(完整版)导数讲义(学生新版)

导数

一、导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x

y

??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即

x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x

y ??有极限，我们就说函

数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。f ’(x 0)=0

lim →?x x y

??=0

lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。

例、 若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim

000，则x

x f x x f x ?-??+→?)

()2(lim

000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 2

1

D ．以上都不是

变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．

1．x

x f x x f x ?-?-→?)

()(lim

000；

2．.2)

()(lim 000h

h x f h x f h --+→

3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)

()(lim 000--→=？

二、导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

三、导数的运算

1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）

②()

1;n n x nx -'=

③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;

⑦()1

ln x x '=;

⑧()1

l g log a a o x e x

'=.

习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）

（1）()f x π= （2）4()f x x = （3

）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31

cos 44

y x =+ （12）1x

y x

=

+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：

)()(])()([)

()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+

)()

()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='?

?

????'

+'='

练习：求下列函数的导数：

（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=

；

（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。

（5）x

x

y sin =； （6）x x y ln 2=。

3、复合函数求导：

如果函数)(x ?在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ?处可导，则复合函

数y= f (u )=f [)(x ?]在点x 处也可导，并且

(f [)(x ?])ˊ= [])(x f ?')(x ?' 例、求下列函数的导数

（1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +2

1x +) 练习：求下列函数的导数 （1）y =

2)13(1-x （2） y =sin （3x +4

π

）

常考题型：

类型一、求导数相关问题

例1、若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是

________．

例2、曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )

A ．2e

B ．e

C ．2

D ．1

例3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

类型二、求切线方程

（一）已知切点坐标，求切线方程

例1.曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程

例2.与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程

例3.求过点(20)，且与曲线1y x

=相切的直线方程． （四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程

例4.求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．

变式训练：

1、[2014·广东卷] 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．

2、[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x

(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b

的值是________．

3、与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝13

2

-x 相切的直线方程 类型三、求单调区间及极值、最值

考点一 求不含参数的函数的单调区间

例1.求函数y =x 2(1－x )3的单调区间. 变式训练：

1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）

A ．),(1+∞-e

B ．),(1--∞e

C ．),0(1-e

D ．),(+∞e

2.(05年广东高考题)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)

考点二 求含参数的函数的单调区间

考例1、已知函数 2

1()ln (1)2

f x x m x m x =

-+-，m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性.

例2、设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中

求f(x)的单调区间；

例3、设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥--1，求f (x )的单调区间。 变式训练：

1、[2014·山东卷] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1

x ＋1，其中a 为常数．

(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 2、【2014·安徽卷】设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；

考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：

例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2]

B ．(－∞，－1]

C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在

唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－1)

例3、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－5，－3] B.?

?

?

???－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 变式训练：（山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题（数学文）） 已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线

90x y +=垂直.

（Ⅰ）求实数,a b 的值；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.

考点四：结合单调性求极值问题

求函数的极值的步骤:

(1)确定函数的定义域，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查

'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大

值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值.

注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 例1、已知函数x x b ax x f ln 42)(+-=在3

1

1==x x 与处都取得极值． （1）求a 、b 的值；

变式训练：设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.

（1）试确定常数a 和b 的值；

（2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值. 例2、（06安徽卷）设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是

奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

例3、已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；

（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3

1

的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．

例4、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．

(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；

(2)若f (x )在区间?

?

???0，13上单调递增，求b 的取值范围．

变式训练：

1、已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记()()()F x f x g x =.

（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；

（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.

2、（2011全国Ⅱ文20）已知函数

32

()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）若

00()(1,3)

f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围.

考点五：结合单调性求最值问题

求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .

（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

例1、(2010年重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2

＋bx(其中常数a ，b ∈R)，g(x)

＝f(x)＋f ′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；

(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值． 例2、设函数f(x)＝ax 3＋bx ＋c(a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x)的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

例3、已知函数21

()ln ,()(1),12

f x x a x

g x a x a =+=+≠-．

（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，

求实数a 的取值范围；

（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．

例4、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；

(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．

四、导数与不等式

恒成立问题：

可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。两个基本思想解决“恒成立问题”

思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在

例1. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． ①求a 、b 的值；

②若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 例2、已知函数()()112

332

3+++-=

x a x x a x f ，其中a 为实数。 已知不等式()12'+-->a x x x f 对任意()+∞∈,0a 都成立，求实数x 的取值范围 例3、设函数())(,2234R x b x ax x x f ∈+++=，其中R b a ∈,。

若对于任意的[]2,2-∈a ，不等式()1≤x f 在[]1,1-上恒成立，求b 的取值范围。

例4、若实数0>a 且2≠a ，函数()()12221

3123+++-=x x a ax x f 。

（1）证明函数()x f 在1=x 处取极值，并求出函数()x f 的单调区间。

（2）若在区间()+∞,0上至少存在一点0x ，使得()10

1、（2010辽宁文）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 2、已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ＞0)．若f (x )在[－1，1]上的最小值记为g (a )．

(1)求g (a )；

(2)证明：当x ∈[－1，1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4. 3、设函数2()(),f x x a x a R =-∈.

(Ⅰ)若1x =为函数()y f x =的极值点，求实数a ；

（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(,2]-∞，恒有()f x ≤4成立.

4、设函数322

1()23(01,)3f x x ax a x b a b R =-+-+<<∈.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立，求a 的取值范围。 存在性问题：

()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立

例1、已知两函数2

)(x x f =，m x g x

-??

?

??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，

使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为 例2、已知两函数()2

728f x x

x c =--，()322440g x x x x

=+-。

（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤)成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围； （4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；