC AD △ABC △ACD △ADB 112A −BCD 6π9πC.D.8. 五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共本进行研读，若每人至少分一本，则本书的分配方案种数是( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）9. 如图是函数的部分图像，则函数解析式可为( )A.B.C.D.10. 如图所示，在正方体中，是棱的中点，是侧面（包含边界）内的动点，且平面，下列说法正确的是8π12π5536024015090y =sin(ωx +φ)y =sin(x +)π3y =sin(−2x)π3y =cos(2x +)π6y =cos(−2x)5π6AC 1E CC 1F BCC 1B 1F//A 1AE D 1( )F AA.与是异面直线B.不可能与平行C.不可能与平面垂直D.与平面所成角的正切值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）11. 已知展开式中二项式系数的和为，则该展开式中常数项为________．12. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________.13. 某电商年的产值为 万元，预计产值每年以 递增，则该厂到年的产值（单位：万元）是_________.14. 函数的极大值是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ） 15. 已如，，且．求的值；若，求的值． 16. 在等差数列中，＝，再从条件①＝、条件②设数列的前项和为，＝这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 17. 如图，在直角梯形中，，，＝＝＝，点是的中点，现沿将平面折起，设＝．（1）当为直角时，求直线与平面所成角的大小；F A 1BE F A 1E D 1DF A E D 1E D 1AC 2(2x −(n ∈)1x−√)n N ∗51260∘+−4y =0x 2y 22000a p%2012f(x)=1+x e xαβ∈[,π]π2cos α=−35(1)tan(−α)π4(2)sin(α−β)=35sin β{}a n a 57+a 2a 612{}a n n S n S 312{}a n n T n PBCD PB //DC DC ⊥BC PB BC 2CD 2A PB AD PAD ∠PAB θθPC PAD –√（2）当为多少时，三棱锥的体积为；（3）在（2）的条件下，求此时二面角的大小．18. 某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为，，为了检验设备动行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？19.已知动点到定点 和 的距离之和为（1）求动点轨迹的方程；（2）若直线 交椭圆于两个不同的点,,是坐标原点，求 的面积。
2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解
2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
2024高考数学模拟试卷附答案
2024高考数学模拟试卷附答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则函数f(x)的对称轴方程是（）A. x = 1B. x = -1C. x = 0D. x = 22. 已知函数f(x) = |x - 2| - |x + 1|，则f(x)在区间（-∞，0）上是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减的函数D. 先递减后递增的函数3. 若函数f(x) = (x - 1)² + k在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k ≤ 1D. k ≥ 14. 已知a = 3 + √5，b = 3 - √5，则a² - b²的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 105. 若函数f(x) = x² + bx + c在x = 1处取得极小值，且f(0) = 4，则b的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 46. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 3x - 1，则f(x)的极值点是（）A. x = 0B. x = 1D. x = 37. 已知函数f(x) = x² + 2x + 3，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定8. 若函数f(x) = x² + k在区间（0，1）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k ≤ 1C. k ≥ 0D. k ≥ 1二、填空题（每题5分，共30分）9. 若a = √3，b = √2，则a² - b²的值为__________。
10. 若函数f(x) = x² - 2x + 1的图像与x轴相切，则切点坐标为__________。
11. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|的最小值为3，则实数x的取值范围是__________。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷12314
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【重点知识梳理】 1．向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a|平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定 义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a. (2)结合律： (a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)减法 求a 与b 的相反向量 －b 的和的a －b ＝a ＋(－b)运算叫做a与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．【高频考点突破】考点一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】A【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a|a|是与a 同方向的单位向量．【变式探究】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C考点二 平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝() A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b(2)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与B D 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】(1)D(2)2规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【变式探究】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b(2)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0【答案】(1)D(2)A考点三 共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【变式探究】 (1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是()A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．【答案】(1)C(2)3考点五 方程思想在平面向量的线性运算中的应用数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．【例4】如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b.试用a 和b 表示向量OM →.【真题感悟】1.【高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。
2024年高考模拟数学高考试题试卷及答案
2024年高考模拟数学高考试题试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B 为（）A. {x|1＜x≤3}B. {x|1≤x≤2}C. {x|2＜x≤3}D. {x|1≤x＜3}答案：C2. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2+x+1，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：D3. 在三角形ABC中，a=8，b=10，cosA=3/5，则sinB的值为（）A. 4/5B. 3/5C. 1/2D. 1/√2答案：A4. 设函数f(x)=x^2+2x+1/(x^2+2x+1)，则f(x)的值域为（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 1)D. (1, +∞)答案：B5. 若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c（a、b、c为常数）的图像与x轴有3个不同的交点，则a、b、c满足的条件是（）A. a≠0B. b≠0C. c≠0D. a、b、c不全为0答案：D6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n≥2），a1=1，则数列{an}的通项公式为（）A. an=2n-1B. an=2nC. an=2n-2D. an=2n+1答案：B7. 若函数g(x)=x^2+mx+n的最小值为-4，且x=1时取得最小值，则m、n的值为（）A. m=2，n=-5B. m=-2，n=-5C. m=2，n=-3D. m=-2，n=-3答案：B8. 已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x^2+2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A. f(x)=x^2-2x+1B. f(x)=x^2-2x-1C. f(x)=-x^2-2x+1D. f(x)=-x^2+2x-1答案：D二、填空题（每题5分，共40分）9. 若f(x)=x^2-2x+1，求f(x+1)的值。
答案：210. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3an-2（n≥1），a1=2，求{an}的公差。
2023-2024学年全国高中高考专题数学人教A版高考模拟(含解析)
2023-2024学年全国高考专题数学高考模拟考试总分：135 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则 A.B.C.D.2.设复数，那么在复平面内复数对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的的边长为米，高为米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为米，则图书馆顶部的面积大约为()平方米（注）A.A ={−2,−1,0,1,2}B ={x |−1<x ≤2}A ∩B =(){−1,0,1}{1,2}{0,1,2}{0,1}3z −126930∘11.8:≈1.4,≈1.7,≈15.22–√3–√233−−−√990B.C.D.4. 化简的结果是（ ）A.B.C.D.5. 在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影外部（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）附：若，则，．A.B.C.D.6. 已知是双曲线的左焦点，过作圆的切线交双曲线的右支于点，过点作一轴的垂线，垂足为．若，则的渐近线方程为( )A.B.C.D.7. 在边长为的等边三角形中，若，则 A.B.8907906901−2sin(π−2)cos(π+2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√sin 2+cos 2sin 2−cos 2cos 2−sin 2−sin 2−cos 210000C N(0,1)X ∼N(μ,)σ2P(μ−δ<X ≤μ+δ)=0.6826P(μ−2δ<X ≤μ+2δ)=0.95443413119327186587F C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F O :+=x 2y 2a 2C A A H |AF|=2|AH|C y =±x 12y =±x 2–√2y =±x2–√y =±x3–√2ABC =,=AE →13AC →BF →FC →⋅=(BE →AF →)−23−438C.D.8. 已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 A.B.C.D.10. 有关独立性检验的四个命题，其中正确的是( )A.两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B.对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的可信程度越小C.从独立性检验可知：有的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有的可能患有心脏病D.从独立性检验可知：有的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关11. 对于函数＝，下列选项中错误的是 （ ）A.在上递增B.的图象关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为−83−2R f(x)[1,+∞)f(x +1)f(m +2)≥f(x −1)x ∈[−1,0]m [−3,1][−4,2](−∞,−3]∪[1,+∞)(−∞,−4)∪[2,+∞)a b ()2×2X Y K 2k k X Y 95%95%99%1%f(x)sin 2x f(x)(,)π4π2f(x)f(x)2πf(x)212. 已知是定义域为的函数的导函数，如图是函数的图象，则下列关于函数性质说法正确的是( )A.单调递增区间是，B.是极小值C.单调递减区间是，D.是极小值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 为定义在上的奇函数，当时，，为的导函数，则＝________．14. 求值：________ 15. 椭圆的焦点，，为椭圆上的一点，当时，的面积是________.16. 已知数列的前项和为，且，若 成立，则的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ） 17. 给定三个条件：①，，成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，________.求数列的通项；若，数列的前项和，求证：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜，因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展．市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人（其中佩戴角膜塑形镜的人(x)f ′R f(x)y =x (x)f ′f(x)(−∞,−3)(0,3)f(−3)(−∞,−3)(3,+∞)f(3)f(x)R x ≤0f(x)=−−x −−−√x 2f (x)′f(x)f (1)+f(1)′1−2+4−⋯+(−2=C 12019C 22019)2019C 20192019+=1x 236y 29F 1F 2P P ⊥P F 1F 2△P F 1F 2{}b n n S n =−1S n 2n >b n 22018n a 2a 4a 8=5S 4a 2(n +1)=n a n a n+1{}a n n S n =6S 3(1){}a n (2)=b n 1a n a n+2{}b n n K n <K n 34A 100246中，名是男生，名是女生）（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是戴角膜塑形镜的近视者概率是多大？（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生至少一人的概率． 19. 的内角，，的对边分别是，，，且．求角的大小；若，，为边上一点，，求的值． 20. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且＝＝＝．（1）求证：平面（2）求棱与所成的角的大小；（3）在线段上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值． 