高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2311 4

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】

1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】

题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值

例1、(1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋1

4x －5的最大值；

(2)已知x 为正实数且x2＋y2

2＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1

x ＋3＋x －1

的最大值．

(2)因为x>0，

所以x 1＋y2＝2

x212＋y22≤2[x2＋12＋y2

2

]

2

，

又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝3

2， 所以x 1＋y2≤2(12×32)＝32

4， 即(x 1＋y2)max ＝32

4.

(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1， 所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝t

t2＋t ＋4.

当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t>0，即x>1时，y ＝1

t ＋4t ＋1

，

因为t ＋4

t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1

≤1

5，

即y 的最大值为1

5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)． 【提分秘籍】

(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

【举一反三】

(1)已知0

(2)若函数f(x)＝x ＋1

x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )

A ．1＋2

B ．1＋3

C ．3

D ．4 答案 (1)B (2)C

题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值

例2、(1)已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2

y 的最小值为________． (2)已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．

答案 (1)18 (2)6 解析 (1)(常数代换法) ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2

y )(x ＋y) ＝10＋8y x ＋2x

y ≥10＋2

8y x ·2x

y ＝18.

当且仅当8y x ＝2x

y ，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2

y 有最小值18. (2)由已知得x ＝9－3y

1＋y .

方法一 (消元法) ∵x>0，y>0，∴y<3， ∴x ＋3y ＝9－3y

1＋y ＋3y

＝

12

1＋y

＋(3y ＋3)－6≥212

1＋y

·3y ＋3－6＝6， 当且仅当12

1＋y

＝3y ＋3，

即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)m in ＝6. 方法二 ∵x>0，y>0，

9－(x ＋3y)＝xy ＝13x·(3y)≤13·(x ＋3y

2)2， 当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t>0，则t2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t>0，∴t≥6.

故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6. 【提分秘籍】

条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

【举一反三】

(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1

y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2)

(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 答案 (1)D (2)5

解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y)(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x

y ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝x

y ，即x ＝2y 时等号成立． 由x ＋2y>m2＋2m 恒成立，

可知m2＋2m<8，即m2＋2m －8<0，解得－4

5x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)(15y ＋3

5x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.

(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1

2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.

题型三 基本不等式与函数的综合应用

例3、(1)已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)