绝对值性质及其应用

绝对值性质及其应用
B、去绝对值符号的规则：负数取其相反数，非负数取其本身。

（因为0的相反数也是其本身，所以，|x|=-x在x=0时也成立。

所以也有：去除绝对值符号后，非正数取其相反数。

|x|=-x，x≤0）
（a、b同号时，|a-b|=|a|-|b|，
绝对值大的减去绝对值小的）
（a、b异号时，|a-b|=|a|+|b|）
例题：某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2）•kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出2袋，它们的质量最多相差多少？
解：如图，显然0.3和-0.3的距离最远，相差最大，|0.3-（-0.3）|=0.6
所以任意两袋面粉，最多相差0.6kg。

练习：
1、（1）若│m-1│=m-1，则m和1的大小关系是．
（2）若│m-1│=1-m，则m和1的大小关系是
（3）若│a-b│=b-a，则a，b的大小关系是
（4）若|a|=-|a|，则a=
2、正式比赛时，乒乓球的尺寸要有严格的规定，现在对四个乒乓球进行测量，超过规定的尺寸记为正数，不足的尺寸记为负数，得到结果：A球+0.2mm，B球-0.1mm，C球+0.3mm，D球-0.2mm，你认为应选哪一个乒乓球用于比赛？为什么？
3、已知│a-3│+│2b+4│+│c-2│=0，求a+b+c和|a|+|b|+|c|的值．
B 、去绝对值符号的规则：负数取其相反数，非负数取其本身。

（因为0的相反数也是其本身，所以，|x|=-x 在x=0时也成立。

所以也有：
去除绝对值符号后，非正数取其相反数。

|x|=-x ，x ≤0）
练习：
1、如果2<a<6，简化|2-a|+|a-6|。

2、若|a|>a ，则a 是 。

3、已知a 、b 、c 三数在数轴的位置如图所示，
化简（1）
||||||a b c a b c ++，（2）│c-a │-│a │+│b │，（3）│a+c │-│a │+|a-b|。

0a b
c
例题：若b<0，且│b│=a，则a、b的关系是。

解：b<0，所以|b|=-b ....................去绝对值符号又│b│=a，所以a>0，且a=-b（或b=-a），.....a>0——绝对值性质|x|≥0
所以，a和b互为相反数。

练习：
1．│-2│等于；绝对值为4的数是
2．-4的绝对值是________；2的相反数的绝对值是______．
3．若│a│=│-3│，则a=_______．
4．下列推断正确的是（）
A．若│a│=│b│，则a=b B．若│a│=b，则a=b
C．若│m│=-n，则m=n D．若m=-n，则│m│=│n│
5、若a与2互为相反数，则│a+2│等于。

6、如果│a│=b，有a=b，那么，a需要满足什么条件？
7、如果|a|=4,|b|=3,且a>b,求a,b的值。

8、在所给数轴上画出表示数-3，-1，│-2│的点．把这组数从小到大用“<”号连接起来．
证明：（穷举法）
1、a和b的值可能为负数和非负数（按照去绝对值符号规则分类）
2、（1）设a、b都是非负数，有a+b≥0
所以，有：|a+b|=a+b， |a|=a， |b|=b
所以|a+b|=a+b=|a|+|b|
（2）设a、b都是负数，有a+b<0
所以，有：|a+b|=-(a+b)， |a|=-a， |b|=-b
所以|a+b|=-(a+b)=(-a)+(-b)=|a|+|b|
（3）设a、b异号，如图，|a+b|=|a-（-b）|=|b-(-a)|
显然，a和-b（或者b和-a）的距离都小于（或等于）绝对值|a|、|b|中较大的那个数（只有其中至少一个为0时，等号才成立），
即：|a-（-b）|=|b-(-a)|=|a+b|≤|b| 或者 |a+b|≤|a|
又，因为|a|≥0，|b|≥0，所以|a|+|b|≥|a|，且|a|+|b|≥|b|（只有其中至少一个为0时，等号才成立）
所以：|a|+|b|≥|a+b|
综上所述：对于任意的a和b，都有 |a|+|b|≥|a+b| 成立。

3、类似地，
（1）当a和b异号时，|a-b|表示a、b两点的距离，如图，|a-b|=|a|+|b|≥|a|-|b|
当b=0时，等号成立。

（2）当a、b同号时，
①如果|a|≤|b|，则|a|-|b|≤0，而|a-b|≥0，
所以|a|-|b| ≤ |a-b|
②如果|a|≥|b|，如图，有|a-b|=|a|-|b|
综上所述：对于任意的a和b，都有 |a|+|b|≥|a+b| 成立。

证明：（1）（图示证明法）如图
证毕。

（2）（代数证明法）
①设a≥b，当a≥x≥b时，x-a≤0，x-b≥0，
所以|x-a|=-(x-a)=a-x，|x-b|=x-b，
|x-a|+|x-b|=(a-x)+(x-b)=a-b
类似的，如果b≥a，b≥x≥a时，
有 |x-a|+|x-b|=(b-x)+(x-a)=b-a
又 |a-b|=|b-a|
所以，当x在a、b之间时， |x-a|+|x-b|=|a-b|
②同样设a≥b，当x>a≥b时，x-a>0，x-b>0，
|x-a|+|x-b|=(x-a)+(x-b)=2x-a-b
又(2x-a-b)-（a-b）=2x-2a>0，
所以(2x-a-b)>（a-b）
所以|x-a|+|x-b|>（a-b）
类似的，如果b≥a，同样有|x-a|+|x-b|>（b-a）
所以|x-a|+|x-b|≥|a-b|
③同样设a≥b，当a≥b>x时，x-a<0，x-b<0，
|x-a|+|x-b|=[-(x-a)]+[-(x-b)]=a+b-2x
又(a+b-2x)-（a-b）=2b-2x>0，
所以(a+b-2x)>（a-b）
所以|x-a|+|x-b|>（a-b）
类似的，如果b≥a，同样有|x-a|+|x-b|>（b-a）
所以|x-a|+|x-b|≥|a-b|
综上所述，对于任意a、b，只有当x的值在a、b之间（包括a、b）时，代数式|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|
例题：
1、求x的值，使得代数式|x-5|+|x-9|+|x+2|的值最小。

