【精品】分式方程与无理方程(非常规)
分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。
无理方程是指方程中含有无理数的方程。
解分式方程和无理方程的方法有很多，下面我将介绍几种常见的解法。
解分式方程的方法：1.清除分母法：对于只包含一个分子、一个分母的分式方程，可以通过消去分母来解方程。
例如，对于方程1/x-1/(x+1)=1/2，我们可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到2(x+1)-2x=x(x+1)，然后化简方程得到x^2+x-2=0，解这个二次方程可以得到x=-2或x=1，这就是分式方程的解。
2.通分法：对于分式方程中含有多个分母的情况，可以通过通分来化简方程。
例如，对于方程1/(x-1)+3/(x+1)=2/(x^2-1)，我们可以将方程的右边进行通分得到(x-1)/(x+1)(x-1)+3(x+1)/(x+1)(x-1)=2/(x^2-1)，然后化简得到(x-1)+3(x+1)=2，解这个一次方程可以得到x=-1，这就是分式方程的解。
3.代数方法：对于更复杂的分式方程，我们可能需要借助一些代数技巧来解方程。
例如，对于方程(x-1)/(x+2)+(x+1)/(x-2)=2，我们可以先将方程两边都乘以(x+2)(x-2)来消去分母，得到(x-1)(x-2)+(x+1)(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后展开并化简方程，最终得到一个一次方程，解这个一次方程可以得到x=-3或x=1，这就是分式方程的解。
解无理方程的方法：1.平方法：对于一些包含平方根的无理方程，可以尝试平方来消去无理数。
例如，对于方程√x+3=5，可以将方程两边都平方，得到x+6√x+9=25，然后将方程整理为一个关于√x的一次方程，解这个一次方程可以得到√x=4或√x=-4，进一步求解得到x=16或x=-16，这就是无理方程的解。
2.分析法：对于一些无理方程，可以利用函数图像的性质进行分析和直观理解。
例如，对于方程√x-1=0，我们可以将方程理解为函数y=√x和y=1的交点，通过观察可知x=1是唯一的交点，因此方程的解为x=13.降低次数法：对于一些无理方程，可以通过一些代数技巧将其转化为一个次数更低的方程。
分式方程和无理方程
5x 2 3 x2 x x 1
典 型 例
解：两边同乘以最简公分母 x2 x
题
得 (5x 2)( x 1) 3(x2 x)
化简为 (x 1)2 0
解得 x 1
为什么会产 生增根？
经检验 x 1 是增根，原方程无解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
型
例
解：令 x2 5x 1 t (t 0)
题
则原方程化为 3t 2 2t 5 0
解得
t1
1, t2
5 3
（舍去）
所以 x2 5x 1 1
解得 x1 5, x2 0 经检验 x1 5, x2 0 都是原方程的根.
通过换元可将பைடு நூலகம்方程化为关于 t 的一元二次方程.
3、解分式方程的注意点
在解分式方程后都必需检验,这是因为从分式 方程到整式方程的转化有时不是等价的.
例3（1） 解方程
7 5 x2 x
典 型 例
解： 两边同乘以最简公分母 x(x 2) 题
得 7x 5(x 2)
解得 x 5 经检验， x 5 是原方程的解.
例3（2） 解方程
方
法
1. 移项，平方可把无理方程化为有理方程
提 炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3.解无理方程时应注意检验
一化二解三检验
课 堂 小
1.三种方程高次、分式、无理方程的解法 结 2.一个方法——换元 3.一个思想——等价转化的数学思想
新高一数学
高次方程、分式方程、 无理方程的解法
初中数学专题复习分式方程与无理方程(含答案)
第15课分式方程与无理方程目的：复习分式方程和无理方程的概念和解法．中考基础知识1．分式方程：分母含有_______的方程．2．分式方程的解法：（1）分式方程转化为______方程来解；（2）分式方程转化为______方程为解．3（1）无理方程转化为_________方程来解；（2）无理方程转化为_________方程来解．4x的取值范围扩大了，可能会出现_____根，因此在解无理方程和分式方程时必须______根，解分式方程是代入________去分母验根，解无理方程是代入______验根．备考例题指导例1．解方程311xx-+-21xx--=1+221x-．解：分解分母：311xx-+-21xx--=1+2(1)(1)x x-+，方程两边同乘以（x+1）（x-1）（这一步是关键）得（3x-1）（x-1）+（2-x）（x+1）=（x+1）（x-1）+2，化简得x2-3x+2=0，（x-2）（x-1）=0，x1=2，x2=1．检验：把x1=2，x2=1分别代入（x+1）（x-1）当x1=2时，它不等于0，当x2=1时，它等于0∴得x=1是原方程的增根，x=2是原方程的根．∴原方程的解是x=2 （一定要验根）例2．解方程22(1)1xx+++26(1)1xx++=7．分析：直接去分母难度较大，宜用换元法．解：设211xx++=y，则原方程转化为方程：2y+6y=7，去分母得2y2-7y+6=0，解之得y1=32，y2=2．当y=32时，有211xx++=32，解得x1=34+，x2=34-．当y=2时，有211xx++=2，解得x3x4=1经检验：x1，x2，x3x4例3-2x+1=0．=2x-1，（想一想为什么要这样移项）平方，得4x+1=（2x-1）2，解之得x1=0，x2=2．把x1，x2代入原方程检验得，x1是原方程的增根，x2是原方程的根．∴原方程的解为x=2．例4．解方程3x2-6x-+4=0．分析：采用例3方法会出现难解的高次方程，因此可用换元法．解：变形，3x2-8=0．=y，则原方程变为：3y2-2y-8=0，解之得y1=2，y2=-43（不合算术根定义，舍去）=2，解之得x1=0，x2=2．经检验：x1，x2都是原方程的解；∴原方程的根为：x1=0，x2=2．注：这个方程也可用因式分解法降次求解：3（x 2-2x+4）-8=0备考巩固练习1．填空题（1）若解分式方程21x x +-21m x x ++=1x x+会产生增根，则m 的值为________． （2）（2005，盐城）用换元法解方程（1x x +）2-5（1x x +）+4=0时，可设1x x +=y ，则原方程可化为________．（3）解无理方程2x =5=y ，则原方程转化为_________．（4=x-2m 有一个根是x=1，则实数m 的值是_______．2．解下列方程（组）（1）2484x x ---1=212x x --； （2）（2005．哈尔滨市）2x x --32x x -=2；（3-1=x ； （4）（2004，内江市）21x ++21x -+214x x -=316;（5）22,2.x y y -=-⎧⎪=3．（2005，宁波）已知关于x 的方程2a x -=33bx -解是x=2，其中a ≠0且b ≠0，求代数式a b -b a的值．答案:1．（1）去分母同乘以x（x+1）得2x2-（m+1）=（x+1）2 令x=0，则m=-2，令x=-1，则m=1∴m=-2或m=1（2）y2-5y+4=0 （3）y2-y-6=0 （4）0 2．（1）4-8x-x2+4=-（2x-1）（x+2）x2-5x+6=0x1=2（舍去）x2=3（2）x1=-1，x2=1（3=x+1，1-3x=x2+2x+1x2+5x=0，x1=0，x2=-5（舍去）（4）1233xx⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或343,1.3xx=⎧⎪⎨=-⎪⎩（5）将x=2y-22y+4=4-4y+y2，y2-6y=0，y1=0，y2=6（舍），把y=0代入①得x=-2∴20 xy=-⎧⎨=⎩3．7 12。
分式方程、无理方程及二元二次方程组
分式方程、无理方程及二元二次方程组一、知识梳理1、 叫做分式方程。