21. 设()，曲线在点（）处的切线垂直于轴．求的值； 求函数的极值．2463△ABC A B C a b c a −c sin B =b cos C 3–√3–√(1)B (2)a =3c =2D BC CD =DB 15sin ∠BDA ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC A 1ABC B AB AC B A 12⊥A 1C 1ABA 1B 1AA 1BC B 1C 1P AP =14−−√P −AB −A 1f(x)=a ln x −x +4a ∈R y =f(x)1,f(1)y (1)a (2)f(x)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高考专题数学高考模拟一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义，计算即可．【解答】集合，，则．2.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积A ={−2,−1,0,1,2}B ={x |−1<x ≤2}A ∩B ={0,1,2}利用几何体特征建立关系式求解即可.【解答】解： 如图，底面正方形的边长为，则 ，，在 中，，，而， 在 中， ，那么，图书馆顶部的面积 ，故选.4.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．【解答】＝＝．5.26OE ==13≈18.2262–√22–√∴BO =BE +OE =30Rt △ABO AO =tan ⋅BO =10≈1730∘3–√∴AD =AO −OD =17−9=8CD ==13262∴Rt △ACD AC ==≈15.2C +A D 2D 2−−−−−−−−−−√233−−−√=FG ⋅AC S △AFG 12S =4=4××26×15.2=790.4S △AFG 12C =1−2sin(π−2)cos(π+2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√1−2sin 2⋅(−cos2)−−−−−−−−−−−−−−−−√=si 2+2sin 2⋅cos 2+co 2n 2s 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(sin 2+cos 2)2−−−−−−−−−−−−√|sin 2+cos 2|sin 2+cos 2D【考点】正态分布的密度曲线【解析】求出，即可得出落入阴影外部（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值．【解答】解：由题意，∴落入阴影部分点的个数的估计值为，∴落入阴影外部（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为．故选：．6.【答案】D【考点】直线与双曲线的位置关系直线与圆的位置关系双曲线的简单几何性质相似三角形的应用【解析】作图，作，可得，根据三角形的相似性可知，即，，再根据,即可得到，结合,得到，进而得解双曲线的渐近线方程.【解答】解：如图，作，垂足为，P(0<X ≤1)=×0.6826=0.341312C N(0,1)P(0<X ≤1)=×0.6826=0.34131210000×0.3413=3413C N(0,1)10000−3413=6587D OQ ⊥AF |OQ|=a Rt △FQO ∼Rt △FHA =OQ OF AH AF =OQ OF 12|OQ|=a,|OF|=c c =2a =−b 2c 2a 2=b a 3–√OQ ⊥AF Q因为圆的半径为,所以,因为，，由三角形的相似性可知，所以,因为，所以，因为，，所以，即，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选.7.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由题意画出图形，把用表示，则可求．【解答】如图，，，O a |OQ|=a AH ⊥FH OQ ⊥AF Rt △FQO ∼Rt △FHA =OQ OF AH AF |AF|=2|AH|=OQ OF 12|OQ|=a |OF|=c =a c 12c =2a =−b 2c 2a 2=b a 3–√y =±x 3–√D BE →AF →AB →AC →⋅BE →AF →=−=−BE →AE →AB →13AC →AB →=(+)AF →12AB →AC →=(−)⋅(+)→→1→→1→→∴．8.【答案】A【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由为偶函数，则有，所以的图象关于直线对称，结合函数的单调性可得，解可得的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，是偶函数，则，所以的图象关于直线对称，又由函数在上单调递减，由可得，即恒成立，又由，则，则有：，解可得；即的取值范围为；二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C,D【考点】由基本不等式证明不等关系【解析】．由判断；．由判断；．由判断；．由判断．【解答】因为所以，所以，故正确；⋅=(−)⋅(+)BE →AF →13AC →AB →12AB →AC →=⋅+−−⋅=×−×−×2×2×=−216AC →AB →16AC →212AB →212AB →AC →162212221312f(x +1)f(−x +1)=f(x +1)f(x)x =1f(m +2)≥f(x −1)⇒|(m +2)−1|≤|(x −1)−1|m f(x +1)f(−x +1)=f(x +1)f(x)x =1f(x)[1,+∞)f(m +2)≥f(x −1)|(m +2)−1|≤|(x −1)−1||m +1|≤|x −2|x ∈[−1,0]2≤|x −2|≤3|m +1|≤2−3≤m ≤1m [−3,1]A a +b =2≥2ab −−√B =a +b +2≤2(a +b)(+)a −√b √2ab −−√C +=−2ab a 2b 2(a +b)2D +=(+)(a +b)=1+(+)1a 1b 121a 1b 12b a a ba >0b >0,a +b =2a +b =2≥2ab −−√≤1ab −−√A =a +b +2≤2(a +b)=42因为，所以，故正确；因为，故正确；因为，故正确．故选：10.【答案】A,B,D【考点】独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：，由独立性检验的相关公式可得两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大，故正确；，对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的可信程度越大，越小，“与有关系”的可信程度越小，故正确；，从独立性检验可知：有的把握认为秃顶与患心脏病有关时，我们说某人秃顶，那么他有的可能与患有心脏病有关，故错误；，从独立性检验可知：有的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关，故正确.故选.11.【答案】A,C,D【考点】正弦函数的单调性三角函数的周期性【解析】利用正弦函数的图象和性质求解即可．【解答】对于，令，可得，，可得错误；对于，因为＝是奇函数，所以＝也是奇函数，函数的图象关于原点对称，正确；对于，，可得错误；=a +b +2≤2(a +b)=4(+)a −√b √2ab −−√+≤2a −√b √B +=−2ab ≥4−2=2a 2b 2(a +b)2C +=(+)(a +b)=1+(+)≥1+×2=21a 1b 121a 1b 12b a a b 12D ABCD A 2×2B X Y K 2k k X Y k X Y C 95%95%D 99%1%ABD A 2kπ−≤2x ≤2kπ+π2π2kπ−≤x ≤kπ+π4π4k ∈Z B y sin x y sin 2x C T ==π2π2对于，＝，可得错误．12.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】利用函数图象得出的正负情况，进而得到函数的单调性情况，由此判断选项得出答案．【解答】解：由图象可知，当时，；当时，，∴函数在，上递减；在上递增，∴是极小值；是极大值；故选项，正确，选项，错误．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，设，则，结合函数的奇偶性与解析式可得＝，求出函数的导数，进而计算与的值，即可得答案．【解答】根据题意，设，则，则，又由为定义在上的奇函数，则＝＝，则＝，则有＝＝，＝，D f(x)max 1f'(x)f(x)x ∈(−∞,−3)∪(3,+∞)(x)<0f ′x ∈(−3,0)∪(0,3)(x)>0f ′f(x)(−∞,−3)(3,+∞)(−3,3)f(−3)f(3)B C A D BC 32x ≥0−x ≤0f(x)−x 2x −√f(1)f'(1)x ≥0−x ≤0f(−x)=−(−x =−x −√)2x −√x 2f(x)R f(x)−f(−x)−x 2x −√f'(x)2x −12x−√f(1)1−10f'(1)2−=1232故，故答案为：．14.【答案】【考点】二项式定理及相关概念【解析】由题意利用二项式定理、二项式展开式的通项公式，求得要求式子的值．【解答】解：.故答案为：15.【答案】【考点】椭圆的定义椭圆的简单几何性质【解析】根据椭圆的定义和勾股定理建立关于、的方程组，平方相减即可求出，结合直角三角形的面积公式，可得的面积，得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为：，∴，，可得，即，，设，，由，得，则有，，又，则，得，则，即，f (1)+f(1)=′3232−11−2+4−⋯+(−2=(1−2C 12019C 22019)2019C 20192019)2019=−1−1.9m n |P |⋅|P |=8F 1F 2ΔPF 1F 2S =|P |⋅|P |12F 1F 2+=1x 236y 29=36a 2=9b 2=−=27c 2a 2b 2a =6c =33–√|P |=m F 1|P |=n F 2P ⊥P F 1F 2∠P =F 1F 290∘m +n =2a =12+=4=108m 2n 2c 2=++2mn (m +n)2m 2n 2144=108+2mn 2mn =36mn =18|P |⋅|P |=18F 1F 2的面积.故答案为：.16.【答案】【考点】数列与不等式的综合数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴当时，，∴；当时，，∴，∴.综上，.又，∴，∴，∴的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）17.【答案】解：设等差数列的公差为．选条件①：∵，，，成等比数列，∴△PF 1F 2S =|P |⋅|P |=×18=912F 1F 21292020=−1S n 2n n =1=−1S 121=1b 1n ≥2=−1S n−12n−1−=−1−(−1)S n S n−12n 2n−1=(n ≥2)b n 2n−1=b n 2n−1>b n 22018>2n−122018n >2019n 20202020(1){}a n d (d ≠0)=6S 3a 2a 4a 8{=3+3d =6，S 3a 1=(+d)(+7d)，(+3d)a 12a 1a 1解得∴数列的通项．选条件②：∵，，∴解得∴数列的通项．选条件③：∵，，∴解得∴数列的通项．，∴．【考点】等差数列的性质等差数列的通项公式等差数列的前n 项和等比中项数列的求和数列与不等式的综合【解析】无无【解答】解：设等差数列的公差为．选条件①：∵，，，成等比数列，∴{=1，a 1d =1，{}a n =n a n =6S 3=5S 4a 2{=3+3d =6，S 3a 14+6d =5(+d)，a 1a 1{=1，a 1d =1，{}a n =n a n =6S 3(n +1)=n a n a n+1{=3+3d =6，S 3a 1(n +1)[+(n −1)d]=n (+nd)，a 1a 1{=1，a 1d =1，{}a n =n a n (2)∵===(−)b n 1a n a n+21n(n +2)121n 1n +2=(1−+−+⋯+−)K n 121312141n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=(−)<12322n +3(n +1)(n +2)34(1){}a n d (d ≠0)=6S 3a 2a4a 8{=3+3d =6，S 3a 1=(+d)(+7d)，(+3d)a 12a 1a 1解得∴数列的通项．选条件②：∵，，∴解得∴数列的通项．选条件③：∵，，∴解得∴数列的通项．，∴．18.【答案】因为样本容量为，佩戴角膜塑形镜的人，若从样本中选一位学生，那么该同学是戴角膜塑形镜的近视者概率＝．两名男生用，表示，，，表示，记“选个人，其中男生至少一人”为事件，总事件有，，，，，，，，，，，满足条件的有，，，，，，，，，则＝＝．【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.{=1，a 1d =1，{}a n =n a n =6S 3=5S 4a 2{=3+3d =6，S 3a 14+6d =5(+d)，a 1a 1{=1，a 1d =1，{}a n =n a n =6S 3(n +1)=n a n a n+1{=3+3d =6，S 3a 1(n +1)[+(n −1)d]=n (+nd)，a 1a 1{=1，a 1d =1，{}a n =n a n (2)∵===(−)b n 1a n a n+21n(n +2)121n 1n +2=(1−+−+⋯+−)K n 121312141n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=(−)<12322n +3(n +1)(n +2)341006P a b 6348A ab1ab2ab5a13a23a34b13b23b34124234ab1ab2ab8a13a23a34b13b23b34P(A)【答案】解：因为，所以，即得，，则有，又因为，所以．因为，由可得，．在中，．所以．在中，由正弦定理得，，即．所以．【考点】正弦定理余弦定理解三角形【解析】无无【解答】解：因为，所以，即得，，则有，又因为，所以．因为，由可得，．在中，．所以．在中，由正弦定理得，，即．(1)a −c sin B =b cos C 3–√3–√sin(B +C)−sin C sin B =sin B cos C 3–√3–√cos B sin C =sin C sin B 3–√sin C ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3(2)a =3CD =DB 15DB =52△ABD A =+−2××2cos =D 2()5222252π3214AD =21−−√2△ABD =AB sin ∠BDA AD sin B =2sin ∠BDA 21−−√2sin π3sin ∠BDA =27–√7(1)a −c sin B =b cos C 3–√3–√sin(B +C)−sin C sin B =sin B cos C 3–√3–√cos B sin C =sin C sin B 3–√sin C ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3(2)a =3CD =DB 15DB =52△ABD A =+−2××2cos =D 2()5222252π3214AD =21−−√2△ABD =AB sin ∠BDA AD sin B =2sin ∠BDA 21−−√2sin π3所以．20.【答案】证明：因为 三棱柱中，，所以因为顶点在底面上的射影恰为点，所以所以所以平面如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．所以，故与棱所成的角是． 设，则．于是，解得则为棱的中点，其坐标为． 设，则令＝故 而平面的法向量，则故二面角的平面角的余弦值是．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直sin ∠BDA =27–√7ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC ⊥A 1C 1A 1B 1A 1ABC B B ⊥ACA 1B ⊥A 1A 1C 1⊥A 1C 1ABA 1B 1A C(2,0,0)B(0,2,0)(0,2,2)A 1(0,4,2)B 1=(0,2,2)AA 1→==(2,−2,0)BC →B 1C 1→cos <,>==−AA 1→BC →⋅AA 1→BC →||||AA 1→BC →12AA 1BC π3=λ=(2λ,−2λ,0)P B 1→B 1C 1→P(2λ,4−2λ,2)AP ==4++4λ2(4−2λ)2−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√λ=12P B 1C 1P(1,3,2)=(x,y,z)n 1→{ x +3y +2z =02y =0z 1=(−2,0,1)n 1→ABA 1=(1,0,0)n 2→|cos <,>|=||=n 1→n 2→⋅n 1→n 2→||||n 1→n 2→25–√5P −AB −A 125–√5直线与平面所成的角【解析】（1）证明：因为 三棱柱中，，得到，因为顶点在底面上的射影恰为点，得到，利用线面垂直的判断定理得到证明．（2）建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的数量积公式求出棱与所成的角的大小；（3）利用已知条件求出的坐标，求出平面的法向量为，而平面的法向量，利用向量的数量积公式求出二面角的平面角的余弦值．【解答】证明：因为 三棱柱中，，所以因为顶点在底面上的射影恰为点，所以所以所以平面如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．所以，故与棱所成的角是． 设，则．于是，解得则为棱的中点，其坐标为． 设，则令＝故 而平面的法向量，则故二面角的平面角的余弦值是． ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC ⊥A 1C 1A 1B 1A 1ABC B B ⊥AC A 1=(0,2,2)AA 1→==(2,−2,0)BC →B 1C 1→AA 1BC AP =14−−√p P −AB −A 1n 1→ABA 1=(1,0,0)n 2→P −AB −A 1ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC ⊥A 1C 1A 1B 1A 1ABC B B ⊥ACA 1B ⊥A 1A 1C 1⊥A 1C 1ABA 1B 1A C(2,0,0)B(0,2,0)(0,2,2)A 1(0,4,2)B 1=(0,2,2)AA 1→==(2,−2,0)BC →B 1C 1→cos <,>==−AA 1→BC →⋅AA 1→BC →||||AA 1→BC →12AA 1BC π3=λ=(2λ,−2λ,0)P B 1→B 1C 1→P(2λ,4−2λ,2)AP ==4++4λ2(4−2λ)2−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√λ=12P B 1C 1P(1,3,2)=(x,y,z)n 1→{ x +3y +2z =02y =0z 1=(−2,0,1)n 1→ABA 1=(1,0,0)n 2→|cos <,>|=||=n 1→n 2→⋅n 1→n 2→||||n 1→n 2→25–√5P −AB −A 125–√521.【答案】解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】求导函数，利用曲线在点（）处的切线垂直于轴，可得，从而可求的值；由知，，，确定函数的单调性，即可求得函数的极值．【解答】解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)y =f(x)1,f(1)y f'(1)=0a (2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f(x)(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3。
