最新修订人教版八年级下册数学第十七章复习教案
人教版八年级下册数学《勾股定理的实际运用》说课教学复习课件
01
情景引入
一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板
能否从门框内通过？为什么？
解：连接DB,
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
AC= 5≈2.24＞2.2．
所以木板能从门框内通过．
01
情景引入
如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO
答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．
02
练一练
4．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，
倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂
前有多高？
解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面
正好构成直角三角形，
∴BC= 2 + 2 = 2. 82 + 9. 62 =10m，
BD=OD-OB=1.77-1=0.77≠0.5
所以当梯子顶端A下滑0.5米时，梯子底端外移约0.77米
02 练一练
PA RT 0 2
P
R
A
C
T
I
C
E
02
练一练
1．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12
㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
解：如图；杯内的吸管部分长为AC，
2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
解： 梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为
OA′=12﹣5=7（米），
根据勾股定理：
OB′= ′′2 − ′2 = 132 − 72 =2 30 （米），
∴BB′=OB′﹣OB=（2 30﹣5）米
八年级数学下册 第十七章反比例函数复习教案 人教新课标版
第十七章 反比例函数复习教案复习目标 知识目标：1、理解反比例函数概念，掌握反比例函数的主要性质。
2、会从函数图象中获取信息，解决问题。
能力目标：1、逐步提高从函数图象中获取信息的能力和感知水平。
2、逐步形成用函数观点处理问题的意识，体验数形结合的思想方法，发展学生形象思维能力。
情感目标：培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法，体会函数在实际问题的应用价值。
重点：掌握反比例函数的概念、图象、性质、应用。
难点：运用反比例函数的性质和图象解答综合题，要善于识别图形，获取有用的信息，灵活的运用数学思想方法。
复 习 过 程（一）知识点与例题演练知识点一 1.什么叫反比例函数？一般地，如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成： (k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数.自变量x 不能为零．2.反比例函数有哪些等价形式？ 反比例函数的三种形式：ky = xy k = 1y kx -= 练习1： 1、函数3x y =2y x =- 14y x=- 215y x =- 32xy=中，反比例函数有 个2、在下列函数表达式中,x 均为自变量,哪些函数中y 是x 的反比例函数?每一个反比例函数相应的k 值是多少?2、若函数是反比例函数，则m 值为 3、下列的数表中分别给出了变量y 与x 之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是ky x=()255y x =()362y x =+()172y x -=()183y x =23(2)m y m x-=-（ ）A B C D 3、已知12y y =-，1y 与x 成反比例，2y 与x －2成正比例，且当x = 1时，y =－1；x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式.4、如右图，某个反比例函数的图象经过点P ，则它的解析式为（ ）A. )0(1>=x x yB. )0(1>-=x x y C. )0(1<=x x y D. )0(1<-=x xy 知识点二 反比例函数的图像性质 k 的取值当k>0时当k<0时函数的图象函数的性质两支曲线分别位于第一、三象限,在每一象限内,函数值y 随自变量x 的增大而减小.两支曲线分别位于第二、四象限,在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而增大渐近性 反比例函数的图象无限接近于x 轴和y 轴,但永远和坐标轴不相交对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形 对称轴为直线y=x 、 y=-x练习2：1、反比例函数 图像在第二、四象限，则m 取值范围为2、如右图是三个反比例函数x ky 1=，x k y 2=，x k y 3=在x 轴上方的图象，由此观察得到1k 、2k 、3k 的大小关系为（ ） A. 321k k k >> B. 123k k k >> C. 132k k k >> D. 13k k k >>Oyxxk y 1=xk y 2=xk y 3=xm y 31-=x 1 2 3 4 y 5 8 7 6 x 1 2 3 4 y 6 8 9 7 x 1 2 3 4 y 8 5 4 3 x 1 2 3 4y 12 1514 131－1 Oxy3、若()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y 都在双曲线6y x=-上，且1230x x x <<<则1y 、2y 、3y 间的大小关系为4、函数y=a x-a 与ay x=(a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）5、直线y=kx(k>0)与双曲线4y x=交于A(x 1,y1) 、B(x2,y2)两点，则112227x y x y -的值等于 _______ 变式：x1+x2=_____ y1+y2=_____ 122127x y x y -＝_____ 知识点三、与面积有关的问题： 面积性质（一）： 设P （m ，n ）是双曲线xky =（k ≠0）上任意一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为A ，则 若将此题改为过P 点作y 轴的垂线段,其结论成立吗?面积性质（二）过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A ，B ，则 练习3：1、如图,点P 是反比例函数 2y x=图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD 的面积为 . 