叫做无理方程。
2、解分式方程、无理方程、二元二次方程组的基本思想是将这些方程 。
具体地说：解分式方程的关键是去掉 ，将其转化为 方程； 解无理方程的关键是去掉 ，将其转化为 方程。
解二元二次方程组关键是 ，将 转化为 、将 转化为 。
3、 解分式方程的两种基本方法是 和 ；解无理方程的两种基本方法是 和 ；解二元二次方程组的两种基本方法是 和 。
4、解分式方程和无理方程， 都是必不可少的步骤。
二、检测练习1、当x= 时，分式325422-+-+x x x x 的值是0。
2、方程222-=-+x x x x 的解是 。
3、方程112=-x 的解是 。
4、方程kx x =-1，当k 时此方程无实数解。
5、把方程x 2-3xy+2y 2=0化为二个元一次方程为 、 。
6、方程 0)223()2(22=-++x y x 的解是 。
三、校正练习1、函数91--=x x y 中的x 的取值范围是 。
2、已知方程03=+-k x 有实数解，则k 的取值范围是 。
3、当分式13932的值大比分式++x x x 时，x= 。
4、方程011122=++++x x x x ，若用换元法设xx y 1+=，原方程可变形为 。
5、方程042322=+++-+x x x x 、若用换元法设y= ，则原方程可变形为 。
6、方程 ⎩⎨⎧-==+1010122xy y x 的解为 。
四、典型例题例1：12244212=-+-++xx x x例2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+628272112425yx y x x y y x例3：5325++=+x x例4：若方程)1(112+=+-+x x k x x x x 产生增根，求k 的值。
例5：当方程组⎩⎨⎧=--=+--0201422ky x y x x 有相等的实数解时，求实数k 及方程组的解。
五、小结（略）六、布置作业1、解方程 x x x x --=--1121322 2、解方程 33)2(42322=++-++x x x x 3、解方程 04322=-++-x x4、解方程 135322+=+--x x x x5、要完成一件工程，甲独做比三人合做需多用10天，乙独做比三人合做多用18天，丙在合做中完成全部任务的83，问三人合做几天完成。
分式方程与无理方程
5分式方程与无理方程分母含有未知数的方程叫分式方程，解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有：直接去分母，换元法等.根号内含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的主要思路是去掉根号，把无理方程化为有理方程，常用的方法有：乘方法、换元法、配方法等.在解分式方程、无理方程中，有可能产生增根，尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件。
例1 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是________.解题思路 化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约.例2 x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）A. P>－1B. P ≤0C. －1<P ≤0D. －1≤P<0解题思路 将无理方程转化为有理方程，要准确求出P 的范围，还应由二次根式的性质去发现隐含的根的特性.例3 解下列方程（1）5968419221;19968x x x x x x x x ----+=+----（2）22223411;2283912x x x x x x x x ++-+=+-+（3）22()31x x x +=+解题思路 由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母，需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.例4 解下列方程（11=（2=解题思路 仔细观察被开方数、分子分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口。
在解无理方程时常用的换元法有： （1）局部代换；（2）整体代换；（3）利用倒数关系找换；（4）构造对偶式代换.例5 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解.解题思路 化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题.练习一1. 若关于x 的方程11ax x +-－1＝0有增根，则a 的值为________. 2. 方程2x ＋21x－3（x+1x ）＋4＝0的解为________.3. ＝12x －a 有一个根是2，则a ＝_______.4. 方程2x ＋3x －2337x x +-＝9的全体实数根的积为_________.5.已知方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋11x -＝a ＋11a -的根是（ ）A. a ，11a - B. 11a -，a －1 C. 1a ，a －1 D. a ，1a a -6. 给出下列四个结论，①2没有实数根；②解方2()1x x -－2（1xx -）－3＝0时，若设1xx -=y ，则原方程变形为y 2－2y －3＝0；③存在这样的两个实数a 、b＋a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 总有实数根，其中正确的有（ ）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 若m 是方程2x 2＋7x ＋21的所有实数解之和，则m 的值是（ ）.A. 112-B. 72- C. －7 D. －118. 已知关于x x =有一个根为1，那么它的另一个根为（ ）.A. －1B. 0C. 2D. 39. 解下列方程（1103=；（2）2216104()933x x x x+=--10. 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值.11. 已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.练习二1. 方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是______.2. 方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为_________3. 方程｜x －1992＝1992的实数根是_______.4. 设m 为正数且关于x x m =+有实数解，则m 的取值范围是________.5. 方程33116()x x x x+=+的解的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 36. 3的所有解的和为（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 07. x =有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）.A. P ≤0B. P<14 C. 0≤P<14 D. P ≥148. 设正整数a ，m ，n =a 、m 、n 的取值是（ ）A. 有一组B. 有二组C. 多于二组D. 不存在9. 解下列方程（1）222212219;116x x x x x x x +++++=+++（2=（a 为不等于0的常数）10. 已知关于x 的方程25()56a ax x x x+--=-有两个根相等.求a 的值.11. 已知关于x 的方程22(1)()(27)()1011x xa a x x --++---有实数根。