2024年新高考数学模拟卷A卷(解析版)
2024年新高考数学模拟卷A 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}2468M =，，，，{}2|280N x x x =--≤，则M N ⋂=（）A ．{}2,4B ．{}2,4,6C ．{}2,4,6,8D ．[]24，【答案】A【详解】由题意{}2|280{|24}N x x x x x =--≤=-≤≤，∴{2,4}M N ⋂=．故选：A ．2．复数2(2)i z i-=i 为虚数单位，则A ．25B ．C ．5D ．【答案】C【详解】()()()223443,1i i i z i i--⨯-===--()()2243 5.z -+-=3．已知()1,3a =-，()2,1b =- ，且()()2//a b ka b +-，则实数k =（）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】D【详解】 (1,3)=- a ，()2,1b =- ，(1ka b k ∴-= ，3)(2---，1)(2k =+，13)k --，2(3,1)a b +=--，()//(2)ka b a b +-，(2)3(13)k k ∴-+=---，∴解得：12k =-．故选：D ．4．已知函数2,(1)()4,(1)x a x ax x f x a x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩，若()y f x =在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．()2,4C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【详解】()f x 在(),-∞+∞上单调递增；∴2112211414aa a a a a a a⎧≥⎪≥⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪≤⎩⎪-++≤⎩，解得24a ≤≤；所以实数a 的取值范围为[]2,4．故选：A ．5．若椭圆X ：()22211x y a a +=>与双曲线H ：2213x y -=的离心率之和为736，则=a （）A ．2B 3C 2D ．1【答案】A【详解】椭圆X ：()22210x y aa +=>H ：2213x y -==，=2a=.故选：A.6．设过点(0,P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．19BC ．19-D ．【答案】A【详解】解法1：如图，圆22410x yx +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r ，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，得2sin 3APC APC ∠∠=，则221cos cos sin 09APB APC APC∠=∠-∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，所以1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选A.解法2：如图，圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB+-⋅∠=+-⋅∠，且πACB APB ∠=-∠，则448cos 5510cos APB ACB +-∠=+-∠，即44cos 55cos APB ACB -∠=-∠，解得1cos 09APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，则1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选：A.解法3：圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =线方程为0x=，则圆心到切点的距离2d r =<，不合题意；若切线斜率存在，则设切线方程为y kx =，即0kx y -=，则圆心到切线的距离d =120,k k ==-1212sin tan 1cos k k k k ααα-==+，又α为锐角，由22sin cos 1αα+=解得1cos 9α=.故选：A.7．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件【答案】B【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足.故选：B8．若ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan αβ+=（）A ．－1B ．1C ．－2D ．2【答案】A【详解】解法一：由题得()()2sin sin cos 2222βαααβαβ⎫-=-+-⎪⎪⎝⎭，所以2sin sin 2cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=-++，即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ++-=，即()()sin cos 0αβαβ+++=，显然()cos 0αβ+≠，故()tan 1αβ+=-.解法二：令π4αθ-=，则π4αθ=+，所以ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为π2sin sin sin 2βθθβ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin sin cos βθθβ=-，所以2sin sin cos cos sin sin βθθβθβ=+，即cos cos sin sin 0θβθβ-=，所以()cos 0θβ+=，则ππ2k θβ+=+，k ∈Z ，所以()πππ3πtan tan tan πtan 14424k αβθβ⎛⎫⎛⎫+=++=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈Z .故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2331 24
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．【热点题型】题型一空间几何体的三视图和直观图例1、(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．答案(1)B(2)6 16a2解析(1)该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.(2)画出坐标系x′O′y′，作出△OAB 的直观图O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．易知D′B′＝12DB(D 为OA 的中点)，∴S △O′A′B′＝12×22S △OAB ＝24×34a2＝616a2.【提分秘籍】(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【举一反三】(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm ，O′C′＝2cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形答案 (1)B (2)C解析 (1)如图，几何体为三棱柱．题型二 空间几何体的表面积与体积例2、(1)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C ．6D ．7(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________．答案 (1)C (2)A (3)1∶2∶3解析 (1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm ，底面半径为2cm ，右面圆柱的高为2cm ，底面半径为3cm ，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.(2)该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.(3)设正方体的棱长为a ，①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图①所示，有2r1＝a ，∴r1＝a 2，S1＝4πr 21＝πa2.【提分秘籍】(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．【举一反三】(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．32＋817C．48＋817 D．80(2)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C－ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.12 B .22 C.14 D.24答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.所以S 表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)因为C 在平面ABD 上的射影为BD 的中点O ，在边长为1的正方形ABCD 中，AO ＝CO ＝12AC ＝22，所以侧视图的面积等于S △AOC ＝12CO·AO ＝12×22×22＝14，故选C.题型三 空间几何体的结构特征例3、 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案 ②③④⑤解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．【提分秘籍】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．【举一反三】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A图1 图2【高考风向标】1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π 【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B. 3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.5.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）1112A．822+ B．1122+ C．1422+ D．15【答案】B6.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A）223π（B）423π（）22π（）42π【答案】B【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为2142(2)223ππ⨯⨯=，故选B.7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22 【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ∆≌ABC ∆，由三视图中所给数据可知：2====BC AB PC PA ,取AC 中点,O 连接BO PO ,，则POB Rt ∆中，1==BO PO ⇒2=PB ∴3222212432+=⋅⋅+⋅⋅=S ，故选C. 8.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为3m .【答案】8π3【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= .9.【高考四川，文14】在三棱住ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B1C1的中点，则三棱锥P －A1MN 的体积是______.【答案】12410．（·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476 C ．6 D ．7【答案】A 【解析】如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.11．（·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R ＝6＋8－102＝2. 12．（·陕西卷）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π 【答案】C【解析】由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π×1×1＝2π. 13．（·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 【答案】A14．（·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H.图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．【解析】解：(1)由该四面体的三视图可知， BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH∩ 平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH. 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形． 【高考押题】1．下列结论中正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 答案 D解析 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B 错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C 错误．2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．10答案 D解析 如图，在五棱柱ABCDE －A1B1C1D1E1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2πD.4π3 答案 D解析 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点， 所以球的半径r ＝222＋222＝1，球的体积V ＝4π3r3＝4π3.故选D.4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72cm3B ．90cm3C ．108cm3D ．138cm3 答案 B解析 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示． V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案B解析由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确．6．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为________．答案2π2π＋17．一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．答案 8π解析 由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V ＝43×π×23×34＝8π.8．如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比．9．已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm 和30cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如图所示，三棱台ABC —A1B1C1中，O 、O1分别为两底面中心，D 、D1分别为BC 和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．由题意知A1B1＝20，AB ＝30， 则OD ＝53，O1D1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD1＝34×(202＋302)， 解得DD1＝1333， 在直角梯形O1ODD1中， O1O ＝DD21－OD －O1D12＝43，所以棱台的高为43cm.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷+答案解析(附后)