解：①（应用|x-a|+|x-b|最小值规律，确定端点）
原式=|x-5|+|x-9|+|x-（-2）|
-2<5<9，以（-2）和9为端点，当9≥x≥-2时，|x-9|+|x+2|有最小值|9-（-2）|=11,。

②原式=|x-5|+11，9≥x≥-2
|x-5|≥0，当x=5时|x-5|有最小值0，且x=5满足条件9≥x≥-2 所以，x=5时，代数式|x-5|+|x-9|+|x+2|有最小值11。

2、已知|x|+2018=|x-2018|，求x。

解：①如果假设x-2018≥0，则有
|x-2018|=x-2018≥0，x≥2018，所以|x|=x
原等式去绝对值符号后，得
X+2018=x-2018
2018=-2018等式不成立，所以原来的假设x-2018≥0是错误的，x-2018只能小于0。

②因为x-2018<0，所以|x-2018|=-（x-2018）=2018-x
原等式可以简化为
|x|+2018=2018-x
|x|=-x
显然，当x≤0时，|x|=-x。

3、求下列命题成立需满足的条件：
（1）|a+b|=|a|+|b|；（2）如果|a|=b，则a=b；（3）如果|a|<|b|，a<b。

解：（1）|a+b|=|a-(-b)|
|a|+|b|=|a|+|-b|
所以，当a和-b在数轴原点的两侧是，a和-b的距离|a-(-b)|等于a到原点的距离|a|加上-b到原点的距离|-b|，所以a和-b异号，也就是a和b同号。

另外，当a、b中至少有一个等于0时，也有|a+b|=|a|+|b|成立。

因此，满足|a+b|=|a|+|b|的条件是：a和b同号，或者a和b中至少有一个等于0.
（2）根据题目和绝对值的特点，有b=|a|≥0
根据去绝对值符号规则，只要a≥0时，|a|=b=a成立。

所以，只有a≥0，b≥0时，才有命题“如果|a|=b，则a=b”成立。

（3）显然，当a,b为非负数时，|a|=a<|b|=b，原命题成立，即可以从|a|<|b|得出a<b；
如果a<0，那么如图，根据|a|<|b|，应该有|-a|>|b|，所以b>-a>a。

所以，只有b为正数时，才有当|a|<|b|时，有a<b成立。

4、已知abc ≠0，求||||||a b c a b c ++。

解：因为abc ≠0，所以a ≠0,b ≠0,c ≠0。

当a>0时，|a|=a ，a a |
|=1；
当a<0时，|a|=-a ，a a |
|=-1；
所以，（1）当a 、b 、c 都是正数时，原式=1+1+1=3
（2）当a 、b 、c 中只有一个是负数时，原式=1+1-1=1
（3）当a 、b 、c 中有2个是负数时，原式=1-1-1=-1
（4）当a 、b 、c 都是负数时，原式=-1-1-1=-3 所以，
||||||a b c a b c ++的值可能是-3,-1,1,3。

5、已知｜a-1｜+（a-1）=0,求a 的取值范围。

解：（方法1：去绝对值符号规则）原式可以变换成：|a-1|=-(a-1) 根据去绝对值符号规则，应有a-1≤0,即
a ≤1 。

（方法2：绝对值不小于0的性质）
原式可以变换成：|a-1|=1-a ≥0
得 a ≤1 。

6、已知|a-3|和|b+2|互为相反数，求a+b 。

解：|a-3|≥0，|b+2|≥0，
显然，只有|a-3|=0，|b+2|=0时，|a-3|和|b+2|才能互为相反数， 所以a-3=0，a=3； b+2=0,b=-2，
a+b=3+（-2）=1
7、已知a<b<c<d ，求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值。

解：根据条件，显然有，当a ≤x ≤d 时，
|x-a|+|x-d|有最小值d-a
原式=d-a+|x-b|+|x-c|，其中a ≤x ≤d ，
显然，如果b ≤x ≤c,x 也满足条件a ≤x ≤d
当b ≤x ≤c 时，|x-b|+|x-c|有最小值c-b 。

所以，原式的最小值=d-a+c-b 。

8、化简|3x+1|+|2x-1|。

解：x=-31
时（3x+1）的正负号分界点， x=21
时（2x-1）的正负号分界点，
根据以上分界点，把数轴分成3段，如图，
当x<-31
时，原式=-（3x+1）+[-(2x-1)]=-3x-1-2x+1
=-5x
当-31≤x<21
时，原式=3x+1+[-(2x-1)]=x+2
当x ≥21
时，原式=3x+1+2x-1=5x 。

练习：已知y=|2x+6|-4|x-1|,求y 的最大值。

（答案：x=1时，
y 有最大值8）
9、如果2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，求x 需满足什么条件？这个常数是多少？
解：因为2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，所以代数式去除绝对值符号简化后不应该含有x （否则，代数式的值会随着x 的变化而变化）。

所以，去除绝对值符号后，必须有2x-5x+3x ，也就是说
|4-5x|=4-5x ， |1-3x|=-(1-3x)
所以x 应该同时满足4-5x ≥0， 1-3x ≤0， 所以，31≤x ≤54
时，2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，此时，
原式=2x+4-5x+3x-1+4=7。