2、如图:A 、C 是函数 1y x=的图象上任意两点，过A 作x 轴的垂线， 垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记AOB Rt ∆的面积为1S ，OCD Rt ∆的面积为2S ，则A. S1>S2 B .S1<S2 C. S1 = S2 D. S1和S2的大小关系不能确定. 3、如图，P 是反比例函数xky =图像上一点，由P 分别向x 轴、y 轴 引垂线，阴影部分面积为3，则这个反比例函数的解析式是 知识点四、.利用反比例函数解决实际问题:关键是:建立反比例函数模型.主要类型:(1)形积类:体积不变,底面积与高成反比例. (2)行程类:总路程不变,速度与时间成反比例ABCDA o yP(m,n) x x yA P(m,n ) o 12111||||||222OAP S OA APn m mn k ∆=⋅⋅=•==x o P(m,n)y B AS OAPB OA AP m n mn k •=•==则矩形＝ DoyP(m,n)x BA o yxCC o A y xP(3)压强类:压力不变,压强与面积成反比例. (4)杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂(5)电学类:电压不变,输出功率与电阻成反比例 电压不变,电流与电阻成反比例. 练习4：1. 若一个圆锥的侧面积为20，则下图中表示这个圆锥母线长l 与底面半径r 之间函数关系的是（ ）2、已知某种灯泡的使用寿命大约为2000小时，这种灯泡的可工作天数y 与平均每天工作小时数x 之间的函数关系图象大致应为（ ）综合练习： 一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数2y x-= 图象相交于A(-1,m),B(n,-1)两点. (1) 写出这个一次函数的表达式;(2) 画出函数图象草图,并据此写出使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围. 发散思维一 连接 OA, OB, 求三角形△AOB 的面积. 发散思维二在x 轴上是否存在点p ，使△AOP 为等腰三角形?若存在, 把符合条件的p 点都求出来,若不存在,请说明理由. （二）随堂练习，巩固深化1、 如右图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则它的解析式是_____________2、某新建的大楼楼体外表需贴磁砖，楼体外表总面积为40002m 。
人教版八年级数学下册第十七章 《勾股定理》复习教案
第十七章《勾股定理》复习教案【教学任务分析】一、教学目标知识技能1、进一步理解勾股定理及其逆定理，弄清两定理之间的关系。
2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。
3、运用勾股定理及其逆定理解决问题。
过程方法1.经历勾股定理、勾股定理逆定理、逆命题等的应用和证明过程，体会数形结合、转化思想在解决数学问题中的作用，学会运用数学的方式解决实际问题.2.感受数学与现实生活的密切联系，认识数学来源于生活，生活中要注意观察、善于发现、验证、应用.情感态度感受数学的悠久历史和成就，感受数学的作用和魅力，热爱数学、努力学好数学.二、重点和难点重点勾股定理及逆定理的应用.难点勾股定理及逆定理的应用.【教学环节安排】一、理清脉络构建框架活动一：1、小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图。
2、每个小组选取一名代表，出示本组的知识框图。
设计意图：通过学生阅读，相互交流，整理知识框图复习本章知识点，自觉内化到自身的知识体系中。
活动二：1、勾股定理及其逆定理阐述的是哪种图形的性质及判定？2、它们阐述的是直角三角形的哪方面（边、角）的性质？3、你还知道直角三角形的哪些性质？4、用框图总结直角三角形的性质及判定。
A B C D EA BC设计意图：复习与直角三有形有关的知识，加强知识的前后联系，把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中，把以前的零散的知识形成知识体系。
二、基础知识 轻松闯关1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A 、 ∠B 、∠C 的对边.（1）若a=5，b=12，则c= ______ ；（2）若∠A=30°，c=10，则b=____________ .2.已知一直角三角形的两边长分别是3，5，则 另一边长是 ____________ .3.下列各式不能判定△ABC 是直角三角形的是（ ）∠A-∠B .∠; D ::C.a:b:c ;c b ; B.a ,c ,b A.a ===-===C 13125514131222 三、典型例题 灵活应用例1.如图，一直角三角形两直角边分别为AC=6, BC=8,现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜 边AB 上与AE 重合，求BD 的长.例2.如图、△ABC 中，AC=2，∠A=30°,∠B=45°，求△ABC 的面积.变式训练：△ABC 中，AC=2，BC=3,AB=3,求△ABC 的面积.四、当堂检测 能力提升 1.如图,点A 的坐标是(2,2)，则线段AO 的长度为_______.2.如图，借助于网格，判断△OAB 是_________三角形.1 O 12 xyA2A BC30° 45°3.李峙谊同学想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．4．(拓展题）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？五、归纳小结布置作业必做题：课本第38页第2、5、6题，并完成思想方法应用环节的第2、3题的解题过程选做题：课本第39页第11、14题拓展题;如图,农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD,他量得边长AB=90m，BC=120m,CD=130m，DA=140m，且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积.课后反思：1、在让学生自主阅读，总结知识点框图时，学生有点不知所措，要加强指导。
八年级数学下册 第17章 勾股定理复习教案 (新版)新人教版
(师生活动：学生自主梳理，教师提问，归纳)
三、基础训练
练习1在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c的长为．
变式 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为 ．
练习2分别以下列四组数为一个三角形的边长：
①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．
检测课堂效果
5.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC= .