2.分式方程和无理方程
2.分式方程和无理方程2.分式方程和无理方程分式方程★★ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点解析分式方程的概念是在七上学的（上教版教材《数学》七年级第一学期第83页），学了根式之后，对这一概念要有新的认识，为此，教材在第32页加了“边框”：“如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程是分式方程.”也可以说：“分式方程是分母中含有未知数的有理方程”.（见《中国中学教学百科全书数学卷》（沈阳出版社1991年5月版）第49页）.增根在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根.解分式方程的一般步骤★★★：要点解析1.去分母需要在方程两边都乘以最简公分母，注意不要漏项；2.由于将分式方程化为整式方程，扩大了未知数是取值范围，有可能产生增根，所以解分式方程必须检验；3.检验有两种方法：一是将求得的整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为零，则这个根是原方程的增根；若不等于零，则这个根是原方程的根.二是直接代入原方程，看是否左右相等.第二种方法还可以检查解方程过程中有无计算错误.换元法把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代换，从而简化式子的结构，使问题易于解决，这种解题方法称为换元法，也叫做变量代换法.要点解析2.换：换元.3.解：解这个方程.4.验：检验.无理方程★★ 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.无理方程也叫根式方程.有理方程整式方程和分式方程统称为有理方程.代数方程有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.要点解析无理方程、有理方程和代数方程的关系：解简单无理方程的一般步骤★★★：要点解析1.当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可通过移项使这个二次根式单独在等号一边，然后方程两边同时平方，将方程化为有理方程；2.将无理方程化为有理方程扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，因此验根是必不可少的步骤.。
初中数学知识点总结分式方程和无理方程(可编辑修改word版)
初中数学知识点总结分式方程和无理方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3.有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。
【典型例题】。
第二节 分式方程与无理方程
单 的分 式方程 后 用例 １２ 、 方法 求解．
分 析 解 答 ： ） ２１ 则 原 方 程 设 ， Ｘ＿ ＝ － ＿
，
分析 解 答 ： 两边 同乘 以 （一 ） ２ 得
ｘ ３ｘ ２ ＋ ＝ （－ ）４，
当
时，
：ｌ ，
： ３；
解得２＝ ｘ ２，
所 以 １ ．
所 以原 方程 的解 为 ＝． １
方 法 归 纳 ： 题 的 关 键 在 于 理 解 解
增根 的 意 义 ．无论是 分 式 方程 的根 ．
方 法 归 纳 ： 分 式 方 程 时 。 常 解 通
用 去 分 母 的 方 法 化 分 式方 程 为 整 式 还 是 分 式 方 程 的 增 根 ． 是 去 分 母 后 都
得 到 的整 式方程 的根．
方程 求解 ． 后 注意验 根． 最
即 ２ ２３ ＋ｌ ０． － ＝
例２ 解 分式方程 ：
２ ｘ２ ＋
＝＋ ｌ ＋
所 以 ＝ ， １ ．
例 解程 ＝ ５ 方击＋ ．
思 路 导 引 ： 出 方 程 的 最 简 公 分 找
２６ 一 －
～
乙１
明 分 式 方 程 化 整 式 方 程 后 ， 得 解 中 所 至 少有 一 个 分 母 为０ 即 增 根 ． ． 分 析 解 答 ： 边 同乘 以 １ （ 两 （一 ）卅
１得 （＋ ） （一 ） — ） （一 ） ） ｘ １＋ ５ （ １ １． 解 得 — ｋ ：６ －
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初 中知识 回顾
１ 分 式 方 程 ： 母 里 含 有 ． 分 的
完整版第7讲分式方程和无理方程的解法
第七讲分式方程和无理方程的解法初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法. 本讲将要学习可化为一元 .次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法•并且只要求掌握 的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2) 了解无理方程概念,、可化为一元二次方程的分式方程1 .去分母化分式方程为一兀二次方程分析：去分母，转化为整式方程.解：原方程可化为:1 4xx 2 (x 2)( x 2)2方程两边各项都乘以 x 4 :(x 2) 4x 2(x 2) x 2422即3x 6 x 4 , 整理得：x 3x 2 0解得：x 1或x 2.能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0的根.因此我们只要检验一元二次方程的根， 是 否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0•若为0，即为增根；若不为 0,即为原 方程的解.2 •用换元法化分式方程为一元二次方程2x2【例2】解方程()x 1把x 2代入x 24 ，等于0,所以x 2是增根.所以，原方程的解是 x1说明：(1)去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③去括号， 把所有项都移到左边，合并同类项；④解一兀二次方程； ⑤验根.4，不等于0，所以x 1是原方程的解;(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大•而分式方程可(1)不超过三个分式构成【例1】解方程1F_24x 2 x 2 4 x 2检验：把x 1代入x 2分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难•但注意到方程的结构2特点，设y ，即得到一个关于 y 的一元二次方程•最后在已知 y 的值的情况下，用x 1..52检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为1 CE所以，x 2 , x都是原方程的解.2说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值, 的值.(1)当y 1时，2x 2x 1 2小x 2x2 .x 1x1 ；;22x 13⑵当y2x 22x38x 216x2 23x 3 5x16x 3 0 x 3或 x~8x 1 85检验：把把各根分别代入原方程的分母， 各分母都不为 0.去分母的方法解方程2xy•2x解：设 -xy ，则原方程可化为:2 小y 3y解得(1)当24时，-x4 ,去分母, x 1得x 24(x 1)x 24x 4 ⑵当而没有求到原方程的解，即x【例3】解方程8(x 2 2x) x 2 13(x 2 1)x 2 2x 11 •分析：注意观察方程特点，可以看到分式2小x 2x_— 与x 12x 2x11互为倒数•因此,可以设2xx 2 2xx 2 1y ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程.解:2x 1x 2 1 x 2 2x原方程可化为：8y -11 y28y 11y 31 1所以，原方程的解是x,x 3, x2 5说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程, 体现了化归思想.