高考数学-直线方程

第1讲直线与方程

一. 教学目标

1.理解并掌握常见空间几何体的结构特征以及面积、体积公式

2.理解并掌握三视图的概念，能够熟练利用三视图原图形的表面积或体积

3.理解并掌握斜二测画法

二.知识梳理

一、倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

补充：

1、直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

（2）．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,

)2π的子集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的范围为(,)2π

π的子集，且k=tan α为增函数。若k 的范围有正有负，则可所范围按大于

等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

2、利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

注：斜率变化分成两段，0

90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

二、两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有l 1∥l 2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121k k l l =-⇔⊥

注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果

12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12

l l 与互相垂直。 三、直线的方程

1、直线方程的几种形式

名称

方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 )(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的

直线

斜截式 b kx y += k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的

直线

111222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1.

(2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1.

(3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1

y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.

2、线段的中点坐标公式

若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x

3. 过定点的直线系

①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；

②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中.

三. 典型例题

考点1、倾斜角与斜率

题型 一 求直线的倾斜角

例 1 已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）.

A. 60°

B. 30°

C. 60°或120°

D. 30°或150°

变式训练：

设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则1l 的倾斜角为（ ）。

A. 45α+︒

B. 135α-︒

C. 135α︒-

D. 当0°≤α＜135°时为45α+︒，当135°≤α＜180°时，为135α-︒

题型 二 求直线的斜率

例 2如图所示菱形ABCD 中∠BAD =60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.

题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系

例3右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）.

A .k 1＜k 2＜k 3

B. k 3＜k 1＜k 2

C. k 3＜k 2＜k 1

D. k 1＜k 3＜k 2

拓展 一 三点共线问题

例4 已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．