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 8个2.已知复数，i 为虚数单位，则( )A. 1B.C.D.3.在中，记，，则( )A. B. C. D.4.已知函数，则的单调递增区间为( )A. B. C. D.5.如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA 与CE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为，，，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为( )A. B. C. D.7.已知若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知a ，b ，，且，，，其中e 是自然对数的底数，则( )A.B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级．如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是( )A. 这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B. 从2日到5日空气质量越来越好C. 这14天中空气质量的中位数是D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”．若，则角可取的值用密位制表示可能是( )A.B.C.D.11.已知点A ，B 分别是双曲线C ：的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为、，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C 的离心率为B. 双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.为定值D. 存在点P ，使得12.已知，，若关于x的方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为( )A. B. C. D. 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年全国高中高考专题数学人教A版高考模拟(含解析)
2023-2024学年全国高考专题数学高考模拟考试总分：135 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设，，，则下列关系正确的是 A.B.C.D.2. 若复数满足，则复数的共轭复数不可能为( )A.B.C.D.3. 已知，则 A.B.C.D. M ={x |x ∈Z}N ={x |x =,n ∈Z}n 2P ={x |x =n +,n ∈Z}12()N ⊆MN =M ∪PN ⊆PN =M ∩Pz |z −2−3i|=5z 5+2i−2−6i5−7i2−8itan(α−)=2π63–√=(sin αsin(α+)π3)5272−3–√233–√24. 若甲，乙，丙三人随机站成一排，则甲乙两人相邻而站的概率为( )A.B.C.D.5. 已知三条相交于一点的线段，，两两垂直，且，，在同一平面内，在平面外，平面于，则垂足是的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心6. 若＝，则在，，…，中，值为零的个数是（ ）A.B.C.D.7. 已知，，，则，，的大小关系为A.B.C.D.8. 已知双曲线：的右焦点为，过作直线与两条渐近线交于，两点．若为等腰直角三角形（为坐标原点）则的面积为( )A.16131223PA PB PC A B C P ABC PH ⊥ABC H H △ABC S n sin+sin +⋯+sin (n ∈)π72π7nπ7N +S 1S 2S 2017143144287288a =2log 72b =3log 73c =6log 76a b c ( )a >b >cb >a >ca >c >bb >c >aC −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F F l A B △OAB O △OAB a 223B.C.或D.或二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，则下列结果正确的是( )A.B.C.D.10. 如图，在正方体中，点为线段上一动点，则 A.直线平面B.异面直线与所成角为C.三棱锥的体积为定值D.平面与底面的交线平行于11. 已知数列前项和为，且，，为非零常数)，则下列结论中正确的是( )A.是等比数列B.当时，C.当时，D.2a 32a 2a 22a 212a 2=+x ++⋯+(1−2x)2021a 0a 1a 2x 2a 2021x 2021+++⋯+=1a 0a 1a 2a 2021+++⋯+=a 1a 3a 5a 20211−320212+++⋯+=a 0a 2a 4a 2020−1+320212++…+=−1a 12a 222a 202122021ABCD −A 1B 1C 1D 1P C B 1()B ⊥D 1DA 1C 1CB 1A 1C 145∘P −D A 1C 1D A 1C 1ABCD A 1C 1{}a n n S n =p a 12−=2p S n S n−1(n ≥2p {}a n p =1=S 4158p =12⋅=a m a n a m+n ||+||=||+||a 3a 8a 5a 6R f(x)12. 对于定义在上的函数，下列说法正确的是（ ）A.若是奇函数，则的图像关于点对称B.若对，有，则的图像关于直线对称C.若函数的图像关于直线对称，则为偶函数D.若，则的图像关于点对称卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 在中，＝，＝，，则＝________． 14. 若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是________．15. 椭圆的焦点，，为椭圆上的一点，当时，的面积是________.16. 已知函数，则在点处的切线方程为________.四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）17. 在中，角所对的边分别为，已知．求角的大小；若，求的取值范围．18. 已知数列的前项和为，且.求数列的通项公式；若，求数列的前项和. 19. 在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面， ，，，，分别为棱，，上的点，且.R f(x)f(x)f(x −1)(1,0)x ∈R f(x +1)=f(x −1)f(x)x =1f(x +1)x =−1f(x)f(1+x)+f(1−x)=2f(x)(1,1)△ABC ∠A 60∘AB 3=,⋅=−BD →23BC →AD →BC →43AC x y +=14x −√1y√+4>−6m x −√y √m 2m +=1x 236y 29F 1F 2P P ⊥P F 1F 2△P F 1F 2f (x)=(x −1)e x f (x)(1,0)△ABC A ，B ，C a ，b ，c cos C +(cos A −sin A)cos B =03–√B a +c =1b {}a n n S n =3−4n S n n 2(1){}a n (2)=⋅b n a n 2n {}b n n T n S −ABCD ABCD △SAD SAD ⊥ABCD AB =1AD =2E F M SA SB AD ===t (t >0)SE EA SF FB DM MA求证：平面平面；若，求二面角的正切值．20. 某健身馆在年、两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估年、两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了年、两月名客户的消费金额，分组如下：,,,…,（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估年、两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把年、两月健身消费金额不低于元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人非健身达人总计男________________女________________总计________________________（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．方案一：每满元可立减元；方案二：金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖次打折，中奖次打折，中奖次打折．若某人打算购买元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．附： 21. 已知函数，是的导函数．(1)MEF//SCD (2)t =1A −EM −B 201978202078201978100[0,200)[200,400)[400,600)[1000,1200]20207820197880095%1030800100800121928371000P(≥k)K 20.1500.1000.0500.0100.005k 2.0722.7063.8416.6357.879=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)f(x)=x −sin x −ln x +112m 2f (x)′f(x)f (x)′(0,+∞)（1）证明：当＝时，在上有唯一零点；（2）若存在，，且时，＝，证明：．m 2f (x)′(0,+∞)x 1∈(0,+∞)x 2≠x 1x 2f()x 1f()x 2<x 1x 2m 2参考答案与试题解析2023-2024学年全国高考专题数学高考模拟一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】，分类讨论，可得结论．【解答】解：，当，时，当，时，∴．故选．2.【答案】A【考点】复数的模共轭复数【解析】此题暂无解析【解答】略3.N ={x |x =,n ∈Z}n 2N ={x |x =,n ∈Z}n 2n =2k k ∈Z N ={x |x =k,k ∈Z}n =2k +1k ∈Z N ={x |x =k +,k ∈Z}12N =M ∪P B【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】推导出，，由此能求出结果．【解答】∵，∴，解得，∴．4.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为，甲、乙相邻的基本事件个数．由此能求出甲、乙相邻的概率．【解答】解：甲，乙，丙三人随机站成一排，基本事件总数为，甲，乙相邻的基本事件个数．∴甲，乙相邻的概率．故选．5.【答案】tan α=−73–√3==sin αsin(α+)π3sin αsin αcos +cos αsin π3π3tan αtan α+123–√2tan(α−)=2π63–√==2tan α−tan π61+tan αtan π6tan α−3–√31+tan α3–√33–√tan α=−73–√3===sin αsin(α+)π3sin αsin αcos +cos αsin π3π3tan αtan α+123–√272n ==6A 33m ==4A 22A 22n ==6A 33m ==4A 22A 22P ==4623D三角形五心【解析】本题利用直接法解决．根据，，两两垂直得线面垂直，最后由线面垂直可证明线线垂直，得垂足是的垂心．从而选出答案．【解答】解：∵平面于，∴，又平面，∴，∴平面，∴，即是三角形的高线，同理，、也是三角形的高线，∴垂足是的垂心．故选．6.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由于，，…，，＝，，…，，，可得到，…，，＝，而＝，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．【解答】由于，，…，，＝，，…，，，可得到，…，，＝，而＝，＝，∴，，…，中，值为零的个数是＝．7.【答案】PA PB PC H △ABC PH ⊥ABC H PH ⊥BC PA ⊥PBC PA ⊥BC BC ⊥PAH BC ⊥AH AH ABC BH CH ABC H △ABC D sin >0π7sin >02π7sin >067sin π0sin =−<08π7π7sin =−<013π76π7sin =014π7>0S 1>0S 12S 130S 140sin>0π7sin >02π7sin >067sin π0sin =−<08π7π7sin =−<013π76π7sin =014π7>0S 1>0S 12S 130S 140201714×144+1S 1S 2S 2017144×2288对数值大小的比较【解析】根据对数的运算得到，，，由，即可得解.【解答】解：，，.因为，所以，所以.故选.8.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题【解析】本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若，则，故，；②若，则与垂直且过点，垂足为，的斜率为，a ==2log 728log 76b ==3log 739log 76c =6log 769>8>6log 7log 7log 7a ===2log 7232log 72×38log 76b ===3log 7323log 72×39log 76c =6log 769>8>6log 7log 7log 7>>9log 768log 766log 76b >a >c B ∠AOB =90∘∠AOF =45∘∴=1b a c ==a +a 2b 2−−−−−−√2–√∴=⋅2c ⋅c ==2S △OAB 12c 2a 2∠BAO =90∘l y =x b a F A ∴l −a b =−(x −c)a则直线的方程为，联立解得，，则点为为等腰直角三角形，为斜边，，，∴.综上所述或.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】C,D【考点】二项式定理的应用【解析】利用赋值法逐一分析求解即可.【解答】解：令时，①，故错误；令时， ②，由①②可得： ，故正确；由①②可得： ，故错误；令，可得：，令可得：，bl y =−(x −c)a by =−⋅(x −c),a b y =x,b a x =a 2c y =ab cA (,)a 2c abc ∴△OAB OB ∴OA =AB O =+=A 2()a 2c 2()ab c 2a 2=OA ⋅AB S △OAB 12=O 12A 2=12a 2=2S △OAB a 212a 2D x =1++++a 0a 1a 2a 3…+=−1a2021A x =−1−+−+a 0a 1a2a 3…−=a 202132021+++a 0a 2…+=a 2020−1320212C−++a 1a 3…+=−a 2021+1320212B x =12++++⋯+=0a 0a 12a 222a 323a202122021x =0=1a 0++⋯+=−1a2021∴，故正确.故选．10.【答案】A,C,D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定直线与平面平行的性质【解析】由直线与平面垂直的判定及性质得到，，得到直线平面，判定正确；求出异面直线所成角判断错误；由直线与平面平行说明到平面的距离为定值判断正确；由直线与平面平行的性质判断正确．【解答】解：∵，，，∴平面，则，同理，∵，∴直线平面，故正确；∵，，∴四边形为平行四边形，则，则为异面直线与所成角，为，故错误；∵，平面，平面，∴平面．