、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.1•平方法解无理方程【例4】解方程,x 7 x 1分析：移项、平方，转化为有理方程求解.解：移项得：.x 7 x 1两边平方得：x 7x2 2x 1移项，合并同类项x2x 6 0得：解得：x 3或x2检验：把x 3代入原方程，左边右边，所以x 3是增根.把x 2代入原方程，左边=右边，所以x 2是原方程的根所以，原方程的解是x 2.说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根.【例5】解方程、3x 2 3分析：直接平方将很困难. 可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程.解：原方程可化为：3x 2 3两边平方得：3x 2 9 6.. x 3x3整理得:6.x 314 2x 3.x37x两边平方得：9(x3) 49 14x 2 x整理得 2 x23x22 0 ,解得：x1或x 22.检验：把x1代入原方程，左边=右边，所以x 1是原方程的根把x22代入原方程，左边右边，所以x 22是增根.所以，原方程的解是x 1 .说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明.2 •换元法解无理方程【例6】解方程3x215x 2. x25x 1 2分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大. 注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x2 15x 3 3(x2 5x 1).因此，可以设x25x 1 y，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理.解:设/ 5x 1 y, 则x25x‘ 2 小21 y 3x15x3(y21)原方程可化为：3( y1)2y 2 ,即3y22y 5 0, 解得: y 1或y 5.3(1)当y 1 时，x25时，因为35x 1 1x25x 0x1或X0；(2)当y、x25x 1 y 0,所以方程无解.检验：把x 1,x 0分别代入原方程，都适合.所以，原方程的解是x 1,x 0.说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想.72A 组1解下列方程：15 2 x 2 4 2 x242 •用换元法解方程： x — 4x3. 解下列方程：(1) .x 2 x (2) \ x 5 x 7(3) . x 32 x4. 解下列方程:2. 用换元法解下列方程:x 4 2x 21 x 21⑶厂(1)2x 1 (x 1)(x 2)x 5 (x 2)(x 3)x 22x 11x21 x 7~2x 12x 35(1) \ 3x 1, x 415. 用换元法解下列方程：(1) x 12 x 0⑵ 2x 4. x 5 12 2⑵ x 3x x 3x 6B 组1.解下列方程：2x 5 4 1(1)~ ~x 3x 2 x 4 x 21 x 11(3)—x 7 (2x 1)(x 7) 2x 3x 1x 41 x 6⑵ x 2 x 2 x 1x 2 4x 1 2x x 1 x 14x x 2 1(1)x 2 5xx 1 24(X " 14x(x 5) 2(x 21) 6(x 1)2x 1 x 1x x7253. 若X 1是方程4的解，试求a 的值.第七讲分式方程和无理方程的解法答案A 组⑴X1 ,(2) x 1,x21,(3)y 0,y1,(4) x 3,x5x2(1)x1,(2) x 6,(3) x5 3 2(1)x5. (2) x 20 .(1)x 9,(2) x 1,x4B 组(1)x1 13,(2) x 3,(3) x 5,x11,(4) x 3(1)x 1,x 2,x3,x4,(2) x 1、2,x317—,(3) x 1 4迈2(1)x 0, x 2, x212 —,(2) x a2 (1)x迈(2) x26,(3) x 3,x14. 5. 1.2.3. 4. 5.1.2.3.4.5.解下列万程： 3 2⑴飞 2x 4x 1x 2 2x 3 解下列方程： (1) x 2 x 2 1 3(3) 2x 2 4x 3 x 2 2x 6 153x x a6x 2 a 2x 26、、x 10。
分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤(移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1)求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代进去检验。
分式方程的解题步骤去分母方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号。
(最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂)移项移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1求出未知数的值;验根求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的'过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。
否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根都是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代入进去检验。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
注意(1)注意去分母时，不要漏乘整式项。
(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
(3)増根使最简公分母等于0。
(4)分式方程中，如果某为分母，则某应不等于0。
C.3 分式方程与无理方程
采用复习法、练习法与讨论法相结合完成教学，多媒体设备辅助教学．
教学反思：
作业或思考题：
(1)读书部分：复习教材中知识链接章节C.3；
(2)书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第 页中强化练习1—2．
数学学科教案设计（副页）
教学过程
教师
活动
学生
活动
设计
意图
教学
时间
*知识回顾理论升华
分式方程
， ．
检验：把 代入 ，它等于 ，所以 不是原方程的根；把 代入 ，它不等于 ，所以 是原方程的根．
所以原方程的根是 ．
评注：验根时可将结果代入原方程检验，检验方程两边是否相等，相等时为原方程的根，不等时为增根；也可将结果代入最简公分母，如使最简公母为 时则为增根，反之为原方程的根．
质疑
分析
讲解
思考
质疑
引导
总结
质疑
引导
总结
回忆
回答
记忆
回忆
回答
记忆
通过对于分式方程知识的复习，帮助学生理解无理方程的概念与常规方法，有助于知识的巩固与运用．
通过对于无理方程知识的复习，帮助学生理解无理方程的概念与常规方法，有助于知识的巩固与运用．
10
分钟
数学学科教案设计（副页）
教学过程
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时间
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时间
*运用知识强化练习
跟踪练习9解分式方程： ．
跟踪练习10解下列无理方程：
（1） ；
*（2） ．
质疑
巡视
指导
思考
求解
分式方程与无理方程分解
解得： 或 ．
检验：把 代入 ，不所以，原方程的解是 ．
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