七、作业布置
作业：课本P38，复习题17
必做： 1---7题；（完成在练习本上，不抄题）
选做 ：9、10、11.（完成在书上）
知识梳理有助于帮助学生构建知识体系
通过基础训练，让学生熟练掌握基础知识
提升运用知识解决问题的能力
小结归纳，提升课堂效果，培养学生知识的归纳能力
（2）∠BCD是直角吗？
例2如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛
究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短，并求最短路径．
五、课堂小结
1.两个定理（勾股定理及其逆定理）；
2.两种重要思想（出入相补思想、数形结合思想）．
教学重点难点
教学
重点
勾股定理及其逆定理的应用．
教学
难点
寻找或构造适当的直角三角形，应用勾股定理及其逆定理解决问题．
教学媒体选择分析表
知识点
学习目标
媒体类型
教学作用
使用
方式
所得结论
占用时间
媒体来源
介绍
知识目标
图片
A
G
人教版数学八年级下册《第十七章章末复习》教学设计
人教版数学八年级下册《第十七章章末复习》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《第十七章章末复习》主要包括了本章学习的知识点和技能，主要涉及了一次函数、二次函数、不等式和方程组的应用。
本章复习的内容是学生进一步学习数学的基础，对于提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本章内容时，对于一次函数、二次函数、不等式和方程组的定义、性质和应用已经有了初步的了解，但还需要进一步的巩固和提高。
此外，学生的学习动机、学习习惯和学习方法等方面存在差异，需要针对不同学生的特点进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一次函数、二次函数、不等式和方程组的定义、性质和应用，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过复习和练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一次函数、二次函数、不等式和方程组的定义、性质和应用。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识解决。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，引导学生主动参与学习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学素材：教材、多媒体课件、练习题。
2.教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本章复习的内容，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件，对本章的知识点进行简要回顾，包括一次函数、二次函数、不等式和方程组的定义、性质和应用。
3.操练（10分钟）教师给出一些例题，让学生独立解答，巩固所学知识。
同时，教师可针对学生的解答进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生进行小组讨论，共同解决问题。
教师可参与各小组的讨论，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用所学知识进行思考和解答。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
4.借助勾股定理这一数学工具，引导学生发现数学与生活、艺术的紧密联系，培养他们的审美情趣和跨学科素养。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理之前，已经具备了平面几何的基础知识，掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别直角三角形，并对直角三角形的边长关系有初步的了解。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入和系统。然而，学生在运用勾股定理解决问题时，可能会遇到以下困难：对勾股定理的理解不够深刻，不能灵活运用定理解决实际问题；对勾股数的性质掌握不牢固，容易混淆；在解决复杂问题时，缺乏解题思路和方法。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，引导他们通过合作学习、自主探究等方式，逐步克服困难，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，使他们主动参与到勾股定理的学习中，为后续数学知识的学习打下坚实基础。
-设计意图：巩固学生的基础知识，为解决复杂问题打下基础。
4.例题解析：选择不同类型的例题，包括简单应用和综合应用，逐步引导学生掌握勾股定理的运用。
-设计意图：通过梯度性练习，使学生在解决问题的过程中逐步提高解题能力。
5.课堂互动：鼓励学生主动提问，开展小组讨论，分享解题思路，促进师生之间、生生之间的互动交流。
-设计意图：激发学生的学习兴趣，增强他们对数学知识实用性的认识。
2.新课呈现：采用探究式教学方法，引导学生通过观察、猜想、验证等步骤，发现并理解勾股定理。
-设计意图：培养学生的逻辑思维能力和探索精神，加深对勾股定理的理解。
3.课堂讲解：结合教材，详细讲解勾股定理的证明过程，以及勾股数的性质和判定方法。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理小结和复习教学设计
人教版数学八年级下册《复习题17》教学设计
人教版数学八年级下册《复习题17》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《复习题17》主要包括了二次根式的混合运算。
这部分内容是学生学习初中数学的重要部分，也是中考的热点。
在学习过程中，学生需要掌握二次根式的性质、运算法则，以及如何将实际问题转化为二次根式问题。
通过这部分内容的学习，可以提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习《复习题17》之前，已经掌握了实数、有理数的运算等相关知识，具备了一定的数学基础。
但学生在解决实际问题时，往往不能将问题转化为二次根式问题，对于二次根式的混合运算还是存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，引导学生将实际问题转化为二次根式问题，并通过练习加强学生对二次根式混合运算的掌握。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质和运算法则。