可得到平面的距离为定值，即三棱锥的体积为定值，故正确；∵平面，平面，设平面与底面的交线为，由直线与平面平行的性质，可得平面与底面的交线平行于，故正确．故选.11.【答案】A,B,C【考点】数列递推式数列的求和【解析】【解答】+++⋯+=−1a 12a 222a 323a202122021D CD ⊥B A 1C 1D 1D ⊥B C 1D 1B ⊥D 1D A 1C 1A B P D A 1C 1C D ⊥A 1C 1B 1D 1⊥B A 1C 1B 1∩B B 1D 1B 1=B 1⊥A 1C 1BB 1D 1⊥B A 1C 1D 1D ⊥B C 1D 1∩D A 1C 1C 1=C 1B ⊥D 1D A 1C 1A //CD A 1B 1A 1B 1=CD D C A 1B 1C //D B 1A 1∠DA 1C 1C B 1A 1C 160∘B C //D B 1A 1D ⊂A 1D A 1C 1C ⊂B 1D A 1C 1C //B 1D A 1C 1P D A 1C 1P −D A 1C 1C //A 1C 1ABCD ⊂A 1C 1D A 1C 1D A 1C 1ABCD l D A 1C 1ABCD A 1C 1D ACD 2−=2p(n ≥2)S S −1解：由，得，整理得.当时，，相减可得.又，所以数列为首项为，公比为的等比数列，故正确；由可得时， ，故正确；由可得 ，等价为，可得，故正确；，，则 ，故错误.故选．12.【答案】A,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用函数的对称性【解析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解答】解：，将的图像向右平移个单位得到函数的图像，为奇函数，则其图像关于点对称，则函数的图像关于点对称，故正确；，若对，有，即，函数是周期为的周期函数，其图像不一定关于直线对称，故错误，，将的图像向右平移个单位得到函数的图像，若函数的图像关于直线对称，则的图像关于直线对称，即为偶函数，故正确，对于，若，即，则的图像关于点对称，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.2−=2p(n ≥2)S n S n−12−=2p S 2S 1=a 2p 2n ≥32−=2p S n−1S n−22−=0a n a n−1=a 2a 112{}a n p 12A A p =1==S 41−1241−12158B A ⋅=a m a n a m+n ⋅=p ⋅p 212m+n−212m+n−1p =12C ||+||=|p|(+)a 3a 8122127=|p|⋅33128||+||=|p|(+)=|p|⋅a 5a 612412512128||+||>||+||a 3a 8a 5a 6D ABC A f(x)1f(x −1)f(x)(0,0)f(x −1)(1,0)A B x ∈R f(x +1)=f(x −1)f(x +2)=f(x)f(x)2x =1B C f(x +1)1f(x)f(x +1)x =−1f(x)x =0f(x)C D f(1+x)+f(1−x)=2f(1+x)−1=−[f(1−x)−1]f(x)(1,1)D ACD【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据向量的三角形法则表示出，；再代入数量积即可求解【解答】因为；；∴；设＝；则＝（负值舍）；即长为；14.【答案】【考点】基本不等式及其应用函数恒成立问题【解析】先利用乘法，配凑基本不等式的应用条件求的最小值，然后由恒成立，可得，解不等式可求．【解答】正实数，满足，则＝＝．2AD →BC →=+=+=+(−)=+AD →AB →BD →AB →23BC →AB →23AC →AB →13AB →23AC →=−BC →AC →AB →⋅=(+)⋅(−)=−−⋅+=−AD →BC →13AB →23AC →AC →AB →13AB →213AB →AC →23AC →243AC x −3−x +=−⇒x 1223x 2432AC 2(−2,8)1+4x −√y √+4>−6m x −√y √m 2(+4>−6m x −√y √)min m 2x y +=14x −√1y √+4=(+4)(+)x −√y √x −√y √4x −√1y √8++≥8+8x −√y √16y √x −√16−√16√当且仅当且，即＝，＝时取等号，此时取得最小值，因为不等式恒成立，则，解可得．15.【答案】【考点】椭圆的定义椭圆的简单几何性质【解析】根据椭圆的定义和勾股定理建立关于、的方程组，平方相减即可求出，结合直角三角形的面积公式，可得的面积，得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为：，∴，，可得，即，，设，，由，得，则有，，又，则，得，则，即，的面积.故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导，求出切线的斜率，代入直线方程的点斜式即可求解.=x −√y √16y √x −√+=14x −√1y √y 4x 6416+4>−6m x −√y √m 216>−6m m 2−2<m <89m n |P |⋅|P |=8F 1F 2ΔPF 1F 2S =|P |⋅|P |12F 1F 2+=1x 236y 29=36a 2=9b 2=−=27c 2a 2b 2a =6c =33–√|P |=m F 1|P |=n F 2P ⊥P F 1F 2∠P =F 1F 290∘m +n =2a =12+=4=108m 2n 2c 2=++2mn (m +n)2m 2n 2144=108+2mn 2mn =36mn =18|P |⋅|P |=18F 1F 2△PF 1F 2S =|P |⋅|P |=×18=912F 1F 2129y =e(x −1)解：函数，则，∴，∴函数在点处的切线方程为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ）17.【答案】【考点】余弦定理两角和与差的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知得：，即有，因为，所以，即．因为，所以，所以，所以，即．由正弦定理得，∴又∵，∴．∴．18.f (x)=(x −1)e x (x)=+(x −1)f ′e x e x (1)=e +(1−1)e =e f ′f (x)=(x −1)e x (1,0)y =e(x −1)y =e(x −1)π3≤b <112−cos(A +B)+cos A cos B −sin Acos B =03–√sin A sin B −sin A cos B =03–√sin A ≠0sin B −cosB =03–√cos B =sin B 3–√0<B <πsin B >0cosB >0tan B =3–√B =π3=b sin B a +csin A +sin Cb =3–√2[sin A +sin(A +)]π3=12sin(A +)π60<A <2π3<sin(A +)≤112π6≤b <112解：当时，；当时，，故对任意，.依题意，，故，，两式相减可得，，所以.【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，；当时，，故对任意，.依题意，，故，，两式相减可得，，所以.19.【答案】证明：，∴，四边形是矩形，∴，，平面，平面，(1)n =1==−1a 1S 1n ≥2=−a n S n S n−1=3−4n −3(n −1+4(n −1)=6n −7n 2)2n ∈N ∗=6n −7a n (2)=(6n −7)⋅b n 2n =−1⋅+5⋅+11⋅+⋯+T n 212223(6n −7)⋅2n 2=−1⋅+5⋅+11⋅+⋯+T n 222324(6n −7)⋅2n+1−=6⋅+6⋅+6⋅+⋯+T n 2122236⋅−(6n −7)⋅−6⋅−22n 2n+121=6(+++⋯+)−2122232n (6n −7)⋅−142n+1=6−(6n −7)⋅−142(1−)2n 1−22n+1=−(6n −13)⋅−262n+1=(6n −13)⋅+26T n 2n+1(1)n =1==−1a 1S 1n ≥2=−a n S n S n−1=3−4n −3(n −1+4(n −1)=6n −7n 2)2n ∈N ∗=6n −7a n (2)=(6n −7)⋅b n 2n =−1⋅+5⋅+11⋅+⋯+T n 212223(6n −7)⋅2n 2=−1⋅+5⋅+11⋅+⋯+T n 222324(6n −7)⋅2n+1−=6⋅+6⋅+6⋅+⋯+T n 2122236⋅−(6n −7)⋅−6⋅−22n 2n+121=6(+++⋯+)−2122232n (6n −7)⋅−142n+1=6−(6n −7)⋅−142(1−)2n 1−22n+1=−(6n −13)⋅−262n+1=(6n −13)⋅+26T n 2n+1(1)∵=SE EA SF FB EF//AB ∵ABCD AB//CD EF//CD ∵EF ⊂SCD CD ⊂SCD EF//SCD∴平面，，∴，平面，平面，∴平面．，，平面，∴平面平面．解：过作，垂足为，连接，四边形是矩形，，平面平面，平面平面，平面，平面 ，平面，，， ，，平面平面，平面，∴，为二面角的平面角．，∴，分别为棱，的中点，是等边三角形，，∴是等边三角形，，∴，在中，，，.二面角的正切值为.【考点】二面角的平面角及求法平面与平面平行的判定【解析】【解答】EF//SCD ∵=SE EA DM DA EM//SD ∵EM ⊂SCD SD ⊂SCD EM//SCD ∵EM ∩EF =E EF EM ⊂MEF MEF//SCD (2)A AH ⊥EM H HB ∵ABCD ∴AB ⊥AD ∵SAD ⊥ABCD SAD∩ABCD =ADAB ⊂ABCD ∴AB ⊥SAD ∵EM ⊂SAD ∴AB ⊥EM ∵AH ⊥EM AB ∩AH =A AB AH ⊂ABH∴EM ⊥ABH ∵HB ⊂ABH EM ⊥HB ∴∠AHB A −EM −B ∵t =1E M SA AD ∵△SAD AD =2△EAM AM =1AH =3–√2Rt △ABH AH =3–√2AB=1tan ∠AHB ==AB AH 23–√3∴A −EM −B 23–√3SE SF证明：，∴，四边形是矩形，∴，，平面，平面，∴平面，，∴，平面，平面，∴平面．，，平面，∴平面平面．解：过作，垂足为，连接，四边形是矩形，，平面平面，平面平面，平面，平面 ，平面，，， ，，平面平面，平面，∴，为二面角的平面角．，∴，分别为棱，的中点，是等边三角形，，∴是等边三角形，，∴，在中，，，.二面角的正切值为.20.【答案】由频率分布直方图可得：各组频率为：，，，，，，∴人均消费为：＝元,,,,,,(1)∵=SE EA SF FBEF//AB ∵ABCD AB//CD EF//CD ∵EF ⊂SCD CD ⊂SCD EF//SCD ∵=SE EA DM DA EM//SD ∵EM ⊂SCD SD ⊂SCD EM//SCD ∵EM ∩EF =E EF EM ⊂MEF MEF//SCD (2)A AH ⊥EM H HB ∵ABCD ∴AB ⊥AD ∵SAD ⊥ABCD SAD∩ABCD =AD AB ⊂ABCD ∴AB ⊥SAD ∵EM ⊂SAD ∴AB ⊥EM ∵AH ⊥EM AB ∩AH =A AB AH ⊂ABH∴EM ⊥ABH ∵HB ⊂ABH EM ⊥HB ∴∠AHB A −EM −B ∵t =1E M SA AD ∵△SAD AD =2△EAM AM =1AH =3–√2Rt △ABH AH =3–√2AB =1tan ∠AHB ==AB AH 23–√3∴A −EM −B 23–√30.10.150.20.250.20.10.1×100+0.15×300+0.2×500+0.25×700+0.2×900+0.1×1100620405020503070100方案一：＝元方案二：设中奖次数为，则可为，，，；∴，所付金额为：元；，所付金额为：＝元；，所付金额为：＝元；，所付金额为：＝元；∴设所付金额为，可以为：，，，，可得的分布列为：∴元综上所述，应该选择方案二．【考点】离散型随机变量的期望与方差频率分布直方图独立性检验【解析】频率分布直方图中，每组组距乘以高可得每组频率，进一步可得人均消费，样本容量 为，可以得到每组的人数，由题意可填写列联表，通过计算即可求解第二问；中奖次数不同得到的折扣也不同，相应可以得到所付金额期望，即可求解．【解答】由频率分布直方图可得：各组频率为：，，，，，，∴人均消费为：＝元由频率分布直方图得不低于元的客户有：＝人，故可得列联表如下表：健身达人非健身达人总计男女总计∴∴有的把握认为“健身达人”与性别有关．方案一：＝元方案二：设中奖次数为，则可为，，，；∴，所付金额为：元；，所付金额为：＝元；，所付金额为：＝元；1000−100900x x 0123P(x =0)=(=12)3181000P(x =1)(==C 1312)3381000×0.9900P(x =2)(==C 2312)3381000×0.8800P(x =3)=(=12)3181000×0.7700Y Y 1000900800700Y Y 1000900800700P(Y )18383818E(Y )=1000×+900×+800×+700×=85018383818100K 20.10.150.20.250.20.10.1×100+0.15×300+0.2×500+0.25×700+0.2×900+0.1×1100620800100×(0.1+0.2)302×21040502030503070100==≈4.762>3.841K 2100×(10×30−40×20)250×50×70×301002195%1000−100900x x 0123P(x =0)=(=12)3181000P(x =1)(==C 1312)3381000×0.9900P(x =2)(==C 2312)3381000×0.8800P(x =3)=(=131，所付金额为：＝元；∴设所付金额为，可以为：，，，，可得的分布列为：∴元综上所述，应该选择方案二．21.【答案】当＝时，，，当时，为增函数，且，，∴在上有唯一零点，当时，，∴在上没有零点，综上知，在上有唯一零点；不妨设，由＝得，∴，设＝，则＝，故在为增函数，∴，从而，∴，∴，下面证明：，令，则，即证明，只要证明，设，则，∴在单调递减，当时，＝，从而得证，即，∴，即．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求出，分析出当时，为增函数，且，，得到在上有唯一零点，又因为当时，P(x =3)=(=12)3181000×0.7700Y Y 1000900800700Y Y 1000900800700P(Y )18383818E(Y )=1000×+900×+800×+700×=85018383818m 2f(x)=x −sin x −ln x +112(x)=1−cos x −f ′121x x ∈(0,π)f (x)′()=1−−=−<0f ′π3143π343π(π)=−>0f ′321πf (x)′(0,π)x ∈[π,+∞)(x)=1−cos x −≥1−−≥−>0f ′121x 121x 121πf (x)′[π,+∞)f (x)′(0,+∞)0<<x 1x 2f()x 1f()x 2−sin −ln +1=−sin −ln +1x 112x 1m 2x 1x 212x 2m2x 2(ln −ln )=−−(sin −sin )m 2x 2x 1x 2x 112x 2x 1g(x)x −sin x g (x)′1−cos x ≥0g(x)(0,+∞)−sin >−sin x 2x 2x 1x 1−>sin −sin x 2x 1x 2x1(ln −ln )=−−(sin −sin )>(−)m2x 2x 1x 2x 112x 2x 112x 2x 1m >−x 2x 1ln −lnx 2x 1>−x 2x 1ln −ln x 2x 1x 1x 2−−−−√t =x 2x 1t >1>t −1ln t t √ln t −<0t −1t√(∗)h(t)=ln t −t −1t √h(t)=−<0(−1)t √22t t √h(t)(1,+∞)t >1h(t)<h(1)0(∗)>−x 2x 1ln −ln x 2x 1x 1x 2−−−−√m >x 1x 2−−−−√<x 1x 2m 2f (x)′x ∈(0,π)f (x)′()=1−−=−<0f ′π3143π343π(π)=−>0f ′321πf (x)′(0,π)x ∈[π,+∞)(x)=1−cos x −≥1−−≥−>0′111111，所以在上没有零点，从而得出在上有唯一零点；（2）不妨设，由＝得，即．设＝，利用导数得到在为增函数，从而，再证明：．从而得出，即．【解答】当＝时，，，当时，为增函数，且，，∴在上有唯一零点，当时，，∴在上没有零点，综上知，在上有唯一零点；不妨设，由＝得，∴，设＝，则＝，故在为增函数，∴，从而，∴，∴，下面证明：，令，则，即证明，只要证明，设，则，∴在单调递减，当时，＝，从而得证，即，∴，即．(x)=1−cos x −≥1−−≥−>0f ′121x 121x 121πf (x)′[π,+∞)f (x)′(0,+∞)0<<x 1x 2f()x 1f()x 2−sin −ln +1=−sin −ln +1x 112x 1m 2x 1x 212x 2m 2x 2(ln −ln )=−−(sin −sin )m 2x 2x 1x 2x 112x 2x 1g(x)x −sin x g(x)(0,+∞)m >−x 2x 1ln −ln x 2x 1>−x 2x 1ln −ln x 2x 1x 1x 2−−−−√m >x 1x 2−−−−√<x 1x 2m 2m 2f(x)=x −sin x −ln x +112(x)=1−cos x −f ′121x x ∈(0,π)f (x)′()=1−−=−<0f ′π3143π343π(π)=−>0f ′321πf (x)′(0,π)x ∈[π,+∞)(x)=1−cos x −≥1−−≥−>0f ′121x 121x 121πf (x)′[π,+∞)f (x)′(0,+∞)0<<x 1x 2f()x 1f()x 2−sin −ln +1=−sin −ln +1x 112x 1m 2x 1x 212x 2m 2x 2(ln −ln )=−−(sin −sin )m 2x 2x 1x 2x 112x 2x 1g(x)x −sin x g (x)′1−cos x ≥0g(x)(0,+∞)−sin >−sin x 2x 2x 1x 1−>sin −sin x 2x 1x 2x 1(ln −ln )=−−(sin −sin )>(−)m 2x 2x 1x 2x 112x 2x 112x 2x 1m >−x 2x 1ln −lnx 2x 1>−x 2x 1ln −ln x 2x 1x 1x 2−−−−√t =x 2x 1t >1>t −1ln t t √ln t −<0t −1t√(∗)h(t)=ln t −t −1t √h(t)=−<0(−1)t √22t t √h(t)(1,+∞)t >1h(t)<h(1)0(∗)>−x 2x 1ln −ln x 2x 1x 1x2−−−−√m >x 1x 2−−−−√<x 1x 2m 2。