第五步：随堂练习
1如果 有增根,那么增根为x=( )
2解关于x的方程 产生增根,则常数m=()
无理方程
【一】知识梳理：
1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
解：移项得：
两边平方得：
移项，合并同类项得：
解得： 或
检验：把 代入原方程，左边 右边，所以 是增根．
把 代入原方程，左边 = 右边，所以 是原方程的根．
所以，原方程的解是 ．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
所以， ， 都是原方程的解．
说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 的值，而没有求到原方程的解，即 的值．
【例3】解方程 ．
分析：注意观察方程特点，可以看到分式 与 互为倒数．因此，可以设 ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．
解：设 ，则
原方程可化为： ．
(1)当 时， ；
(2)当 时， ．
分式方程
一、教学重点和难点
1．教学重点：
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
分式方程、无理方程及应用题
分式方程、无理方程及应用题知识要点：这一部分知识是在学习了一元二次方程解法的基础上，学习可化为一元二次方程的分式方程与无理方程，也是在学完可化为一元一次方程的分式方程基础上学习的，对这一部分教材，要求掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解，会验根，能够列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题，掌握可化为一元一次，一元二次方程的无理方程的解法，会用两边平方或换元法求方程的解并会验根，掌握列方程解应用题的步骤和方法，培养分析问题解决问题的能力。
分式方程与无理方程解法及解应用题都是教材的重点内容，列方程解应用题是教材的难点之一。
分式方程与无理方程的一般解法与特殊解法：分式方程的解法思路是化为整式方程，而去掉分母又是解法的关键，因此一般解法是去分母，用两边同乘最简公分母的方法去分母，在去分母时，要注意的是用的是方程两边同乘不为0的数或代数式，所得方程与原方程解相同的性质。
有时要注意，各项都同乘，如有某一项为1时，也要乘，不可丢掉，它的特殊解法是换元法，有的分式方程用去分母的方法太烦，或者是出现高次时，要通过设定一个新的元，代换后转化为较简单的分式方程，再去分母化为整式方程，换元的目的还是要将分式方程转化为整式方程。
无理方程是要去掉根号，因此一般解法是用两边平方的方法，去掉根号，而特殊解法也是换元法，通过换元，将无理方程变为有理方程。
在掌握解法时，特别注意，一般解法是通法，要求掌握。
在特殊情况下会用换元法，因为它可以使解法更简捷。
由于解分式议程时两边同乘了一个代数式，解无理方程时，两边又平方了，因此解完分式方程与无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。
换元法与转化思想的应用：换元法是方程解法中的重要方法之一，它的目的是将分式方程转化为整式方程，将无理方程转化为有理方程，因此换元的数学方法与转化的数学思想应用尤为重要。
我们学习基础知识，不只是学习知识本身，而要学习知识的形成过程及伴随知识的数学思想及数学方法。
分式方程_无理方程和高次方程详解
第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得：y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得：x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以，((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得，x2＋9x-22＝0，解得x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b 及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4·2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程第三讲简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程x3-2x2-4x＋8=0．解原方程可变形为：x2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x1＝x2＝2，x3=-2．说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样=0可化为bkx3+bx2+dkx+d=0，即(kx+1)(bx2+d)=0．方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．例2 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．例3 解方程(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．解我们注意到，2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令y=6x＋7，①由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得：(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，即y2(y＋1)(y-1)=72，y4-y2-72＝0，(y2＋8)(y2-9)=0．因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为例4 解方程12x4-56x3+89x2-56x+12=0．解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由例5 解方程解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．所以经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．例6 解方程(x+3)4+(x+1)4=82．分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y＋1)4＋(y-1)4＝82，整理得y4+6y2-40=0．解这个方程，得y=±2，即x+2=±2．解得原方程的根为x1=0，x2=-4．说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如(x＋a)4＋(x+b)4=c例7 解方程x4-10x3-2(a-11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3＋22x2+12x)=0，△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x)=4(x2-2x+1)．所以所以a=x2-4x-2或a=x2-6x．从而再解两个关于x的一元二次方程，得练习三1．填空：(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．(2)方程x3-3x＋2=0的根为_____．(3)方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．(4)方程(x2+3x-4)2＋(2x2-7x＋6)2=(3x2-4x+2)2的根为______．2．解方程(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．