2.学会将实际问题转化为二次根式问题。
3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
4.培养学生合作交流、积极思考的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的性质和运算法则，以及如何将实际问题转化为二次根式问题。
2.难点：二次根式的混合运算，以及如何将实际问题转化为二次根式问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的性质和运算法则。
2.利用实例分析，让学生学会将实际问题转化为二次根式问题。
3.运用小组合作交流，培养学生合作学习的能力。
4.通过练习巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示二次根式的性质和运算法则。
2.准备一些实际问题，用于引导学生将问题转化为二次根式问题。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生思考如何将问题转化为二次根式问题。
例如，讲解一个实际问题：一个正方体的体积是8，求这个正方体的棱长。
通过这个问题，引发学生对二次根式的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现二次根式的性质和运算法则，以及如何将实际问题转化为二次根式问题。
第十七章勾股定理(教案)2023-2024学年人教版数学八年级下册
6.增强学生的合作交流意识，通过小组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表述及其在直角三角形中的应用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b.通过实际案例和练习题，指导学生识别直角三角形的特征，强调在实际问题中如何定位直角三角形，并准确应用勾股定理。
c.对于勾股定理逆定理的理解，教师可以通过构造非直角三角形和直角三角形的对比，让学生通过观察和分析，总结出直角三角形的特性，从而掌握判断方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量旗杆的高度或者计算建筑物与地面的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述及其计算方法。对于难点部分，如定理的证明，我会通过直观的图形演示和逐步的逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
人教版数学八年级下册《复习题17》教案
人教版数学八年级下册《复习题17》教案一. 教材分析人教版数学八年级下册《复习题17》主要是对之前所学内容的复习和巩固，包括实数、代数、几何等方面的知识。
通过复习题的形式，让学生在复习过程中加深对知识点的理解和运用，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习过程中，已经掌握了实数、代数、几何等方面的知识，具备了一定的数学思维和解决问题的能力。
但部分学生在理解和运用上还存在一定的困难，需要通过复习题的训练来提高。
三. 教学目标1.使学生熟练掌握实数、代数、几何等方面的知识；2.提高学生解决问题的能力；3.培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.实数的性质和运算；2.代数式的化简和求值；3.几何图形的性质和计算。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备2.复习题；3.教学多媒体设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用复习题的形式，引导学生回顾之前所学的实数、代数、几何等方面的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）呈现复习题，让学生独立完成，检测学生对知识的掌握程度。
教师在这个过程中，要注意观察学生的解题过程，发现问题并及时给予解答。
3.操练（10分钟）针对学生存在的问题，进行有针对性的训练，让学生在实践中掌握知识，提高解决问题的能力。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生互相讨论、交流，共同解决问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）结合复习题，引导学生进行知识拓展，提高学生的思维能力。
可以采用案例教学法，让学生分析实际问题，运用所学知识解决问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调重点知识点，提醒学生注意易错点。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的家庭作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解决问题的能力。
8.板书（5分钟）对本节课的主要知识点进行板书，方便学生复习和记忆。
教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题优秀教学案例
（三）小组合作
1.分组合作：将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论交流。每个小组共同解决问题，共同思考和探讨。
2.小组讨论：鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的团队合作精神和沟通能力。学生可以通过讨论、辩论等方式，共同解决问题。
（3）通过实际问题，感受数学与生活的联系。
2.方法目标：通过本节课的学习，使学生掌握以下方法：
（1）观察分析法：观察立体图形，发现最短路程问题；
（2）勾股定理运用法：运用勾股定理，解决最短路程问题；
（3）实际问题解决法：将数学知识运用到实际生活中，解决实际问题。
（三）情感态度与价值观
1.情感目标：通过本节课的学习，使学生能够对数学产生浓厚的兴趣，激发学生学习数学的积极性。具体包括：
本节课的教学目标是通过解决立体图形中的最短路程问题，巩固学生对勾股定理的理解，提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力。同时，通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
在教学过程中，我以生活中的实际问题为切入点，引导学生运用勾股定理解决立体图形中的最短路程问题。在解决问题的过程中，学生需要充分运用空间想象能力和逻辑思维能力，从而达到提高学生数学素养的目的。