2021年高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =（ ）A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ）A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+5.函数π()sin cos 6f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为（ ）A.[2,2]-B.[C.[1,1]-D.,22⎡-⎢⎣⎦6.函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望E X =()（ ）A.32B.2C.52D.38.已知实数x ，y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据i i (,)x y (i 1,2,3,,)n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，则下列结论中正确的是（ ） A.y 与x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点(,)x yC.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中正确的是（ ）A.MC AN ⊥B.GB AMN 平面C.CMN AMN ⊥平面平面D.DCM ABN 平面平面11.能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数()f x 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数中，是圆O 的“亲和函数”的为（ ）A.32()4f x x x =+B.5()ln5xf x x -=+ C.e e ()2x xf x -+=D.()tan5x f x =12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面由半椭圆1C ：22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c b+=<（其中222a b c =+，0a b c >>>）组成．设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是32π3，1F ，2F 在宝珠珠面上，012F F F 是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A.椭圆1C 的离心率为217B.椭圆2C 的离心率大于椭圆1C 的离心率C.椭圆2C 的焦点在y 轴上D.椭圆2C 的长、短轴之比大于椭圆1C 的长、短轴之比第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
高中数学课标高考模拟试卷试题文科,有详细解析 试题
2021年新课标 高 考 模 拟 试 卷数 学 试 题〔文科〕本套试卷分为第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.满分是150分.考试时间是是120分钟.第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．全集U= {a ， b ， c ， d ， e}，A={c ， d ， e}，B={a ， b ， e}，那么集合{a ， b}可表示为 〔 〕A ．A ∩BB ．〔C ∪A 〕∩BC ．〔C ∪B 〕∩AD ．C ∪〔A ∪B 〕2．设)(1x f -是函数1()(22)2xx f x -=-的反函数，那么使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为〔 〕A ．3(,)4+∞B ．3(,)4-∞C ．3(,2)4D ．[2,)+∞3．某全日制大学一共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，那么应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取 〔 〕A ．65人，150人，65人B ．30人，150人，100人C ．93人，94人，93人D ．80人，120人，80人 4．在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是〔 〕A ．3ππ（，）B ．23ππ（，）C ．〔0，2π〕 D ．23ππ（，）35．以下命题中假命题是〔 〕A ．离心率为2的双曲线的两渐近线互相垂直B ．过点〔1，1〕且与直线x －2y+3=0垂直的直线方程是2x + y －3=0C ．抛物线y 2 = 2x 的焦点到准线的间隔 为1D ．223x +225y =1的两条准线之间的间隔 为4256．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是〔 〕 A ．9π B ．10πC ．11πD ．12π7．21,e e 是平面内不一共线两向量，2121213,2,e e CD e e CB e k e AB -=+=-=，假设D B A ,,三点一共线，那么k 的值是〔 〕 A ．2B ．3-C ．2-D ．38．点P 是抛物线x y 42=上一动点，那么点P 到点)1,0(-A 的间隔 与P 到直线1-=x 的间隔和的最小值是〔 〕A ．B ．C ．2D ．2俯视图正(主)视图 侧(左)视图229．点M 〔a ，b 〕在由不不等式组002x y x y 确定的平面区域内，那么点N 〔a+b ，a-b 〕所在的平面区域的面积是〔 〕A ．1B ．2C ．4D ．810．函数b x A x f +ϕ+ω=)sin()(的图象如图，那么)(x f 的解析式和++=)1()0(f f S )2006()2(f f +⋯+的值分别为〔 〕A ．12sin 21)(+π=x x f ， 2006=S B ．12sin 21)(+π=x x f ， 212007=SC ．12sin 21)(+π=x x f ， 212006=SD ．12sin 21)(+π=x x f ， 2007=S11．等差数列}{n a 的公差,0<d 且21121a a =，那么数列}{n a 的前n 项和n S 获得最大值时的项数n 是〔 〕A ．5B ．6C ．5或者6D ．6或者712．假设x ∈A 那么x 1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 〔 〕A ．15B ．16C ．28D ．25第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.将答案填在题中的横线上.13．定义运算“*〞如下：,,,*2⎩⎨⎧<≥=ba b ba ab a 那么函数∈-⋅=x x x x x f ()*2()*1()(])2,2[-的最大值等于.开场10n S ==，S p <?是输入p否14．执行右边的程序框图，假设0.8p =，那么输出的n = ．15． 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M在A 上，且AM=31AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的间隔 的平方与P 到点M 的距 离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点 P 的轨迹方程是 . 16． 有以下4个命题：①p 、q 为简单命题，那么“p 且q 为假命题〞是“p 或者q 为 假命题〞的必要不充分条件； ②直线2x-By+3=0的倾斜角为B2arctan ； ③)cos (2log 1cos x x y -+-=表示y 为x 的函数；④从某地区20个商场中抽取8个调查其收入和售后效劳情况，宜采用分层抽样． 其中错误．．的命题为 〔将所有错误的命题的序号都填上〕. 三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔本小题满分是10分〕设函数f 〔x 〕＝a·b ，其中向量a ＝〔cos x 2，sin x 2〕，〔x ∈R 〕，向量b ＝〔cos ϕ，sin ϕ〕〔|ϕ|<π2〕，，f 〔x 〕的图象关于x ＝π6对称．〔Ⅰ〕求ϕ的值；〔Ⅱ〕假设函数y ＝1＋sin x2的图象按向量c ＝〔m ，n 〕 〔| m |＜π＝平移可得到函数y ＝f 〔x 〕的图象，求向量c ．18．〔本小题满分是12分〕现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ， 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． 〔Ⅰ〕求1A 被选中的概率；〔Ⅱ〕求1B 和1C 不全被选中的概率．19．〔本小题满分是12分〕在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE EB =12CF CP FA PB ==〔如图1〕.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P 〔如图2〕 〔Ⅰ〕求证：A 1E ⊥平面BEP ；〔II 〕求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；〔III 〕求二面角B －A 1P －F 的大小〔用反三角函数表示〕.⊥BC ，OA//BC ，且AB=BC=4 AO=2km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段.假如要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积〔准确到0．1km 2〕.图图ＥＢＰＣＦ 1A APF ECBＤ21．〔本小题满分是12分〕椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1〔－c ，0〕、F 2〔c ，0〕，Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT 〔Ⅰ〕设x 为点P 的横坐标，证明1||cF P a x a=+； 〔Ⅱ〕求点T 的轨迹C 的方程；〔Ⅲ〕试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 假设存在，求∠F 1MF 2的正切值；假设不存在，请说明理由．22．〔本小题满分是12分〕函数2()2f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(,)n n P n S 都在函数()f x 的图象上，且过点(,)n n P n S 的切线的斜率为n k ．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设2n k n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ；〔Ⅲ〕设{|,*}n Q x x k n N ==∈，{|2,*}n R x x a n N ==∈，等差数列{}n c 的任一项n c QR ∈，其中1c 是Q R 中的最小数，10110115c <<，求{}n c 的通项公式．参考答案1．B 由C∪A={ a ，b }得〔C∪A〕∩B={ a ，b }，应选B．【帮你归纳】此题考察集合的概念与运算，，以及逆向思维才能. 【误区警示】此题属于根底题，每步细心计算是求解此题的关键，否那么将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴〞之为难.2．A 根据反函数的性质，即求当x > 1时，函数1()(22)2x xf x-=-的值域，此后注意到()f x 在1+∞（，）上递增即可获解. 【命题动向】此题考察反函数的概念与性质，函数的单调性，函数值域的求法，灵敏驾驶根底知识和根本方法的才能.3． A 抓住分层抽样按比例抽取的特点有5600130030001300280x y z===.∴65x z ==，150y =，即专科生、本科生与研究生应分别抽取65，150，65.【总结点评】简单随机抽样与分层抽样方法是数学高考的一个常考点.【温馨提醒】此题属于根底题，每步细心计算是求解此题的关键，否那么将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴〞之为难.4． A 方法一：观察正三棱锥P –ABC ，O 为底面中心，不妨将底面正△ABC 固 定，顶点P 运动，相邻两侧面所成二面角为∠AHC ．当PO →0时， 面PAB →△OAB ，面PBC →△OBC ，∠AHC →π， 当PO →+∞时，∠AHC →∠ABC=3π.故3π<∠AHC <π，选A ． 方法二：不妨设AB=2，PC= x ，那么x > OC =332. 等腰△PBC 中，S △PBC =21x ·CH =21·2·⇒-1x 2CH =2x112-， 等腰△AHC 中，sin2x 1121CH2AC 2AHC-==∠.由x>332得2AHC sin 21∠<<1，∴322AHC 6π⇒π<∠<π＜∠AHC ＜π. 【总结点评】此题主要考察多面体、二面角等根底知识，分析问题与解决问题的才能，注重考察我们对算法算理的理解. 5． D 对于A ：e =2，a = b ，渐近线y = ±x 互相垂直，真命题. 对于B ：设所求直线斜率为k ，那么k=－2，由点斜式得方程为2x+y －3＝0 ， 也为真命题. 对于C ：焦点F 〔21，0〕，准线x = －21 ， d = 1真命题. 对于D ： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2·225c a 2= 假命题，选D ． 【总结点评】此题主要考察对圆锥曲线的根本知识、相关运算的纯熟程度. 以及思维的灵敏性、数形结合、化归与转化的思想方法. 6．D 解：本小题主要考察三视图与几何体的外表积。
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 4 ＜0}，则A ∩ B ＝（）A ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 3}B ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 1}C ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 4}D ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 4}2、复数 z ＝（1 ＋ i)（2 i)在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、已知向量 a ＝（1, 2)，b ＝（m, －1)，若 a ⊥ b，则 m ＝（）A －2B 2C －1/2D 1/24、某中学高一年级有学生 1000 人，高二年级有学生 800 人，高三年级有学生 600 人，现采用分层抽样的方法从该校抽取一个容量为 n的样本，若从高二年级抽取了 80 人，则 n 的值为（）A 200B 240C 280D 3205、函数 f(x) ＝ log₂(x² 4x ＋ 3)的单调递增区间是（）A （∞， 1)B （∞， 2)C （2, ＋∞）D （3, ＋∞）6、若直线 l₁：ax ＋ 2y ＋ 6 ＝ 0 与直线 l₂：x ＋（a 1)y ＋ a² 1＝ 0 平行，则 a ＝（）A －1B 2C －1 或 2D 17、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ，若 a₁＝ 2，S₃＝ S₅，则公差 d ＝（）A －2B 0C 2D 48、已知圆 C：（x 1)²＋（y 2)²＝ 4 与直线 l：x y ＋ 1 ＝ 0 相交于 A，B 两点，则弦长|AB| ＝（）A 2√2B 2√3C 4D 69、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（正视图和侧视图是等腰三角形，底边为 4，高为 4；俯视图是边长为 4 的正方形）A 32B 64C 128/3D 256/310、设函数 f(x) ＝sin(ωx ＋φ)（ω ＞ 0，｜φ| ＜π/2）的最小正周期为π，且f(π/8) ＝√2/2，则（）A f(x)在(0, π/2)上单调递减B f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递增C f(x)在(0, π/2)上单调递增D f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递减11、已知函数 f(x) ＝ x³ 3x，若过点 M(2, t)可作曲线 y ＝ f(x)的三条切线，则实数 t 的取值范围是（）A （－6, －2)B （－4, －2)C （－6, 2)D （0, 2)12、已知双曲线 C：x²/a² y²/b²＝ 1（a ＞ 0，b ＞ 0）的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过 F₂作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若|F₂H| ＝ 2a，则双曲线 C 的离心率为（）A √5B 2C √3D √2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知函数 f(x) ＝ 2sin(2x ＋π/6)，则 f(x)的最小正周期为_____14、若 x，y 满足约束条件 x ＋y ≥ 1，x y ≥ －1，2x y ≤ 2，则 z＝ x ＋ 2y 的最大值为_____15、已知抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）的焦点为 F，点 A(4, 2)在抛物线上，且|AF| ＝ 5，则 p ＝＿____16、已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，则 a₅＝＿____三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a ＝ 3，b ＝ 5，c ＝ 7、（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 的面积18、（12 分）已知数列{aₙ}是等差数列，a₁＝ 1，a₃＋ a₅＝14、（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{bₙ}满足 bₙ ＝ aₙ × 2ⁿ，求数列{bₙ}的前 n 项和 Sₙ19、（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面 ABCD，PA ＝ AB ＝ 2，AD ＝ 4，∠BAD ＝ 60°（1）证明：BD ⊥平面 PAC；（2）求二面角 P BD A 的余弦值20、（12 分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B原料 3 吨。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2311 4