4．解方程5．解方程(x+2)4+(x-4)4=272．6．解关于x的方程x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2＋a+2=0．第四讲有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．1．二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．例1 解方程组解②×2-①×3得4x＋9y-6＝0．方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组解②×(-2)+①得：3y2+3y-6=0，所以y1=1，y2=-2．解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．例3 解方程组解由②得(2x+y)(x-2y)=0，所以2x+y=0或x-2y=0．因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组解由①-②×2得x2-2xy-3y2=0，即(x+y)(x-3y)=0，所以x＋y=0或x-3y=0．分别解下列两个方程组得原方程组的解为2．二元对称方程组方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如x2-5xy＋y2-3x-3y=7，等都是二元对称方程．由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如等都是二元对称方程组．我们把叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．例5 解方程组解方程组中的x，y分别是新方程m2-5m+4=0的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)．由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．例6 解方程组解原方程组可变形为①×2＋②得令u=x＋y，则即而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为例7 解方程组分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得xy=16．④由②，④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例8 解方程组分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简．解①-②，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0，所以x-y-0或x＋x-10=0．解下列两个方程组得原方程组的四组解为例9 解方程组解法1用换元法．设4x＋5=A，4y+5=B，则有即③-④并平方得整理得所以因此A-B=0或分别解下列两个方程组与经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是解法2①-②得即所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而x-1=0，y-1=0．由此解得经检验，x=1，y=1是方程组的解．练习四1．填空：(1)方程组的解有_____组．(2)若x，y是方程组(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．(4)已知实数x，y，z满足方程组则xyz=________．2．解方程组：3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若4．已知一元二次方程a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．5．(1)解方程组。
第二节 分式方程与无理方程
第二节分式方程与无理方程作者：来源：《数学金刊·初中版》2009年第07期初中知识回顾1. 分式方程:分母里含有的方程叫做分式方程.2. 分式方程的解法:解分式方程,一般通过去 ,把分式方程变形为方程来解. 对于某些特殊的分式方程,可以采用 ,使之化为较简单的分式方程(甚至整式方程),从而求出方程的解.由于在求解分式方程的过程中,未知数的取值范围可能扩大,有产生的可能. 因此,最后需进行验根.典例剖析例1解方程=+.思路导引:找出分母的最简公分母x(x-2),两边同乘以x(x-2),化分式方程为整式方程.分析解答:两边同乘以x(x-2)得 x=3(x-2)+4,解得2x=2,所以x=1.检验:把x=1代入x(x-2)=-1≠0,所以x=1为原方程的根.所以原方程的解为x=1.方法归纳:解分式方程时,通常用去分母的方法化分式方程为整式方程求解,最后注意验根.例2解分式方程:=1++.思路导引:同上,找出最简公分母(x+2)(x-2).分析解答:两边同乘以(x+2)(x-2)得4x=x2-4-2(x+2)+2(x-2),x2-4x-12=0,所以x1=6,x2=-2.经检验:x1=6是原方程的根,x2=-2是增根.所以原方程的解为x=6.方法归纳:与例1相同.例3解分式方程:+=7.思路导引:方程变形为:+=7,方程中与互为倒数,则令y=,用换元法,化为简单的分式方程后用例1、2方法求解.分析解答:设y=,则原方程可化为:2y+=7.去分母得:2y2-7y+6=0,解得y1=,y2=2.当y=时, =,即2x2-3x+1=0,所以x1=,x2=1.当y=2时,=2,即x2-2x+1=0,所以x3=x4=1.经检验:x=是原方程的根,1是方程的增根.所以原方程的解是x=.方法归纳:当方程中含有未知数的两个分式互为倒数时,则用换元法.例4已知关于x的方程+=无解,求k的值.思路导引:已知方程无解,即说明分式方程化整式方程后,所得解中至少有一个分母为0,即增根.分析解答:两边同乘以x(x-1)(x+1)得(x+1)+(k-5)(x-1)=x(k-1).解得x=. 原方程的增根可能是0,1,-1.当x=0时,=0,则k=6;当x=1时,=1,则k=3;当x=-1时,=-1,则k=9.所以当k=3,6,9时,原方程无解.方法归纳:解题的关键在于理解增根的意义,无论是分式方程的根,还是分式方程的增根,都是去分母后得到的整式方程的根.例5解方程+=1.思路导引:找出方程的最简公分母后化为整式方程.分析解答:方程两边同时乘以(x+1)(x-1),整理得x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1. 检验:当x=-1时,x+1=0,原方程无意义,所以x2=-1是原方程的增根. 所以原方程的根是x=2.方法归纳:在原方程中,x≠±1,在变式整理后的方程中没有x≠±1的限制. 这是因为原方程两边同时乘以(x+1)(x-1)后扩大了x的取值范围. 因此,变式后的方程与原方程不一定同解. 但是,变式后的方程包含了原方程的解,所以解分式方程可能产生增根,需要进行验证,这样以保证解题的准确性.(分式方程验根的方法有两种. 一种是代入原方程检验;另一种简便方法是代入最简公分母,使最简公分母不为0的根是原方程的根,使得最简公分母为0的根是增根)例6解方程+=7.思路导引:这个方程直接去分母会出现高次方程,这个解法难度很大.考虑到这个方程左边与互为倒数的特点,可用换元法来解.分析解答:设为y,那么=,于是原方程变形为2y+=7,解这个方程得y1=2,y2=.当y=2时,=2,解这个方程得x=1±.当y=时,=,解这个方程得x=.经检验,它们都是原方程的根,所以原方程的根是:x=1±.或x=.方法归纳:“换元”是重要的数学思想,具有化繁为简,等价转化的功效. 换元法是数学中的常用方法,在解分式方程和后面的无理方程时也常常用到此方法.例7当k为何值时,方程=只有一个实数根,并求出此根.