为了更好地实施本节课的教学，我采用了多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示立体图形和最短路程问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。同时，在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现规律，培养学生自主探究的能力。
在课堂拓展环节，我设计了一些具有挑战性的练习题，让学生在课后进行思考和探索，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。通过对本节课的学习，学生不仅掌握了勾股定理在立体图形中的应用，还提高了空间想象能力和解决问题的能力，为今后的数学学习奠定了坚实的基础。
人教版八年级数学下册第17章《反比例函数》复习教学设计
小结与复习教学设计教学设计思想首先通过对问题的思考与解答，回顾总结梳理本章所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联结。
通过思考，知识得到内化，认知结构得到进一步完善。
回忆本章内容，建立知识结构图。
通过练习把知识加以巩固。
教学目标知识与技能1．反比例函数的图象和性质．2．能根据所给的条件，确定反比例函数，体会函数在实际问题中的应用价值．3．反比例函数的应用：解决实际问题，学科内部的应用．过程与方法1．反思在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．能画出反比例函数的图象，并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质．3．提高观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法．情感、态度与价值观1．面对困难，树立克服困难的勇气和战胜困难的信心．2．养成合作交流意识和运用数学问题解决实际问题的意识，认识数学的实用性．教学重点和难点重点是：反比例函数的概念、图象和主要性质．难点是：对反比例函数意义的理解．教学方法启发引导、小组讨论课时安排1课时教学媒体课件教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课问题l：你能举出现实生活中有关反函数的几个例子吗?问题2：说一说函数2y x =和2y x =-的图象的联系和区别．先由学生小组交流本单元的小结，再进行小组汇报，教师在旁适时引导，提问，鼓励．学生分四人小组合作交流，归纳出本单元的知识体系，以及对每一个知识块的认识，由上面两个问题作牵引，完成本单元的知识体系．（二）单元知识结构图（三）巩固、延伸、提高 做一做：1．已知y ＝y 1+y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=2时，y=14；x=3时，1y 283=，求y 与x 的函数表达式．分析：依据正、反比例函数的定义，利用待定系数法求得其比例系数，从而求出y 与x 之间的函数关系式．解：设21122k y ,y k x x ==，则212k y=k x x +，将（2，14），（3，1283）代入上式得121122k 4k 14k 42k 1k 39k 2833⎧+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得∴函数关系式为24y 3x x =+点评：（1）一个反比例函数和一个正比例函数相加，构成一个新的函数，从形式上较为复杂，但是用待定系数法求系的方法都一样．（2）要将k 1、k 2设成不同的两个参数．2．若反比例函数ky x =（k ≠0），当x>0，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=kx －k的图象经过第几象限 （ ）A ．一、二、三B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四 解：∵x>O 时，y 随x 的增大而增大． ∴k<O ，∴一次函数y=kx－k的图象过一、二、四故选B．点评：要判断y＝kx－k的位置，需知道k的符号，由已知kyx=，当x>0时，y随x的增大而增大，所以k<O．3．如下图，在同一直角坐标系中，正比例函数y＝（m－1）x与反比例函数4myx=的图象的大体位置不可能是（）解析：当m－1>0时m>1时，4m>0，此时直线过一、三象限．双曲线位于第一、三象限，A可能，D不可能；当m－1<0时，即m<1，分两种情况：0<m<1或m<0．当m<0时，直线过二、四象限，双曲线位于二、四象限；当0<m<1时，直线过二、四象限，此时，4m>0，双曲线在第一、三象限，所以B、C都有可能，故不可能的是D．点评：要判断直线和双曲线的位置关系，借助于它们的字母系数的符号，在这里，要判断m－l与4m的符号，进而选择合理答案，因不确定其符号，所以分两种情况进行讨论，当m－1>0时，4m>0，故A对，D不对；当m－1<0又有两种情况：0<m<l或m<0，而前者又4m>0，故B对，后者又4m<0，故C对。
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案
第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
121334归纳： 转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳： 方程思想 例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
新人教版八年级数学下册第十七章复习(优秀教学设计)
第十七章 勾股定理教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程： 一、出示目标1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
二、知识结构图三、知识点回顾 1.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如c ）（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。