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值例1、(1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x2＋y22＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．(2)因为x>0，所以x 1＋y2＝2x212＋y22≤2[x2＋12＋y22]2，又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝32， 所以x 1＋y2≤2(12×32)＝324， 即(x 1＋y2)max ＝324.(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1， 所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝tt2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t>0，即x>1时，y ＝1t ＋4t ＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)． 【提分秘籍】(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【举一反三】(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23(2)若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 (1)B (2)C题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值例2、(1)已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________． (2)已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)18 (2)6 解析 (1)(常数代换法) ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y) ＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy ＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x>0，y>0，∴y<3， ∴x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·3y ＋3－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)m in ＝6. 方法二 ∵x>0，y>0，9－(x ＋3y)＝xy ＝13x·(3y)≤13·(x ＋3y2)2， 当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t>0，则t2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t>0，∴t≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6. 【提分秘籍】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【举一反三】(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2)(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 答案 (1)D (2)5解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y)(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立． 由x ＋2y>m2＋2m 恒成立，可知m2＋2m<8，即m2＋2m －8<0，解得－4<m<2. (2)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)(15y ＋35x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.题型三 基本不等式与函数的综合应用例3、(1)已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f(x)>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ， 即x ＝log32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k<22－1.(2)对任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a≥－(x ＋8x )＋3.设g(x)＝x ＋8x ，x ∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝173. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 【提分秘籍】(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max ， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性． 【举一反三】已知函数f(x)＝x ＋p x －1(p 为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．答案 94解析 由题意得x －1>0，f(x)＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.题型四基本不等式的实际应用例4、某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．答案 10【提分秘籍】对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．【举一反三】(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p>q>0，则提价多的方案是________．答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20.当且仅当800x ＝x8(x>0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. (2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p%)(1＋q%)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2， 因为1＋p%1＋q%≤1＋p%2＋1＋q%2＝1＋p ＋q2%，且p>q>0，所以1＋p%1＋q%<1＋p ＋q 2%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋p ＋q2%)2， 所以提价多的方案是乙． 【高考风向标】1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C 【解析】12121220022,22ab a b ab ab a ba b a b ab+=∴=+≥⨯=∴≥，＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22，故选C.2.【高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.【答案】233.【高考福建，文5】若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】由已知得111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b aa b=+，因为0,0a b >>，所以+2b a b a a b a b ≥⋅，故4a b +≥，当=b aa b，即2a b ==时取等号． 4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．【答案】－25．（·山东卷）若⎝⎛⎭⎫ax2＋b x 6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 【答案】2【解析】Tr ＋1＝Cr 6(ax2)6－r·⎝⎛⎭⎫b x r ＝Cr 6a6－r·brx12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C36a6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab ＝1，所以a2＋b2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b)×10＝80＋20(a ＋b)≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.【答案】C7．(·重庆卷)若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 【解析】由log4(3a ＋4b)＝log2ab 得3a ＋4b ＝ab ， 且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b)·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋⎝⎛⎭⎫3a b ＋4b a ≥ 7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号．【答案】7＋438．（·四川卷）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()A ．2B ．3 C.1728 D.10 【答案】B【解析】由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A(y21，y1)，B(y22，y2)，∴OA →·OB →＝y1y2＋y21y22＝2，解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2. 当y21≠y 2时，AB 所在直线方程为y －y1＝y1－y2y21－y22(x －y21)＝1y1＋y2(x －y21)，令y ＝0，得x ＝－y1y2＝2，即直线AB 过定点C(2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y1|＋12×2|y2|＋12×14|y1|＝18(9|y1|＋8|y2|)≥18×29|y1|×8|y2|＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y21＝y22时，取y1＝2，y2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B.9．(高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为()A ．0 B.98 C ．2 D.94【答案】C10．（·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()A ．9 B.92 C ．3 D.3 22【答案】B 【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时等号成立，故选B.【高考押题】1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x2＋14)>lgx(x>0) B ．sinx ＋1sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z) C ．x2＋1≥2|x|(x ∈R) D.1x2＋1>1(x ∈R) 答案 C解析 当x>0时，x2＋14≥2·x·12＝x ， 所以lg(x2＋14)≥lgx(x>0)， 故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x≠kπ，k ∈Z 时，sinx 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D 不正确．2．若a>0，b>0，且ln(a ＋b)＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14B ．1C ．4D ．8 答案 C解析 由a>0，b>0，ln(a ＋b)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a>0，b>0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1a ＋b22＝1122＝4.当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．3．已知x>0，y>0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B ．22C.2D ．2 答案 D解析 ∵x>0，y>0，x ＋2y≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y)≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy≥2.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a<v<abB ．v ＝ab C.ab<v<a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2 答案 A5．设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0.则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0B.98C ．2D.94 答案 C解析 由题意知：z ＝x2－3xy ＋4y2，则z xy ＝x2－3xy ＋4y2xy ＝x y ＋4y x －3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y2＝－2y2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.6．若对于任意x>0，xx2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 a≥15 解析x x2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x， 因为x>0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)， 则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x2＋3x ＋1的最大值为15，故a≥15.7．