思路导引:去分母转化为关于x的二次方程后,应重点分析这个方程与原方程的关系,它们不一定同解. 因此,原方程只有一个实根,不能得出转化后的二次方程也只有一个实根.分析解答:方程两边同时乘以x•(x-1),得x2=k-2x,化简得x2+2x-k=0.①当Δ=0时,k=-1.当Δ>0时,(1)若原方程有增根x=1,代入方程①得k=3,这时方程①为x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1(增根舍去).(2)若原方程有增根x=0,代入方程①得k=0,这时方程①为x2+2x=0.解得x3=-2,x4=0(增根舍去).综上所述,经检验可得:当k=-1时,原方程的根是x=-1;当k=3时,原方程的根是x=-3;当k=0时,原方程的根是x=-2.方法归纳:在化简、变形、转化、换元等变换过程中,一定要分析变换前后是否等价.入门衔接知识现行初中数学教材的几种版本,对无理方程的内容只作了解或根本不进行讲解,这与高中阶段的求函数自变量的取值范围、解相关方程、不等式联系紧密,故而在这里补充讲解一下无理方程.(1)无理方程:根号内含有未知数的方程叫做无理方程.(2)有理方程:整式方程和分式方程统称为有理方程.(3)无理方程的解法:解无理方程,一般通过方程两边同时乘方,使之转化为有理方程,从而求出方程的解. 解无理方程时,由于两边乘方时,未知数的取值范围可能会扩大,有产生增根的可能,因此,最后必须进行验根.例题引路例1解方程:-2x=1.思路导引:将方程变形=1+2x,两边同时平方化为有理方程.分析解答:将方程变形为=1+2x,两边同时平方得3x+6=(1+2x)2,解得x1=-,x2=1.检验:把x=-代入原方程,左边≠右边,所以x=-是增根,把x=1代入原方程,左边=右边,所以x=1是原方程的解.所以原方程的解是x=1.方法归纳:含一个根式的无理方程,可将根式留在一边,把不含根号的其他项全部移到另一边,平方后即可把无理方程转化为有理方程解.例2解无理方程:-=2.思路导引:对于两个以上根号的无理方程,先变形为:=2+平方后,化去一个根号,整理后再平方即可化为有理方程.分析解答:将方程变形为=2+,两边平方得2x+1=4+x-3+4,化简得x=4.再平方得x2=16(x-3),解得x1=12,x2=4.经检验:x1=12,x2=4都是原方程的根.方法归纳:对于两个或两个以上的无理方程的解法与一个无理方程的解法相似,只是要通过两次平方,甚至三次平方才能将方程化为有理方程.例3解方程+x2+2x=7.思路导引:变形得+•(5x2+10x+1) =. 令y=,换之得y2+y=,解出y,再解x.分析解答:原方程可化为+(5x2+10x+1)=.令y=,则原方程化为y+y2=.解得y=4或y=-9.当y=-9时,即=-9无意义,无解.当y=4时,即=4,解得x1=1或x2=-3.经检验:x1=1,x2=-3是原方程的解.方法归纳:若直接平方会得到一个四次方程,较复杂,一般采用换元法求解.例4解方程x2-4x-5+3=0.思路导引:x2-4x-5≥0, 3≥0由非负数的和等于0得到它们分别为0.分析解答:因为x2-4x-5≥0,≥0,又x2-4x-5+3=0,所以x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5.2x2+x-1=0,解得x1=-1,x2=.经检验,x=-1是原方程的解.方法归纳:对于此类特殊的方程,要了解其本身的性质,如a≥0,a2≥0,≥0等去解之.例5解方程-2=x.思路导引:解无理方程的主要思路是化为整式方程,途径是方程两边同时同次乘方,目的是去掉“根号”. 本题只有一个“根号”,我们把根式放在方程的一边,其余的项放在另一边. 这样“平方后”就能去掉“根号”.分析解答:-2=x,①移项得=2+x,②两边同时平方2x2+7x=(2+x)2, ③解方程③得x1=1,x2=-4.分别将x1=1,x2=-4代入原方程检验,得知x1=1是原方程的根,x2=-4是增根,舍去.所以原方程的根是x=1.方法归纳:无理方程验根与分式方程验根不同,必须代入原方程进行检验,而不能只代入被开方的式子看是否有意义.例6解方程+=11.思路导引:本题直接两边同时平方很复杂,只有一边留有一个根式后再平方较为简单.分析解答:移项得=11-,两边平方得20+x2=121-22+9+x2,化简得 =5,两边平方得 x2+9=25,x=±4.经检验,原方程的根是x=4,或x=-4.方法归纳:当无理方程只有一个“根式”时,怎样去解?当无理方程含有两个“根式”时,同学们又该怎么去解?上面的解答过程便给出了答案.例7解方程2+x2-5x=12.思路导引:把不含根式的项移到另一边后再平方将出现一元四次方程,并且计算量也大. 仔细观察本题特点,可采用换元法解.分析解答:令y=(y≥0),则原方程可化为y2+2y-15=0,解得y=3或y=-5(舍去).所以=3,两边平方x2-5x+3=9解得x1=6,x2=-1.方法归纳:解答这类题目要注意在换元后,注意新变量的取值范围.感悟提升通过此节的学习,使同学们在初中的基础上,对分式方程与无理方程的解法,有了较为系统和全面的了解,在高中学习中遇到此类问题时有了初步的解决方法.衔接训练一、选择题1. 下列方程中,在实数范围内有解的是()A. +-2=0B. ++2=0C. +=0D. =x-32. 若解关于x的方程+=2有增根x=-1,则a的值为()A. 0或-1B. 0C. 3D. 3或-13. 方程-8x2+12=0的实根的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 44. 若方程=-x有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A. m>-1B. m≤0C. -1二、填空题5. 解方程x2+x+1=时,若设y= ,则转化关于y的一元二次方程 .6. 若x,y是实数且(x-2)2+=0,则xy= .三、解答题7. 解方程:6x2++5x+=38.8. 解方程:2x2-4x+3=15.参考答案见P122。
分式方程和无理方程.doc
分式方程和无理方程一. 解分式方程和无理方程必需检验1. 方程01312=--+x x 的解是_________.2.方程x x -=-2的解是 __________.3. 方程x x =+2的解是 ___________.4.方程1415112-=--+-x x x x 的解是 __________. 5.方程 2x-332=+x 的解是 ( )A. 21 和3B. 21C. -21 和3 D. 3 6. 关于x 的方程x k k x -=-的根为 ( )A. x = kB. x 1 = k+1 , x 2 = k – 1C. x 1 = k , x 2 = k + 1D. x = 2k7. 方程 442144122-=+++-x x x x x 的解是 ( ) A. x 1 = -2 , x 2 = 4 B. x 1 = 2, x 2 = – 4 C. x = 4 D. x = - 48.方程312)3(42+-=++x x x 的根的个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数多个二. 与增根有关的填空与选择题.1. 解分式方程331+=--x m x x 时去分母一步产生了增根,那么m 的值是 ____________. 2. 当m = _____时 , 去分母解方程222-=--x m x x 时会产生增根. 3. 解关于x 的方程x m m x x -=--131得 x = 134-m m ,当m = ____时,此根是增根. 4. 使分式方程212-=-+x k x x 产生增根的k 的值是 ( ) A. k = 0 B. k = 0, k = 2 C. k = 1 D. k = 25. 解关于x 的方程13213+-=++x x ax x 有增根x = -1,则a 的值是 ( ) A. 0或1 B. 0 C. 3 D. –26. 方程011522=-⋅-+y y y 的解是 ( )A. 3B. 3或-5C. –5或 –1D. 3 , -5 ,17. 