3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的B A 1、B A 2，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把线段AB 放在Rt △ABC 中，其中BC 为底面直径． 例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．分析：29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为29.例4：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且．求证：△AEF 是直角三角形．分析：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证_________________________________________即可．例5：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．例6：已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．分析：可设BD长为xcm，然后寻找含x的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．例7：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．（分析：可以）分析：将点A 与点B 展开到同一平面内，由：“两点之间，线段最短。
(新人教版)数学八年级下册 第十七章 勾股定理 单元复习讲义学案
人教版初中数学八年级下册第十七章句股定理章节复习教学设计一、教学目标z1.复习与回顾本擎的重要知识点；2.勾股定理及其逆定理的用途和相互关系；3.总结本章的重要思想方法及其应用；4.勾股定理及逆定理的综合运用．二、教学过程z 知识网络如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b ，斜边长为c ，那么①a 2+bi＝ι，l .句股定理的变式：（l)c＝乓亏V;(2)a 2=c 2－旷；（3)b 2=C 2-a 2; ( 4 )a ＝正亡,T;(5)b=lc 亡歹．实际问题｜ ｜｜二二二二｜勾股定理（直角三角形边长的计算）＇逆命题实际问题｜｜勾股定理（判定直角三角形）｜←一一一一｜的逆定理知识梳理一、勾股定理已知直角三角形中的任意两边，均可求出第三边长；已知直角三角形的一边，可确定另两边的数量关系；证明含平方关系的问题等．如果三角形的三边长α，b,c 满足②α2+b 2=/，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a 2+b 2=c 2.两直角边的平方和等于斜边的平方．a：勾般因因回回a i +b i =c 2 c =U 工b2a 2=c 2-b 2 a ＝♂习Tb 2=c 2-a 2b =Jcf"习二、句股定理的实际应用利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：(l）读懂题意，分析己知、未知间的关系；(2）构造直角三角形；(3）利用勾股定理等列方程；(4）解决实际问题．转T也题进臼川构’学l l l E ’我旬欣纯理利用三、利用句股定理表示无理数的方法：(1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．(2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数．l i-2-1IA2--1 o 1 2s : 4类似地，利用勾股定理，可以作出长为-./2，飞／言，-./5，…的线段按照同样方法，可以在数轴上画出表示飞斤，d ，飞／言，{'ii,-./5，…的点A一－··四、折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：(I）设一条未知线段的长为x（一般设所求线段的长为x); (2）用已失I］线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3）在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4）解这个方程，从而求出所求线段长．c AB五、原命题与逆命题'-l唾晦哩，也DEc题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．六、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b, c满足矿＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形AbB c七、句股数如果三角形的三边长a,b, c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数固回回因因常见勾股数：3.4, 5; 6, 8, 10; 5, l2, l3; 8, 15, l7; 7, 24, 25等等．回国团团团回因一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数．如：3, 4, 5; 6, 8, 10: 9, 12, 15; 12, 16, 20…考点梳理考点解析考点1：句股定理的简单应用例1.在Rt.6.ABC中，LC=90。
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案设计
《第17章勾股定理的复习（1）》教学设计学习目标：知识与技能：掌握勾股定理以及变式的简单应用，理解定理的一般探究方法。
过程与方法：让学生经历观察、思考、动手实践和求解的活动过程；培养学生独立思考能力和动手实践能力。
发展同学们数与形结合的数学思想。
情感态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯。
使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。
教学重点与难点：应用勾股定理及逆定理解决实际问题是本节课的教学重点;而把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）则是本节课的教学难点.教学过程一、复习引入1、请一位同学说说勾股定理的内容是什么？（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.）2、RtΔABC中，∠C＝90°时AC2+BC2＝AB2，有哪些不同的表示形式？今天我们来看看这个定理的应用。