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________． 答案 9解析 (x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．答案 209．(1)当x<32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x<2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值． 解 (1)y ＝x ＋82x －3＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32.当x<32时，有3－2x>0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y≤－4＋32＝－52. 故函数的最大值为－52. (2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2.10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值例1、(1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x2＋y22＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．(2)因为x>0，所以x 1＋y2＝2x212＋y22≤2[x2＋12＋y22]2，又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝32， 所以x 1＋y2≤2(12×32)＝324， 即(x 1＋y2)max ＝324.(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1， 所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝tt2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t>0，即x>1时，y ＝1t ＋4t ＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)． 【提分秘籍】(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【举一反三】(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23(2)若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 (1)B (2)C题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值例2、(1)已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________． (2)已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)18 (2)6 解析 (1)(常数代换法) ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y) ＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy ＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x>0，y>0，∴y<3， ∴x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·3y ＋3－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)m in ＝6. 方法二 ∵x>0，y>0，9－(x ＋3y)＝xy ＝13x·(3y)≤13·(x ＋3y2)2， 当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t>0，则t2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t>0，∴t≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6. 【提分秘籍】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【举一反三】(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2)(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 答案 (1)D (2)5解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y)(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立． 由x ＋2y>m2＋2m 恒成立，可知m2＋2m<8，即m2＋2m －8<0，解得－4<m<2. (2)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)(15y ＋35x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.题型三 基本不等式与函数的综合应用例3、(1)已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f(x)>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ， 即x ＝log32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k<22－1.(2)对任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a≥－(x ＋8x )＋3.设g(x)＝x ＋8x ，x ∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝173. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 【提分秘籍】(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max ， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性． 【举一反三】已知函数f(x)＝x ＋p x －1(p 为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．答案 94解析 由题意得x －1>0，f(x)＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.题型四基本不等式的实际应用例4、某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．答案 10【提分秘籍】对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．【举一反三】(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p>q>0，则提价多的方案是________．答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20.当且仅当800x ＝x8(x>0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. (2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p%)(1＋q%)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2， 因为1＋p%1＋q%≤1＋p%2＋1＋q%2＝1＋p ＋q2%，且p>q>0，所以1＋p%1＋q%<1＋p ＋q 2%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋p ＋q2%)2， 所以提价多的方案是乙． 【高考风向标】1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C 【解析】12121220022,22ab a b ab ab a ba b a b ab+=∴=+≥⨯=∴≥，＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22，故选C.2.【高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.【答案】233.【高考福建，文5】若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】由已知得111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b aa b=+，因为0,0a b >>，所以+2b a b a a b a b ≥⋅，故4a b +≥，当=b aa b，即2a b ==时取等号． 4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．【答案】－25．（·山东卷）若⎝⎛⎭⎫ax2＋b x 6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 【答案】2【解析】Tr ＋1＝Cr 6(ax2)6－r·⎝⎛⎭⎫b x r ＝Cr 6a6－r·brx12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C36a6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab ＝1，所以a2＋b2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b)×10＝80＋20(a ＋b)≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.【答案】C7．(·重庆卷)若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 【解析】由log4(3a ＋4b)＝log2ab 得3a ＋4b ＝ab ， 且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b)·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋⎝⎛⎭⎫3a b ＋4b a ≥ 7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号．【答案】7＋438．（·四川卷）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()A ．2B ．3 C.1728 D.10 【答案】B【解析】由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A(y21，y1)，B(y22，y2)，∴OA →·OB →＝y1y2＋y21y22＝2，解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2. 当y21≠y 2时，AB 所在直线方程为y －y1＝y1－y2y21－y22(x －y21)＝1y1＋y2(x －y21)，令y ＝0，得x ＝－y1y2＝2，即直线AB 过定点C(2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y1|＋12×2|y2|＋12×14|y1|＝18(9|y1|＋8|y2|)≥18×29|y1|×8|y2|＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y21＝y22时，取y1＝2，y2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B.9．(高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为()A ．0 B.98 C ．2 D.94【答案】C10．（·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()A ．9 B.92 C ．3 D.3 22【答案】B 【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时等号成立，故选B.【高考押题】1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x2＋14)>lgx(x>0) B ．sinx ＋1sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z) C ．x2＋1≥2|x|(x ∈R) D.1x2＋1>1(x ∈R) 答案 C解析 当x>0时，x2＋14≥2·x·12＝x ， 所以lg(x2＋14)≥lgx(x>0)， 故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x≠kπ，k ∈Z 时，sinx 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D 不正确．2．若a>0，b>0，且ln(a ＋b)＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14B ．1C ．4D ．8 答案 C解析 由a>0，b>0，ln(a ＋b)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a>0，b>0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1a ＋b22＝1122＝4.当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”． 3．已知x>0，y>0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( )A.22B ．22C.2D ．2答案 D解析 ∵x>0，y>0，x ＋2y≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y)≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy≥2.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a<v<abB ．v ＝abC.ab<v<a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2答案 A5．设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0.则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为()A ．0B.98C ．2D.94答案 C解析 由题意知：z ＝x2－3xy ＋4y2，则z xy ＝x2－3xy ＋4y2xy ＝xy ＋4yx －3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y2.所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y2＝－2y2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.6．若对于任意x>0，x x2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 a≥15 解析 x x2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x， 因为x>0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x2＋3x ＋1的最大值为15，故a≥15. 7．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________．答案 9解析 (x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．答案 209．(1)当x<32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0<x<2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．解 (1)y ＝x ＋82x －3＝－(3－2x 2＋83－2x)＋32. 当x<32时，有3－2x>0，∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y≤－4＋32＝－52. 故函数的最大值为－52.(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x≤2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2.10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。