方程 0345=-⋅-x x 的解是 ( )A. x = 34B. x = 5C. x = 49 D. 没有实数解 三. 运用换元法的题型.1. 若 x 2 – 3x –1532=+-x x , 设532+-x x = y ,则原方程变为______________________.2. 若 x 2 + 3x +7 + 03102=+xx , 设x 2 + 3x = y ,则原方程化为 ___________________________. 3. 若用换元法解方程 x 2-2x + 6 + 627622=+-x x ,则最优方法为设 ( ) A. y = 622+-x x B. y = x x 22- C. y = x 2 – 2x D. y = 6622+-x x4. 若用换元法解方程 2x 2 -332=-x ,若设y =23x -, 则原方程可变为 ( ) A. 2y 2 +y+1= 0 B. 2y 2 - y+1= 0 C. 2y 2 +y - 5= 0 D. 2y 2 – y - 5= 05. 已知方程3( x 2 +21x ) + ( x + x 1) – 4 = 0, 若设x + x1= y ,则原方程化为 ( ) A. 3y 2 +5y – 4 = 0 B. 3y 2 + y - 10= 0 C. 3y 2 – 5y +2 = 0 D. 3y 2 + 5y + 2= 0 6. 解方程: 2x 2 + 3x - 59322++x x + 3 = 0 7. 2( x 2 +21x ) - 9( x + x 1) + 14 = 0。
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以 a x 、 x b 为直角边作直角三角形，则斜边为
ab
由三角形任意两边之和大于第三边得，
a x+ x b ＞ a b
所以除 x1=a， x2=b 外，原方程再无实数解 经检验知， x1=a，x2=b 是原方程的解
说明： 观察法解方程的缺点是有时会减根， 因此在用观察法初步得出方程 的解之后，还要全面考虑，找到方程的全部解。
x
x
=
x
=???= x n ， xn
x1 +x2+???x n+ + +???+ = 。
xx
xn
求 x1
例 8、已知实数 a， b， c， d 互不相等，且 a+ =b+ =c+ =d+ =x，
bcda
试求 x 的值
例 9、已知关于 x 的方程（ a2-1 ） ( x x
（ 1）求 a 的取值范围
) 2 -(2a+7)(
4、若实数 x， y， z 满足 x+ =4， y+ =1， z+ = ，则 xyz 的值为
y
z
x
5、满足 x y + x y-
x-
y+
xy =2003 的正整数对的个数
是
6、已知 - a =1，那么代数式 + a 的值为
a
a
7、对于 x 的哪些实数值，等式 x 2x 1 + x
x = 成立？
8、解方程
=???= x n ， xn
x 1+x2+???x n+ + +???+ =
xx
xn
求 x1
x
解：∵
x
x
=
x
=???= x n ， xn
x
∴
x
x
=
x
=???= x n xn
∴ x1+ =x2+ =???=x n+
x
x
xn
又∵ x1+x2+???xn+ + +???+ =
xx
xn
∴ n(x 1+ )=
x
xx
+
=
x
1
分式方程与无理方程 解分式方程与无理方程时，主要用到的技巧有观察法、配方法、换元法、 数形结合法、韦达定理法、方程的不等式解法等。解题时，要注意从方法技巧 的角度去提高分析问题、解决问题的能力。
例 1、求方程 x+ x ＝ 4＋ 的实数解
x
解：显然 x≥ 2，观察方程两边，取
x
得 x=4
0≤ 2b2≤8，∴ b2 只能取 0， 1，4 当 b2=0 时， x1=0, 代入①，得 y 1=16 当 b2=1 时， x2=2, 代入①，得 y 2=4 当 b2=4 时， x3=8, 代入①，得 y 3=0
经检验知，它们是原方程的解
x
例 7、已知实数 x1， x2，???x n 满足
x
=x x
x
∴ nx12- x 1+n=0
∵ x1 为实数，∴△ =（ - ） 2-4n 2≥ 0， 解得 n≤ ，又∵ n≥1
∴取 n=1 ∴ x 1+ =
x
解得 x1=3 或
3
经检验知，它们是原方程的解
例 8、已知实数 a， b， c， d 互不相等，且 a+ =b+ =c+ =d+ =x，
bcda
试求 x 的值
2=0
整理得，（ a2-2a-7 ） x 2+(2a+5)x+1=0
①若 a2-2a-7=0 ，即 a=1±2
时，有 x=-
a
显然 2a+5=7± 4 ≠ 0，同时 x≠ 1，
∴当 a=1± 2 时，原方程有实数解 ② 若 a2-2a-7 ≠ 0，当△ =（2a+5） 2-4(a 2-2a-7 ）≥ 0，
x
∴
x
∴ x=0 或 x=3
x
或
x
经检验知，它们是原方程的解
=0 的两个根，
例 6、求方程的整数解 2 x + y =
①
解：由 2 x ≤
，得 0≤ x≤ 8
②
又由①有 y =
-2 x ，平方后移项，得 8 x =16+2x-y
∵ 16+2x-y 为整数，∴
x 为整数，设 x=2b2（b 为整数），代入②得，
分式方程与无理方程（非常规）
例 1、求方程 x+ x ＝ 4＋ 的实数解 例 2、解方程 a x + x b = a b （ a ＞ b）
例 3、解方程 x
＋
x
=x
x
例 4、解方程 x +2 y +3 z = （ x+y+z ）
例 5、解方程
x+
x= +
例 6、求方程的整数解 2 x + y =
x
例 7、已知实数 x1， x2 ，???x n 满足
解：∵ =x-a ， b=x-
∴(x-a)( x-
)=1
b
c
c
同理得 (x-c)( x-
)=1
a
整理得， x+acx=a+c
又∵ (x-a)( x-
)=1
c
把①代入②得， cx 2=2c
∴(x-a)( x-
)=(x-c)( x-
)
c
a
①
∴ x 2-
x
-ax+
a
=1
②
c
c
∵c≠ 0,
∴ x2=2， x= ±
例 3、解方程 x
＋
x
=x
x
解：显然 x≥ 1. 方程两边乘以 2 后，移项配方，有
0=2x― 2 x
―2
x
x
= (x ) x
x x
＋ (x )
x xx
=（ x
-1 ） 2+（ x
x
-
）2
x
x
由非负数的性质，得
x
，
x x
平方得， x 2-x-1=0 ，取不小于 1 的根，得 x=
经检验知， x=
是原方程的解 .
x )+1=0 有实数根 x
（ 2）若原方程的两个实数根为
x
x 1,x 2, 且
x
x
+
x
= ，求 a 的值
练习：
x
1、方程 x - = 的实数根的个数为
个
xx
2、如果 a+b-2 a -4 b =3 c - c-5 ，则 a+b+c 的值为
3、若方程 x p =x 有两个不相等的实数根，则实数 p 的取值范围是
例 9、已知关于 x 的方程（ a2-1 ） ( x x
（ 1）求 a 的取值范围
) 2 -(2a+7)(
x
)+1=0 有实数根
x
（ 2）若原方程的两个实数根为
x
x 1,x 2, 且
x
x
+
x
= ，求 a 的值
解：（ 1）若 x≠ 1，则原方程可转化为（ a2-1 ） x2-(2a+7)x(x-1)+ (x-1)
例 4、解方程 x +2 y +3 z = （ x+y+z ）
解：配方得， （ x
-1 ） 2+（ y
-2 ） 2+（ z
-3 ） 2=0
2
x
由非负数的性质得，
y
z
x ，得 y
z
x 经检验知， y
z
是原方程的解 .
例 5、解方程
x+
x= +
解：平方得，
x?
x=
∴
x、
x 是二次方程 t 2-(
+ )t+
令 y= x ，则原方程变形为 y 2＋ y― (2 ＋
的实根，从而有唯一的非负根。 经检验知， x=4 是原方程的实数解 .
)=0 ，此方程有两个异号
例 2、解方程 a x + x b = a b （ a ＞ b）
解：显然有 b≤x≤ a， 观察知， x1=a， x2 =b 是原方程的解 .
当 b＜x＜ a 时，有 a x ≥ 0， x b ≥ 0