3、学生进行练习：在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.①已知a=3，b=4，求c；②已知a=12，c=5，求b（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2＝c2，要根据本质来看问题）4、勾股定理只能在直角三角形中运用【例1】在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（）.A. 5B. 10C. 4D. 大于1且小于7只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的范围.正确答案：D.5、运用勾股定理时要分清斜边和直角边【例2】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.6、给定三角形要分形状运用勾股定理【例3】在△ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.【分析与解】 此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC 有两种情况.综上可得BC 边的长为25或7.配套练习：等腰三角形的一个内角为30°，腰长为4，求这个等腰三角形腰上的高及这个等腰三角形的面积.解：⑴等腰三角形ABC 顶角为30°时； ⑵等腰三角形ABC 底角为30°时；(高在形内) (高在形外)； 接着通过问题“试一试”进一步直观体会勾股定理与实际问题之间的关系.引导学生讨论“应用勾股定理解决实际问题的一般思路是什么？”7、折叠问题与方程思想：【例4】如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
人教版数学八年级下册第十七章章末复习教学设计
人教版数学八年级下册第十七章章末复习教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册第十七章主要包括了锐角三角函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质，以及它们在实际问题中的应用。
本章内容是初中的重要知识，也是高中数学的基础。
学生在学习本章内容时，需要掌握函数的定义、图像和性质，以及三角函数在实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了初中阶段的代数知识和几何知识，对函数有一定的了解。
但在本章的学习中，学生需要掌握三角函数的定义和性质，以及它们在实际问题中的应用。
因此，教师在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出三角函数模型，并运用所学知识解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握锐角三角函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质，能够运用三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的抽象思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：三角函数的定义和性质，以及它们在实际问题中的应用。
2.难点：三角函数的图像和性质的推导，以及实际问题中三角函数模型的建立。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流的教学方法。
教师引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握三角函数的定义和性质，并能够运用所学知识解决实际问题。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教学PPT、教学案例、教学辅导资料。
2.学生准备：教材、学习笔记、辅导资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，如“在直角三角形中，如何求解未知角度的正弦、余弦和正切值？”引导学生思考三角函数的定义和性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现三角函数的定义和性质，引导学生观察和思考。
同时，教师可以通过讲解、示范等方式，让学生理解和掌握三角函数的定义和性质。
3.操练（10分钟）教师提出一些练习题，让学生独立完成。
人教版八年级数学下册第17章勾股定理复习教案设计
教学设计科目数学班级教师开课性质公开课课题第17章勾股定理复习课型复习课开课时间教学目的1、进一步理解勾股定理和勾股定理的逆定理，会运用勾股定理和逆定理解决简单的问题2、在题组训练的过程中，引导学生总结出勾股定理的作用和解题基本步骤，让学生体会数形结合思想，方程思想和转化思想在解决实际问题中的作用。
3、养成把已有的知识建立联系的思维习惯，积极参与数学活动，在活动中学会思考，讨论与交流。
听课人数教具准备多媒体教学重点用勾股定理和勾股定理的逆定理解决简单的问题教学难点能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程。
教学过程第一组练习：勾股定理的直接应用（一）知两边或一边一角型1.如图，在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一直角边c满足c2= ；思考：为什么不是c2=a2+b2 ？2.在△ABC，∠C=90°(1)如果a=3，b=4，则c= ；(2)如果a=6，c=10，则b= ；(3)如果c=13，b=12，则a= ；(4)已知a=3，∠A=30°，则c= ，b= 。
设计意图：帮助学生回忆直角三角形中应用勾股定理的求解步骤：①画图与标图；②确定直角边和斜边；③建立方程求解。
画出图形，加深对勾股定理基本图形的记忆，为后面在复杂图形中顺利确定相应直角三角形，建立方程打基础，以便突破难点。
（二）知一边及另两边关系型1、如右图，已知在△ABC中，∠B=90°，若AB=x，BC=4，AC=8-x，则AB= ,AC=2、在△ABC，∠B=90°若a∶c=3∶4，b=10，则a= _，c=教学过程思考：根据勾股定理，已知直角三角形的两边可以求第三边，但在上图中，只有一个已知条件，为什么也能求得相应的边长？设计意图：在（一）中，第2题的前三题是勾股定理的直接应用，第（4）小题变换题目所给的条件，其中的一条边变换成特殊的角，这样使掌握不扎实的学生能再一次回忆起勾股定理的应用，并记起常用的勾股数；（二）中的条件给出一边，另外给出其他两边的数量关系，通过这几道题学生对勾股定理的条件、结论及适用范围有更深层次的理解，在教师的引导下，学生对根据勾股定理建立方程解题，有了初步的感知；也为顺利突出本节课的重点，突破本节课的难点打下基础。
人教版八年级数学下册 第十七章-勾股定理 (复习)教案
勾股定理逆定理：三角形的三边长a、b、c满足a2+ b2= c2，那么这个三角形是直角三角形。
活动2：
典型例题解析，并由典型例题归纳方法（10分钟）
1.在△ABC中,如果a2＝(b＋c)(b－c),那么△ABC是______三角形, a是此三角形的_____边
二、当堂检测:(5分钟)
作业内容：高效课堂复习卷
备注(补充)
板书设计
复习第十七章 勾股定理及其逆定理
一、勾股定理及其逆定理的作图及符号表述。
二、典型例题
教学反思
集体备课教案
主备人
备课组成员：
八年级数学组
课题
复习第十七章 勾股定理及其逆定理
授课时间
月日
教学目标
知识目标：1．知识与技能
掌握勾股定理及其逆定理，并会应用勾股定理求出直角三角形的边长及其逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2．过程与方法
培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
3.若一个三角形三边a、b、c满足b2=c2-a2,则这个三角形一定是直角三角形( );
4.若一个三角形某两边的平方和不等于第三边的平方,则这个三角形一定不是直角三角形( ).
证明：m2－n2，m2+n2，2mn(m﹥n,m,n都是正整数)是直角三角形的三条边长.
活动4：课堂小结(2分钟)
谈谈你的收获，由学生自主发表见解。
3．情感、态度与价值观
培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理及其逆定理的应用价值。
教学重点
勾股定理及其逆定理的理解及简单应用
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第十七章勾股定理
教学目标：
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理
教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：
一、出示目标
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
二、知识结构图
三、知识点回顾
1.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：
22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．
2.如何判定一个三角形是直角三角形
（1）
先确定最大边（如c ） （2）
验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。
3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三
角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，
则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边
4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17
（5）7，24，25 （6）9, 40, 41
四、典型例题分析
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?
分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．
例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的B A 1、B A 2，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把线段AB 放在Rt △ABC 中，其中BC 为底面直径．
例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29． 分析：29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为29.
例4：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且
．求证：△AEF 是直角三角形．
分析：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证
_________________________________________即可．
例5：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．
分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．
例6：已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA 于A．求：BD的长．
分析：可设BD长为xcm，然后寻找含x的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．
例7：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．（分析：可以）
分析：将点A 与点B 展开到同一平面内，由：“两点之间，线段最短。
”再根据“勾股定理”求出最短路线
五、补充本章注意事项
勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点：
1、要注意正确使用勾股定理
例1 在Rt △ABC 中，∠B=Rt ∠，a=1，3b =，求c 。
2、要注意定理存在的条件
例2 在边长为整数的△ABC 中，AB>AC ，如果AC=4，BC=3，求AB 的长。
3、要注意原定理与逆定理的区别
例3 如图1，在△ABC 中，AD 是高，且CD BD AD 2⋅=，求证：△ABC 为
直角三角形。
4、要注意防止漏解
例4 在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c 。
5、要注意正逆合用
在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合。
当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言。
例5 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么DC=_________。
6、要注意创造条件应用
例6 如图3，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222BF AE EF +=
分析 因为EF 、AE 、BF 不是一个三解形的三边，所以要证明结论成立，必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明与EF 相等的边所对的角为直角既可，为此，延长ED 到G ，使DG=DE ，连结BG 、FG ，则易证明信BG=AE ，GF=EF ，
∠DBG=∠DAE=∠BAC ，由题设易知∠ABC+∠BAC=90°，故有∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°，在Rt △FBG 中，由勾股定理有：222BG BF FG +=，从而222BF AE EF +=。